函数与方程专题
一、高考大纲剖析：
高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.
在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”，增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，
掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.
在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”，去掉了去年“以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.
二、高考试题研究：
纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.
若函数)1
的图象过两点
a
b
y
x
=a
+
,0
(
)(
log≠
>
a
(-1，0)和(0，1)，则
（A）a=2,b=2 （B）a= 2 ,b=2 （C）a=2,b=1
（D ）a = 2 ,b= 2
(2003年，江苏卷6)函数),1(,1
1ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为
（A ）),0(,11+∞∈+-=x e e y x x （B ）),0(,11+∞∈-+=x e e y x x （C ）)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x （D ）)0,(,1
1-∞∈-+=x e e y x x 设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于
（A ）3 （B ）32 （C ）43
（D ）65
已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为
4
1的等差数列，则 |m －n|= （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）8
3 二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：
则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 设函数,1)(.0,
,0,12)(021
>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （A ）（－1，1）
（B ）（－1，+∞） （C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）
设函数)(1)(R x x
x x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数多个
)如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为
已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.
设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=
(A)
（Ⅰ）证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；
（Ⅱ）证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；
（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.
设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点
Q n+1.
Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a
（Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项
公式；
（Ⅱ）当21
,11≤=a a 时，证明∑=++<-n k k k k a a a
12132
1)(； （Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-n k k k k a a a 121.3
1)(
三、高考命题展望：
由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.
1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函
