浙江省绍兴市柯桥区2019-2020学年高三下学期6月方向性适应考试数学试题与答案

2019年普通高校招生全国统一考试数学（浙江）方向性试题注意事项：1. 本科考试分为试题卷和答题卷。

考生须在答题卷上答题。

2. 答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号。

3. 选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

4. 试卷分为选择题（第I 卷）和非选择题（第II 卷）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式： 锥体的体积公式V =31Sh 柱体的体积公式V=Sh其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 棱台的体积公式球的表面积公式 V =31h （S 1+21S S +S 2）S=4πR 2其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积其中R 表示球的半径h 表示棱台的高第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题1. 已知集合A ={}01-x x 2≥，集合B ={}R x ∈-=,13y y -x ，则A ⋂B =A. ()∞+，1B. ()1--，∞C. (]1-，∞D. [)∞+，1 2. 已知复数z =i-3i31+，则Z 的虚部为 A. -1B. -iC. 1D. i3. 已知双曲线1y 2222=-bx a 的离心率为5，则两条渐近线的斜率为A. 2±B. 3±C. 21±D. 33±4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的 值是 A. 2B.29 C.23 D. 35. 空间两个平面βα，满足βα⊥，m =⋂βα，m ，n 是两条不重合的直线，则“m n ⊥”是“α⊥n ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知随机变量ξ满足P ()x 1==ξ，P ()x -322==ξ，则当X 在（0，32）内增大时， A. E ()ξ增大，D ()ξ增大B. E ()ξ减小，D ()ξ增大C . E ()ξ减小，D ()ξ减小D .E ()ξ增大，D ()ξ减小7. 已知四边形ABCD 中，CB=CD ，在将△ABD 沿着BD 翻折成三棱锥A-BCD 的过程中，二面角A-BC-D ，A-DC-B 的大小分别为βα，，记直线AB 与平面BCD 所成角的角为1θ，直线AD 与平面BCD 所成的角为2θ，直线AC 与平面BCD 所成角的角为3θ，则A. 21θθ>B. 21θθ<C. 13θθ>D. 23θθ>8. 已知实数a ，b ，c 满足1c b 2a 2222=++，则2ab +3c 的最小值为A. -3B. 23-C. -2D. -59. 已知平面向量()01,132=++⋅-⋅===b a c b a的最大值是A. 132+B. 5C. 1-32D. 6210. 已知数列{}n a 满足11ln a 1a 1n 1++==+nn a a ，，记n S =[][][][]t a a a n ,...21+++表示不超过t 的最大整数。

2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第1题4分已知U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪(∁U B)（）．A. {1}B. {0,2,4}C. {1,2,3}D. {0,1,2,4}2、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第2题4分双曲线y 22−x24=1的渐近线方程为（）．A. y=±√2xB. y=±√22xC. y=±12xD. y=±2x3、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第3题4分2016年山东菏泽高三一模文科第1题5分2016年山东菏泽高三一模理科第1题5分2017~2018学年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨市第六中学高三上学期期中理科第1题5分2016年湖南长沙开福区长沙市第一中学高三二模文科第2题5分复数z=21+i（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）．A. (1,1)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (−1,−1)4、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第4题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）．A. 16π+8√5B. 32+4√5πC. 16π+8√53D. 32+4√53π5、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第5题4分已知随机变量ξi，满足P(ξi=2)=1−p i2，P(ξi=1)=12，P(ξi=0)=p i2，i=1，2．若0<p1<p2<12，ηi=2ξi+1(i=1,2)，则（）．A. E(η1)>E(η2)，D(η1)>D(η2)B. E(η1)<E(η2)，D(η1)>D(η2)C. E(η1)>E(η2)，D(η1)<D(η2)D. E(η1)<E(η2)，D(η1)<D(η2)6、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第6题4分2017~2018学年湖南岳阳岳阳县高二上学期期末理科第12题5分2016~2017学年广东广州南沙区广州外国语学校高二下学期期末理科第12题5分函数f(x)与它的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为（）．A. (0,4)B. (−∞,1)，(43,4)C. (0,43)D. (0,1)，(4,+∞)7、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第7题4分如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，Q是线段PC上的点（不含端点）．设AQ与BC所成的角为α，AQ与平面ABCD所成的角为β．二面角Q−AB−C 的平面角为γ，则（）．A. α<β<γB. β<α<γC. γ<β<αD. β<γ<α8、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第8题4分设实数a，b，则“|a−b2|+|b−a2|⩽1”是“(a−12)2+(b−12)2⩽32”（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第9题4分2020~2021学年江苏苏州吴中区高二上学期期中第8题5分在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1，设c n =2n (1a n +1b n )，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）． A. 22020−4 B. 22021−4 C. 22022−4 D. 22023−410、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第10题4分 2020~2021学年10月江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高二上学期月考第8题5分 设正数λ1，λ2，λ3，满足λ1+λ2+λ3=3．P 1，P 2，P 3是以O 为圆心的单位圆上的3个点，且λ1OP 1→+λ2OP 2→+λ3OP 3→=0→，若M 是圆O 所在平面上任意一点，则λ1|MP 1→|+λ2|MP 2→|+λ3|MP 3→|的最小值是（ ）．A. 2B. 3C. 2√2D. 3√2二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第11题6分 16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙．”直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系．若2a =5b =10，则a = ，1a +1b = ．12、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第12题6分在二项式(√x √x3)2n 的展开式中，第6项系数最大，则n = ，其常数项为 ．13、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第13题6分 四边形ABCD 中，∠BAD =60°，∠BCD =120°，BC =2√3，BD =5，则cos⁡∠BDC = ，AB ⋅AC 的最大值为 ．14、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第14题6分若实数x ，y 满足不等式组{x +3y −3⩾02x −y −3⩽0x −my +3⩾0，且z =x −y 的最小值为−2，则最优解(x,y )= ，实数m = ．15、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第15题4分已知函数f (x )={a x −a,x ⩾0x 2+(4a −3)x +3a,x <0（a >0且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ．16、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第16题4分现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．17、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第17题4分斜率为12的直线l 与椭圆C ：x 24+y 2=1交于A ，B 两点，且P (√2,√22)在直线l 的左上方．若∠APB =90°，则△PAB 的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第18题14分 已知函数f (x )=sin 2x +2√3sin⁡xcos⁡x +sin⁡(x +π4)sin⁡(x −π4)．(1) 求f(x)的对称中心．)为f(x)的一个零点，求cos⁡2x0的值．(2) 若x=x0(0⩽x0⩽π219、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第19题15分AB=1．∠BAD=30°，CD=CB．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=PB=BD=12(1) 求证：PC⊥BD．(2) 若PA=√6，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第20题15分已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2⋅a3=15，S4=16，数列{b n}满．足b1=a1，b n+1−b n=1a n⋅a n+1(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式．(2) 是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第21题15分如图，已知点F(1,0)，N(−1,0)，过点N作垂直于x轴的直线l1，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点E，线段EF的垂直平分线交l2于点M．(1) 求点M 的轨迹C 的方程．(2) 若点P(−1,1)，过点P 的动直线l 与轨迹C 相交于不同的A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP →⋅QB →+AQ →⋅PB →=0，求|PQ |的最小值．22、【来源】 2020年浙江绍兴绍兴县绍兴县柯桥中学高三下学期高考模拟第22题15分 设函数f(x)=ln⁡x −ax 2+a ，其中a ∈R ．(1) 讨论f(x)的单调性．(2) 若g(x)=1e x −1ex ，对任意x ∈(1,+∞)，使得f(x)<g(x)恒成立，求a 的取值范围．（e =2.71828⋯为自然对数的底数）1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】1og210;1;12 、【答案】5;210;13 、【答案】45;30;14 、【答案】(−34,54 );95;15 、【答案】[14,23]∪{34};16 、【答案】1220;17 、【答案】2425;18 、【答案】 (1) (π12+kπ2,12)k∈Z．;(2) 3√5+18．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √106．;20 、【答案】 (1) a n=2n−1；b n=3n−22n−1，n∈N∗．;(2) m=3，n=8．;21 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) √5．;22 、【答案】 (1) 当a⩽0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(0,√2a2a )上单调递增，在(√2a2a,+∞)上单调递减．;,+∞)．(2) [12;。

2020年6月柯桥方向性一､选择题1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则UA B （ ）A. {}1B. {}0,2,4C. {}1,2,3D. {}0,1,2,42. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 22y x =±C. 12y x =±D. 2y x =±3. 复数2i1iz =-的共轭复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. (1,1)B. (1,1)--C. (1,1)-D. (1,1)-4. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积为(单位：3cm )（ ）A. 1685π+B. 3245+C. 81653π+D. 432535. 已知随机变量i ξ满足()122i i p P ξ-==，()112i P ξ==，()02i i p P ξ==，1,2i =若12102p p <<<，21i i ηξ=+则（ ）A. ()()12E E ηη>，()()12D D ηη>，B. ()()12E E ηη<，()()12D D ηη>，C. ()()12E E ηη>，()()12D D ηη<，D. ()()12E E ηη<，()()12D D ηη<，6. 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A. ()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. ()()0,1,4,+∞C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,4)7. 如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面 ABCD ，PA PD =，Q 是线段PC 上的点(不含端点).设AQ 与BC 所成的角为α，AQ 与平面 ABCD 所成的角为β，二面角Q AB C --的平面角为γ，则（ ）A. αβγ<<B. βαγ<<C.γβα<<D. βγα<<8. 设实数a ，b ，则“221a b b a -+-≤”是“22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 在数列{}n a 及{}n b 中，221n n n n n a a b a b +=++221n n n n n b a b a b +=++11a =，11b =.设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A. 202024-B. 202124-C. 202224-D. 202324-10. 设正数1λ，2λ，3λ满足1233λλλ++=，1P ，2P ，3P 是以O 为圆心单位圆上的3个点，且1122330OP OP OP λλλ++=.若M 是圆O 所在平面上任意一点，则112233MP MP MP λλλ++的最小值是（ ） A. 2B. 3C. 22D. 32二､填空题11. 16､17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间､时间及对数，我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若2510a b ==，则a =________，11a b+=________. 12. 在二项式23nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，第6项系数最大，则n =________，其常数项为________. 13. 四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，23BC =，5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ⋅的最大值________.14. 若实数x ，y 满足不等式组33023030x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =-且最小值为2-，则最优解(),x y =________，实数m =________.15. 已知函数()()2,0433,0x a a x f x x a x a x ⎧-≥⎪=⎨+-+<⎪⎩(0a >且1a ≠)在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.16. 现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)17. 斜率为12直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于A ，B 两点，且22,2P ⎭在直线l 的左上方.若90APB ∠=︒，则PAB △的面积为________. 三､解答题18. 已知函数()2sin 23cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的对称中心；（2）若0002x xx π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0cos2x 的值. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，112PD PB BD AB ====，30BAD ∠=︒，CD CB =.（1）求证：PC BD ⊥；（2）若6PA =，求直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值.20. 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =.数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，()n m n ≠，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.21. 如图，已知点()1,0F ，()1,0N -，过点N 作垂直于x 轴的直线1l ，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点E ，线段EF 的垂直平分线交2l 于点M .（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若点()1,1P -，过点P 的动直线l 与轨迹C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足0AP QB AQ PB ⋅+⋅=，求PQ 的最小值.22. 设函数()()2ln f x x ax a a R =-+∈.（1）讨论()f x 单调性； （2）若()11xe e g xx =-；对于任意的()1,∈+∞x ，使得()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.2020年6月柯桥方向性一､选择题1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则UA B （ ）A. {}1B. {}0,2,4C. {}1,2,3D. {}0,1,2,4【答案】D 【解析】 【分析】由集合的运算法则直接求出. 【详解】由题可知0,1,4UB ，则{}0,1,2,4UAB =.故选：D.【点睛】本题考查集合的补集、并集运算，属于基础题.2. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为（ ）A. y =B. y x =C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】令22024x y -=，整理即可得渐近线方程.【详解】双曲线22124x y -=的渐近线方程满足22024x y -=，整理可得y =.故选：A. 【点睛】本题考查已知双曲线求解渐近线的方法，属于基础题.3. 复数2i1iz =-的共轭复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. (1,1)B. (1,1)--C. (1,1)-D. (1,1)-【答案】B【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则在复平面内，z 对应的点坐标可求． 【详解】解：由2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+， 则1z i =--，故z 在复平面内所对应的点的坐标为：(1,1)--. 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题． 4. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积为(单位：3cm )（ ）A. 1685π+B. 3245+C. 81653π+D. 43253+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，根据几何体，列式求体积.【详解】由几何体的三视图可知，几何体的下面是半径为2，高为4的圆柱，上面是正四棱锥，底面是对角线为4的正方形，高22325h =-211824445165323V ππ∴=⨯⨯+⨯⨯⨯=+故选：C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积，重点考查空间想象能力，属于基础题型. 5. 已知随机变量i ξ满足()122i i p P ξ-==，()112i P ξ==，()02i i p P ξ==，1,2i =若12102p p <<<，21i i ηξ=+则（ ）A. ()()12E E ηη>，()()12D D ηη>，B. ()()12E E ηη<，()()12D D ηη>，C. ()()12E E ηη>，()()12D D ηη<，D. ()()12E E ηη<，()()12D D ηη<，【答案】C 【解析】 【分析】 不妨令1211,43p p ，然后先计算出1E ，()2E ξ，()1D ξ，()2D ξ，即可算出1212,,,EE D D ，比较大小即可.【详解】不妨令1211,43p p ， 则()1238P ξ==，()1112P ξ==，()1018P ξ==，()2123P ξ==，()2112P ξ==，()2016P ξ==， 131152108284E，211172103266E ， 117212EE，2210213E E，12E E，2221535151721048424816D，22227171711721063626636D， 2211227172,249DDD D， 12DD.故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的均值和方差的求法，属于基础题. 6. 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A. ()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. ()()0,1,4,+∞C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,4)【答案】B 【解析】 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.7. 如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面 ABCD ，PA PD =，Q 是线段PC 上的点(不含端点).设AQ 与BC 所成的角为α，AQ 与平面 ABCD 所成的角为β，二面角Q AB C --的平面角为γ，则（ ）A. αβγ<<B. βαγ<<C. γβα<<D. βγα<<【答案】D 【解析】 【分析】根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小．【详解】如图，取AD 中点E ，连接PE ，∵PA PD =，∴PE AD ⊥，而平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD ，连接EC ，作//QO PE 交EC 于O ，则QO ⊥平面ABCD ，∵//AD BC ，∴DAQ ∠为直线AQ 与BC 所成的角，即DAQ α∠=，作QN AD ⊥于E ，∴sin QNQAα=， 连接AO ，则QAO ∠是直线AQ 与平面ABCD 所成的角，即QAO β∠=，显然QO OA ⊥， ∴sin QOAOβ=， 作//OM BC 交AB 于M ，则OM AB ⊥，连接QM ，由OQ ⊥平面ABCD 得QO AB ⊥，QO OM O =，∴AB ⊥平面AOM ，∴AB QM ⊥，∴QMO ∠是二面角Q AB C --的平面角，即QMO γ∠=，同样QO OM ⊥，sin QOOMγ=， 由图可知OQ QN <，∴sin sin αβ>，αβ>（,αβ都是锐角）， OM AO <，∴sin sin βγ<，βγ<（γ也是锐角）， 又cos NA QA α=，cos OMQMγ=，根据上面作图过程知OMAN 是矩形，OM AN =，∴cos cos αγ<，∴αγ，综上βγα<<． 故选：D ．【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．8. 设实数a ，b ，则“221a b b a -+-≤”是“22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据不等式的性质判断“221a b b a -+-≤”推导出“22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”，说明充分性满足，再借用反例判断“22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”推导不出“221a b b a -+-≤”，说明必要性不满足，从而给出答案.【详解】解：∵221a b b a -+-≤，∴ ()()22221a b b a a bb a -+-≤-+-≤，即221a b b a -+-≤，∴ 22111()()1222a b -+--≤，∴22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 充分性满足； ∵22113222a b ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取1a =，0b =时，2221a b b a -+-=>，∴ 必要性不满足. 故选：A .【点睛】本题考查条件充分性与必要性的判定，是基础题.9. 在数列{}n a 及{}n b 中，221n n n n n a a b a b +=++221n n n n n b a b a b +=++11a =，11b =.设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n c 前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A. 202024-B. 202124-C. 202224-D. 202324-【答案】C 【解析】 【分析】利用已知经递推关系得出11n n a b +++与n n a b +的关系，11n n a b ++与n n a b 的关系，从而可得出n nn na b a b +是常数，由此可得n c ，再用等比数列的前n 项和公式计算．【详解】因为1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+所以11)2(n n n n a b b a +++=+，()22211()2n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，所以1111n n n n n n n n a b a b a b a b ++++++=，又11112a b a b +=，所以2n n n n a b a b +=， 111222n n n n n n n n n n a bc a b a b +⎛⎫+=+=⋅= ⎪⎝⎭，2020232021202220204(12)2222412S -=+++==--．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，解题关键是求出数列{}n c 的通项公式．10. 设正数1λ，2λ，3λ满足1233λλλ++=，1P ，2P ，3P 是以O 为圆心的单位圆上的3个点，且1122330OP OP OP λλλ++=.若M 是圆O 所在平面上任意一点，则112233MP MP MP λλλ++的最小值是（） A. 2 B. 3C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的质||||a b a b →→→→⋅≤及123||||||1OP OP OP →→→===建立不等式，即可求出最小值.【详解】123,,P P P 是以O 为圆心的单位圆上的3个点,123||||||1OP OP OP →→→∴===,故111223322331132OP OP MP MP MP MP MP OP MP λλλλλλ→→→+=+++ 111222333MP OP MP OP MP OP λλλ→→→→→→≥⋅+⋅+⋅ 当点M 与点O 重合时，1122331MP OP MP OP MP OP →→→→→→⋅=⋅=⋅=1112212323333MP OP MP OP MP OP λλλλλλ→→→→→→∴+++⋅+⋅==⋅， 1231122333MP MP MP λλλλλλ∴++≥++=，即112233MP MP MP λλλ++的最小值是3, 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.二､填空题11. 16､17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间､时间及对数，我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若2510a b ==，则a =________，11a b+=________. 【答案】 (1). 2log 10； (2). 1. 【解析】 【分析】本题先根据指数式与对数式的互化求出a 、b ，再根据对数的运算与换底公式求解即可. 【详解】解：∵ 2510a b ==，∴ 2log 10a =，5log 10b =∴25lg 2lg 5lg 2lg5lg(25)log 10log 10lg10lg1110lg10lg10111a b +=+=+==⨯=+ 故答案为：2log 10；1【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，对数的运算与换底公式，是基础题.12. 在二项式2n+的展开式中，第6项系数最大，则n =________，其常数项为________. 【答案】 (1). 5； (2). 210. 【解析】 【分析】本题先利用二项式的展开式的通项公式求出通项并判断项的系数与二项式系数相等，根据展开式的中间项的二项式系数最大，可得5n =；再令通项的x 的次数为0，求出常数项即可.【详解】解：二项式23nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的通项为：()5261223rn rn r rrr n n T C x C x x --+=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 故二项式展开式项的系数与二项式系数相等，又因为第6项系数最大，所以5n =， 令5506r -=，解得：6r =， 所以二项式23nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为：606125=210T C x +⨯=⋅， 故答案为：5；210.【分析】本题考查展开式的通项公式，展开式的中间项的二项式系数最大，借通项公式求常数项，是基础题.13. 四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，23BC =，5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ⋅的最大值________.【答案】 (1). 45(2). 30 【解析】 【分析】在BCD 中应用正弦定理得sin BDC ∠，然后得余弦值，根据60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，得ABCD 是圆内接四边形，因此有BAC ADC ∠=∠是确定的角，这样只要求得ABC 面积的最大值即可得AB AC ⋅的最大值，而23BC =为定值，因此只要A 到BC 的距离最大即可，它是线段BC 的中垂线与四边形ABCD 外接圆的交点时，得最大值．【详解】BCD 中，sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，∴233sin 55BDC ︒∠==，BDC ∠为锐角，∴4cos 5BDC ∠=， ∵60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，∴,,,A B C D 四点共圆，∵23BC =，∴当A 到BC 的距离最大时，ABC 面积最大，此时A 是边AB 的中垂线与外接圆的交点， 设A '在BC 的中垂线上，O 是圆心，E 是BC 中点，则,,A O E '共线，A E BC '⊥，外接圆的直径为51032sin sin120BD R BCD ===∠︒，53OA OB OC '===，又132CE BE BC ===，∴225343(3)33OE ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，33A E OA OE ''=+=， 112333922A BC S BC A E ''=⋅=⨯⨯=△，又113sin sin 2210A BC S AB AC BA C A B A C BDC A B A C ''''''''=⋅∠=⋅∠=⋅△， ∴3910A B A C ''⋅=，∴30A B A C ''⋅=． 又113sin sin 2210ABCS AB AC BAC AB AC BDC AB AC =⋅∠=⋅∠=⋅， ∴AB AC ⋅的最大值是30． 故答案为：45；30【点睛】本题考查正弦定理，考查四点共圆，三角形面积公式，解题关键是利用边BC 为定值，BAD ∠为定值，把问题转化为求ABC 面积的最大值，利用点在圆上，由圆的性质可三角形面积最大时点的位置，从而易求解．14. 若实数x ，y 满足不等式组33023030x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =-且最小值为2-，则最优解(),x y =________，实数m =________. 【答案】 (1). 35,44⎛⎫-⎪⎝⎭(2). 95【解析】 【分析】首先画出可行域，根据目标函数z x y =-的几何意义求最值，列式求m ，以及最优解.【详解】30x my -+=，表示过定点()3,0-的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于0，所以0m >，如图，画出可行域，z x y =-表示斜率为1的直线，当0y =时，x z =，所以z 表示直线的横截距，所以z x y =-平移至点B 时，z 取得最小值，30330x my x y -+=⎧⎨+-=⎩ ，解得：393m x m -=+，63y m =+ 即396,33m B m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，由条件可知396233m m m --=-++，解得：95m =， 此时最优解35,44B ⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：35,44⎛⎫-⎪⎝⎭；95【点睛】本题考查线性规划，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是根据30x my -+=表示过定点()3,0-的直线，画出可行域.15. 已知函数()()2,0433,0x a a x f x x a x a x ⎧-≥⎪=⎨+-+<⎪⎩(0a >且1a ≠)在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.【解析】 【分析】本题先根据分段函数是减函数建立不等式组，解得1344a ≤≤，再根据方程恰好有两个不相等的实数解转化为()y f x =与2y x =-的图象恰好有两个不同的交点建立不等式，解得23a ≤，最后解题即可. 【详解】解：∵ 函数()()2,0433,0x a a x f x x a x a x ⎧-≥⎪=⎨+-+<⎪⎩(0a >且1a ≠)在R 上单调递减，∴ 01430231a a a a<<⎧⎪-⎪-≥⎨⎪≥-⎪⎩，解得：1344a ≤≤， ∵ 关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解， ∴ ()y f x =与2y x =-的图象恰好有两个不同的交点， ∵2y x =-过点(0,2)，当0,|()|||xx y f x a a ≥==-与2y x =-有一交点， 当0x <，1344a ≤≤时，()()2433y f x x a x a ==+-+与2y x =-有一交点， 即()24332x a x a x +-+=-在(),0-∞只有一个根， 所以()242320x a x a +-+-=有一正根和一负数根，此时2320,3a a -<<，得1243a ≤<或方程有一根为0，则2320,3a a -== 此时方程的另一根为23-，满足题意， 综上：1243a ≤≤，【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数，根据方程的根的个数求参数，是偏难题.16. 现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答) 【答案】1220 【解析】 【分析】根据题意，分配方案可以分为以下情况：甲分2本，乙分4本；甲分3本，乙分3本；甲分4本，乙分2本；甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，分别计算即可求出. 【详解】由题可知，分配方式可分为以下情况：甲分2本，乙分4本，则有246415C C =种，甲分3本，乙分3本，则有336320C C =种， 甲分4本，乙分2本，则有426215C C =种，甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有231643180C C C 种， 甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有321633180C C C 种， 甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有221643270C C C 种，甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有22116432540C C C C 种，则不同的分配方案共有1520151801802705401220种. 故答案为：1220.【点睛】本题考查利用排列组合解决分配问题，属于中档题.17. 斜率为12的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于A ，B 两点，且2P ⎫⎪⎪⎭在直线l 的左上方.若90APB ∠=︒，则PAB △的面积为________.【答案】2425【解析】【分析】设直线l 的方程为12y x m =+，联立椭圆方程，根据90APB ∠=︒，得0PA PB ⋅=，解得m ，即可根据弦长公式和点到直线距离公式求出三角形得底和高，然后可以求出三角形面积.【详解】设直线l的方程为12y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立直线与椭圆得：222220x mx m ++-=，212122,22x x m x x m ，212121212111112,22222y y x x m m y y x m x m m ， 90APB ∠=︒， 1122121222222,2,222222PA PBx y x y x x y y 121212122522x x x x y y y y 2532022m m ， 解得0m =或325m， 2,2P ⎛ ⎭在直线l 的左上方， 325m， ∴直线方程为510620x y ，221623241014222555AB , 设P 到直线l 的距离为d ， 则5252626102525100d，141061024252525PABS. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查直线与椭圆得位置关系，联立方程求出m 是解题得关键，属于综合题.三､解答题18. 已知函数()2sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的对称中心； （2）若0002x x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0cos2x 的值. 【答案】（1）1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）3518+.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可求得()12sin(2)62f x x π=-+，再利用整体代换法求函数的对称中心即可得答案；（2）由001()2sin(2)062f x x π=-+=，得01sin(2)64x π-=-，002x π≤≤，可得02066x ππ-≤-≤，于是可求得015cos(2)6x π-=【详解】解：（1）2()sin 23sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=+++- 21sin 32(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-1cos 211132cos 232cos 22sin(2)22262x x x x x x π-=+-=-+=-+，所以令2,6x k k π-=π∈Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称中心为：1,,1222k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（2）根据题意得：001()2sin(2)062f x x π=-+=，∴01sin(2)64x π-=-， ∵ 002x π≤≤，052666x πππ-≤-≤， ∴02066x ππ-≤-≤，∴ 015cos(2)64x π-=， ∴ 0015311351cos 2cos 26642428x x ππ⎡⎤+⎛⎫=-+=⨯+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的对称中心，同角三角函数间的关系的应用及两角和的余弦，考查运算求解能力，是中档题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，112PD PB BD AB ====，30BAD ∠=︒，CD CB =.（1）求证：PC BD ⊥；（2）若6PA =，求直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）106【解析】 【详解】（1）取BD 中点F ，连接,PF CF , 如图，PB PD =,PF BD ∴⊥,CD CB =,CF BD ∴⊥,又CF PF F ⋂=,BD ∴⊥平面PFC ，PC ⊂平面PFC ，PC BD ∴⊥;（2）30BAD ∠=︒，2AB =,1BD =,2222413cos3024AD AB BD AD AD AB AD +-+-∴︒===⋅, 解得3AD =,222AD BD AB ∴+=，即AD BD ⊥,作PO CF ⊥于O 点，易知PO ⊥平面ABCD ,以OF ，Oy ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则//,//OF AD Oy DB ,设,OF a OP b ==， 则111(3,,0),(,,0),(,,0),(0,0,)222A aB a D a P b --， 2221||(3)64PA a b ∴=++=， 在Rt PFO 中, 222233||24PF a b =+==，联立解得3a =，6b =，1(,326PB →∴=-，1,326PD →=--, 1(,)326PA →=-- 设平面PBD 的法向量n (x,y,z)→=， 则00n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x y z x y z +=--=，令x =0,2y z ==，2)n →∴=，设直线PA 与平面PBD 所成角为θ，15sin 636||PA nPA n θ⋅∴=== 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，利用空间向量求线面角，根据题目建立合适的直角坐标系，设出,OF a OP b ==，利用勾股定理求出,a b 是本题的关键，属于中档题.20. 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =.数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，()n m n ≠，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-，3221n n b n -=-；（2）3,8m n ==. 【解析】【分析】 （1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，并写出通项公式，由数列{}n a 的通项公式可知()()112121n n b b n n +-=-+，然后裂项，累加后即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）假设存在正整数,m n ，使得2,,m n b b b 成等差数列，则22n m b b b +=，由此列出方程，求计算得出答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()1112154341620a d a d a d d ⎧++=⎪⨯⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得：1a 1,d 2， ()11221n a n n ∴=+-⨯=-；()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫-==- ⎪-+-+⎝⎭， 2111123b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， …………当2n ≥时，111122321n n b b n n -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭， 以上式子相加可得11111111111 (12335232122121)n n b b n n n n -⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 111b a ==，13212121n n n b n n --∴=+=-- ()2n ≥， 当1n =时，13121211b ⨯-==⨯-，成立 3221n n b n -∴=-； （2）假设存在正整数,m n ，使得2,,m n b b b 成等差数列，则22n m b b b +=，243b =，323121242n n b n n -==---，31242m b m =--， 4313123242242n m ⎛⎫⎛⎫∴+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即11221642m n =+--， 化简得7292711n m n n -==-++， 当13n +=时，即2n =时，2m =（舍），当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意，∴存在正整数，3,8m n ==，使得2,,m n b b b 成等差数列.【点睛】本题考查等差数列，累加法求通项，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是得到关于,m n 的关系式.21. 如图，已知点()1,0F ，()1,0N -，过点N 作垂直于x 轴的直线1l ，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点E ，线段EF 的垂直平分线交2l 于点M .（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若点()1,1P -，过点P 的动直线l 与轨迹C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足0AP QB AQ PB ⋅+⋅=，求PQ 的最小值.【答案】（1）24y x =；（25【解析】【分析】（1）设(),M x y ，则()1,E y -，设EF 的中点为G ，则0,2y G ，由EF GM 可得0EF GM ，从而可得点M 的轨迹C 的方程；（2）设1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，设直线l 为11x m y ，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得12124,44y y m y y m +==+，再求出1212,x x x x +的值，然后用0AP QB AQ PB ⋅+⋅=代入坐标化简可得22(2)(21)334m m x m y m m -+----，再结合直线方程可得220x y --=，再表示出PQ ，化简后可得其最小值【详解】（1）设(),M x y ，则()1,E y -， 设EF 的中点为G ，则0,2y G ，2,EF y ，,2y GM x ， EF GM ,2202y EF GM x ，即24y x =，∴点M 的轨迹C 的方程24y x =；（2）设1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，设直线l 为11x m y ，代入24y x =得24440y my m ，则12124,44y y m y y m +==+，所以21212()22422x x m y y m m m +=+--=--，222121212(1)()(1)(1)x x m y y m m y y m m ⋅=-++++=+，所以11221122(1,1)(,)(,)(1,1)AP QB AQ PB x y x x y y x x y y x y ⋅+⋅=---⋅--+--⋅+-121212121212(2)(2)()2()2x x x y y y x x x x y y y y =++++--+-++-，22[(2)(21)334]0m m x m y m m =-+----=因为点Q 在直线AB 上，所以11xm y ， 所以22(2)(1)(21)3340m m my m m y m m ---+----=，解得2(2)21m y m +=-， 由11x m y ，得11x m y +=-，代入上式得220x y --=，所以PQ ===≥，所以PQ 【点睛】此题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系，考查距离公式的应用，考查计算能力，属于较难题.22. 设函数()()2ln f x x ax a a R =-+∈. （1）讨论()f x 单调性；（2）若()11x e e g xx =-；对于任意的()1,∈+∞x ，使得()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在0,单调递增；当0a >时，()f x 在20,2a a 单调递增，在2,2a a单调递减；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】 （1）求出()f x 的导数，通过讨论a 的取值范围，求出函数的单调区间即可；（2）不等式等价于211ln 0x x ax a e ex 在()1,∈+∞x 恒成立，构造函数分析，具体见解析. 【详解】（1）由题可知()f x 的定义域为0,， 2112'()2ax f x ax x x， 当0a ≤时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，当0a >时，令'()0f x >得0x <<，令'()0f x <得x > 综上，当0a ≤时，()f x 在0,单调递增；当0a >时，()f x 在20,a 单调递增，在2,a单调递减；（2）原不等式等价于211ln 0x x ax a e ex 在()1,∈+∞x 恒成立， 令211ln x h x x ax a e ex， 只需()h x 在()1,∈+∞x 恒小于0即可，()10h =，故()'h x 在1x =处必小于等于0， 2111'2x h x ax x e ex ， '1120h a ，可得12a ≥，令21112x F x ax x e ex ， 当12a ≥时，32323311211221'21x x x ex ex F x a x e ex x e ex ex e ， ()1,x ∈+∞时，320ex ex ，'0F x 在12a ≥时恒成立， ∴当12a ≥时，()F x 在1,单调递减， ()(1)120F x F a ，即()'0h x <， ()h x ∴在1,单调递减， 10h xh ，即()h x 在()1,∈+∞x 恒小于0，原不等式恒成立， 当12a <时，'1120h a 此时，存在01x >，使得()01,x x ∈时，()h x 单调递增，即()()10h x h >=，不符合题意，综上，12a ≥. 【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性以及利用导数讨论不等式的恒成立问题，属于综合题.。

2020年绍兴市柯桥区高考数学方向性试卷(6月份)(二模)一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={a,b，c，d}，集合A={a,b}，B={b,c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)=()A. {c,d}B. {a,b，c，d}C. {a,d}D. {a,c，d}2.双曲线y2−3x2=9的渐近线方程为()A. x±√3y=0B. x±3y=0C. √3x±y=0D. 3x±y=03.在复平面内，复数z=20−5i9+2i 的共轭复数对应的向量OZ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为()A. B.C. D.4.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 13B. π9C. 23D. 2π95.已知ξ的分布列如下表，若η=2ξ+2，则D(η)的值为()A. −13B. 59C. 109D. 2096. 已知函数f(x)=−xe x +ln 2，则( )A. f(1e )=f(12) B. f(1e )<f(12)C. f(1e )>f(12)D. f(1e )，f(12)的大小关系无法确定7. 已知在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E 是PD 中点，PA =2AB ，则直线BD 与CE 所成角的余弦值为( )A. √36B. √26C. √38D. √288. 已知实数a ，b 满足ab >0，则“1a <1b 成立”是“a >b 成立”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n−1，则a 5=( )A. 16B. 17C. 31D. 3210. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且△PBA与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为( )A. 2B. −2C. 1D. −1二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）11. 若函数f (x )=−x 2+2ax 与g (x )=ax+1在区间[1,2]上都单调递减，则实数a 的取值范围是________．12. 12个“演讲”名额分给4个班级，要求每班至少2个名额，则有___________种分配方案(用数字作答)． 13. 已知直线l 与椭圆C:x 22+y 2=1交于P,Q 两点(直线PQ 的斜率大于0)，且OP ⊥OQ ，若ΔOPQ 的面积为2√35，则直线PQ 的方程为__________． 三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14. 已知5lgx =25，则x = ;设2a =5b =m ，且1a +1b =2，则m = .15.在(2x2−13x)6二项展开式的中，常数项是，其二项式系数之和为．16.在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4，且∠ABC=120°，则AC=，cos∠BCD=．17.若实数x，y满足不等式组{y≥0x−2y≤2,2x−y≥2则x的最小值是(1)，z=x−3y的取值范围是(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f(x)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx(x∈R)(1)求f(2π3)的值；(2)求f(x)的对称中心及单调递减区间．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA=AB=2，∠BAD=60∘.求PC与平面PBD所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1， an+1=13S n=13，求a2，a3，a4的值及数列{a n}的通项公式．21.已知动圆C过定点F(2,0)，且与直线x=−2相切，圆心C的轨迹为E，(Ⅰ)求E的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标(1,1)，求|PQ|22.已知函数f(x)=lnx+a(x2−1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=e−1，x∈[1,+∞)时，证明：f(x)⩽(x−1)e x．2【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵U={a,b，c，d}，集合A={a,b}，B={b,c，d}，∴(∁U A)∪(∁U B)={c,d}∪{a}={a,c，d}，故选：D根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2.答案：C解析：本题考查了双曲线的渐近线方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐近线方程，属于基础题．解：双曲线y2−3x2=9化成标准方程为y29−x23=1，∴渐近线方程为y29−x23=0，化简得√3x±y=0．故选C．3.答案：A解析：本题考查复数的概念、复数的四则运算、复数的几何意义，考查数学抽象、数学运算的核心素养．由题意可得到复数z的共轭复数z=2+i，则共轭复数对应的向量OZ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，由此即可得到答案．解：依题意，z=20−5i9+2i =(20−5i)(9−2i)(9+2i)(9−2i)=170−85i85=2−i，则z=2+i，故OZ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，观察可知，选A．故选A ．4.答案：A解析：本题考查三视图求解几何体的体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．解：由三视图得，给几何体的直观图为底面是边长为1的正方形，高为1的四棱锥． 所以体积V =13×12×1=13． 故选A ．5.答案：D解析：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的求法以及方差的性质，属于基础题．根据ξ的分布列先求出期望，利用方差公式求得ξ的方差，进而利用方差的性质求得η的方差． 解：依题，E(ξ)=−1×12+0×13+1×16=−13， 则D(ξ)=(−1+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59，故D (η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=209．故选D ．6.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 先求出f′(x)=x−1e x，根据单调性可求解．解：f′(x)=−e x −(−x)e xe x ·e x=x−1e x，当x <1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 因为1e <12<1，所以f(1e )>f(12). 故选C ．7.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题． 建立空间直角坐标系，用向量法求解即可． 解：因为PA =2AB ，设PA =2，则AB =AD =1，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0，0)，P(0,0，2)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,12,1) BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−12,1)， 设异面直线BD 与CE 所成角为θ， 则cosθ=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√2×√94=√26.故选B ．8.答案：C解析：解：由1a −1b =b−a ab，∵ab >0，∴若1a <1b 成立，则b −a <0，即a >b 成立． 反之若a >b ，∵ab >0， ∴1a −1b =b−a ab<0，即1a <1b 成立，∴“1a <1b 成立”是“a >b 成立”充要条件． 故选：C ．根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握不等式的性质，比较基础．9.答案：A解析：解：数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n−1，则a 2=a 1+20=2， a 3=a 2+2=4，a 4=a 3+22=4+4=8， a 5=a 4+23=8+8=16． 故选：A ．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．10.答案：D解析：解：∵D 为AB 的中点， ∴2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵△PBA 与△PBC 的面积相等， ∴P 为AC 的中点， 即λ=−1， 故选：D ．通过D 为AB 的中点可得2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过△PBA 与△PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论． 本题考查平面向量的基本定理，注意解题方法的积累，属于基础题．11.答案：(0,1]解析：本题考查函数的单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性是解题的关键． 解：因为函数f (x )=−x 2+2ax 在区间[1,2]上都单调递减， 则对称轴x =a ≤1， g (x )=a x+1在区间[1,2]上都单调递减，则a >0，所以a 的取值范围是(0,1], 故答案为(0,1]．12.答案：35解析：考查排列组合应用，每个班级先分配一个名额，剩下8个名额，形成7个空，7个空中放三个挡板得出．解：由题意，每个班级先分配一个名额，剩下8个名额，形成7个空，7个空中放三个挡板C 73=35．故答案为35．13.答案：y =√2x ±√2或y =√24x ±√32解析：本题主要考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，属于难题．设直线为y=kx+m(k>0)，联立椭圆方程，利用OP⊥OQ，可得3m2=2(k2+1)，计算原点到直线的距离及弦长，利用面积公式可得，S=12d|PQ|=|m|√−2m2+4k2+22k2+1=|m|√4m2−23m2−1=2√35，即可解得m2=k2=2，写出直线方程即可．【详解】设直线为y=kx+m(k>0)，联立椭圆方程x22+y2=1，消元得：(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，当Δ>0时，x1+x2=−4km2k2+1,x1⋅x2=2m2−22k2+1，因为OP⊥OQ，所以y1y2+x1x2=0，整理得3m2=2(k2+1)①，又原点到直线的距离d=√1+k2，PQ=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2，所以S=12d|PQ|=|m|√−2m2+4k2+22k2+1，结合①得S=|m|√4m2−23m2−1=2√35，解得m2=2或m2=34，当m2=2时，k2=2，因为k>0，所以k=√2,m=±√2，当m2=34时，k2=18，即k=√24,m=±√32，经检验满足Δ>0，所以所求直线方程为y=√2x±√2或y=√24x±√32．14.答案：100;√10本题考查了对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，是基础题.解题的关键是熟练运算性质．解：因为5lg x=25，所以，所以x=102=100;因为2a=5b=m，所以，，又因为1a +1b=2，所以，即m2=10，所以m=√10(舍负)．15.答案：202764解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．利用二项式系数的性质，其二项式系数之和．解：在(2x2−13x )6二项展开式的中，通项公式为T r+1=C6r⋅26−r⋅(−13)r⋅x12−3r，令12−3r=0，求得r=4，可得常数项是C64×4×181=2027，其二项式系数和为26=64，故答案为：2027；64．16.答案：√7−√21本题考查正余弦定理的应用，考查诱导公式的应用，是中档题．在△ABC中由余弦定理求得AC的长，从而根据正弦定理求出sin∠ACB，再由AD2=AC2+CD2得，从而使用诱导公式即可求解．解：在△ABC中由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×cos∠ABC，即AC2=1+4−2×1×2×(−12)=7，所以AC=√7．由正弦定理得ACsin∠ABC =ABsin∠ACB，所以sin∠ACB=AB×sin∠ABCAC =√2114，在△ACD中，由AD2=AC2+CD2，所以，所以故答案为√7,−√2114．17.答案：1(−∞,2]解析：本题主要考查简单的线性规划问题，属于较易题，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．根据线性约束条件画出可行域，在画出线性目标函数对应的平行线，结合图像运算即可求得答案．解：不等式组{y≥0x−2y≤22x−y≥2表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图示可知，x的最小值是1．而在经过可行域的直线x−3y=z(纵截距为−z3)中，直线x−3y=2在y轴上的截距最小，为−23，此时z最大，为2，∴z=x−3y的取值范围是(−∞,2]．18.答案：解：(1)因为，所以；(2)由(1)可知函数，当2x+π6=kπ(k∈Z)时，x=−π12+kπ2(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,0)(k∈Z)，当π2+2kπ<2x+π6<3π2+2kπ，即π6+kπ<x<2π3+kπ(k∈Z)时，函数f(x)为减函数，综上所述，函数f (x )的对称中心为(−π12+kπ2,0)(k ∈Z)，函数f (x )的单调递减区间为(π6+kπ,2π3+kπ)(k ∈Z)．解析：本题考查三角恒等变换以及正弦函数的相关性质，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查正弦函数的对称中心以及单调区间，体现了综合性，考查了化归与转化思想，是中档题． (1)本题首先可根据三角恒等变换将函数化简为，然后带入x =2π3即可得出结果；(2)本题可结合(1)得出，然后根据正弦函数的相关性质即可得出结果．19.答案：解：(1)证明：四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ， ∵PA ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC (2)设AC 与BD 交于点O ，则OB =1,OA =√3， 由OA ⊥OB,PA ⊥平面ABCD ，∴以点O 为原点，以OB →,OC →,AP →为x ，y ，z 的正方向建系 ，则P(0,−√3,2),D(−1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0)， ， ∴PB →=(1,√3,−2),PD →=(−1,√3,2)，设n →=(x,y,z)是平面PBD 的一个法向量，则{n →·PB →=x +√3y −2z =0n →·PD →=−x +√3y −2z =0，不妨令y =√3，可得n →=(0,√3,32)， 而PC →=(0,2√3,−2)，则cos <n →,PC →>=n →·PC→|n →|·|PC →|=√2114， ∴PC 与平面PBD 所成角的正弦值等于√2114．解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理与平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． (1)证明AC ⊥BD.PA ⊥BD.推出BD ⊥平面PAC ；(2)以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出相关点的坐标，平面PDB 的法向量，设PC 与平面PBD 所成角为θ，利用空间向量的数量积求解PC 与平面PBD 所成角的余弦值．20.答案：解：由已知得a 2=13，a 3=49，a 4=1627．由a 1=1，a n+1=13S n ，得a n =13S n−1，n ≥2， 故a n+1−a n =13S n −13S n−1=13a n ，n ≥2， 得a n+1=43a n ，n ≥2． 又a 1=1，a 2=13，故该数列从第二项开始为等比数列， 故a n ={1,n =113·(43)n−2,n ≥2解析：本题考查数列递推关系式的应用，由数列{an}的递推公式依次求出a 2、a 3、a 4，根据数列的递推关系判断出故该数列从第二项开始为等比数列，即可求出通项公式，属中档题．21.答案：解：(1)由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =−2的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =−2为基准线的抛物线， 所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ．(2)由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则有y12=8x1,y22=8x2，两式作差得y12−y22=8(x1−x2)即得k=8y1+y2，因为线段PQ的中点的坐标为(1,1)，所以k=4，则直线l的方程为y−1=4(x−1)，即y=4x−3，与y2=8x联立得16x2−32x+9=0，得x1+x2=2,x1x2=916，|PQ|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√17×√4−4×916=√1192．解析：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)利用动圆C过定点F(2,0)，且与直线l1：x=−2相切，所以点C的轨迹是以F为焦点x=−2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；(2)先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．22.答案：解：，当a⩾0时，在(0,+∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，令时，解得0<x<√−12a；令，时，解得x>√−12a，所以函数f(x)的区间(0,√−12a)，上单调递增，在区间上单调递减．(2)令，则，再令φ(x)=x⋅e x−(e−1)x−1x(x⩾1)，则，当x⩾1时，(x+1)e x⩾2e，1x2>0，∴(x+1)e x−(e−1)+1x2>2e−(e−1)>0，即，所以y=φ(x)在[1,+∞)上单调递增，，∴φ(x)⩾φ(1)=0，∴y=g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)⩾g(1)=0.综上所知f(x)⩽(x−1)e x．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)题干求导可知分a=0、a>0、a<0三种情况讨论f′(x)与0的大小关系可得结论；(2)通过构造函数，利用函数的单调性，即可得．。

浙江省绍兴市柯桥区2020届高三下学期6月方向性考试数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★) 3. 复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为（）A．B．C．D．(★★) 4. 某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为(单位：)（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知随机变量满足，，，若，则（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，(★★★) 6. 已知函数 与 的图象如图所示，则函数 （其中 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 7. 如图，四棱锥中， 为矩形，平面 平面 ， ， 是线段 上的点(不含端点).设与所成的角为 ，与平面所成的角为，二面角的平面角为 ，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 设实数 ， ，则“ ”是“ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 在数列及 中，，， ，.设，数列的前 项和为，则（）A．B．C．D．(★★★★★) 10. 设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是（）A．2B．3C．D．二、双空题(★★) 11. 16､17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间､时间及对数，我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若，则 ________ ， ________ . (★★★) 12. 在二项式的展开式中，第6项系数最大，则________，其常数项为________.(★★★) 13. 四边形中，，，，，则________，的最大值________.(★★★) 14. 若实数，满足不等式组，且且最小值为，则最优解________，实数________.三、填空题(★★★★) 15. 已知函数( 且)在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________.(★★★) 16. 现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)(★★★) 17. 斜率为的直线与椭圆：交于，两点，且在直线的左上方.若，则的面积为________.四、解答题(★★★) 18. 已知函数.（1）求的对称中心；（2）若为的一个零点，求的值.(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，，，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 20. 已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.(★★★★) 21. 如图，已知点，，过点作垂直于轴的直线，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若点，过点的动直线与轨迹相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，求的最小值.(★★★★) 22. 设函数.（1）讨论单调性；（2）若；对于任意的，使得恒成立，求的取值范围.。

2019学年第二学期高三教学质量检测数学评分标准二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．1255i +512．2π，1 13．4，214．(5,5)-， 15．24016．2212x y += 17． 1(1,)1e e +- 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

18．解：（1）在ACB ∆中，由正弦定理得： sin sin AB ACB CAB BC ∠=⋅∠=， …4分 因为AB BC <，所以ACB ∠为锐角，所以cos 3ACB ∠==． …7分 （2）在BCD ∆中，cos cos(90)sin 3BCD ACD ACD ∠=+∠=-∠=-， ……10分 由余弦定理可得：5BD ==． …………14分 19．解：（1）取AB 中点M ，连结CM ，因为90C ∠=，故2AB =，所以1CM =， 又因为11AA A B ==，所以1AMAB ⊥，且11A M =， ……………2分 所以22211A M CM AC +=，所以1A M CM ⊥，所以1A M ⊥平面ABC ， ……………4分 而1A M ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABBA ⊥平面ABC ． ……………6分 （2）解法1： 设1A M 与BD 相交于O ，E 为BC 的中点，则ME ⊥BC ，所以BC ⊥平面1A ME ， 所以平面1A ME ⊥平面1A BC ， ……………8分 过O 作1ON A E ⊥于N，则OBN ∠即为所求的角， ………10分 易知1A AB ∆为等腰直角三角形，且O 为其重心，故12233AO AM ==，233BO BD ==， ……………12分 1又因为1AON ∆与1A EM ∆相似，所以1121AO NO ME A E =⋅=， ……………14分所以sin ON OBN OB ∠==． ……………15分 解法2：如图建立空间直角坐标系，M 为AB 中点，由（1）可知，1A M ⊥平面ABC ，则A ，(0,1,0)B，11,1)2A ，从而11(,,)442D ， ……………10分 设平面1A BC 的法向量为(,,)n x y z =，由0n CB ⋅=得，0y =，由10n CA ⋅=得，1022x y z ++=， (2,0,3)n =-， ……………13分 所以||210sin 35||||n BD n BD θ⋅==⋅． ……………15分 20．解：（1）由题设得n n a S 22=+，1122++=+n n a S ， ………………2分 两式相减得：12n n a a +=，又21=a ，所以数列}{n a 是公比为2的等比数列， ………4分 所以n n n a 2221=⋅=-． ………………6分（2）由（1）得，2(21)n n S =-， ………………7分解法1：所以222111=2(21)2(21)(21)2212n n n n n n n n b =<⋅≤-+--， ………………11分 所以122111222n n b b b +++<+++11(1)12211212n n -==--． ………………14分 不等式12112n n b b b +++<-对任意*N n ∈都成立． ………………15分 解法2：数学归纳法，（ⅰ）当1n =时，左边13=，右边11122=-=，不等式成立， ………………7分 （ⅱ）假设n k =时，不等式成立，即12112k k b b b +++<-，1则11121221112121122(21)22(21)(21)k k k k k k k k k b b b b ++++++++++<-+=-+-+- ………11分 11111111122(21)22(22)k k k k k +++<-+=-+-+- 1111111222k k k ++<-+=-． ………………14分 由（ⅰ）、（ⅱ）可知，不等式12112n n b b b +++<-对任意*N n ∈都成立．………15分 21．解：（1）抛物线C 的焦点(,0)2m F ， ………………2分2=，解得，24m =， ………………4分 因为0m >，所以2m =． ………………6分（2）设直线AB 方程为x ty n =+，代入抛物线方程24y x =得，2440y ty n --=，则216160t n ∆=+>，① ………………7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ， 则124y y t +=，所以12022y y y t +==， 2002x ty n t n =+=+， ………………8分因为点M 在l 上，则有，0020x y -=，即242n t t =-，②将②代入①得240t t -<，解得04t <<， ………………9分 易得N 的坐标为2(,2)t t ， ………………10分 则点N 到直线l的距离222d ==， ………………11分12||||AB y y =-==，………………12分 所以3221||2(4)2NAB S AB d t t ∆=⋅=-3222[(2)4]16t =--+≤， ………………14分 当2t =时取到等号，所以NAB ∆面积的最大值为16． ………………15分22．解：（1）21()x x xe e f x x -+'=， ………………2分令()1x x x xe e γ=-+，则()0x x x x x e xe e xe γ'=+-=>， ………………4分 所以()x γ在),0(+∞的单调递增．所以()(0)0x γγ>=，所以()0f x '>，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增． ………………6分（2）假设0k <，设1()(ln 1)x e h x k x e x-=-+-，则()h x 在(0,)+∞单调递增， 由（1）可知，当0.1x =时，112x e e x-<-<， 当21e k x e -+=时，2ln 1x e k +-=， 所以210min{0.1,}e k x e -+=时，01000()(ln 1)x e h x k x e x -=-+-220k k<-⋅=，与题设矛盾，所以0≥k ， ……………9分 又(1)1(1)0h e k e =---≥，所以1≤k ． ………………10分 下面证明当10≤≤k 是符合题意的， 设1()(ln 1)[0,1]x e F k x e k k x-=-+-+∈，，要使()0F k ≥恒成立， 必须(0)0(1)0F F ≥⎧⎨≥⎩，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-+-≥-　② ①,01)1(ln ,01x e e x x e x x ， ………………12分 当0>x 时，①显然成立， 设1()ln 1x e x x e x δ-=-+-，则2(1)(1)()x x e x xδ--'=， 所以()x δ在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增，故()(1)0x δδ≥=，即②也成立， ………………14分 综上，k 的取值范围是]1,0[∈k ． ………………15分。

2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟数学试卷（6月）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第1题4分已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−1,0,1}，集合B={0,1,2}，则∁U(A∩B)=（）．A. {−2}B. {0,1}C. {−2,−1,2}D. {−2,−1,0,1}2、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第2题4分若双曲线x 2m−y2=1的离心率为√2，则m等于（）．A. 1B. √2C. √2+1D. 23、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第3题4分已知实数x，y满足{3x+y+1⩾02x+3y−4⩽0x−2y−2⩽0，则2x+y的最小值为（）．A. −3B. −1C. 0D. 24、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第4题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积为（）．A. 18B. 36C. 54D. 1085、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第5题4分已知a，b都是实数，则“a2>b2”是“a>|b|”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第6题4分在同一坐标系中，函数f(x)=1a x 与g(x)=lg⁡ax的图象可能是（）．A. B. C.D.7、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第7题4分设a ，b 为正数．已知随机变量X 的分布列是则（ ）．A. E (X )有最大值，D (X )有最大值B. E (X )有最大值，D (X )无最大值C. E (X )无最大值，D (X )有最大值D. E (X )无最大值，D (X )无最大值8、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第8题4分已知△ABC 中，∠C =90°，AB =3，AC =2，O 为△ABC 所在平面内一点，并且满足OA →+2OB →+3OC →=0→，记I 1=OA →⋅OB →，I 2=OB →⋅OC →，I 3=OC →⋅OA →，则 （ ）．A. I 1<I 2<I 3B. I 2<I 1<I 3C. I 1<I 3<I 2D. I 3<I 1<I 29、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第9题4分设a ，b ∈R ，函数f (x )={−x 3−(a +1)x 2+ax,x <0x 2,x ⩾0，若函数g(x)=f(x)−ax−b有四个零点，则（）．A. a<0，b<0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a>0，b>010、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第10题4分如图，在长方形ABCD中，将△ACD沿AC翻折至△ACD′，设直线AD′与直线BC所成的角为α，直线AD′与平面ABC所成的角为β，二面角A−CD′−B的平面角为γ．当γ为锐角时（）．A. α>β>γB. γ>β>αC. γ>α>βD. α>γ>β二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第11题6分复数z满足(1−2i)z=1，则复数z=，|z|=．12、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第12题6分函数y=sin⁡(x+π4)−2√2cos2x2的最小正周期是，最大值是．13、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第13题6分已知二项式(a√x−bx )5(a>0,b>0)关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，设展开式中x和x−2的系数分别为m，n．若m=2n，则a=，b=．14、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第14题6分已知圆C的圆心在直线x+y=0上，且与直线y=2x相切于点P(1,2)，则圆C的圆心坐标为，半径r=．15、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第15题4分从4个男生和6个女生的10个候选人中，挑选3人分别担任“班长”、“副班长”和“体育委员”，要求3人中至少有两个男生．这样的挑选方法共有种．16、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第16题4分已知椭圆C的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若|BF1|=3|AF1|，AB⊥BF2，则C的方程是．17、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第17题4分已知函数f(x)=(x−a−1)e x+b，若存在b∈R，对于任意x∈[1,2]，都有|f(x)|<e2，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第18题14分如图，在四边形ABCD中，∠CAB=45°，AB=2，∠ACD=90°，BC=3．(1) 求cos⁡∠ACB的值．(2) 若DC=2√2，求对角线BD的长度．19、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第19题15分如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=A1B=A1C=√2，AC=√3BC=√3，AC⊥BC，D 是AA1的中点．(1) 证明：平面ABB1A1⊥平面ABC．(2) 求直线DB与平面A1BC所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第20题15分设数列{a n}的前n项和为S n．已知对每一个n∈N∗，a n是2和S n的等差中项．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=a n S2n ，n∈N∗，证明：b1+b2+⋯+b n<1−12n．21、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第21题15分已知m>0，抛物线C：y2=2mx的焦点到直线l：mx−4y=0的距离为√55．(1) 求m的值．(2) 如图，已知抛物线C的动弦AB的中点M在直线l上，过点M且平行于x轴的直线与抛物线C相交于点N，求△NAB面积的最大值．22、【来源】 2020年浙江绍兴柯桥区高三下学期高考模拟（6月）第22题15分已知函数f(x)=e x−1x，g(x)=k(ln⁡x+e−1)．(1) 判断f(x)在(0,+∞)的单调性．(2) 若f(x)⩾g(x)在(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】15+25i;√55;12 、【答案】2π;1−√2;13 、【答案】4;2;14 、【答案】(−5,5);3√5;15 、【答案】240;16 、【答案】x22+y2=1;17 、【答案】(1,e+1e−1);18 、【答案】 (1) √73．;(2) 5．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √21035．;20 、【答案】 (1) a n=2n．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 2．;(2) 16．;22 、【答案】 (1) 单调递增．;(2) k∈[0,1]．;。