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北师大版八年级上册第五章5.3 应用二元一次方程组鸡兔同笼教案5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼（教案）教学目标知识与技能：能分析简单问题中的数量关系,建立二元一次方程组解决实际问题.过程与方法：在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程(组)解决现实问题的意识和应用能力.情感态度与价值观：在用方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.教学重难点【重点】让学生经历和体验方程组解决实际问题的过程.【难点】用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题的过程.教学准备【教师准备】教材“鸡兔同笼”问题的投影图片.【学生准备】总结二元一次方程组的解法.教学过程一、导入新课导入一:“雉兔同笼”题为:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?”(1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢?(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?(3)你能解决这个有趣的问题吗?与同伴进行交流.思路一【师生活动】 教师讲数学历史引入“鸡兔同笼”问题,多媒体展示具体“历史记载”激发学生兴趣,引起学生思考,并找语文素养好的学生翻译成现代文,如“笼子里装有鸡和兔子,从上面数共有35个头,从下面数共有94只脚,求鸡和兔子各多少只.”1.用一元一次方程求解.解:设有鸡x 只,则有兔(35-x )只,得2x +4(35-x )=94,2x +140-4x =94,-2x =-46,x =23,35-x =12. 所以有鸡23只,兔12只.小结:一元一次方程解法的优点是思维便捷.一元一次方程解法的不足是计算较复杂.2.用二元一次方程组求解.解:设有鸡x 只,兔y 只,则{x +y =35,①2x +4y =94.②由①×2,得2x+2y=70,③由②-③,得2y=24,y=12,把y=12代入①,得x=23.所以有鸡23只,兔12只.小结:用二元一次方程组解答的优点是思维快速简单.用二元一次方程组解答的不足是计算复杂些.[设计意图]体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程,通过比较列一元一次方程求解、列二元一次方程组求解的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.思路二第(1)问由学生讨论完成,明确基本数量关系.第(2)问分成两组进行.第一组列一元一次方程解决,第二组列二元一次方程组解决.第(3)问学生解答各自列出的方程(组),并体会二元一次方程组为解决问题带来的便利.【教师总结】列二元一次方程组解决问题的步骤:(1)弄清题意和题目中的数量关系,设出题中的两个未知数;(2)找出表示应用题全部含义的两个相等关系;(3)根据找出的两个相等关系列出所需的方程,从而列出方程组;(4)解方程组;(5)检验所得的解是不是方程组的解,并且要检验其是否符合题意,否则要舍去;(6)写出答案,包括单位名称.(2)、学以致用以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?问题1:“将绳三折测之,绳多五尺”,什么意思?“若将绳四折测之,绳多一尺”,又是什么意思?【学生活动】学生拿出准备的绳子以小组为单位,动手演示“绳三折,绳四折”,要求组员间互相纠错.最后找学生总结“将绳三折测之,绳多五尺”是指将一条绳子分成相等的三份,还剩五尺;“将绳四折测之,绳多一尺”是指将一条绳子分成相等的四份,还剩一尺.问题2:找出等量关系并完成题目.【师生活动】学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范.解:设绳长x尺,井深y尺,根据题意,得{x3-y=5,①x4-y=1,②由①-②,得x3-x4=4,x12=4,x=48.将x=48代入①,得y=11.答:绳长48尺,井深11尺.问题3:你能否总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤?【学生活动】放手让学生以小组为单位进行总结,要求小组找出发言人,其他成员有序地进行补充.总结:(1)审:审清题意;(2)设:设出两个未知数;(3)找:弄清各个量之间的关系,找出等量关系;(4)列:根据题意列出二元一次方程组;(5)解:正确地求出二元一次方程组的解;(6)答:根据实际情况检验方程组的解后写出答案.[设计意图]此例用于巩固引例中用列二元一次方程组解应用题的思路以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.学生在列方程组的建模过程中,一方面强化了方程的模型思想,也培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.(3)、变式练习问题:古有一捕快,一天晚上他在野外的一个茅屋里,听到外边来了一群人,在分赃,他隐隐约约地听到几个声音,下面有一古诗为证:“隔壁听到人分银,不知人数不知银.只知每人五两多六两,每人六两少五两,问你多少人数多少银?”【师生活动】学生独立完成,教师巡视学生做题情况,并对出现的问题及时的解决纠正,在学生完成后组织学生进行交流、评价、展示、纠错.[设计意图]利用与前面类似的题目,让学生尝试运用解题步骤解决问题,同时巩固建立方程模型的思想方法,规范学生的解题步骤.[知识拓展]列方程组解应用题:(1)列方程组解应用题的关键是准确找出题目中的相等关系,正确地列出方程组.(2)列方程组时应注意:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相等;④一般来说,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.(3)作答时,要根据实际问题的意义,判断求得的结果是否合理,不合理的解应该舍去.(4)审题、找相等关系以及检验过程只需在草纸上完成,书写的过程只需设、列、解、答四步.在设、答两步要写清单位名称.三、课堂总结四、课堂练习1.已知长江比黄河长836 km,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km .设长江、黄河的长分别是x km,y km,则下列方程组中正确的是( )A.{x -y =836,5x -6y =1284B.{y -x =836,6y -5x =1284C.{x -y =836,6y -5x =1284D.{y -x =836,5x -6y =1284 解析:根据长江比黄河长836 km,得x-y =836;根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km,得6y-5x =1284.可列方程组为{x -y =836,6y -5x =1284.故选C. 2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km 的两地相向而行,2 h 后相遇,若甲比乙每小时多骑2.5 km,则乙的速度是每小时( )A.12.5 kmB.15 kmC.17.5 kmD.20 km解析:本题中的两个等量关系为:甲的速度=乙的速度+2.5;2×甲的速度+2×乙的速度=65.设甲的速度是每小时x km,乙的速度是每小时y km .则{x =y +2.5,2x +2y =65,解得{x =17.5,y =15,所以乙的速度是每小时15 km .故选B. 3.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树4周,则绳子还多1尺;若环绕大树5周,则绳子又少3尺.设这根绳子有x 尺,环绕大树一周需要y 尺,则下列所列方程组正确的是 ( )A.{4y =x +1,5y =x -3B.{4y +1=x ,5y -3=xC.{4x +1=y ,5x -3=y D .{4x -1=y ,5x +3=y 答案:B4.某班有40名同学去看演出,购买甲、乙两种票共用去370元,其中甲种票每张10元,乙种票每张8元,设购买了甲种票x 张,乙种票y 张,由此可列出方程组: .解析:根据题意可找到等量关系:甲种票的数量+乙种票的数量=40,购甲种票的总费用+购乙种票的总费用=370.故填{x +y =40,10x +8y =370.5.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2019元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?解:设李大叔去年甲种蔬菜种植了x 亩,乙种蔬菜种植了y 亩,则{x +y =10,2000x +1500y =18000,解得{x =6,y =4.答:李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.五、板书设计3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼例题讲解六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材习题5.4第1,2题.【选做题】教材习题5.4第4题.(2)、课后作业【基础巩固】1.小刚买了两种不同的贺卡共5张,单价分别是1元和2元,共用8元.设小刚买的1元和2元的贺卡分别为x 张,y 张,则下面的方程组正确的是( )A.{x +y 2=5,x +y =8B.{1x +y 2=5,x +2y =8C.{x +y =5,x +2y =8D.{x +y =5,2x +y =8 2.某车间有56名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓16个或螺母24个,求怎样分配工人才能恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套.设分配x 人生产螺栓,y 人生产螺母,依题意列方程组是( )A.{x +y =56,2×16x =24yB.{x +y =56,2×24x =16yC.{x +y =56,16x =24yD.{x +y =56,24x =16y3.一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,若设∠1=x °,∠2=y °,则可得到方程组为 ( )A.{x =y -50,x +y =180B.{x =y +50,x +y =180C.{x =y +50,x +y =90D.{x =y -50,x +y =904.如图所示,两台天平保持平衡,已知每块巧克力的质量相等,且每个果冻的质量也相等,则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 ( )A.10 g,40 gB.15 g,35 gC.20 g,30 gD.30 g,20 g【能力提升】5.若马四匹,牛六头,共价四十八两;马三匹,牛五头,共价三十八两.求马、牛各价几何.6.某专业户今年养的鸭是去年的5倍,今年养的鹅是去年的15.5倍.已知今年养的鸭和鹅的总数是7200只,恰好是去年总数的12倍,这个专业户在今年和去年养的鸭和鹅各是多少只?7.4辆小卡车和5辆大卡车一次共可运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可运货物51吨,求小卡车和大卡车每辆每次可以各运货物多少吨.【拓展探究】8.如图所示,在长方形ABCD 中,AB =8 cm,BC =6 cm,且ΔBEC 的面积比ΔDEF 的面积大5 cm 2,求DF 的长.【答案与解析】1.C2.A3.C4.C5.解:设每匹马价x 两,每头牛价y 两,则{4x +6y =48,①3x +5y =38,②①×3-②×4,得18y-20y =144-152,y =4.将y =4代入①,得x =6.答:马价6两,牛价4两.6.解:设去年养鸭x 只,养鹅y 只,则{5x +15.5y =7200,12(x +y )=7200,解得{x =200,y =400.答:这个专业户在今年养鸭1000只,养鹅6200只,去年养鸭200只,养鹅400只.7.解:设小卡车每次运货物x 吨,大卡车每次运货物y 吨,则{4x +5y =27,6x +10y =51,解得{x =1.5,y =4.2.答:小卡车每辆每次可以运货物1.5吨,大卡车每辆每次可以运货物4.2吨.8.解:设ΔBEC 的面积为x cm 2,ΔDEF 的面积为y cm 2,梯形ABED 的面积为z cm 2,依题意,得{x -y =5,①x +z =6×8,② 由②-①,得y +z =43,即ΔABF 的面积为43 cm 2.设DF 的长为a cm,则有12×8×(6+a )=43,解得a =194,即DF 的长为194 cm .。
