对数与对数运算专题

2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数的概念与基本性质】2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln . 3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a xlog =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ； (2)01log =a )1,0(≠>a a 且； (3))1,0(1log ≠>=a a a a 且． 【知识点2 对数的运算性质】 1.2.abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论： ①a b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b nm b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1 对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2 对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3 解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4 对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5 利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6 用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7 与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8 对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2loga•log（c﹣b）a．（c+b）【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3 +log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。

2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．(2)(3)(4)当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式log a Na N＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5 【例1－2【例1－3】求下列各式中(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．(2)公式推导： 设log log c c b x a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N n N a m m ==．②log ab ＝log 1log log b b b b a a=．③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32 C ．1 D ．2【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．274．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数，即>0,>0,1,N a a ⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是__________．【例4－2】若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__________．5．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log 5＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log 5＋log 35＝39log 55⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝log 39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N ，lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x＝log23，求332222x xx x----的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x xx x--⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a＝4b＝36，求21a b+的值．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x和log b y等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ； log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a +B ．a b b +C ．a a b +D ．b a b +【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)。

对数与对数运算练习题及答案一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6B ．5C ．1D ．log 653．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C.ab 2c 3 D.2ab3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－15． 的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋526．Log 22的值为( ) A ．－ 2 B. 2C ．－12 D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为() A ．9 B ．8C ．7D ．610．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15B ．lg5C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74二．填空题1． 2log 510＋log 50.25＝____.2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______.3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______.4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示)7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______三.计算题1．计算：(1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2(3)log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；2．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．对数与对数运算练习题答案一．选择题1． C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8 A 9. A 10. B11.B 12.D二．填空题1. 22. 23. e4. x ＝log 375. 96. m ＋2n7. 08. 1<x <3且x ≠2三．计算题1.解： (1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1(3)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 6112－log 69＋log 63＝log 6(112×19×3)＝log 6136＝－2.(4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)＝log 2(2＋3)(2－3)＝log 21＝0.2. [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2，∴m ＝9.。

对数与对数运算练习题一、选择题1. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，那么\( \log_{10}0.01 \)等于多少？A. -1B. -2C. 1D. 22. 对数函数\( y = \log_{a}x \)的底数a的取值范围是：A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \neq 1 \)D. 所有以上3. 如果\( \log_{2}8 = 3 \)，那么\( 2^{3} \)等于多少？A. 8B. 16C. 32D. 644. 对数运算中，\( \log_{b}b = \)：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 根据换底公式，\( \log_{10}x \)可以表示为：A. \( \frac{\log x}{\log 10} \)B. \( \frac{\log 10}{\log x} \)C. \( \frac{\log x}{\log 2} \)D. \( \frac{\log 2}{\log x} \)二、填空题6. 计算\( \log_{4}16 \)的值是________。

7. 如果\( \log_{3}27 = 3 \)，那么\( 3^{3} \)的值是________。

8. 利用对数的换底公式，\( \log_{8}16 \)可以表示为________。

9. 对数的幂运算法则中，\( \log_{a}(x^n) = \)________。

10. 对数的乘积运算法则中，\( \log_{a}(xy) = \)________。

三、简答题11. 解释对数函数\( y = \log_{a}x \)中底数a的取值范围，并说明为什么。

12. 给出对数函数\( y = \log_{a}x \)的图像，并描述其基本特征。

13. 利用对数的换底公式，将\( \log_{5}125 \)转换为以10为底的对数。

14. 说明对数运算中的商的运算法则，并给出一个具体的例子。

对数及对数函数知识点一、对数的定义及运算1、对数定义：若(a 0,a 1)x a N =>≠且，则____________x =2、 对数的性质：01log =a 1l o g =a a3、 对数的运算性质（1）N M MN a a a log log )(log +=（2）N M NMa a alog log log -= （3）log log n ma a mb b n=4、换底公式换底公式 b N N a a b log log log = 1log log a b b a=5、两个对数恒等式 N aNa =l o g log N a a N =二、对数函数的图像及性质log (a 0,a 1)a y x =>≠且（1）01a <<当时 （2）当1a >时三、指数对数函数的关系题型总结 一、 对数的运算1、求下列式子中x 的值（1）0)(log log 52=x （2）1)(lg log 3=x （3）64log 32______=（4）已知0))(log (log log ))(log (log log 243432==y x 求y x +的值3、已知y x==38log ,324，则y x 2+的值为____________4、设2b =5b =m,且11a b+＝２，则m=______________________ A 、B 、10C 、20D 、1005、ba ba 112173+==，求=___________________ 6、若__________3log ,2log 123==则a7、22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++=______________________ 8、2.1lg 10lg 38lg 27lg -+=__________________9、已知lg 2,lg3a b ==，则lg12lg15等于（ ） A 、21a b a b +++ B 、21a b a b +++ C 、21a b a b +-+ D 、21a ba b+-+10、4log 3lg 33log 46log 1323911023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=____________________11、3log 41,44___________x x x -=+=则12、若32x +9=10·3x ，那么x 2+1的值为 A ．1 B ．2C ．5D ．1或513、已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则yx的值为A ．1B ．4C ．1或4D ．41或414、114511___________11log log 93+=15、21log log 9log 7log 44923=a ，则=a ____________16、若x 3log 2log 23=，则=x （ ）A 、1-B 、1C 、23)2(logD 、22)3(log17、5361log log 6log 2,________3x x ⋅⋅==若则18、函数的最小值为________19、已知______)0,0(,lg lg 则>>=b a b aA b a =B 1==ab b a 或C b a ±=D 1=ab二、 对数函数的图像及其应用1、在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）2、（2013福建）函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是2()log )f x x =x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=3、函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )4、函数y ＝log 2|x |的图象大致为( )5、若()21log a x x -<在（1,2）上恒成立，则a 的范围是_________6、已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)7、已知函数()()()__________,2,log 3的取值范围则若a f a f x x f >=8、（2014辽宁）已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．9、比较大小2log 3与2log 3.5， 2log 8.3log 2121与 ，6.3log 2.3log 6.3log 442，， ，8.0log log 23与π 10、已知1log 2a <1，那么a 的取值范围是 A 、0<a<12 B 、a>12 C 、12<a<1 D 、0<a<12或a>111、已知11log log 022ab >>，则a ，b 的关系是 A 、1<b<a B 、1<b<a C 、0<a<b<1 D 、0<b<a<1132a -=21211log ,log 33b c ==a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>三、 对数函数的性质及应用(定义域，值域，单调性，奇偶性)1、 已知函数(){)0(32log 12)(≤>+=x x x x x f 若()00,3x x f 则>的取值范围是___________________2、【2014天津高考理第4题】函数的单调递增区间是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52) D ．(－∞，2)4、 若定义在区间)0,1(-内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是___________5、 ※已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上是减函数，求实数a 的取值范围___________6、函数()()_________,4,161,log 32的最小值为则x f x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=7、求函数[]的最大值与最小值4,2,5log log 41241∈+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x x y8（1）已知函数的取值范围，求实数的定义域为a R )2lg(2a x x y ++=（2）已知函数的取值范围，求实数的值域为a R )2lg(2a x x y ++=9、判断函数()x xy -+=1lg 2的奇偶性()()212log 4f x x =-()0,+¥(),0-¥()2,+¥(),2-?10、已知函数()()()____________________,2111lg =-=+-=a f a f x x x f 则若11、若函数()()__________2log 22=++=a a x x x f a 是奇函数，则当堂检测1、已知f (e x)=x ，则f (5)等于（ ） A ．e 5 B ．5eC ．ln5D ．log 5e2、（2014陕西理）42,lg ,____________a x a a ===则3.设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或 4函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)5、（2011天津理）324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，比较大小_______________6、设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x－2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞)7、已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]8、已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）（A ）()1,10 （B ）()5,6 （C ）()10,12 （D ）()20,24。

对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。

通常用符号 $\log$ 表示对数函数。

2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。

- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。

- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。

二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。

解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。

2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。

解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。

3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。

解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。

解得$x \geq 12$。

三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。

2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。

以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。

对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。

掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。

★专题1：对数的定义和运算法则 （1） 计算或化简① 642log ,3x x =-= ② log 86,x x == ③ 用x a log ，y a log ，z a log表示log a试一试：① 已知()234log log log 0x =⎡⎤⎣⎦,则x = ② 已知(10)2xf x =, 则(3)f =③ 33log 5log 15-=★专题2：两个恒等式（1） 证明：① log Na a N = ② log a NaN =（2） ① lg 0.01= ②((2log2=③ 已知0a >，234a =，则2log a = 试一试： ①2lg2(2log (710++-= ② 已知()6lg f x x =，则()10f =★专题3：换底公式（1） 证明对数的换底公式log log log c a c bb a=（2） 已知lg 2a =，lg3b =，则2log 12= 试一试：① 已知6log 16a =，则12log 54=② 已知18log 9,185,ba == 则36log 45=（3） 2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅=试一试：① 已知：2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m = （4） 已知21a b a <<<，比较2、log a b 、log b a 、2log ab a 的大小关系 （5） 利用换底公式证明下列公式：① log log 1a b b a = ② log log (0,1,0)m na a nb b a a b m=>≠> （6） 若3log 41x =，则44xx-+= 试一试：①② 已知23,abm ==且112a b+=，则m = ③ 设,,a b c 都是正数，且346a b c==，则22ab bc ac abc-++=（7） ① 4839(log 3log 3)(log 2log 2)++=②()2481632log 3log 9log 27log 81log 2439log ++++=试一试：①=② 已知偶函数()f x 在[]2,4上单调递减，比较12log 8f ⎛⎫⎪⎝⎭与3log 23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭③ 已知8log 3p =，3log 5q =，用,p q 表示lg 5 ④ 已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则xy的值为 ⑤(1lg 2lg 2x ++=★专题4：定义域和值域（1） 求函数()2lg 367y x x =-++的值域试一试：① 函数y =的值域为② 若函数()()132log 2log f x x =-的值域为(),0-∞，则它的定义域为（ ）A (),3-∞B ()0,3C ()0,9D ()3,9（2） 若()()2lg 1f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是试一试：若()()2lg 1f x mx mx =++的值域为R ，则m 的取值范围是 ★专题5：比较对数值的大小 （1） 比较下列各组数的大小关系2log 3 2log 5⇒2log 5 3log 5⇒2log 5 3log 4试一试：① 已知01, 1, 1a b ab <<>>，比较1log bb 、log a b 、1log a b② 已知21213log log log 0,01a a ax x x a +==><<，比较123,,x x x（2） 已知0.6log 0.8a =， 3.4log 0.7b =，1213c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较,,a b c 试一试：① 已知a bc ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） Ａ a b c << Ｂ c b a << Ｃ c a b << Ｄ b a c <<② 已知12010x <<，()20092010log a x =，20092010log b x=，()20092010log log c x =则（ ）Ａ a b c << Ｂ c b a << Ｃ c a b << Ｄ b a c <<★专题6：单调性与最值（1） 已知0a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值的差为12， 则a =试一试：已知函数()()log 1x a f x a x =++在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a =（2） 函数()22log 23y x x =--的单调递增区间是试一试：① 若()22log 3y x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，求a 的取值范围 ② 若()log 2a y ax =-在[]0,1上是增函数，求a 的取值范围 ★专题7：奇偶性 （1） 已知函数1log 1axy x-=+，则该函数为（ ） Ａ奇函数Ｂ偶函数Ｃ非奇非偶函数Ｄ 没有奇偶性试一试：① 已知函数)lgy x =，则该函数（ ）Ａ奇函数 Ｂ偶函数 Ｃ非奇非偶函数 Ｄ 没有奇偶性② 已知(log a y x =为奇函数，a = （2） 已知,,2a b R a ∈≠，定义在区间(),b b -内的函数()1lg12axf x x+=+是奇函数 ① 求b 的取值范围② 证明：()f x 在(),b b -内是减函数★专题8：对数方程相关问题（1） 解方程：()()224log 1log 15x x +++=试一试：解方程：()()122log 21log 222x x ++⋅+= （2） 解方程： lg 21000x x+=试一试：① 已知()12x f x a -=，()lg f a =a =② 已知,,0x y z >且lg lg lg 0x y z ++=，求111111lg lg lg lg lg lg y zx zy xx yz+++⋅⋅的值③ 若正数,a b 满足ln lg ba ab =，证明：1a =或1b =★专题9：对数不等式相关问题（1） 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是（2） 解不等式：()()1122log 32log 1x x ->+（3） 已知3log 14a<，则a 的取值范围是 试一试：① 已知2log 2log a a <，则a 的取值范围是② 解不等式：()log 21log 2x x x +>。

对数与对数运算题型及解析1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1）3﹣2=；（2）1og 9=﹣2；（3）1g0.001=﹣3；（4）102=100；（5）lna=b ；（6）73=343；（7）log 6=﹣2；（8）10x=25；（9）5x=6；（10）log 27=6；（11）lg5.4=x ；（12）lnx=3分析：本题考查指数式与对数式的互化，直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可 解：（1）3﹣2=；可得﹣2=1og 3．（2）1og9=﹣2；（）﹣2=9．（3）1g0.001=﹣3.0.001=10﹣3；（4）lg100=2；（5）e b =a ；（6）log 7343=3；（7）6﹣2=；（8）由10x =25，得lg25=x ；（9）由5x=6，得log 56=x ； （10）由log27=6，得；（11）由lg5.4=x ，得10x=5.4；（12）由lnx=3，得x=e 32.求下列各式中x 的值：（1）x=log4；（2）x=log 9；（3）x=7；（4）log=x ；（5）log x 16=；（6）4x=5×3x分析：根据对数的运算性质，换底公式及其推论，解对数方程，可得答案． 解：（1）x=log4===﹣4；（2）x=log 9==log 33=；（3）x=57log 17-=7÷57log 7=7÷5=； （4）（）x=，即x 213-=233-，即x 21-=23-，则x=3； （5）∵log x 16=∴，即x 2=163=46=（43）2； （6）∵4x=5×3x，∴，∴x=3.计算下列各题： （1）lg ﹣lg+lg； （2）lg25+lg2×lg50+lg 22 ；（3）log 2+log 212﹣log 242 ； （4）lg52+lg8+lg5•lg20+lg 22．分析：（1）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解．（2）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解 解：（1）lg﹣lg+lg =lg ﹣lg4+lg=lg （）=lg =．（2）lg25+lg2×lg50+lg 22=2lg5+lg2（2lg5+lg2）+lg 22=2lg5+2lg2lg5+2lg 22=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg5+lg2）=2lg 25+lg 2×lg 50+lg 22=2lg 5+lg 2（2lg 5+lg 2）+lg 22=2lg 5+2lg2lg5+2lg 22=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg 5+lg 2）=2 （3）log 2+log 212﹣log 242=log 2（×12×）=log 2（）=log 22﹣=﹣．（4）lg52+lg8+lg5•lg20+lg 22=2lg5+2lg2+lg5（1+lg2）+lg 22=2（lg5+lg2）+lg5+lg2（lg2+lg5）=2+lg5+lg2=3． 4.已知6a=8．试用a 表示下列各式：①log 68；②1og 62；③log 26 分析：利用指数与对数的互化，求解对数值即可 解：6a=8．可得a=log 68．①log 68=a ；②1og 62=log 68=；③log 26==5.用lgx ，lgy ，lgz 表示下列各式：（1）lg ；（2）lg分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解：（1）lg=lg （xy 3）﹣lgz=lgx+3lgy ﹣lgz ；（2）lg=lgx ﹣2lgy ﹣lgz6. ①已知log 185=a ，18b =3，试用a 、b 表示log 4512分析：先表示出b=log 183，利用对数的换底公式表示出log 4512 解：∵18b=3，∴b=log 183，∴log 4512=45181218log log =318518218318log 2log log 2log ++ ==②已知lgx+lgy=2lg （x ﹣2y ），求yx 2log的值分析：由题意得xy=（x ﹣2y ）2，x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，从而解得；解：∵lgx+lgy=2lg （x ﹣2y ），∴xy=（x ﹣2y ）2，解得，=1或=4，又∵x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，∴=4， 故yx2log=42log=4③已知log 147=a ，log 145=b ，用a 、b 表示log 3528 分析：根据换底公式，化简计算即可得到答案 解：log 147=a ，log 145=b ，∴log 3528====④已知6a=7，3b=4，求log 127的值．分析：利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出． 解：∵6a=7，∴log 67=a ，又3b=4，log 34=b ，∴b=2log 32．log 23=， ∴log 127=====7.解下列方程：（1）9x ﹣4•3x +3=0；（2）log 3（x 2﹣10）=1+log 3x分析：（1）由9x﹣4•3x+3=0，得到（3x﹣1）（3x﹣3）=0，解得即可，（2）由已知得到，解得即可解：（1）∵9x﹣4•3x+3=0，∴（3x﹣1）（3x﹣3）=0，∴3x=1或3x=3，∴x=0或x=1， （2）log 3（x 2﹣10）=1+log 3x=log 33x ，∴，解得x=58.已知2x =72y=A ，且，求A 的值分析：由2x=72y=A ，且，知log 2A=x ，log 49A=y ，故=log A 98=2，由此能求出 解：∵2x=72y =A ，且，∴log 2A=x ，log 49A=y ，∴=log A 98=2，∴A 2=98，解得A=7。

第五课： 对数与对数运算1、对数的定义：如果 a(a>0,a ≠1)的x 次幂等于N , 就是a=N ，那么数 x 叫做 a 为底 N 的对数，记作x=log a N ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（N > 0） 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN 例如：3log e 简记作ln3; 10log e 简记作ln102、指数与对数互化式：log x a a N x N =⇔=；3、对数恒等式：log a NaN =.4、基本性质：01log =a ，1log =a a .5、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N Ma a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a n a log log =. 6、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .7、重要公式：log log n ma a mb b n= 8、倒数关系：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a1.填空题：1、用对数形式表示下列各式中的x10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =61：＿＿＿＿2. （1） ，则；（2），则 ；（3），则；（4），则；（5） ；（6） ；（7）；(8) ；（9）；（10）；（11）； （12），则；（13） ，则 ；（14），则 ．3. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）. A. 3 B. 23 C. 22 D. 324. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15B ．15C ．±15D ．2255. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .6.已知c b a =2log ,则 ( ) A.c ab=2 B.b a c =2 C.a b c 2= D.b c a =27.2log 9log 38⋅的值为 （ ） A.32 B.1 C.23D.2 8.已知22log (1)2log (1)x x -=-+，则=x ．9．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________.10.已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ） （A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg 32（D ）1lg 2511．4log33的值是( ) A ．16 B ．4 C ．3 D ．212．若412xlog 3=，则x ＝_____________． 13．3log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．23D ．2 14．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。