专题训练：对数运算

专题 对数与对数函数（重难点突破）重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( ) A.2【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224答案：B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．（3）．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0【答案】D【解析】由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.（4）．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小） 例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设，则( )A ．B ．C ．D ． 【解析】， 由下图可知D 正确．【变式训练】．(1)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】 由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，所以，故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【解析】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，则2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；则(1,2)a ∈.故选：C. 【变式训练】．（1）判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(3)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【解析】（1） 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<∞)上递减， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (3)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2。

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·辽宁高考)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入已知得log m 2＋log m 5＝2， 即log m 10＝2，所以m ＝10. 答案：A2．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝125-＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a＜b .答案：C3．(2011·江苏四市联考)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )A.12、2B.12、4C.22、 2D.14、4 解析：f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )，及f (x )的单调性，知0<m <1，n >1，又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥32lg (3－x )，x <32，若方程f (x )＝k 无实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(－∞，lg 32)D ．(lg 32，＋∞)解析：在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，若两函数图象无交点，则k <lg 32.答案：C5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的大致图象是( )解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B6．(2011·石家庄模拟)已知函数f (x )＝log 2(a －2x)＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4. 法二：f (x )＝log 2(a －2x)＋x －2＝0，得a －2x＝22－x，a ＝2x＋42x ≥4.答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．2327－32log 2×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．12log 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19. 答案：198．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________．解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4. 答案：[0,4]9．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝3log 31()2+＝18×log 31()2＝18×121log 31()2＝18×13＝124. 答案：124三、解答题(共3小题，满分35分)10．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值； (2)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：(1)由log a 2＝m ，log a 3＝n 得a m ＝2，a n ＝3， ∴a2m ＋n＝a 2m ·a n ＝22×3＝12.(2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg(xy )，∴(x －y 22＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴(x y )2－6·xy ＋1＝0， ∴xy＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，从而xy ＝3＋22， xy＝1＋ 2. 11．(2011·金华模拟)设集合A ＝{x |2( x )2－21log 8x ＋3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x )＝log 2x 2a ·log 2x 42，求实数a 的值．解：∵A ＝{x |2(log 2x )2－7log 2x ＋3≤0}＝{x |12≤log 2x ≤3}＝{x |2≤x ≤8}，而f (x )＝(log 2x －a )(log 2x －2)＝(log 2x )2－(a ＋2)log 2x ＋2a ， 令log 2x ＝t ，∵2≤x ≤8，∴12≤t ≤3.∴f (x )可转化为g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋2a ，其对称轴为直线t ＝a ＋22， ①当t ＝a ＋22≤74，即a ≤32时，[g (t )]max ＝g (3)＝2⇒a ＝1，符合题意； ②当t ＝a ＋22>74，即a >32时，[g (t )]max ＝g (12)＝2⇒a ＝116，符合题意． 综上，a ＝1或a ＝11612．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x ≥m ，设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意，知只要F (x )min ≥m 即可． ∵F (x )在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．。

新高考数学复习考点知识提升专题训练(三十) 对数函数的性质及应用(一)基础落实1．(多选)若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A ．0<b <1 B ．0<a <1 C ．a >b D ．b >a >1解析：选ABC 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2，所以a >b . 2．若集合A ＝{}x |3x 2＋x －2≤0，则A ∩B ＝( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤23，1 C.⎝⎛⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，23解析：选D A ＝{}x |3x 2＋x －2≤0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤23， B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}＝{x |0＜2x －1≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ≤1， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ≤23. 3．已知函数y ＝log a (2－ax )在(－1,1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．[2，＋∞)解析：选C4．已知a ＝log 23，b ＝log 2e ，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞b ＞c解析：选D 因为函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 在定义域上单调递增，又3＞e ＞2，所以log 23＞log 2e ＞log 22＝1，所以a ＞b ＞1，ln e ＞ln 2，所以c ＜1，所以a ＞b ＞c .5．(多选)对于函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D ．f (x )没有最小值解析：选AD 对A 、B ，因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|x －2|＋1，所以f (x ＋2)＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1，又f (－x ＋2)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|－x |＋1＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1， 故f (x ＋2)为偶函数，故A 正确，B 错误． 对C ，因为f (x )＝当x ∈(2，＋∞)时，因为y ＝1x －2在x ∈(2，＋∞)为减函数，故y ＝1x －2＋1为减函数，所以y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋1在区间(2，＋∞)为减函数．故C 错误． 对D ，因为当x ∈(2，＋∞)时，y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋1为减函数．故当x →＋∞时，y →0.故f (x )没有最小值．故D 正确． 6．已知a ＝e－0.3，b ＝log 20.6，c ＝log 3π，则a ，b ，c 从大到小的顺序是________．解析：因为0＜e －0.3＜e 0＝1，log 20.6＜log 21＝0，log 3π＞log 33＝1，所以c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b7．设0<a <1，函数f (x )＝log a (2a x －2)，则使得f (x )<0的x 的取值范围为________．解析：由于y ＝log a x (0<a <1)在(0，＋∞)上为减函数，则2a x －2>1，即a x >32.由于0<a <1，可得x <log a 32.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，log a 32 8．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：由得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8) ＝ln[－(x －1)2＋9]， 设u ＝－(x －1)2＋9， 又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数， 因此f (x )的单调递减区间是(1,4)． 答案：(1,4)9．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4； (3)log 0.57，log 0.67；(4)log 31.25，log 20.8.解：(1)因为函数y ＝log 23x 是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.(3)因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5， 即log 0.67<log 0.57.(4)因为log 31.25>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 31.25>log 20.8. 10．已知函数f (x )＝log a (ax 2－x )． (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫12x 2－x ， 由12x 2－x ＞0，得x 2－2x ＞0，解得x ＜0或x ＞2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(－∞，0)， 减区间为(2，＋∞)．(2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上，对称轴为x ＝12a的抛物线，①当0＜a ＜1时，要使函数f (x )在区间[2,4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2,4]上单调递减，且g (x )min ＝ax 2－x ＞0，②当a ＞1时，要使函数f (x )在区间[2,4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2,4]上单调递增，且g (x )min ＝ax 2－x ＞0，综上可得，a ＞1.所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)．(二)综合应用1．设函数则满足不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＞2的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－23＋2578，＋∞B.⎝⎛⎦⎤78，1C.⎝⎛⎦⎤1，54D.⎝⎛⎭⎫78，＋∞ 解析：选D 由已知f (x )是R 上的增函数， 当x ＞1时，f (x )＞2，当x －14＞1，即x ＞54，不等式显然成立，当x ≤1时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＝4x －2＋4⎝⎛⎭⎫x －14－2＞2，x ＞78，所以78＜x ≤1， 当1＜x ≤54时，f (x )＝log 2(x ＋3)＞2，f ⎝⎛⎭⎫x －14＝4⎝⎛⎭⎫x －14－2＝4x －3＞0，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＞2成立，综上，满足不等式的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫78，＋∞. 2．(多选)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a ＞0，且a ≠1)，则( ) A ．函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1) B ．函数f (x )＋g (x )的图象关于y 轴对称 C ．函数f (x )＋g (x )在定义域上有最小值0 D ．函数f (x )－g (x )在区间(0,1)上是减函数解析：选AB ∵f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a ＞0，且a ≠1)， ∴f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，由x ＋1＞0且1－x ＞0得－1＜x ＜1，故A 对；由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )得函数f (x )＋g (x )是偶函数， 其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1＜x ＜1，∴f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0＜a ＜1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a ＞1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a ＞1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增， g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，D 错．故选A 、B.3．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．解析：因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，又b ＞a ＞0，所以lg a ＜0，即a ＜1，lg b ＞0，即b ＞1，所以0＜a ＜1＜b ，|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0，所以b ＝1a ，则a ＋2b ＝a ＋2a.令g (x )＝x ＋2x ，由对勾函数的性质知函数g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (a )＞1＋21＝3，即a ＋2b的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)4．已知f (x )＝log 12(x 2－ax －a )．(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝log 12(x 2＋x ＋1)． ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴log 12 (x 2＋x ＋1)≤log 1234＝2－log 23，∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23]． ∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上递减， 在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上递增，y ＝log 12x 在(0，＋∞)上递减，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又y ＝log 12u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．解得－1≤a ≤12.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 5．已知函数f (x 2－1)＝log mx 22－x 2(m ＞0，且m ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)解关于x 的不等式f (x )≥log m (3x ＋1)． 解：(1)x ＋11－x ＞0⇒(x ＋1)(1－x )＞0⇒－1＜x ＜1.f (x 2－1)＝log mx 22－x 2(m ＞0，且m ≠1)， 设x 2－1＝t ，则f (t )＝log mt ＋11－t(－1＜t ＜1)， 所以f (x )＝log m x ＋11－x (－1＜x ＜1)，f (－x )＝log m －x ＋11＋x ＝log m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11－x －1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． (2)3x ＋1＞0⇒x ＞－13.不等式f (x )≥log m (3x ＋1)，即f (x )＝log m x ＋11－x≥log m (3x ＋1)⎝⎛⎭⎫－13＜x ＜1.当m ＞1时：x ＋11－x ≥3x ＋1且－13＜x ＜1，解得x ∈⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1. 当0＜m ＜1时：x ＋11－x ≤3x ＋1且－13＜x ＜1，解得x ∈⎣⎡⎦⎤0，13. 综上所述：当m ＞1时，解集为⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1； 当0＜m ＜1时，解集为⎣⎡⎦⎤0，13.(三)创新发展(多选)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f (x )＝lg1－x1＋x为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是( ) A ．同学甲发现：函数的定义域为(－1,1)，且f (x )是偶函数 B ．同学乙发现：对于任意的x ∈(－1,1)，都有f ⎝⎛⎭⎫2xx 2＋1＝2f (x )C ．同学丙发现：对于任意的a ，b ∈(－1,1)，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋abD ．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x 1，x 2，总满足解析：选BC 对A ，f (x )＝lg 1－x 1＋x 定义域为1－x1＋x ＞0⇒(1－x )(1＋x )＞0，解得x ∈(－1,1)．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，故f (x )＝lg 1－x1＋x为奇函数．故A 错误．对 B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1＝lg 1－2x x 2＋11＋2x x 2＋1＝lg x 2－2x ＋1x 2＋2x ＋1＝＝2lg 1－x 1＋x＝2f (x )，又x ∈(－1,1)．故B 正确． 对C ，f (a )＋f (b )＝lg 1－a 1＋a ＋lg 1－b1＋b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝lg 1－a ＋b1＋ab 1＋a ＋b 1＋ab＝＝故f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab 成立．故C 正确． 对D ，f (0)＝lg 1－01＋0＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝lg 1－121＋12＝lg 13＜0，。

高考数学一轮考点扫描 专题09 对数与对数函数一、【知识精讲】 1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限. 二、【典例精练】 考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【答案】 (1)－20 (2)1【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.【解法小结】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1 【解析】 (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx －1，x >1，lg 1－x ，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示． 由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1. 【解法小结】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 角度1 对数函数的性质【例3－1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【答案】 C【解析】 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1).(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【答案】D【解析】 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【解法小结】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【思维升华】]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错注意点】]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 三、【名校新题】1. (2019·武汉月考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1 【答案】D【解析】 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )【答案】A【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.4.(2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2). ∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减. 5. (2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )【答案】D【解析】由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到. 因此选项D 正确.6.(2019·商丘二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞， ＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )【答案】A【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.7.(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．8. (2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】4,2【解析】 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 9.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.【答案】 (－1，0)【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.10.(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】-2【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1. 解得a ＝－12，不合题意.当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.11(2019·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【答案】{0}∪[2，＋∞)【解析】作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞).12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.【解析】 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5). 13.已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0恒成立， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

指数型、对数型函数模型的应用举例专题训练一、A组1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点2.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为()A.y=0.957 6x100 B.y=0.957 6100x C.y=(0.9576100)xD.y=1-0.042x1004.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则需经过的天数为()A.125B.100C.75D.506.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg(1-N90)中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若N=40,则t≈ .(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477).7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.8.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是9.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.10.经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足函数g(t)=80-2t,而且销售价格近似满足于f(t)={15+12t(0≤t≤10),25-12t(10<t≤20).(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.二、B组1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=a log2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ()A.300只B.400只C.600只D.700只2.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-303.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是()4.已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用作为拟合模型较好5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少需要清洗的次数是 .(lg 2≈0.301 0)6.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶的路程为km.7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.(精确到1)8.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离,试分别就y=a·e kx,y=ax n,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.指数型、对数型函数模型的应用举例专题训练答案一、A组1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点.答案:D2.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m解析:设隔墙长为x m,则矩形场地长为24-4x2=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.答案:A3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x,y之间的函数关系式为()A.y=0.957 6x100 B.y=0.957 6100x C.y=(0.9576100)xD.y=1-0.042x100解析:特殊值法,取x=100代入选项,只有A正确.答案:A4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析:设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案:B5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V=a ·e -kt .已知新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ,则需经过的天数为( )A.125B.100C.75D.50 解析:由已知得49a=a ·e-50k,即e-50k=49=(23)2.∴827a=(23)3·a=(e -50k)32·a=e -75k ·a , ∴t=75. 答案:C6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg (1-N90)中,t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字数.若N=40,则t ≈ .(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477). 解析:当N=40时,则t=-144lg (1-4090)=-144lg 59=-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 答案:36.727.某汽车在同一时间内速度v (单位:km/h)与耗油量Q (单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v 2-0.175v+4.27,则车速为 km/h 时,汽车的耗油量最少. 解析:Q=0.002 5v 2-0.175v+4.27=0.002 5(v 2-70v )+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5. 故v=35 km/h 时,耗油量最少. 答案:358.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是解析:从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.答案:①②9.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解:(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4.在△EDF中,EQPQ =EFFD,所以x-48-y=42.所以y=-12x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x(10-x2)=-12(x-10)2+50.又x ∈[4,8],所以当x=8时,S 取最大值48.所以当MP=8 m 时,矩形BNPM 的面积取得最大值,且为48 m 2.10.经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t (单位:天)的函数,且日销售量近似满足函数g (t )=80-2t ,而且销售价格近似满足于f (t )={15+12t (0≤t ≤10),25-12t (10<t ≤20).(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值. 解:(1)由已知得y=f (t )·g (t )={(15+12t)(80-2t )(0≤t ≤10),(25-12t)(80-2t )(10<t ≤20) ={-t 2+10t +1 200(0≤t ≤10),t 2-90t +2 000(10<t ≤20).(2)由(1)知,①当0≤t ≤10时, y=-t 2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225.该函数在区间[0,5]上递增,在区间(5,10]上递减,则y max =1 225(当t=5时取得),y min =1 200(当t=0或t=10时取得). ②当10<t ≤20时,y=t 2-90t+2 000=(t-45)2-25.该函数在区间(10,20]上递减,则y<2 000-800=1 200,y min =600(当t=20时取得). 由①②知,y max =1 225(当t=5时取得),y min =600(当t=20时取得).二、B 组1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y (单位:只)与引入时间x (单位:年)的关系为y=a log 2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ( )A.300只B.400只C.600只D.700只 解析:将x=1,y=100代入y=a log 2(x+1)得,100=a log 2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log 2(7+1)=300. 答案:A2.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨的价格为每吨Q 元,已 知P=1 000+5x+110x 2,Q=a+xb ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有( )A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30 解析:设生产x 吨产品全部卖出所获利润为y 元,则y=xQ-P=x (a +x b )−(1 000+5x +110x 2)=(1b -110)x 2+(a-5)x-1 000,其中x ∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y 取最大值,此时Q=40.∴{-a -52(1b -110)=150,a +150b =40,整理得{a =35-300b ,a =40-150b , 解得{a =45,b =-30.答案:A3.如图,点P 在边长为1的正方形边上运动,设M 是CD 的中点,则当P 沿A-B-C-M 运动时,点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y=f (x )的图象大致是( )解析:依题意,当0<x ≤1时,S △APM =12×1×x=12x ;当1<x ≤2时,S △APM =S 梯形ABCM -S △ABP -S △PCM=12×(1+12)×1-12×1×(x-1)-12×12×(2-x )=-14x+34; 当2<x ≤52时,S △APM =S 梯形ABCM -S 梯形ABCP=12×(1+12)×1-12×(1+x-2)×1 =34−12x+12=-12x+54.∴y=f (x )={ 12x (0<x ≤1),-14x +34(1<x ≤2),-12x +54(2<x ≤52).再结合题图知应选A. 答案:A4.已测得(x ,y )的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x 2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x ,y )的一组对应值为(3,10.2),则选用 作为拟合模型较好解析:对于甲:当x=3时,y=32+1=10,对于乙:当x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.答案:甲5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少需要清洗的次数是 .(lg 2≈0.301 0) 解析:设至少要洗x 次,则(1-34)x≤1100,∴x ≥1lg2≈3.322,所以至少需要洗4次.答案:46.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费);超过3 km 但不超过8 km 时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km 时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶的路程为 km . 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元,由题意可得,f (x )={8+1,x ∈(0,3],9+(x -3)×2.15,x ∈(3,8],9+5×2.15+(x -8)×2.85,x ∈(8,+∞),令f (x )=22.6,显然9+5×2.15+(x-8)×2.85=22.6(x>8),解得x=9. 答案:97.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比. (1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中,流量速率为400 cm 3/s .求该气体通过半径为r cm 的管道时,其流量速率R 的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.(精确到1) 解:(1)由题意,得R=kr 4(k 是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm 3/s,得k ·34=400,∴k=40081,故速率R 的表达式为R=40081·r 4. (3)∵R=40081·r 4,∴当r=5 cm 时,R=40081×54≈3 086(cm 3/s).118.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离,试分别就y=a ·e kx ,y=ax n ,y=ax 2+bx+c 三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h 时的刹车距离.解:若以y=a ·e kx 为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得{4=a ·e 10k ,18=a ·e 40k ,解得{k ≈0.050 136,a ≈2.422 8. ∴y=2.422 8e 0.050 136x .以此函数式计算车速度为90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.若以y=a ·x n为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得{4=a ·10n ,18=a ·40n ,解得{n ≈1.085,a ≈0.328 9.∴y=0.328 9x 1.085.以此函数关系计算车速度为90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.若以y=ax 2+bx+c 为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数式,得{4=a ·102+b ·10+c ,18=a ·402+b ·40+c ,34=a ·602+b ·60+c ,解得{a =1150,b =215,c =2.∴y=1150x 2+215x+2.以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它较符合实际情况.当x=120时,y=114 m .故当车速为120 km/h 时,停车距离为114 m .。

高考数学基础知识专题提升训练对数函数及其性质的应用[微体验]1．下列不等关系中，正确的是( ) A ．1.3－0.1>1.3－0.2 B ．0.7－0.3<0.70.2 C ．2－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5 D ．0.21.8>0.20.8A [因为y ＝1.3x 是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.] 2．函数y ＝log 12(2x ＋1)的值域为________.解析 ∵2x ＋1>1，函数y ＝log 12 x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12 (2x ＋1)<log 12 1＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．答案 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意得⎩⎨⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.答案 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是________．解析 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )是增函数． (1)解由x －1>0，得x >1.所以函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，值域为R . (2)证明 设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. 因为1<x 1<x 2，所以0<x 1－1<x 2－1.所以0<x 1－1x 2－1<1.所以lg x 1－1x 2－1<0，从而f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．[对应学生用书P 67]探究一 利用单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.解(1)y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log12 3＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3；当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.[方法总结]对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．[跟踪训练1]比较下列各组数的大小：(1)log a2.7，log a2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)当a＞1时，由函数y＝log a x的单调性可知log a2.7＜log a2.8；当0＜a＜1时，同理可得log a2.7＞log a2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log 0.37＜log 0.31＝0，log 97＞log 91＝0， ∴log 0.37＜log 97.探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解；②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)． [方法总结]常见的对数不等式有三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解． [跟踪训练2]解不等式：log a (x －4)＞log a (x －2)．解当a ＞1时，由⎩⎨⎧ x －4＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，无解．当0＜a ＜1时，由⎩⎨⎧x －4＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，得x ＞4.∴综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为∅； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为(4，＋∞)． 探究三 对数函数性质的综合应用(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝3|x | C ．y ＝lo g 3xD ．y ＝log 23x(2)已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)． ①求f (x )的定义域和值域； ②判断并证明f (x )的单调性．(1)D [y ＝x －1在定义域内不是单调函数；y ＝3|x |为偶函数；y ＝log 3x 既不是奇函数也不是偶函数，故A ，B ，C 均不正确．又∵log 23－x ＝log 2(3x )－1＝－log 23x ，log 23x 的定义域为R ，∴函数y ＝log 23x 为奇函数．令3x ＝t ，则y ＝log 2t .∵y ＝log 2t 与y ＝3x 在R 上都是增函数， ∴y ＝log 23x 在R 上为增函数．](2)解①由a >1，a －a x >0，即a >a x ，得x <1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[方法总结]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．解∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝log(1－x)的定义域为{x|x＜1}，a∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[对应学生用书P68]1．比较两个对数式大小的方法有以下几种(1)单调性法； (2)中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，loga x大于0，否则logax小于0.(3)分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．2．两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b的不等式可变形为log a f(x)＜b＝log a a b.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞a b；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b.若a>1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．3．形如y＝log a f(x)的函数的单调性首先要确保f(x)>0，当a>1时，y＝log a f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝ f (x )的单调性相反． 4．(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单．课时作业(二十七) 对数函数及其性质的应用[见课时作业(二十七)P 169]1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [ ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7.] 2．函数f (x )＝|log 12 x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aD [由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .]4．若log a 35<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)B [当a >1时，log a 35<0，满足题意，当0<a <1时，log a 35<1⇔log a 35<log a a ⇔0<a <35.]5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aC [ ∵f (x )为偶函数，∴2|x －m |－1＝2|－x －m |－1.∴|x －m |＝|－x －m |. ∴－x －m ＝m －x .∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1. ∴f (x )的图象关于y 轴对称且在[0，＋∞)上是增函数．又∵0＞log 0.53＞log 0.54＝－2，log 25＞log 24＝2,2m ＝0，∴c ＜a ＜b .]6．已知log 0.72m ＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________． 解析 ∵log 0.72m ＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0. 解得m ＞1. 答案 (1，＋∞)7．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12 ＝2，a ＝4.答案 48．解不等式2log a (x －4)＞log a (x －2)．解原不等式等价于⎩⎨⎧log a (x －4)2＞log a (x －2)，x －2＞0，x －4＞0.①当a ＞1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＞x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得x ＞6.②当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＜x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得4＜x ＜6.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(4,6)．9．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．解 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]， 得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋l og 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，即x＝3时，y max＝13.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>cD[a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，∴a>b>c.]2．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．解析∵－1≤log3x≤1，∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 33．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解(1)由3x－3>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为t ≥0.4．(拓广探索)已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)求函数g (x )的递减区间．解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，所以a ＝0或⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。

专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】【考点】1。

指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。

2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ． 在(0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减C ．y =的图像关于直线x =1对称D ．y =的图像关于点(1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又（),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ()f x R0.8221(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abca b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C()2l o g5a f =0.822l o g 5,l o g 4.1,2()l nl n (2)fx x x =+-()f x ()f x ()f x ()f x (2)l n (2)l n()fx x x f x -=-+=()f x 1x =112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--02x <<(0,1)[1,2)()f x x D ∀∈x D ∀∈()()fa x fb x +=-，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．3。

【2017高考全国卷文第8题】函数的单调递增区间是 A 。

B. C 。

D.【答案】D4。

【2015高考上海卷文第8题】 方程的解为 。

【答案】2【解析】依题意,所以， 令，所以,解得或， 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去； 当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。

专题5 新定义问题中考题型训练1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．5．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．6．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．9．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•德州）教材呈现以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．概念理解（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△F AC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：；（写出一个即可）应用拓展（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．①求证：∠BAC＝∠FEG；②求证：∠AHB＝90°．1．（2023•叙州区校级模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2B．C．﹣2或2D．22．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为．3．（2022•西湖区一模）已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（）A．y1＝x2+1，y2＝B．y1＝x2+1，y2＝2x﹣1C．y1＝x2﹣1，y2＝D．y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣14．（2022•平桂区一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（）A．8B．7C．6D．55．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为A（8，0），C（0，6）．把横，纵坐标均为偶数的点称为偶点．（1）矩形OABC（不包含边界）内的偶点的个数为．（2）若双曲线L：y＝上（x＞0）将矩形OABC（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有个．6．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．7．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为．8．（2022•武侯区校级模拟）对于给定△ABC内（包含边界）的点P，若点P到△ABC其中两边的距离相等，我们称点P为△ABC的“等距点”，这段距离的最大值称为△ABC的“特征距离”．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），动点M（m，3），连接OM，AM．则△OAM的“特征距离”的最大值为．9．（2022•金牛区模拟）射线AB绕点A逆时针旋转a°，射线BA绕点B顺时针旋转b°，0°＜a＜90°，0°＜b＜90°，旋转后的两条射线交点为C，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“﹣”，则称（a，﹣b）为点C关于线段AB的“双角坐标”，如图1，已知△ABC，点C关于线段AB的“双角坐标”为（50，﹣60），点C关于线段BA的“双角坐标”为（﹣60，50）．如图2，直线AB：y＝x+交x轴、y轴于点A、B，若点D关于线段AB的“双角坐标”为（﹣m，n），y轴上一点E关于线段AB 的“双角坐标”为（﹣n，m），AE与BD交点为F，若△ADE与△ADF相似，则点F在该平面直角坐标系内的坐标是．10．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．①求证：直线CA与⊙O相切；②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．11．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC 是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．12．（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．。

对数基础练习一、指对互化 (1)9132=-；(2)16412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(3)log 1327＝－3；(4)664log -=x(5)54＝625；(6)log 128＝－3；(7)3a ＝27；(8)log 101 000＝3.二、对数求值 (1)log 1381；(2)lg 0.001；(3)log )2 (5＋2)．(4)log 28；(5)log 919；(6)ln e ；(7)lg 1三、对数的性质及对数恒等式(1)log2(log 55)； (2)212； (3)2+22log 52＋log 25.(4)已知log 2()log 3(log 4x )＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值；(5)求3+31log 6－2+24log 3＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫193log 4.四、对数运算性质(1)log 2748＋log 212－12log 242；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.(3)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(4)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.五、对数方程的求解(1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )；(2)log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)；(3)(lg x )2＋lg x 3－10＝0.⑷lg x ＋lg(x ＋3)＝1．六、强化训练1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是2.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝3.若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x =4. 若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________5.计算lg 14－lg 25÷100-12＝________ 6.化简：log 212log 223＋log 234＋…＋log 23132＝________________ 7.设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5= 8.已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y = 9.若log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，则a b＝________. 10. ⎝⎛⎭⎫12.051log 4－＋－1＋log 0.54=11．求下列各式的值：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(2)1＋12lg 9－lg 2401－23lg 27＋lg 365；(3)lg 37＋lg 70－lg 3；(4)lg 22＋lg 5·lg 20－1. 12．(1)已知lg x ＋lg(2y )＝2lg(x －4y )，求log 2x y；(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108.对数换底公式练习题一、基本计算1.(log 29)·(log 34)=2.log 49log 43=3.log 23·log 34·log 42= 4．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________. 二、利用换底公式化简求值⑴log 1627log 8132 ⑵(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ⑶log 916·log 881 ⑷log 225·log 322·log 59三、利用换底公式解决条件求值问题(1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456(2)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值⑶已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645四、强化练习1．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为3．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是4．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3=5．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ 6．已知log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 2＝7．已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________8．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝__________.(用p ，q 表示)9．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________10．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．⑶12log 612－2log 6 2⑷1log4119＋1log 1513； ⑸log 43＋log 83lg 2lg 3。