证明柯西不等式的向量形式

二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。

柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。

下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。

接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。

然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。

因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。

柯西不等式几何证明柯西不等式几何证明引言：柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在几何、线性代数、概率统计等领域都有广泛的应用。

本文将通过几何证明的方式来阐述柯西不等式的相关概念和证明过程。

柯西不等式的几何证明，不仅能够帮助我们更深入地理解柯西不等式的背后原理，还能够拓展我们对数学的思维方式和几何直观。

本文将按照以下几个部分进行阐述：点乘的几何意义、柯西不等式的几何形式、几何证明的过程和结论总结。

一、点乘的几何意义在讨论柯西不等式之前，我们首先要了解点乘的几何意义。

对于向量a和b，它们的点乘表示a和b之间夹角的余弦值乘上它们的模的乘积，即a·b = |a||b|cosθ。

这一数值既能够表示两个向量之间的相关性，也可以用来衡量向量在同一方向上的投影的长度。

二、柯西不等式的几何形式柯西不等式的几何形式是说，对于任意的向量a和b，在空间中，它们的点乘的绝对值始终不大于它们的模的乘积。

换句话说，|(a·b)| ≤ |a||b|。

这一不等式表明，任意两个向量之间的夹角余弦的绝对值不会大于1，也即它们的夹角不会超过直角。

三、几何证明的过程下面我们通过几何证明来说明柯西不等式的正确性。

假设我们有两个非零向量a和b，它们的夹角为θ。

我们可以将这两个向量a和b放在同一个起点O处，并将它们延长至相同长度。

设向量a的终点为A，向量b的终点为B。

连接A和B，并在OA和OB上分别作垂线AC和BD。

根据三角形ACO和三角形BDO的特点，可以得到OC = |a|cosθ和OD = |b|cosθ。

由于余弦函数在[0,π]范围内是单调递减的，所以相应的角度θ由于是锐角，cosθ必然是正数。

因此，我们可以得到OC和OD的长度均为正数。

当OC和OD不重合时，作直线CE平行于OD，相交于CA与EB的延长线于点E。

此时，根据平行四边形OCEB的性质，可以得出OC + CE = EB + BO。

进一步可得|a|cosθ + CE = EB + |b|cosθ。

柯西不等式的证明_柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。

(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。

假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。

这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。

具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。

2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。

-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。

-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。

-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。

-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。

总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。

它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。

通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。

柯西不等式二维形式证明
柯西不等式是指对于任意实数集合A和B，有以下不等式成立：
（∑(a_i * b_i))^2 ≤ (∑a_i^2) * (∑b_i^2)
其中∑表示求和，a_i和b_i分别是A和B中的元素。

现在我们来证明柯西不等式的二维形式。

假设有两个二维向量
a=(a1,a2)和b=(b1,b2)。

根据柯西不等式的二维形式，我们有：
(a1*b1 + a2*b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)
我们将要证明这个不等式。

首先，假设a1,b1,a2,b2是任意实数。

我们可以通过将不等式两边展开后进行移项来开始证明。

展开不等式后，我们得到：
(a1^2 * b1^2 + 2*a1*b1*a2*b2 + a2^2 * b2^2) ≤ (a1^2 * b1^2 + a2^2 * b1^2 + a1^2 * b2^2 + a2^2 * b2^2)
接下来，我们可以通过移项将右侧的四项相加合并，并将左右两侧的相同项合并。

合并同类项后，不等式变为：
2*a1*b1*a2*b2 ≤ a1^2 * b2^2 + a2^2 * b1^2
我们注意到左侧是两个实数相乘的结果，右侧是两个实数平方的和。

由于(x+y)^2 ≥ 0对于任意实数x和y成立，我们可以推导出右侧是非负数。

因此，我们证明了柯西不等式的二维形式。

通过类似的推理，我们可以证明柯西不等式的多维形式。

证明柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.当且仅当ad bc =时，等号成立.证明：证法一：作差比较法证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n ⋅=<>，则||||||m n m n ⋅≤.∴ …..证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…【常见变式】（122||c d ac bd +≥+（222||||c d ac bd +≥+（3ac bd +. 【简单应用】例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++例2：设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11ba b a b a ++=+，有了)11)((b a b a ++就可以用柯西不等式了。

例3：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=.其它方法 （数形结合法）例4：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y 当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤.当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立 定理3：（二维形式的三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则2.一般形式的柯西不等式：定理：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ== ，则有cos αβαβθ⋅=⋅αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为ac bd +≤ 当且仅当,αβ 共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立.推论1ac bd ≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x y x y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++ 22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n == 的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式12n a a a n +++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >= 则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++ ，当且仅当123n a a a a ==== 或123n b b b b ==== 时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++ （1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++ （2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2.已知12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= ，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++ 证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++ 222222121121111k kx x x x x x -=-++++++++ 对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤ 因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,nb b b b n ≥≥≥≥ ，又因为222111123n>>>> ，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++ （乱序）32122223n b b b b n ≥++++ （倒序）111123n≥++++ 原命题成立，此题即为课后练习题5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。