2019.1西城区高一上学期期末数学(试题及答案)
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西城区高一上学期期末
数学 2019.1
试卷满分:150分考试时间:120分钟
A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分:100分
求的.
BD DB CD DC .已知,a b为单位向量,且⋅=-
a b,那么向量,a b的夹角是()
(A)向右平移
6个单位(B)向右平移
3
个单位
(C)向左平移π
6
个单位(D)向左平移
π
3
个单位
11.若1
cos 2
θ=-,且θ为第三象限的角,则tan θ=______.
12.已知向量(1,2)=a .与向量a 共线的一个非零向量的坐标可以是______.
13.如果π
tan()0(0)3
x x +=>,那么x 的最小值是______.
14.如图,已知正方形ABCD .若AD AB AC λμ−−→
−−→
−−→
=+,其中λ,μ∈R ,则
λ
μ
=______. 15.在直角坐标系xOy 中,已知点(3,3)A ,(5,1)B ,(2,1)P ,M 是坐标平面内的一点.
① 若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为______; ② 若2PA PB PM −−→
−−→
−−→
+=,则点M 的坐标为______.
16.设函数π()sin()3f x x ω=+.若()f x 的图象关于直线6
x π
=对称,则ω的取值集合是_____.
三、解答题:本大题共3小题,共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知(0,)2απ∈,且3
sin 5α=.
(Ⅰ)求π
sin()4
α-的值;
(Ⅱ)求2π
cos tan()24
α
α++的值.
18.(本小题满分12分)
函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示,其中0,0,||πA ωϕ>><.
(Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)求()f x 在区间[,]2
π
π上的最大值和最小值;
(Ⅲ)写出()f x 的单调递增区间.
19.(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)A -
,B ,(cos ,sin )C θθ,其中[0,]2
θπ
∈.
(Ⅰ)求AC BC ⋅的最大值;
(Ⅱ)是否存在[0,]2
θπ
∈,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求出θ的取值范围;若不
存在,说明理由.
B 卷 [学期综合]本卷满分:50分
1.若集合{|03}A x x =<<,{|12}B x x =-<<,则A B =_____. 2.函数21
()log f x x
=
的定义域为_____.
3.已知三个实数1
23a =
,b =,3log 2c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____.
4.里氏震级M 的计算公式为:0lg lg M A A =-,其中00.005A =是标准地震的振幅,A 是测震仪记
录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中,测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500,则此次地震的里氏震级为_____级;8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍.
5.已知函数21,2,(), 3.x x x c f x x c x -⎧+-⎪
=⎨<⎪⎩
≤≤≤
若0c =,则()f x 的值域是____;若()f x 的值 域是
1
[,2]4
-,则实数c 的取值范围是_____. 二、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分10分)
已知函数2()1
x
f x x =
-. (Ⅰ)证明:()f x 是奇函数;
(Ⅱ)判断函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明. 7.(本小题满分10分)
已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上,其中[2,0]a ∈-. (Ⅰ)若1a =-,求()f x 的最小值; (Ⅱ)求()f x 的最大值.
8.(本小题满分10分)
已知函数()f x 的定义域为D .若对于任意12,x x D ∈,且12x x ≠,都有12
12()()2()2
x x f x f x f ++<,则称函数()f x 为“凸函数”.
(Ⅰ)判断函数1()2f x x =与2()f x =是否为“凸函数”,并说明理由; (Ⅱ)若函数()2x f x a b =⋅+(,a b 为常数)是“凸函数”, 求a 的取值范围;
(Ⅲ)写出一个定义在1
(,)2
+∞上的“凸函数”()f x ,满足0()f x x <<.(只需写出结论)
数学试题答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. D
7. D
8. B
9.A 10.A
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
(2,4)(答案不唯一) 13.
2π
3
14.1
- 15.(6,3);(4,2) 16.{|61,}
k k
ωω=+∈Z 注:第15题每空2分.
三、解答题:本大题共3小题,共36分.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:因为
π
0,
2
α∈(),
3
sin
5
α=,
所以cosα=……………………2分4
5
=.……………………3分
所以
π
sin()cos)
4
ααα
-=-……………………5分
=.……………………6分(Ⅱ)解:因为
3
sin
5
α=,
4
cos
5
α=,
所以
sin
tan
cos
α
α
α
=……………………8分
3
4
=.……………………9分所以2
π1cos1tan
cos tan()
2421tan
ααα
α
α
++
++=+
-
……………………11分