考研数学强化班高等数学讲义汤家凤

汤家凤高等数学讲义15页例4
摘要：
一、题目与要求
二、分析
1.函数在x 趋近于1 时，分母趋近于0
2.分子可以写成(x - 1)(x - 2) 的形式
3.判断分子在x 趋近于1 时的极限是否存在
三、解答
1.分子在x 趋近于1 时的极限为-1
2.函数的极限存在
3.极限的值为-1
正文：
汤家凤高等数学讲义15 页例4 中，我们要求函数f(x) = (x^2 - 3x + 2)/(x - 1) 在x 趋近于1 时的极限。

首先，我们分析题目。

函数f(x) 在x 趋近于1 时，分母趋近于0，需要判断极限是否存在。

接着，我们将分子x^2 - 3x + 2 写成(x - 1)(x - 2) 的形式，当x 趋近于1 时，分子趋近于0。

由于分母x - 1 趋近于0，所以我们需要判断分子(x - 1)(x - 2) 在x 趋近于1 时的极限是否存在。

接下来，我们进行解答。

当x 趋近于1 时，分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1。

由于分母x - 1 趋近于0，而分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1，所以当x 趋近于1 时，函数f(x) 的极限存在。

最后，我们求得极限的值为-1。

汤家凤高等数学辅导讲义摘要：一、汤家凤高等数学辅导讲义的背景和特点1.汤家凤的高等数学辅导讲义在考研数学领域的地位和影响力2.讲义的内容和特点：全面、系统、深入、易懂二、汤家凤高等数学辅导讲义的主要内容1.基本概念和原理的讲解2.典型题型的归纳和解题方法的讲解3.注重基础，强化训练三、汤家凤高等数学辅导讲义的使用建议1.针对不同层次考生的使用建议2.与其他数学复习资料的配合使用建议3.复习策略和技巧的指导正文：汤家凤高等数学辅导讲义是考研数学领域的经典教材，受到了广大考生的青睐。

作者汤家凤老师拥有30 多年的考研数学辅导经验，对考研数学的考试方向和重点有着深刻的理解。

他的高等数学辅导讲义内容全面、系统、深入、易懂，不仅涵盖了所有考研数学知识点，还通过丰富的例题和讲解，使考生能够快速掌握解题方法和技巧。

讲义分为基础篇和提高篇两部分，其中基础篇注重概念和原理的讲解，帮助考生打牢基础；提高篇则针对典型题型进行归纳和解题方法的讲解，帮助考生提高解题能力。

此外，讲义还附有大量的练习题，供考生巩固所学知识。

针对不同层次的考生，汤家凤高等数学辅导讲义有着不同的使用方法。

对于基础较薄弱的考生，可以先从基础篇开始，逐章节学习，并完成相应的练习题；对于基础较好的考生，可以直接进入提高篇，强化训练。

当然，考生也可以根据自身的实际情况，有针对性地选择学习讲义中的部分内容。

在使用汤家凤高等数学辅导讲义的同时，考生还可以搭配其他数学复习资料，如教材、习题集、模拟题等，以提高复习效果。

同时，考生还需注意调整复习策略和技巧，如合理安排时间、分阶段复习、及时总结等，以期在考试中取得理想的成绩。

第一讲 极限与连续主要内容概括〔略〕 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； 〔2〕11lim 332+-=∞→k k nk n π；〔3〕∑=∞→+nk nn k k 1])1(1[lim ；2．求以下极限：〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； 〔2〕nn nn !lim∞→； 〔3〕∑=∞→++ni n ni n 1211lim。

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ；〔2〕nn n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求以下极限： 〔1〕()xx xcos 1120sin 1lim -→+；〔3〕)21ln(103sin 1tan 1lim x xx x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++；〔4〕21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→；〔2〕)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；〔3〕]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； 〔4〕)tan 11(lim 220xx x -→； 〔5〕203)3(lim xx xx x -+→； 〔6〕设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。

2．求以下极限：xx ex x x sin cos lim 3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。

此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。

汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。

汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。

特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。

若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

本书根据概率论与数理统计课程的教学要求及全国硕士研究生招生考试的数学考试大纲编写而成。

本书作者在高校从事概率统计教学工作接近三十年，指导全国硕士研究生招生考试数学（包括高等数学、线性代数、概率统计）复习二十六年，有极其丰富的教学经验。

本书理论体系清晰系统，原理讲解深入浅出、通俗易懂，重要考点把握精准。

使用本书可以帮助考生迅速掌握概率统计的理论架构，提高考生分析问题、解决问题的能力。

本书的主要特点有：1.对各章知识进行系统总结基本概念理解到位、理解原理和性质的内涵及使用方法，清晰易懂，层次分明。

关键知识点后添加必要的注解，使重点更加突岀，提高相应知识的深度和广度。

2.对各章基本题型及重要考点进行分类与高等数学和线性代数相比，概率统计的重要考点相对较少，本书将每章的重要考点以题型的形式总结出来，同时在各题型中安排各章的小考点，给出各种题型的规范解法和解题思路，方法力求简明扼要。

希望本书的出版能帮助考生在较短的时间内，系统掌握概率统计的基本理论、基本题型及解题方法，提高利用数学理论解决实际问题的能九轻松应对研究生入学考试的概率统计部分。

本书可作为高校概率统计课程配套的参考资料，也可作为成人教育、教师和科技工作者的参考用书，希望本书能成为广大读者的良师益友。

本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。

一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。

几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。

实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。

如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。

这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。

先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。

函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。

该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。

利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。

这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。

之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。

再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。

类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。

除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。

考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。

我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。

往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。

3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。

著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。

凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。

（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。

二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。

2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。

【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。

2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。

【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。

3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。

4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。

第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。

（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。

（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。

【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。