考研高数总复习Laplace变换(讲义)
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
A 1 A L [ f ( t )] s s s 1 e s 2 1 e
1 s 2 1 e
A s 1 coth 2s 2
(Re( s ) 0)
一般地, 若L [f (t)]=F (s), 则对于任何
可得:
L [e
at
k sin kt ] ( s a )2 k 2
五、延迟性质
若L [f (t)]= F( s), 又t<0时f (t)=0, 则对于任 一非负数t0, 有
st L [ f ( t )] e F s -1 st e F s f (t ) L
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L [e f ( t )]
0
e at f ( t ) e st d t
0
f (t )e
( s a )t
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、位移性质
上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得
L [e at f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
性质表明了一个象原函数乘以指数函数 eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 L k cos kt L 2 f ( t ) s L
考研高数总复习Laplace变换(讲义)
一、问题的提出 二、Laplace变换的概念
三、Laplace变换的存在定理
四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出 • 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
- st
k 2 Re s 0 2 s k
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
求周期性三角波
0t b t, f (t ) 2b - t , b t 2b
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0
0
f
- st
- st ,有 t e dt
L [ f ( t )]
f (t )e d t
[e- b t (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0
0
δ(t )e
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
1 s-k
1 所以 L [e ] (Re( s ) k ). s-k
kt
练习: 试求指数函数 f ( t ) e (k为实数)
- kt
的Laplace变换.
三、Laplace变换的存在定理 Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足: 1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, f ( t ) 的增长速度不超过某一 指数函数, 即存在常数 M 0 及 c 0 , 使得
三、Laplace变换的存在定理
四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出 • 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
- st
k 2 Re s 0 2 s k
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
求周期性三角波
0t b t, f (t ) 2b - t , b t 2b
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0
0
f
- st
- st ,有 t e dt
L [ f ( t )]
f (t )e d t
[e- b t (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0
0
δ(t )e
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
1 s-k
1 所以 L [e ] (Re( s ) k ). s-k
kt
练习: 试求指数函数 f ( t ) e (k为实数)
- kt
的Laplace变换.
三、Laplace变换的存在定理 Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足: 1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, f ( t ) 的增长速度不超过某一 指数函数, 即存在常数 M 0 及 c 0 , 使得
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换(The Laplace Transform)课件
L
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st
记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st
记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2
ch8 拉普拉斯变换讲课
拉
斯
使得函数在 t < 0 的部分补零(或者充零)；
变
换
(2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e t ( 0)，
使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来。
这样，就有希望使得函数 f (t) u(t) e t 满足 Fourier
变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
变
(6)
[
sin a
t
]
s2
a
a2
.
换 解 (6)
[ sin a t] 1 ( e jat es t dt e jat es t dt )
2j 0
0
1 ( [e jat ] [e jat ]) 2j
1( 2j s
1 ja
1) s ja
s2
.
15
第 四、几个常用函数的 Laplace 变换
八 章
(1)
[1] = [u(t) ] 1;
s
(4) [ ea t ] 1 ; sa
拉 (2) [ (t ) ] 1; 普
(5)
[ cosa t
]
s2
s
a2
;
拉 斯
(3)
[
tm]
m! sm1
Γ (m 1) sm1 ;
m! sm
[1]
m! sm1
.
14
第 四、几个常用函数的 Laplace 变换
八 章
(1)
[1] = [u(t) ] 1;
s
(4) [ ea t ] 1 ; sa
拉 (2t
Laplace讲解全
cm (s p)m
cm1 (s p)m1
c1
s p
cm
F
(s)
(s
p)m
s
p
cm1
1 1!
d ds
F(s)(s
p) m
s p
ck 1 (m k)
d (mk) ! d smk
F(s)(s p)m
s p
c1
1 (m 1)!
d (m1) ds m1
F(s)(s p)m
s p
f (t)
利用微分性质求 L[cos 2 t] ， 设f (t) cos2 t
则f ' (t) 2 cost( sin t) sin 2t
对上式两边取L变换：sF (s) f (0) 2 s2 22
f (t) cot2 t, f (0) 1. F(s) 1 [ 2 1] s s2 22 s2 2
0
f () Lim s
1
s0 (s 4)(s 3)
Lim
s
s0 s 2 7s 12
0
例：求
L1
(s
4 p)5
解：
L1
4 s5
？
L tn
m(m 1) m!
s n1
s n1
两边取
L1
即
L1
s
n!
n1
t
n
L1
1 s n1
tn n!
L1
1 s5
3. Laplace变换性质
一．线性性质
若 , 是常数，L[ f1(t) ]= f1 (s) ， L[ f2 (t) ]=F2 (s)
，则 L[f1 (t) f2 (t)]=F1 (s) F2 (s)
拉普拉斯变换讲义
•
i1 + 1V H 1F S(t=0) I1(s)
1Ω
+ 1/s -
sL S(t=0)
1/sC + uc(0-)/s 1Ω
I1(s) sL 1Ω + 1/sC 1/s Ia(s) S(t=0)
•
+ Ib(s) uc(0-)/s -
1Ω
•
运算法的解题步骤
•
拉普拉斯变换在工程学上的应用
使用傅立叶变换时存在的问题拉普拉斯逆变换的反演1利用拉氏变换的性质2有理分式反演法3利用卷积4使用留数5查表法拉氏变换的应用利用拉氏变换求解微分方程微分方程取拉氏变换像函数的代数方程解代数方程拉氏逆变换微分方程应用拉普拉斯变换法分析线性电路1运算法和相量法相量法把正弦量变换为相量复数从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程
•
相似定理
•
•
•
卷积定理
•
常见函数的拉斯变换
•
拉普拉斯逆变换
•
利用留数计算拉氏反演积分
•
•
拉普拉斯逆变换的反演
1、利用拉氏变换的性质
2、有理分式反演法
3、利用卷积
4、使用留数
5、查表法
•
•
•
拉氏变换的应用 利用拉氏变换求解微分方程
微分方程
取拉氏变换
像函数的代数 方程
解代数方程
一、拉普拉斯变换的历史背景
拉普拉斯变换是先在实际中应用，然后才经过严格论证的一 种方法。是由英国工程师赫维赛德19世纪末提出的，称为“算子 法”。后来人们在拉普拉斯的著作中找到了可靠的数学依据，进 行了严格的数学定义，取之名为拉普拉斯变换方法。
二、拉普拉斯变换的发展
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
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s2
k
k2
Re s
>
0
同理得余弦函数的Laplace变换
L
[cos kt]
s2t;
0
求周期性三角波
t,
f
(t
)
2b
-
t
,
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0 t b b t 2b
根据 F s f , 有t e-stdt 0
L [ f (t)] f (t)e-std t 0
f
(t)e-std t
e-2kbs
k0
当 Re(s) > 0 时
e-2kbs
k0
1 1 - e-2bs
从而
1
L [ f (t)] 1 - e-2bs
2b f (t )e-std t
0
1 1 - e-2bs
(1 - e-bs )2
1 s2
1 1 - e-bs 1
bs
s2 1 e-bs s2 tanh 2
0
s-k
0 s-k
所以 L [ekt ] 1 (Re(s) > k). s-k
练习:
试求指数函数 f (t ) e-kt 的Laplace变换.
(k为实数)
三、Laplace变换的存在定理
Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足:
1)在t 0的任一有限区间上分段连续;
2)当t时, 的f增(t)长速度不超过某一指数函
一、问题的提出 二、Laplace变换的概念 三、Laplace变换的存在定理 四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出
• 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
函数 f (t) 的Laplace变换式
二、Laplace变换的概念
•记 F(s) L [ f (t)], F(s) 称为 f (t)
作: 的Laplace变换.
若 F(是s) f的(tL) aplace变换,则称 f (t)
为 F(的s) Laplace逆变换.
记作: f (t ) L -1 [F (s)] .
• 的半平面内,
Re(s) > c
为解F析(s)函数.
求正弦函数 f (t) sin kt (k为实数)
的Laplace变换.
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [sin kt] sin kt e-std t 0
e- st s2 k2
-s sin kt
-
k cos kt
0
2b f (t)e-std t 4b f (t)e-std t
0
2b
2(k1)b f (t )e-std t 2kb
2(k1)b f (t ) e- std t
2 kb
k0
令t 2kb, 则
2(k 1)b f (t ) e- std t 2b f ( 2kb) e- s( 2kb)d
二、Laplace变换的概念
•对函数j(t)u(t)e取-btFobu>ri0er变换, 可得
Gb ()
j (t )u(t ) e-b te- jtd t
-
f (t ) e-(b j )td t f (t ) e- std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t).
求单位脉冲函数 δ(t )的Laplace变换.
根据 F s f t e-stdt , 利用性质: 0
-
f
t δ t dt
f
0， 有
L [ (t )] δ(t )e-std t 0
δ(t ) e- std t 0-
δ(t ) e- std t e-st 1
-
t0
四、周期函数的Laplace变换
数, 即存在常数 及 M, 使>得0 c 0
f (t ) Mect , 0 t
成立.
三、Laplace变换的存在定理
则 f t的 Laplace变换
F s
f
t e- st dt
0
•在半平面Re(s上) >一c 定存在, 右端的积分在
R•e(s) 上c1绝> c对收敛而且一致收敛, 并且在
求单位阶跃函数
u(t
)
0，t 1，t
>
0 0
的Laplace变换.
根据Laplace变换的定义, 有
L [u(t )] e- std t 0
这个积分在 Re s时>收0 敛, 而且有
e- std t - 1 e- st 1
0
s0s
所以 L [u(t)] 1 (Re(s) > 0).
设函数 f (t的) 周期为 T,即 f (t T) f (t)t > 0,
当 f (t) 在一个周期上是分段连续的,则
L
[
f
(t)]
1 1 - e-sT
s
求指数函数 f (t) ekt 的Laplace变换(k为实数).
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [ f (t )] ekte-std t e-(s-k )td t
0
0
这个积分在Re s时> k收敛, 而且有
e-(s-k )td t 1 e -(s-k )t 1
若再设
F(s)
Gb
s
-b
j
,
则得
F (s) f (t )e-std t 0
二、Laplace变换的概念 定义:
•设函数f (t当) 时t 有0定义, 而且积分
f (t)e-std t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 可写为
F (s) f (t)e-std t 0
2kb
0
e-2kbs 2b f ( )e-s d 0
而
2b f (t)e-std t b t e-std t 2b (2b - t)e-std t
0
0
b
因此
1 s2
(1 - e-bs )2
L [ f (t )] e-2kbs
2b f (t ) e- std t
0
k0
2b 0
的条件, 因而不存在Fourier变换.
因此, 首先将j(t)乘上单位阶跃函数 u(t), 这样t小于零
的部分的函数值就都等于零. 而大家知道在各种函数
中, 指数函数 e-bt (b>0) 的上升速度是最快的了,
因而 e-bt下降的速度也是最快的.
几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到 的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.