考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料

cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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(6) f (tan x)sec2 xdx
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m

第四章 不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形： （1sin x a t =； （2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）． （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】 【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰， 故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+． 【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++． 【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰． 解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =， 则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰， 故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是 （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

第四章 不定积分
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）

140 第四章 不定积分一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题.第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数.例如，因为,x R ∀∈(sin )cosx x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-，(arcsin )x '=arcsin x(1,1)-内的一个原函数.由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x .事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答.(原函数存在定理） 如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=.将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.不妨假设()F x 与()G x 是函数()f x 的任意两个原函数, 则有()()F x f x '=，()()G x f x '=.从而有(()())0F x G x '-=，即()()F x G x C -=.因此，()f x 的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说()f x 的原函数的全体可表示为()F x C +,其中C 为任意常数.据此，我们给出下述定义.在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰.其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义，如果()F x 为()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰ （C 为任意常数）.●●例1 因为 32()3x x '=，所以233d x x x C =+⎰.141●●例2 因为当0x >时，1(ln )x x '=；当0x <时，11[ln()]()x x x x ''-=-=-，所以1(ln ||)x x'=，因此有1d ln ||x x C x=+⎰.●●例3 设曲线过点2(e ,3)，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线 的方程.解 设所求曲线方程为()y f x =，其上任一点(,)x y 处切线的斜率为d 1d y x x=，从而 1d ln ||y x x C x==+⎰,由2(e )3f =，得1C =，因此所求曲线方程为ln ||1y x =+.在直角坐标系中，()f x 的任意一个原函数()F x 的图形我们称为()f x 的一条积分曲线，不定积分()d f x x ⎰在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿y 轴方向平移得到，它们在横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行.●●例4 一物体由静止开始作直线运动,t 秒末的速度是23t （m /s ）,问：(1)在3s 末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m 需多少时间？解 设物体的位置函数为()s s t =，则d ()d s v t t =，即2d 3d st t=，从而23d s t t =⎰=3t C +，由(0)0s =，得0C =，于是有3s t =.当3t =时,物体与出发点之间的距离3(3)27s t ==(m)； 当216s =时，6t =(s).由原函数与不定积分的概念可得：d()d ()d f x x f x x =⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰； ()d ()F x x F x C '=+⎰ 或 d ()()F x F x C =+⎰.由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数()f x 先积分再微分，作用互相抵消；对函数()F x 先微分再积分，其结果只差一个常数.二、基本积分表因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式．现将一些基本积分公式罗列如下，通常称之为基本积分公式表.(1) d k x kx C =+⎰ (k 为常数),(2) 1d 1x x x C μμμ+=++⎰ (1μ≠-), (3) d ln ||xx C x =+⎰, (4) 2d arctan 1xx C x =++⎰,(5) arcsin x C =+, (6) cos d sin x x x C =+⎰, (7) sin d cos x x x C =-+⎰, (8) 22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰, (9) 22d csc d cot sin xx x x C x==-+⎰⎰, (10)sec tan d sec x x x x C =+⎰,142 (11) csc cot d csc x x x x C =-+⎰, (12)e d e x x x C =+⎰, (13) d ln xxa a x C a=+⎰,(14)sh d ch x x x C =+⎰,(15) ch d sh x x x C =+⎰.以上公式可以联系求导公式记忆，且要求能够灵活运用.三、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到下列性质. 性质1 设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.证 因为([()()]d )()()f x g x x f x g x '±=±⎰，[()d ()d ]f x x g x x '±=⎰⎰[()d ][()d ]f x x g x x ''±⎰⎰=()()f x g x ±.由不定积分及原函数的定义，性质1得证.性质1可以推广到有限个函数的情形.性质2 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰. 证 与性质1的证明类似，从略.利用基本积分表和不定积分的两个性质，通过对被积函数作恒等变形，可以求出一些简单的不定积分，这种求积分的方法通常叫直接积分法.●●例5求解4133d 3x x xC C --=-+=+⎰.●●例6求5)d x x .解3225)d (5)d x x x x x =-⎰322d 5d x x x x =-⎰⎰532123x x C =-+3123x x C =-. 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.●●例7 求32(1)d x x x +⎰. 解 33222(1)331d d x x x x x x x x ++++=⎰⎰2313d x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ 211d 3d 3d d x x x x x x x=+++⎰⎰⎰⎰21133ln ||2x x x C x =++-+. ●●例8 求221d (1)x x x x x -++⎰.143解 22221(1)d d (1)(1)x x x x x x x x x x -++-=++⎰⎰211d d 1x x x x =-+⎰⎰ln||arctan x x C =-+. ●●例9 求23e d x x x ⎰.解 23e d xxx =⎰9e d xxx ⎰(9e)d xx =⎰(9e)ln(9e)x C =+23e 12ln3x xC =++. ●●例10 求2cot d x x ⎰.解 22cot d (csc 1)d x x x x =-⎰⎰2csc d d x x x =-⎰⎰cot x x C =--+.●●例11 求2cos d 2xx ⎰.解 2cos d 2x x ⎰1cos d 2x x +=⎰11d cos d 22x x x =+⎰⎰1(sin )2x x C =++.●●例12 设 1,1,()1,2,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩求()d f x x ⎰.解 因为当1x ≤时，()1f x x =+，即21()d ;2x f x x x C =++⎰当1x >时，()2f x x =，此时22()d f x x x C =+⎰.又因为()f x 的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以211lim 2x x x C -→⎛⎫++= ⎪⎝⎭221lim()x x C +→+ 从而有121112C C ++=+，即1212C C +=.记1C C =，则 22,1,2()d 1, 1.2x x C x f x x x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰由例12可知，当被积函数是一个分段连续函数时，它的原函数必定为连续函数，可以先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系，注意不定积分中只含有一个任意的常数.习 题 4-11.求下列不定积分：(1) 5d x -⎰； (2) 2(23)d x x x +⎰；(3) 221d (1)x x x x x +++⎰；(4) 2cot d x x ⎛⎫⎪⎭⎰；(5) 3102d x x x ⎰；(6) 2sin d 2xx ⎰；144 (7) cos2d cos sin xx x x+⎰；(8) 22cos2d cos sin xx x x⎰；(9) sec (sec tan )d x x x x -⎰； (10){}max ||,1d x x ⎰. 2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1cos 24x -是某同一函数的原函数.第二节 换元积分法应用不定积分的性质和基本积分公式只能计算出一些简单的函数的不定积分，对计算较复杂的函数的不定积分，根据函数的不同形式，需要一定的计算技巧.本节与下节所讲的换元积分法和分部积分法是计算不定积分最基本、最常用的两种方法.一、第一类换元积分法设函数()F u 为函数()f u 的原函数，即()()F u f u '=或()d ()f u u F u C =+⎰.如果()u x ϕ=，且()x ϕ可微，则d[()]()()()()[()]()d F x F u x f u x f x x xϕϕϕϕϕ''''===. 即[()]F x ϕ为[()]()f x x ϕϕ'的原函数，从而()()[()]()d [()][()][()d ]u x u x f x x x F x C F u C f u u ϕϕϕϕϕ=='=+=+=⎰⎰.因此有如下定理：设()f u 存在原函数，()u x ϕ=可微，则()[()]()d [()d ]u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰ (1) 公式(1)称为第一类换元积分公式.由此定理可见，被积表达式中的d x 也可以当作变量x 的微分来看待.如何应用公式(1)来求不定积分呢？为了求不定积分()d g x x ⎰，把它凑成如下的形式[()]()d f x x x ϕϕ'⎰，作代换()u x ϕ=，于是得()d f u u ⎰，若()d f u u ⎰=()F u C +，再代回原来的变量x ，就求得积分()d [()]g x x F x C ϕ=+⎰.由于在积分过程中，将()x ϕ'与d x 凑成d ()x ϕ，所以第一类换元积分法也叫凑微分法.●●例1 求2sin 2d x x ⎰. 解 令2u x =，有2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+⎰⎰⎰，将2u x =回代，得2sin 2d x x ⎰cos 2x C =-+.●●例2 求1d 12x x-⎰.145解 11111d (2)d (12)d 12212212x x x x x x x '=--=-----⎰⎰⎰11d(12)212x x=---⎰， 令12u x =-，得1d 12x x =-⎰111d ln ||22u u C u -=-+⎰1ln |12|2x C --+＝. ●●例3求x . 解x =2)d x x '--2)x =-- 令21u x =-，则xu =-1122d 2u u u C -=-=-+=-⎰1222(1)x C -+. 对换元法熟练后，可直接凑微分，省去换元、还原中间变量步骤. ●●例4 求22e d x x x ⎰.解 22e d x x x ⎰=22e ()d x x x '⎰222e d()e x x x C ==+⎰. ●●例5 求tan d x x ⎰.解 tan d x x ⎰=sin 1d d(cos )ln |cos |cos cos x x x x C x x=-=-+⎰⎰. 类似可求得cot d x x =⎰ln |sin |x C +. ●●例6 求221d (0)x a a x ≠+⎰.解 22222111111d d d arctan 11x x x x C a x a a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．类似地可求得arcsin xC a =+ (0)a >． ●●例7 求221d (0)x a x a ≠-⎰. 解 221111d d 2x x x a a x a x a ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111[d()d()]2x a x a a x a x a=--+-+⎰⎰ 1[ln ||ln ||]2x a x a C a =--++ 1ln ||x a C x a -=++. ●●例8求x . 解xx =⎰2=⎰C =-.●●例9 求x .146 解xarcsin x x =⎰21arcsin d(arcsin )(arcsin )2x x x C ==+⎰.●●例10求x .解x1221d (arctan )d(arctan )1x x x x ==+⎰322(arctan )3x C =+. ●●例11 求2ed 1e x xx +⎰. 解 2e d 1exx x +⎰21e d 1e xx x =⋅+⎰21d(e )1(e )x x =+⎰arctan(e )x C =+. ●●例12 求1d ln x x x ⎰.解 1d ln x x x ⎰111d d(ln )ln |ln |ln ln x x x C x x x=⋅==+⎰⎰.下面积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.●●例13 求csc d x x ⎰.解 11csc d d d sin 2sin cos 22x x x x x x x ==⎰⎰⎰=21d 2tan cos 22x x x ⎰1d tan 2tan 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰=ln |tan |2x C +，因为tan 2x =2sin 2sin 1cos 22csc cot sin sin cos 2x x x x x x x -===-，所以 csc d x x =⎰ln |csc cot |x x C -+.●●例14 求sec d x x ⎰.解 sec d x x ⎰ππcsc()d()22x x =++⎰ππln csc()cot()22x x C =+-++ln |sec tan |x x C =++.●●例15 求5cos d x x ⎰.解 5cos d x x ⎰=4cos cos d x x x ⋅=⎰4cos d(sin )x x =⎰22(1sin )d(sin )x x -⎰=24(12sin sin )d(sin )x x x -+⎰=3521sin sin sin 35x x x C -++.●●例16 求33tan sec d x x x ⎰.解 33tan sec d x x x ⎰22tan sec tan sec d x x x x x =⋅⎰22tan sec d(sec )x x x =⎰22(sec 1)sec d(sec )x x x =-⎰42(sec sec )d(sec )x x x =-⎰5311sec sec 53x x C =-+.147●●例17 求2cos d x x ⎰.解 21cos21cos d d [d cos2d ]22x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰ 11cos2d(2)sin 22424x x x x x C =+=++⎰. ●●例18 求4sec d x x ⎰. 解 4sec d x x ⎰=2222sec sec d sec d(tan )(tan 1)d(tan )x x x x x x x ⋅==+⎰⎰⎰31tan tan 3x x C =++. ●●例19 求24tan sec d x x x ⎰.解 24tan sec d x x x ⎰=222tan sec sec d x x x x ⋅⎰22tan sec d(tan )x x x =⎰22tan (tan 1)d(tan )x x x =+⎰42(tan tan )d(tan )x x x =+⎰5311tan tan 53x x C =++. ●●例20 求sin sin3d x x x ⎰.解 利用积化和差公式：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--，sin sin3d x x x ⎰1[cos4cos(2)]d 2x x x =---⎰11cos4d cos2d 22x x x x =-+⎰⎰ 11cos4d(4)cos2d(2)84x x x x =-+⎰⎰ 11sin 4sin 284x x C =-++. 二、第二类换元积分法有些积分采用前面所学的积分方法来计算很困难甚至无法计算，而要采用下面将要介绍的所谓第二类换元积分法来求积分.设()x t ϕ=是单调的可导函数，且()0t ϕ'≠.又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数，则有换元公式()d f x x ⎰1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰， (2) 其中1()t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.证 设[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()t Φ，记1[()]()x F x ϕ-Φ=，利用复合函数及反函数的求导法则，得d d ()d d tF x t xΦ'=⋅=1[()]()()f t t t ϕϕϕ'⋅'[()]()f t f x ϕ==， 即()F x 是()f x 的一个原函数.所以有()d ()f x x F x C =+=⎰1[()]x C ϕ-Φ+1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰公式(2)称为第二类换元积分公式. ●●例21求x (0)a >.148 解 令sin x a t =，ππ()22t -<<cos a t =，d cos d x a t t =，因此有cos cos d x a t a t t =⎰22cos d a t t =⎰21cos2d 2t a t +=⎰22sin 224a a t t C =++22sin cos 22a a t t t C =++ . 因为sin x a t =，ππ()22t -<<，所以sin x t a=，arcsin ,xt a =cos t =于是x21arcsin 22a x C a =+.●●例22求 (0)a >.解 令tan x a t =，ππ22t -<<sec a t =，2d sec d x a t t =，因此有2111sec d sec d sec ln |sec tan |a t t t t a txt t C C a===++=+⎰⎰ln |x C =+其中1ln C C a =-.为了把新变量t 还原为x 的函数，可以根据tan xt a=作辅助三角形，俗称小三角形还原法，如图4-1所示.●●例23求（0a >）.解 被积函数的定义域为x a >和x a <-两个区间，故在两个区间分别求不定积分.(1) 当x a >时，设πsec (0)2x a t t =<<，则tan a t ,且d sec tan d x a t t t =.故sec tan d sec d tan a t tt t ta t==⎰⎰ln(sec tan ).t t C =++为了把sec t 及tan t 换成x 的函数，依据sec xt a=作辅助三角形(图4-2)，得tan t =，所以，1ln x C a ⎛=+ ⎝⎭ln(,x C =+其中1ln .C C a =- (2)当x a <-时，令x u =-,那么u a >，由以上分析有(1ln u C=-=-++1ln(x C=--+1C=+(ln x C=-+，其中12ln.C C a=-综合以上(1)与(2)两种分析情况，把以上两个结果合起来，可写成ln|x C=+.sinx a t=去根号；当被积时，作代换secx a t=换tanx a t=去根号.时，为了去根号，还可用公式22ch sh1t t-=，采用双曲代换sh,chx a t x a t==来去根号.如例22中，可设shx a t=，==cha t，即可去根号.有些积分的计算可采用所谓的倒代换.●●例24求.解设1,xt=那么21d dx tt=-，于是21d t-==-(arcsin)t C=-±+1arcsin||Cx=-+.在本节的几个例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们也常被当作公式来使用，现罗列如下：（16）tan d ln|cos|x x x C=-+⎰, （17）cot d ln|sin|x x x C=+⎰, （18）sec d ln|sec tan|x x x x C=++⎰, （19）csc d ln|csc cot|x x x x C=-+⎰,（20）22d1arctanx xCa x a a=++⎰, （21）22d1ln2x x aCx a a x a-=+-+⎰, （22）arcsinxCa=+, （23）ln(x C=++, （24）ln x C=+.●●例25 求2d23xx x++⎰.解22d1d23212xxx x x x=+++++⎰⎰1)x=+，利用公式（20）便得2d23xCx x=++⎰.149150 ●●例26求解==利用公式（23）便得ln(1x C =+++ln(1x C =++.●●例27求解1d x ⎛⎫- ⎪=利用公式（22）便得21arcsin 3x C -=+. 习 题 4-21.填空：(1) 21d d()x x=;(2) 1d d()x x=;(3) e d d()x x =; (4) 2sec d d()x x =; (5) sin d d()x x =;(6) cos d d()x x =;d()x =;d()x =; (9) tan sec d d()x x x =;(10) 21d d()1x x =+;d()x =;(12) d d()x x =.2.求下列不定积分：(1) x ; (2)4ln d x x x⎰;(3) 12ed xx x ⎰;(4)23(e 2e 2)e d x x x x ++⎰;(5) ;(6)21ln d (ln )xx x x +⎰;(7) 1d ln lnln x x x x ⎰;(8)1d e ex xx -+⎰;(9) x ; (10) 32d 3x x x+⎰;151(11) x ;(12) 21d 2x x x --⎰;(13) 2sin ()d t t ωϕ+⎰;(14) x ;(15) ln cot d sin 2xx x⎰;(16) x ;(17) 4cos d x x ⎰;(18)x ; (19)3cos d x x ⎰(20)arccos xx ;(21)x(22)x ; (23)35sin cos d x x x ⎰ (24)35tan sec d x x x ⎰; (25)cos5sin 4d x x x ⎰; (26)34tan sec d x x x ⎰;(27)x; (28)x(29)；(30)x ;(31)2x ; (32)21d 323x x x ++⎰(33)x ;(34)x第三节 分部积分法前面一节我们利用复合函数的求导法则得到了换元积分法，利用它可以求出一些函数的积分，但是对于形如e d x x x ⎰、ln d x x x ⎰、sin d x x x ⎰等的积分，用直接积分法或换元积分法都无法计算. 这些积分的被积函数都有共同的特点，即都是两种不同类型函数的乘积，这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.设函数()u u x =、()v v x =具有连续导数，则有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 两端求不定积分，得()()()()d ()()d u x v x u x v x x u x v x x ''=+⎰⎰，移项得 ()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ''=-⎰⎰， 或()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，152 为方便起见，简记为d d u v x u v vu x ''=-⎰⎰ (1) 或d d u v u v v u =-⎰⎰ (2) 公式(1)或(2)称为不定积分的分部积分公式.当()()d u x v x x '⎰不容易积分，但()()d u x v x x '⎰容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的()()d u x v x x '⎰计算出来. ●●例1 求sin d x x x ⎰.解 令u x =，sin (cos )v x x ''==-，代入分部积分公式得sin d d(cos )x x x x x =-⎰⎰cos cos d x x x x =---⎰cos sin x x x C =-++.值得注意，如在例1中，若是令sin u x =，22x v x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭，代入分部积分公式得2sin d sin d()2x x x x x =⎰⎰22sin d(sin )22x x x x =-⎰22sin cos d 22x x x x x =-⎰.上式最后一个积分比原来的积分还复杂，由此可知，若u v 、的选取不当，可能使积分计算很复杂甚至计算不出来. ●●例2 求2e d x x x ⎰.解 22222e d d(e )e e d()e 2e d x x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰22e 2de e 2(e e d )x x x x x x x x x x =-=--⎰⎰2e 2e 2e .x x x x x C =-++从例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）函数乘积或是幂函数与指数函数乘积，分部积分时，取幂函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例3 求ln d x x x ⎰.解 22211ln d ln d()ln d(ln )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰()22222111ln d ln 22211ln .24x x x x x x x C x x x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=-+⎰ ●●例4 求arctan d x x x ⎰.解 22211arctan d arctan d()arctan d(arctan )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰ 222221arctan d 2111arctan 1d 21x x x x x x x x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰153()21arctan arctan 2x x x x C =-++. 从例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，分部积分时，取对数函数或反三角函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例5 求arcsin d x x ⎰.解 arcsin d x x ⎰arcsin d(arcsin )x x x x =-⎰arcsin x x x =-21arcsin )2x x x =+-arcsin x x C =.●●例6 求ln d x x ⎰.解 ln d x x ⎰ln d(ln )x x x x =-⎰1ln d x x x x x=-⋅⎰ln d x x x =-⎰ln x x x C =-+.从例5和例6可以看出，当某些被积函数（如对数函数、反三角函数）是单个函数时，可选v x =直接用分部积分法求积分. ●●例7 求e sin d x x x ⎰.解 e sin d sin de e sin e d(sin )x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin e cos d e sin cos d(e )e sin [e cos e d(cos )]e sin e cos e sin d ,x x x x xxxx x x x x x x x x x x x x x x =-=-=--=--⎰⎰⎰⎰因此得 1e sin d e (sin cos )2x x x x x x C =-+⎰.●●例8 求3sec d x x ⎰.解 3sec d sec d tan sec tan tan d(sec )x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2233s e c t a n t a n s e c d s e c t a n (s e c 1)s e c d s e c t a n s e c ds e c ds e c t a n l n |s e ct a n |s e cd ,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=--=-+=++-⎰⎰⎰⎰⎰因此得()31sec d sec tan ln |sec tan |2x x x x x x C =+++⎰ ●●例9 求22d ()n nxI x a =+⎰（n 为正整数）.解 用分部积分法，当1n >时，有154 222122122d 2(1)d ()()()n n n x x x n x x a x a x a --=+-+++⎰⎰22212212212(1)d ()()()n n n x a n x x a x a x a --⎛⎫=+-- ⎪+++⎝⎭⎰， 即2112212(1)()()n n n n xI n I a I x a ---=+--+, 于是122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤=+-⎢⎥-+⎣⎦. 以此作递推公式，并由11arctan xI C a a=+，即可得n I .在积分过程中，有时分部积分法与其他方法结合使用，会更加容易积分. ●●例10求x ⎰.解 令t =，则 2x t =，d 2d x t t =，因此e 2d 2e d 2de 2(e e )t t t t t x t t t t t t C ====-+⎰⎰⎰⎰1)C =+.习 题 4-3求下列积分： （1） sin 2d x x x ⎰； （2） e d x x x -⎰； （3） 2ln d x x x ⎰； （4） arccos d x x ⎰； （5） 2cos d x x x ⎰； （6） e sin 2d x x x -⎰； （7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰； （9）x ；（10）23e d x x x ⎰； （11）cosln d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.第四节 几种特殊类型函数的积分我们已知道，任何一个初等函数的导数仍为初等函数，而相当多的初等函数虽然也存在原函数，但它们的原函数却不是初等函数，也就是通常说的“这个不定积分积不出来”.例如，sin d x x x ⎰， 2sin d x x ⎰，2e d x x -⎰.这些不定积分都积不出来.下面再举几个著名的积不出来的不定积分：x ，2d (1sin )x k x +⎰(01)k <<.155分别称为第一、二、三种椭圆积分.它们是在计算椭圆弧长时碰到的，故由此而得名.法国数学家刘维尔(Liouville)曾证明了它们的积分不能用初等函数表示，故积不出来.下面介绍几类特殊类型函数的不定积分.一、有理函数的积分形如10111011()()n n n nm m m ma x a x a x a P x Q xb x b x b x b ----++++=++++ （1）的函数称为有理函数.其中012,,,,n a a a a 及012,,,,m b b b b 为常数，且00a ≠，00b ≠.如果（1）式中多项式()P x 的次数n 小于多项式()Q x 的次数m ，则称此分式为真分式；如果多项式()P x 的次数n 大于或等于多项式()Q x 的次数m ，称分式为假分式.利用综合除法（带余除法）可得，任意一个假分式可转化为多项式与真分式之和.例如：422212111x x x x x x +++=-+++, 因此，我们只需研究真分式的积分.根据多项式理论，任一多项式()Q x 在实数范围内能分解为一次质因式和二次质因式的乘积，即220()()()()()Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++(2)其中2240,,40p q r s -<-<.如果(1)的分母多项式分解为(2)式，则(1)式可分解为如下部分分式之和：121211()()()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x b βαααββ--=+++++++++------11222212()()()M x N M x N M x N x p x q x p x q x p x qλλλλ-++++++++++++++ 11222212()()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s μμμμ-+++++++++++++(3)其中,,,,,i i i i i A B M N ,R 及i S 均为常数.例如 22221(1)(1)(1)x x x x x ++++1A x =+21A x +32(1)A x +++1121M x N x ++2221M x N x x ++++3322(1)M x N x x ++++. 把真分式写成部分分式的代数和时，每个k 重因子（一次或二次）一定要有k 项；每个一次因子所对应的部分分式分子是常数，每个二次质因式所对应的分式的分子是一次因式，含两个常数，分式中的常数可以用“待定系数法”或“赋值法”来确定.我们用具体例子来说明.●●例1 将真分式232(1)(2)x x x ++-分解为最简分式.解 设 231213232(1)(2)1(1)(1)2A A AB x x x x x x x +=++++-+++-,通分整理后，有156 ********(2)(1)(2)(1)(2)(1)x A x A x x A x x B x +=-++-++-++(4)3211213211()(3)(33)A B x A B x A A A B x =++++--+3211(222)A A A B +---+比较两端同类项系数，得方程组1121321132110313302222A B A B A A A B A A A B +=⎧⎪+=⎪⎨--+=⎪⎪---+=⎩解得 129A =-, 213A =, 31A =-, 129B =.或者在（4）式中应用赋值法，更简单些. 令1x =-，得 333A =-，31A =-.令2x =, 得 1627B =，129B =.令0x =, 得 32112222A A A B =---+.(5) 令1x =, 得 32113248A A A B =---+.(6)联立(5)与(6)式, 得129A =-，213A =，于是232322112(1)(2)9(1)3(1)(1)9(2)x x x x x x x +=-+-++-+++-.●●例2 求22d 23x x x x -++⎰.解 由于分母已为二次质因式，而且分子可写为12(22)32x x -=+-21(23)32x x '=++-，于是22222221(22)322d d 23231(23)d d 3223231d(23) 3223x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x +--=++++'++=-++++++=-++⎰⎰⎰⎰⎰21ln(23)2x x C =+++. ●●例3 求44d 1x x -⎰.解 因为4241121111x x x x =----++，所以 424112d d 1111x x x x x x =----++⎰⎰2112d d d 111x x x x x x=---++⎰⎰⎰1572112d(1)d(1)d 111x x x x x x=--+--++⎰⎰⎰1ln 2arctan 1x x C x -=-++. 由上面的例子可知，把真分式分解为部分分式的代数和，并用待定系数法或赋值法求出分解式中的常数后，求有理函数的不定积分，可归结为求下列部分分式的不定积分A x a -，()kA x a -，2()k Mx N x px q +++ 前两类函数的不定积分我们都能求.关键是第三类函数的不定积分，下面讨论它的计算.把分母中的二次质因式配方，得22224p p x px q x q ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭，令2p x t +=，则d d x t =，并记222x px q t a ++=+，Mx N Mt b +=+，其中224p a q =-，2Mpb N =-，于是有 22222d d d ()()()n n n Mx N Mt t b tx x px q t a t a +=+++++⎰⎰⎰，当1n =时，有222222d d d 2ln()arctan .2Mx N Mt t b tx xpx q t a t a px M bx px q C aa +=++++++=++++⎰⎰⎰ 当1n >时，有222122d d ()2(1)()()n n n Mx N M tx b x px q n t a t a -+=-+++-++⎰⎰， 上式最后一个积分的求法见本章第三节例9.总之，有理函数的积分，理论上总可以积出来，它的原函数是初等函数，即有理函数的积分是初等函数.●●例4 求2221d (22)x x x x +-+⎰. 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为2222221(22)(21)(22)(22)x x x x x x x x +-++-=-+-+222121.22(22)x x x x x -=+-+-+ 现分别计算部分分式的不定积分如下：122d d(1)arctan(1).22(1)1x x x C x x x -==-+-+-+⎰⎰158222221(22)1d d (22)(22)x x x x x x x x --+=-+-+⎰⎰222d(22)(22)x x x x -+=+-+⎰22d(1)(1)1x x -⎡⎤-+⎣⎦⎰2221d(1)22(1)1x x x x --=+-+⎡⎤-+⎣⎦⎰， 令1x t -=, 由递推公式,求得22d(1)(1)1x x -=⎡⎤-+⎣⎦⎰2222d 1d (1)2(1)21t t t t t t =++++⎰⎰ 2211arctan(1).2(22)2x x C x x -=+-+-+ 于是得到2222133d arctan(1)(22)2(22)2x x x x C x x x x +-=+-+-+-+⎰，其中12C C C =+. 二、可化为有理函数的积分举例由函数()u x 、()v x 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于()u x 、()v x 的有理式，并用((),())R u x v x 来表示. 例如，(sin ,cos )d R x x x ⎰是关于sin x 、cos x 的有理式的不定积分.通过代换tan 2xu =（ππx -<<），可把这种类型的积分化为以u 为变量的有理函数的积分，因为22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x x x x u ====+++ 2222222222cos sin 1tan 1222cos cos sin ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x u ---=-===+++22d d(2arctan )d 1x u u u==+. 所以 2222212d (sin ,cos )d (,)111u u uR x x x R u u u -=+++⎰⎰. ●●例5 求1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰. 解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+，159因此得22222211sin 2111d d (2)d sin (1cos )1221111ux u x u u u x x uu u u u u +++=⋅=++++⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 21(2ln ||)22u u u C =+++211tan tan ln |tan |42222x x xC =+++.●●例6 求cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+， 因此得2221cot 22d d 21sin cos 11111u x u x u u u x x u u u -=⋅-+++++++⎰⎰1111d (d d )(ln ||)222u u u u u u C u u -==-=-+⎰⎰⎰1(ln tan tan )222x xC =-+. 一些简单的无理函数的积分可以通过变量代换化为有理函数的积分. ●●例7求解u =，得 32x u =-，2d 3d x u u =，代入得2223111d 3d 31d 111 3(ln |1|)2u u u u u u u u u uu u C-+⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭=-+++⎰⎰⎰3ln |1C =+. ●●例8 求.解令16t x =，得5d 6d x t t =，代入得2563226d 1116d 6d ()1t t t t t tt t t t t t ⋅⎛⎫===-⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰6[ln ln(1)]ln 1)t t C x C =-++=-+.●●例9 求x .解 t =，则2211t x t-=+,224d d (1)t x t t -=+；代入得160 x 2224d (1)(1)t t t t -=-+⎰2222d 11t t t ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭⎰1ln2arctan 1t t C t -=+++C =+.例8、例9式为u ，这样的变换具有反函数，且反函数为有理函数，从而可将原积分化为有理函数的积分.习 题 4-4求下列不定积分：（1）3d 1x x x -⎰；（2）5438d x x x x x +--⎰； （3）2222213d (2)(1)x x x x x ++-+⎰； （4）226114d (1)x x x x x -+-⎰； （5）32d 1xx x x x -+-⎰； （6）2dx⎰；（7）x ； （8）x . 第五节 积分表的使用通过前面的讨论可以看出，积分的计算要比导数的计算显得更加灵活、复杂，我们会遇到更多不同类型的不定积分的计算问题，为了应用上的方便，把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果. 本书末附录4是一份简单的积分表，可供查阅.●●例1 求2d (1)xx x +⎰. 解 被积函数含有a bx +，在积分表（二）中查得公式（4）()221d ln x a x a bx C b a bxa bx ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭+⎰， 现在1a =，1b =，于是21d ln 1(1)1x x x C x x =+++++⎰.●●例2求.解这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换.令2x u=2ux=，dd2ux=，于是1d2u==⎰34）1Ca=-+，现在2a=，x相当于u，于是有12C=-，再把2u x=代入，最后得到12C=.●●例3 求4sin d x x⎰.解在积分表（八）中查到公式（50）12sin cos1sin d sin dnn nx x nx x x xn n---=-+⎰⎰，现在4n=，于是有342sin cos3sin d sin d44x xx x x x=-+⎰⎰，对积分2sin d x x⎰，利用公式（48），得21sin d sin224xx x x C=-+⎰，从而所求积分为34sin cos31sin d sin24424x x xx x x C⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭⎰.一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分法来计算比查表更快些，例如23sin cos dx x x⎰，用变换sinu x=很快就可得到结果，所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更快捷的方式.习题4-5利用积分表计算下列不定积分：（1）；（2）3ln d x x⎰；（3）221d(1)xx+⎰；（4）；161162 （5）x x ⎰； （6）（7） 6cos d x x ⎰；（8）2e sin3d x x x -⎰.第六节 数学模型●●例 (石油的消耗量)近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07. 1970年初，消耗率大约为每年161亿桶.设()R t 表示从1970年起第t 年的石油消耗率，则0.07()161e t R t =(亿桶).试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量.解 设()T t 表示从1970年起(0t =)直到第t 年的石油消耗总量.我们要求从1970年到1990间石油消耗的总量，即求(20)T .由于()T t 是石油消耗的总量，所以()T t '就是石油消耗率()R t ,即()()T t R t '=，那么()T t 就是()R t 的一个原函数.0.070.070.07161()()d 161e d e 2 300e 0.07t tt T t R t t t C C ===+=+⎰⎰. 因为 (0)0T =，所以， 2 300C =-，得 0.07() 2 300(e 1)t T t =-.从1970年到1990年间石油的消耗总量为：0.0720(20) 2 300(e 1)7 027T ⨯=-≈（亿桶）.第七节 数学实验利用Matlab 软件中的函数int 可以对不定积分进行符号计算，其调用格式和功能如下说明：在初等函数范围内，不定积分有时是不存在的，也就是说，即使()f x 是初等函数，但是不定积分()d f x x ⎰却不一定是初等函数.例如，2e x -，sin xx ，e x x，1log a x 是初等函数，而2ed x x -⎰，sin d x x x ⎰，e d xx x⎰，1d log a x x ⎰却不能用初等函数表示出来.比如，输入程序： >> syms x>> F=int(sin(x)/x) 运行后屏幕显示：F =sinint(x)其中sinint(x)是非初等函数，称作积分正弦函数.在使用int 函数求不定积分时，读者要注意这种情况.●●例1 求2sin dx x x⎰.解用符号积分命令int计算此积分，Matlab程序为>> syms x；>> int(x^2*sin(x))结果为ans =-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) 如果用微分命令diff验证积分正确性，Matlab程序为>> diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans =x^2*sin(x)●●例2 求下列函数的一个原函数：（1）；（2）sec(sec tan)x x x-；（3）11cos2x+；（4（5）2arctanx x；（6）223310xx x++-解（1）相应的Matlab程序为>> clear all；>> syms x；>> f=x*sqrt(x)；>> int(f,x)结果为ans =2/5*x^(5/2)；（2）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=sec(x)*(sec(x)-tan(x))；>> int(f,x)结果为ans =sin(x)/cos(x)-1/cos(x)；（3）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=1/(1+cos(2*x))；>> int(f,x)结果为ans =1/2*tan(x)；（4）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=log(x+1)/sqrt(x+1)；>> int(f,x)结果为ans =2*log(x+1)*(x+1)^(1/2)-4*(x+1)^(1/2)；（5）相应的Matlab程序为163164 >> clear all >> syms x ；>> f=x^2*atan(x)； >> int(f,x)结果为ans =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)；（6）相应的Matlab 程序为 >> clear all >> syms x ；>> f=(2*x+3)/(x^2+3*x-10)； >> int(f,x)结果为ans =log(x^2+3*x-10).●●例3 设曲线通过点(1,2)，且其切线的斜率为2329x x +-，求此曲线的方程并绘制其图像.解 设所求的曲线方程为()y f x =，根据题意，2329y x x '=+-，所以2d (329)d y y x x x x '==+-⎰⎰相应的Matlab 程序为 >> syms x C ；>> f=3*x^2+2*x-9； >> F=int(f)+C ； >> y=simple(F)结果为y =x^3+x^2-9*x+C.即斜率为2329x x +-的曲线方程为329y x x x C =+-+.又因为曲线通过点(1,2)，代入曲线方程，得9C =.于是，所求曲线方程为3299y x x x =+-+. 作曲线图，输入程序 >> clear>> x=-5:0.1:5； f=3*x.^2+2*x-9；y=x.^2+x.^3-9*x+9； >> x0=1；y0=2；>> plot(x0,y0,'ro',x,f,'g*',x,y,'b-') >> grid>> legend('点(1,2)','函数f=3x^2+2x-9的曲线','函数f=3x^2+2x-9过点(1,2)的积分曲线')运行结果如图4-3.函数2329f x x =+-过点(1,2)的积分曲线图4-3165本章复习题A一、填空1. 已知()F x 是sin xx的一个原函数，则2d[()]F x = . 2. 已知函数()y f x =的导数为2y x '=，且1x =时2y =，则此函数为 . 3. 如果()d ln f x x x x C =+⎰，则()f x = .4.已知()d sin f x x x x C =++⎰，则e (e 1)d xxf x +⎰= . 5.如果 2(sin )cos d sin f x x x x C =+⎰，则()f x = .二、求下列不定积分1. 21cos d 1cos2x x x ++⎰；2.d 1e xx+⎰； 3.2352d 4x xx x ⋅-⋅⎰；4.2(arcsin )d x x ⎰；5.；6.322d (1)x x x +⎰；7.8.x ； 9.54tan sec d x x x ⎰；10.；11.23e d x x x ⎰；12.ln ln d x x x⎰.三、设 1,0,()1,01,1,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()d f x x ⎰.四、若I tan d ,n n x x =⎰,,3,2 =n 证明121I tan I 1n n n x n --=--. 本章复习题B一、填空1.已知()F x 是2e x -= . 2.若22(sin )cos f x x '=，则()f x = .3.设()f x '=，则(1)d f x x -⎰= .4.已知()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '⎰= . 二、求下列不定积分1.2arctan e d e xxx ⎰；2.d sin 22sin xx x+⎰；。

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考研数学高数公式：不定积分
第四章：不定积分
学习要求：
1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质
2.掌握不定积分的换元积分法
3.掌握不定积分的分步积分法
4.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分。

不定积分的基本公式和定理
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

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第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。

2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。

例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2

4
A

4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2

如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般

第四章 不定积分 一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含 ，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含 ，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一） 填空题 【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+， 故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解 由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】 设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++， 故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】 下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解 若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】 设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解 由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】 设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解 由不定积分的性质选答案D .【例4.14】 已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解 令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】 若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解 本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注 当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】 求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解 （1） 原式22.C ===+⎰（2） 原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】 求 （1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解 （1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】 求 （1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解 （1） 原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2） 原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】 求 （1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解 （1） 原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含 ，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含 ，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】 求 （1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解 （1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2） 令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3） 令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】 求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】 求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】 求 （1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解 （1） 原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2） 原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3） 原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】 求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注 对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解 取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解 取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】 求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】 设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】 求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解 当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】 已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解 原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注 这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】 求 （1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解 （1） 原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2） 原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注 拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】 求2(1)dxx x +⎰.解 设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注 比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】 求42.21dxx x -+⎰解 设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得； 上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ； 用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】 求 （1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解 （1） 原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2） 原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】 求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】 求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】 求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】 求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解 设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++， 解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】 求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】 求 （1）（2）（3）.dx解 （1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3） 令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】 求 （1）. （2）解 （1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2） 原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注 当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】 设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解 令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】 设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解 由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】 设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解 令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注 这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案 一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案 一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第四章 不定积分A 基本内容一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念 (1) 原函数设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数，(2) 不定积分()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。

其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。

2、原函数的存在性设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在。

初等函数的原函数不一定是初等函数。

例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x xsin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，dx e x ⎰-2等。

被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

3、不定积分的性质 设()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()C x F dx x F +='⎰或 ()()⎰+=C x F x dF（2）()[]()x f dx x f ='⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f二、基本积分公式1．C x dx x ++=⎰+11ααα()，实常数1-≠α 2．⎰+=C x dx x ln 13．⎰+=C a adx a xx ln 1 ()1,0≠>a aC e dx e x x +=⎰4．⎰+=C x xdx sin cos 5．⎰+-=C x xdx cos sin6．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 227．C x dx xxdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 22 8．C x xdx x +=⎰sec sec tan 9．C x xdx x +-=⎰csc csc cot 10．C x xdx +-=⎰cos ln tan 11．C x xdx +=⎰sin ln cot 12．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 14．⎰+=-C axx a dx arcsin22 ()0>a 15．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 ()0>a 16．C x a x a a x a dx +-+=-⎰ln 2122 ()0>a17．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln ()0>a三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法） 设()()C u F du u f +=⎰，又()x ϕ可导，则()[]()()[]()()()du u f x u x d x f dx x x f ⎰⎰⎰=='ϕϕϕϕϕ令()()[]C x F C u F +=+=ϕ这里要求考生对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

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例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求 解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
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∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的
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′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、 基本积分表 (P188-189)
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求导数验证结果
e3xdx ? e3xdx e3x c
求导数验证结果
第四章 不定积分
第二节 不定积分的计算
解决方法 利用复合函数的中间变量, 进行换元 .
sin
10
xdx
1 10
sin
10
xd
10
x
令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10 x C . 10
C;
1
x
d( )
1
x a
2
a
1 a 1
1x d( )
1 ( x )2 a a x
arcsin x C;
arctan C;
a
a
a
第四章 不定积分
第二节 不定积分的计算
例7 计算（ 3） tanxdx;(4)cotxdx;
tan xdx
sin cos
x dx x
d( cos x) cos x
1 dx; 8x25
1
x2
第四章 不定积分
第二节 不定积分的计算
常用的凑微分形式有:
dx 1 d ax b;
a
xdx 1 d( x2 ); 2
dx 2d( x ); x
1
1
x2 dx d( x );
1
dx
1 d(a ln
x
b);
xa
e xdx d(e x ); cos xdx d(sin x);
eaxdx 1 d(eax ); a
(1)有理分式积分
例8
计算 （1）
1 x2 a2 dx;
x2
1 a2 dx

R(sin x , cos x ) dx
R
1
2u u
2
,
1 1
u2 u2

1
2 u
2
du.
讨论类型 R( x ,n ax b ), R( x , n ax b ),
cx e
解决方法 作代换去掉根号.
常考题型与典型例题
【答案】 (D) .
M kx x 2 px
Nk q
积分
Mx N dx, ( x2 px q)n
a 2 q p2 , b N Mp ,
4
2
x2
px q
x
p 2 2
q
p2 4
,
令 x p t
2
x2 px q t2 a2 ,
Mx N Mt b,
Mx N dx
Mt dt
b dt
答案：A
tan
x 2
1 tan
2
tan 4
tan x
dx
tan
2
(
x 2
)dx
4
2 tan( x 2
4
)
x
C
4 2
常用“凑”微分公式：
sec4 xdx sec2 x sec2 xdx sec2 xd tanx
1 tan3 x tan x C 3
2arctan t C 2 arctan 4 x C x
a 2 )n 1
b
dt . ( t 2 a 2)n
x3 x2 1 x2 1
x 1
x x2
2 1
.
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)