幂零矩阵的若尔当标准型

矩阵的若尔当标准形与有理标准形的关系探究
矩阵的若尔当标准形和有理标准形之间存在着密切的关系。

矩阵的若尔当标准形是指将矩阵化为一种特殊的形式，使得矩阵的特征值可以更容易地求解。

这种形式是通过对矩阵进行线性变换得到的，并且在这种形式下，矩阵的对角线元素即为特征值。

矩阵的有理标准形是指将矩阵化为一种特殊的形式，使得矩阵的特征值和特征向量可以更容易地求解。

这种形式也是通过对矩阵进行线性变换得到的，并且在这种形式下，矩阵的对角线元素即为特征值，而矩阵的列向量即为特征向量。

由于矩阵的若尔当标准形和有理标准形都是通过对矩阵进行线性变换得到的，因此它们之间存在着密切的关系。

通常情况下，如果矩阵已经被转化为若尔当标准形，则可以很容易地将其转化为有理标准形。

反之，如果矩阵已经被转化为有理标准形，则也可以很容易地将其转化为若尔当标准形。

若尔当标准形和有理标准形都是用来帮助我们更容易地求解矩阵的特征值和特征向量的。

然而，若尔当标准形更适用于线性代数中的一些应用，而有理标准形则更适用于数学物理学中的应用。

例如，在线性代数中，我们常常需要解决矩阵的特征值问题，这时若尔当标准形就非常有用。

它可以帮助我们快速地求解矩阵的特征值
而在数学物理学中，我们常常需要求解矩阵的特征向量。

在这种情况下，有理标准形就非常有用。

它可以帮助我们快速地求解矩阵的特征向量。

3-幂零矩阵的Jordan 标准型摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan 标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的Jordan 标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan 标准型，对n 阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan 标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan 标准型的个数，并给予证明。

关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；Jordan 标准型；特征多项式；特征根；初等因子；秩0、引言定义1：设n nA C⨯∈（n nP⨯表示复数域C 上全体n n ⨯矩阵），若存在正整数k ，使得10,0k k A A -≠=，则称A 是幂零指数为k 的幂零矩阵记为k-幂零矩阵 特别地，当k=2时，即矩阵A 满足20,0A A ≠=，称A 为2-幂零矩阵当k=3时，即矩阵A 满足230,0A A ≠=，称A 为3-幂零矩阵。

定义2：形式为(,)110t tJ t λλλ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为J 块，其中λ是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。

定义3：每个阶的复数矩阵A 都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的Jordan 标准型。

目前关于幂零矩阵的Jordan 标准型，仅有文[1]的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以下三个性质：性质1：当k=2即复数域C 上的n 阶2-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1J Jm ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中0110i ii k k J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2;1,2ik i m ==），1mi i k n ==∑，且至少存在一个j ，使2j k =即至少存在一个0010j k J ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦性质2：设C 是复数域，而A 是C 上2-幂零矩阵，设A 的秩为r ，则2n r ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，而A 的Jordan 标准型为0010001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中对角线上有r 个0010⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。

假设有两个的矩阵，记作A和B。

它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。

如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。

但是，等价的矩阵不一定是相似的。

首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。

其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。

性质等价关系。

两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。

它们有相同的秩。

参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。

你可以通过编辑或修订扩充其内容。

相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。

相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。

两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。

严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。

B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。

术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。

性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。

2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。

3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。

这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。

置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。

若尔当标准型求法例题
若尔当标准型求法是一种矩阵分解的方法，用于将一个线性变换表示为若尔当矩阵的乘积形式。

它在线性代数中被广泛应用，特别是在研究矩阵的特征值和特征向量时。

若尔当标准型提供了一种简洁的方式来描述矩阵的特征结构。

为了理解若尔当标准型的求法，我们首先需要了解若尔当矩阵。

一个若尔当矩阵是一个由多个若尔当块组成的矩阵，其中每个若尔当块都由一个特征值和对应的特征向量所确定。

若尔当矩阵的形式类似于一个对角矩阵，但是对角线上可以有多个非零元素。

若尔当标准型的求法涉及以下步骤：
1. 计算特征值和特征向量：首先，我们需要计算给定矩阵的特征值和特征向量。

这可以通过求解矩阵的特征方程来完成。

2. 构建若尔当块：对于每个特征值，我们根据对应的特征向量构建一个若尔当块。

若特征值有重复的根，则若尔当块的大小将相应增加。

3. 形成若尔当标准型：将所有构建的若尔当块按照特定的顺序排列，形成若尔当标准型矩阵。

通常，若尔当块按照特征值的大小进行排序。

若尔当标准型的求法允许我们更好地理解线性变换的行为，特别是当矩阵的特征值存在重复根时。

通过将矩阵分解为若尔当矩阵的乘积形式，我们可以更清楚地看到特征向量的线性组合如何影响变换。

总结起来，若尔当标准型求法是一种用于将线性变换表示为若尔当矩阵乘积形式的方法。

它通过计算特征值和特征向量来构建若尔当块，并按照特征值的大小排列它们，从而形成若尔当标准型矩阵。

这种表示方式有助于我们更好地理解矩阵的特征结构和线性变换的行为。

若尔当标准型例：求矩阵的若尔当标准型。

STEP1：求的初等因子注:定理陈述了矩阵的特征矩阵()可以通过初等变换转化为上述标准型，称为矩阵的标准型。

初等因子:矩阵标准对角线上的次数大于0且第一项是1的一次幂。

本例题中，初等因子为，。

注:以上两个初等因子虽然有相同的特征值，但代表两个不同的Jordan块。

STEP2：写出每个初等因子对应的若尔当块初等因子对应的特征值是对应Jordan块的对角元素，初等因子的阶是对应Jordan块的阶。

对应的若尔当块为：；对应的若尔当块为：若尔当标准型 4和的顺序可以改变，但一般是按初等因子的顺序。

方法二：求特征值法例：求矩阵的若尔当标准型。

STEP1：求矩阵的特征值令，解得；STEP2：求每个特征值的几何重数（相同特征值求一次即可）几何重数：代表该特征值对应的若尔当块的个数；几何重数=特征矩阵的列数-rank(特征矩阵)。

本题中：对应的几何重数==3-1=2。

STEP3：求每个特征值对应的若尔当块的最大阶数设每个特征值对应的Jordan块的最大阶为，并且是成立的最小正整数。

引用本题中，由于为零矩阵，所以k=2，即对应的若尔当块的最大阶数为2，所以有两个若尔当块，一个一阶的，一个二阶的，即：若尔当标准型 9与的顺序可以变。

方法三：求Q矩阵（特征值均互异可用）STEP1：求矩阵的特征值STEP2：求矩阵的特征值对应的特征向量p1,p2,p3STEP3：由特征向量组成Q矩阵STEP4：求JJ=Q-1*A*Q参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:342-348.。

目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。

幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。

同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。

若尔当标准型求法若尔当标准型求法，也称若尔当标准型化方法，是一种将矩阵转化为其若尔当标准型的方法。

以下是制作一份若尔当标准型求法的算法描述：输入：一个n × n 的矩阵 A输出：A 的若尔当标准型1. 初始化方阵 D 为 A 的复制品，并初始化方阵 P 为单位阵（即 P = I）。

2. 初始化指标变量 i = 1。

3. 若 i > n，跳转到步骤 8。

4. 若 D(i,i) 的值为 0，找到一个非零元素 D(j,i) 且 j > i，交换 D 的第 i 行和第 j 行，并同时交换 P 的第 i 行和第 j 行。

5. 若 D(i,i) 的值非零，跳转到步骤 7。

6. 找到最大的非负整数 r，使得 D(i+r,i) 的值不为零。

令 H = (D(i,i) I - D(i+r,i))，令 G = (H^r - H^(r-1) - ... - I) D(i+r,i)，令 J = (D(i,i) I - D(i+r,i))^(-1) G，更新 D = D + PJP^(-1)，更新 P = PJ，跳转到步骤 5。

7. 令 p = D(i,i) 的值。

将 D 的第 i 行除以 p，将 P 的第 i 行除以 p，令 D(i,i) = 1，令 D(i,j) 的值为 0（其中 j > i），更新 D(i+r,j) = 1（其中 r > 0，j > i）。

更新 i = i + 1，跳转到步骤 3。

8. 返回 D 和 P。

以上算法描述了若尔当标准型求法的基本流程。

在实际应用中，可能需要进行一些优化和特殊处理，以提高算法的效率和准确性。

幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1] 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1] 若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义1.3[3] 设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5] 形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5] 设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5] (),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3 设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4 k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0k k J a E -=.定理1.5 ,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6 任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理 1.7[5] n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理1.8[5] 每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质 2.2 幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵.性质2.3 若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.+AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立. 性质2.4 若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m m m m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.+0为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得 ，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭， 12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化， 令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10 若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立. 3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1 ,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1211()nT A B T T A B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2 A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -= C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例3.1.3 ,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵. 3.2 幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1 已知4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -. 解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3 可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3 已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：212211010010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中1000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6] 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6] 若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是000010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质 4.3 σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nn T A T -**⎛⎫ ⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以1000000nn A TT -**⎛⎫⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭.因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质 4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及应用[J]．玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-3[3] 谷国梁．关于幂零矩阵性质的探讨[J]. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-49[4] 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