2018-2019学年人教A版必修四第1章第16课时三角函数的简单应用课件(30张)
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第4课时用计算器求锐角三角函数值页数:11
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28.1锐角三角函数(第4课时)页数:8
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2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
答案 (2)见解析
解析 (1)设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心 角为 2 rad，依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l ＋2r＝4r＝8，解得 r＝2，则 l＝4.
故扇形的面积 S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2. (2)设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝ 2(π－1)R，所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)，扇形的面积是12 lR＝(π－1)R2.
2．α＝－2 rad，则 α 的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故 α 的终 边在第三象限．
3．在△ABC 中，若 A∶B∶C＝3∶5∶7，则角 A，B，
C 的弧度数分别为____π5_，__π3_，__17_5π____． 解析 A∶B∶C＝3∶5∶7， 则 A 占总度数的3＋35＋7＝15； B 占总度数的3＋55＋7＝13； C 占总度数的3＋75＋7＝175. 三角形的内角和为 π，则 A 为π5，B 为π3，C 为175π.
解 (1)310°＝1π80 rad×310＝3118π rad.
5π (2)12
rad＝1π80×51π2°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×1π80＝1π2.
θ＝105°＝105×1π80＝71π2.
显然1π2<1π0<1<172π，故 α<β<γ<θ＝φ.
【跟踪训练 3】 (1)将－1125°表示成 2kπ＋α，0≤α<2π， k∈Z 的形式为___－__8_π_＋__74_π____；
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角 的集合．
解析 (1)设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心 角为 2 rad，依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l ＋2r＝4r＝8，解得 r＝2，则 l＝4.
故扇形的面积 S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2. (2)设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l，所以 l＝ 2(π－1)R，所以扇形的圆心角是Rl ＝2(π－1)，扇形的面积是12 lR＝(π－1)R2.
2．α＝－2 rad，则 α 的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故 α 的终 边在第三象限．
3．在△ABC 中，若 A∶B∶C＝3∶5∶7，则角 A，B，
C 的弧度数分别为____π5_，__π3_，__17_5π____． 解析 A∶B∶C＝3∶5∶7， 则 A 占总度数的3＋35＋7＝15； B 占总度数的3＋55＋7＝13； C 占总度数的3＋75＋7＝175. 三角形的内角和为 π，则 A 为π5，B 为π3，C 为175π.
解 (1)310°＝1π80 rad×310＝3118π rad.
5π (2)12
rad＝1π80×51π2°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×1π80＝1π2.
θ＝105°＝105×1π80＝71π2.
显然1π2<1π0<1<172π，故 α<β<γ<θ＝φ.
【跟踪训练 3】 (1)将－1125°表示成 2kπ＋α，0≤α<2π， k∈Z 的形式为___－__8_π_＋__74_π____；
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角 的集合．
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4
③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左____、__右____平行移动(每次 2π 个单位长度)， 就可以得到正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象．
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
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【思路分析】(1)根据拟合曲线，结合表中的数据，可求得 A，ω，b的值，即得函数的表达式．(2)根据(1)中求得的函数表 达式，求出数值大于1的时间段，问题就得到解决．
2π π 【规范解答】(1)由表中数据知周期 T＝12，∴ω＝ T ＝6. 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5，由 t＝3，y＝1，得 b＝1，∴A 1 1 π ＝0.5，b＝1，∴振幅为2.∴y＝2cos 6t＋1.
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的 π 距离 s(cm)和时间 t(s)的函数式为 s＝6sin2πt＋6，那么单摆来 回摆动一次所需的时间为( A．2π s C．0.5 s
【答案】D
2π 【解析】∵ω＝2π，∴T＝2π＝1.故选 D．
)
B．π s D．1 s
3．如图是一弹簧振子作简谐运动 的图象，横轴表示振动的时间，纵轴 表示振动的位移，则这个振子振动的 函数解析式是________．
第16课时 三角函数的简单应用
导学坐标
学习目标
(一)知识与技能
1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模型， 通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解决实 际问题的能力．
(二)重点和难点 1．重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的 实际问题． 2．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．
5π π 【答案】y＝2sin 2 x＋4
2π 【解析】设解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则 A＝2，又 ω ＝ π 5π π 5π π 4×0.2 且 0.1ω＋φ＝2，∴ω＝ 2 ，φ＝4.∴y＝2sin 2 x＋4.
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b图象的一部分，求它的
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)的图象． 【思路分析】建立适当的坐标系，求出高度与旋转角度的 关系，进而求高度与时间的关系．
【规范解答】(1)如图(1)，以 O 为原点，过点 O 的圆的切 线为 x 轴建立直角坐标系． 设 A(x，y)，则 h＝y＋0.5，设∠O O1A＝θ，即 y＝－2cos 2π π π θ＋2，又 θ＝12· t＝6t，∴y＝－2cos 6t＋2. π ∴h＝f(t)＝－2cos 6t＋2.5.
本题是与三角函数有关的常见问题： 求出三 角函数的解析式，再利用三角函数的图象和性质进行解题． 确定函数关系 y＝Acos ω t＋b，就是确定其中的参数 A， ω，b 等的值，可以从所给的数据中寻找答案．
在现实生活中的应用 如图，某大风车的半径为 2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面 0.5 m ． 风车圆周 上 一点 A 从 最低点 O 开 始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【思路分析】利用y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象和性质． 【规范解答】(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万 度，最小用电量为30万度．
1 (2)观察图象可知，半个周期为2· T＝14－8＝6， 2π π 1 ∴T＝12.ω＝ T ＝6，b＝2×(50＋30)＝40， 1 A＝2×(50－30)＝10， π ∴y＝10sin 6x＋φ＋40. π 将 x＝8，y＝30 代入上式，解得 φ＝6. ∴所求解析式为 π π y＝10sin 6x＋6＋40，x∈[8,14]．
解析式．
3－1 1＋3 【解析】由图知 A＝ 2 ＝1，b＝ 2 ＝2， 5π π 4π 2π 3 周期 T＝2 6 －6＝ 3 ，∴ω＝ T ＝2. 3 5π π 3π 又2× 6 ＋φ＝2，∴φ＝－ 4 . 3 3π 此函数的解析式为 y＝sin 2x－ 4 ＋2.
高效课堂
典例精析
利用三角函数的图象解决问题 如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满 足函数y＝As归纳
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数
学模型．
2．函数y＝|sin x|的最小正周期为π. 3．三角函数模型的建立程序．
自主演练
1．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在[0,2π]上的图象如图所 示，则ω的值为(
A．1 1 C．2
)
B．2 1 D．3
【答案】B
2π 【解析】由图象知，函数的周期为 T＝π，又 T＝ ω ，∴ω ＝2.故选 B．
(2)由题可知，当 y>1 时才对冲浪者开放， 1 π π ∴2cos 6t＋1>1，∴cos 6t>0， π π π ∴2kπ－2<6t<2kπ＋2，即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．① ∵0≤t≤24，故可令①中 k 分别为 0,1,2，得 0≤t<3，或 9<t<15，或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时 可供冲浪者运动：上午 9：00 至下午 15：00.
求模拟函数解析式 已 知 某 海 滨 浴 场 海 浪 的 高 度 y( 米 ) 是 时 间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时 的浪高数据： t ( 时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米)
ωt＋b.
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测， y ＝ f(t) 的曲线可近似地看成是函数 y ＝ Acos
(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ω 期T，振幅A及函数解析式；
t＋b的最小正周
(2) 依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开 放，请依据(1)的结论，判断一天上午8：00时至晚上20：00时
之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
确定函数关系式 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 就是确 定其中的参数 A，ω，φ 等，从图象的特征上找答案，A 主要由 最值确定， ω 是由周期确定， 周期 T 通过特殊点观察图象求得， 如相邻的最大值，最小值相差半个周期，φ 又由图象上的点求 得，确定 φ 值时，要注意它的不唯一性，一般求|φ|中最小的 φ.
2π π 【规范解答】(1)由表中数据知周期 T＝12，∴ω＝ T ＝6. 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5，由 t＝3，y＝1，得 b＝1，∴A 1 1 π ＝0.5，b＝1，∴振幅为2.∴y＝2cos 6t＋1.
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的 π 距离 s(cm)和时间 t(s)的函数式为 s＝6sin2πt＋6，那么单摆来 回摆动一次所需的时间为( A．2π s C．0.5 s
【答案】D
2π 【解析】∵ω＝2π，∴T＝2π＝1.故选 D．
)
B．π s D．1 s
3．如图是一弹簧振子作简谐运动 的图象，横轴表示振动的时间，纵轴 表示振动的位移，则这个振子振动的 函数解析式是________．
第16课时 三角函数的简单应用
导学坐标
学习目标
(一)知识与技能
1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模型， 通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解决实 际问题的能力．
(二)重点和难点 1．重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的 实际问题． 2．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．
5π π 【答案】y＝2sin 2 x＋4
2π 【解析】设解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则 A＝2，又 ω ＝ π 5π π 5π π 4×0.2 且 0.1ω＋φ＝2，∴ω＝ 2 ，φ＝4.∴y＝2sin 2 x＋4.
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b图象的一部分，求它的
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)的图象． 【思路分析】建立适当的坐标系，求出高度与旋转角度的 关系，进而求高度与时间的关系．
【规范解答】(1)如图(1)，以 O 为原点，过点 O 的圆的切 线为 x 轴建立直角坐标系． 设 A(x，y)，则 h＝y＋0.5，设∠O O1A＝θ，即 y＝－2cos 2π π π θ＋2，又 θ＝12· t＝6t，∴y＝－2cos 6t＋2. π ∴h＝f(t)＝－2cos 6t＋2.5.
本题是与三角函数有关的常见问题： 求出三 角函数的解析式，再利用三角函数的图象和性质进行解题． 确定函数关系 y＝Acos ω t＋b，就是确定其中的参数 A， ω，b 等的值，可以从所给的数据中寻找答案．
在现实生活中的应用 如图，某大风车的半径为 2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面 0.5 m ． 风车圆周 上 一点 A 从 最低点 O 开 始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【思路分析】利用y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象和性质． 【规范解答】(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万 度，最小用电量为30万度．
1 (2)观察图象可知，半个周期为2· T＝14－8＝6， 2π π 1 ∴T＝12.ω＝ T ＝6，b＝2×(50＋30)＝40， 1 A＝2×(50－30)＝10， π ∴y＝10sin 6x＋φ＋40. π 将 x＝8，y＝30 代入上式，解得 φ＝6. ∴所求解析式为 π π y＝10sin 6x＋6＋40，x∈[8,14]．
解析式．
3－1 1＋3 【解析】由图知 A＝ 2 ＝1，b＝ 2 ＝2， 5π π 4π 2π 3 周期 T＝2 6 －6＝ 3 ，∴ω＝ T ＝2. 3 5π π 3π 又2× 6 ＋φ＝2，∴φ＝－ 4 . 3 3π 此函数的解析式为 y＝sin 2x－ 4 ＋2.
高效课堂
典例精析
利用三角函数的图象解决问题 如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满 足函数y＝As归纳
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数
学模型．
2．函数y＝|sin x|的最小正周期为π. 3．三角函数模型的建立程序．
自主演练
1．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在[0,2π]上的图象如图所 示，则ω的值为(
A．1 1 C．2
)
B．2 1 D．3
【答案】B
2π 【解析】由图象知，函数的周期为 T＝π，又 T＝ ω ，∴ω ＝2.故选 B．
(2)由题可知，当 y>1 时才对冲浪者开放， 1 π π ∴2cos 6t＋1>1，∴cos 6t>0， π π π ∴2kπ－2<6t<2kπ＋2，即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．① ∵0≤t≤24，故可令①中 k 分别为 0,1,2，得 0≤t<3，或 9<t<15，或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时 可供冲浪者运动：上午 9：00 至下午 15：00.
求模拟函数解析式 已 知 某 海 滨 浴 场 海 浪 的 高 度 y( 米 ) 是 时 间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时 的浪高数据： t ( 时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米)
ωt＋b.
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测， y ＝ f(t) 的曲线可近似地看成是函数 y ＝ Acos
(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ω 期T，振幅A及函数解析式；
t＋b的最小正周
(2) 依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开 放，请依据(1)的结论，判断一天上午8：00时至晚上20：00时
之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
确定函数关系式 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 就是确 定其中的参数 A，ω，φ 等，从图象的特征上找答案，A 主要由 最值确定， ω 是由周期确定， 周期 T 通过特殊点观察图象求得， 如相邻的最大值，最小值相差半个周期，φ 又由图象上的点求 得，确定 φ 值时，要注意它的不唯一性，一般求|φ|中最小的 φ.