高三数学-01【数学】安徽省蚌埠市2018届高三第三次质检(理) 精品

蚌埠市２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试数 学本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１ 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。

２ 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１ 已知集合Ａ＝｛１，３，５，７，９｝，Ｂ＝｛３，６，９，１２｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ ｛３，９｝Ｂ ｛１，３，５，６，７，９，１２｝Ｃ ｛１，５，７｝Ｄ ｛６，１２｝２ 已知平面向量ａ＝（１，ｍ），ｂ＝（－２，４），且ａ∥ｂ，则ｍ＝Ａ ２Ｂ１２Ｃ －１２Ｄ －２３ 已知曲线Ｃ∶ｘ２４＋ｙ２ｍ＝１（ｍ≠０），则“ｍ∈（０，４）”是“曲线Ｃ的焦点在ｘ轴上”的Ａ 充分不必要条件Ｂ 必要不充分条件Ｃ 充要条件Ｄ 既不充分也不必要条件４ 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ａ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝１，ｓｉｎＣ＝槡２２，则Ａ ｂ＝１Ｂ ｂ槡＝２Ｃ ｃ槡＝２Ｄ ｃ槡＝３５ 记数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｎ{}ｎ是等差数列，Ｓ２＝－８，Ｓ６＝０，则ａ３＋ａ４＝Ａ －８Ｂ －４Ｃ ０Ｄ ４６ （１－ｘ＋ｘ２）２·（１＋ｘ）３的展开式中，ｘ４的系数为Ａ １Ｂ ２Ｃ ４Ｄ ５７ 在一组样本数据中，１，２，３，４出现的频率分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，ｐ４，且∑４ｉ＝１ｐｉ＝１，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是Ａ ｐ１＝０ １，ｐ２＝０ ２，ｐ３＝０ ３，ｐ４＝０ ４Ｂ ｐ１＝０ ４，ｐ２＝０ ３，ｐ３＝０ ２，ｐ４＝０ １Ｃ ｐ１＝ｐ４＝０ １，ｐ２＝ｐ３＝０ ４Ｄ ｐ１＝ｐ４＝０ ４，ｐ２＝ｐ３＝０ １８ 已知抛物线Ｃ∶ｙ２＝４ｘ，过其焦点Ｆ的直线交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，Ｍ为ＡＢ中点，过Ｍ作准线的垂线，垂足为Ｎ，若｜ＡＦ｜＝４，则｜ＮＦ｜＝Ａ４３Ｂ 槡４３３Ｃ８３Ｄ 槡８３３二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。

2017-2018学年高中三年级第三次统一考试**数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“lg lg m n >”是“11()()22m n<”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A ．133升 B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 28.在ABC △中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++的值为（ ）A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．14.设x ，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ． 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c，其中40cos c xdx π=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.21. 已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15.1123π+ 16.221159x y+=三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=， 所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥.∵四边形ABCD 是矩形，∴A B B C ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴B C A D ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，sin DE AD DAB =⋅∠=，∴3(0,)2D a，∴1(0,)2AD a =-，(,2,0)AC a a =-. 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102220ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则y =x =(23,m =. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， ∴cos ,m n ||||m nm n ⋅==14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B ，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716.21.（1）由于'()()x xf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立，即证明23()(1)2xg x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1x h x e x =--，则'()1xh x e =-，当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos θρθ= 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆. ∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅.又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞.所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。

2018届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查数学（理）试题一、选择题1．设全集{}1xU x e =，函数()f x =的定义域为A ，则U C A 为（ ） A. (]0,1 B. ()0,1 C. ()1,+∞ D. [)1,+∞ 【答案】A【解析】{}0U x x =， {}{}101A x x x x =-=，所以{01}U C A x =<≤，故选A ． 2．复数z 的共轭复数为z ，若1iz z i-⋅+为纯虚数，则z =（ ）A. 21 【答案】D【解析】设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()()222222222222222111111i a b i a b a b i i iz z i a b i a b i a b i a b -+-+--++--===⋅++++++-++，它为纯虚数， 则2210a b +-=，即221a b +=，所以1z ==，故选D ．3．已知向量,a b 夹角为60，且2,2a a b =-=b =（ ） A. 2 B. 2- C. 3 D. 3- 【答案】C【解析】由题意可得： 2222222444cos604444a b a a b b a a b b b b -=-⋅+=-⨯⨯+=-+， 结合题意有： ()()244428230b b b b -+=⇒+⨯-=，解得： 3b =.本题选择C 选项.4．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3- 【答案】A【解析】设等差数列的公差为d ,首项为a 1，所以a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d .因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+3d ),解得：a 1=−4d . 所以3215312227S S a dS S a d-+==-+，本题选择A 选项.5．在如图所示的正方形中随机选择10000个点，则选点落入阴影部分（边界曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线的一部分）的点的个数的估计值为（ ）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413 【答案】B【解析】对正态分布()1,1N -， (01)0.1359P X <<=，因此所求估计值为100000.13591359⨯=，故选B ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】如图，该几何体是四棱锥A BCMN -，它可以看作是从正方体中截出的平分，其四个侧面都是直角三角形，故选C ．7．二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入121,2,0.01x x d ===则输出n 的值A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】根据二分法，程序运行中参数()12,,x x n 值依次为： ()1,2,1， ()1,1.5,2， ()1.375,1.5,3，()1.375,1.4375,4， ()1.38125,1.4375,5， ()1.409375,1.4375,6， ()1.409375,1.4234,7，()1.4094,1.4164,8，此时满足判断条件，输出n ，注意是先判断，后计算1n +，因此输出的7n =，故选B ．8．设,x y 满足约束条件0{22x y x y ≥≥+≤，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为M ，若M 的取值范围是[]1,2，则点(),M a b 所经过的区域面积为 A.12 B. 32 C. 52 D. 72【答案】B【解析】约束条件0{22x y x y ≥≥+≤表示的可行域是以()()()0,0,1,0,0,2O A B 为顶点的ABO ∆内部（含边界），直线0ax by +=的斜率为0a k b =-<，当2a b >时，最优解为()1,0A ，即M a =，当02ab<≤时，最优解为()0,2B ，即2M b =，因此点(),a b 经过的区域为0,0{212a b a b a >>>≤≤或0,0{2122a b ab b >>≤≤≤，在坐标系中表示出来，如图直角梯形ABCD 和CDEF ，其面积为：()11113111222222S ⎛⎫=+⨯++⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．9．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1,123f x x ππ⎛⎫>∀∈-⎪⎝⎭对恒成立，则ϕ的取值范围是 A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：令()11sin 2-=++ϕωx ，得到()1sin -=+ϕωx ，即()ϕω+=x y sin 的图像和1-=y 相邻两个交点的距离为π，故πωπ=2，2=ω，所以()()12s i n 2++=ϕx x f 根据题意，若()1,123f x x ππ⎛⎫>∀∈- ⎪⎝⎭对恒成立，即()02sin >+ϕx ，所以当12π-=x 时，πϕπk 26≥+-，当3π=x时，ππϕπk 232+≤+，所以ππϕππk k 2326+≤≤+，2πϕ≤结合选项，当0=k 时，36πϕπ≤≤，故选D.【考点】三角函数的性质【方法点击】本题考察了三角函数的性质和图像，一般求ω，可根据周期求解，求ϕ可根据“五点法”求解，求值域或是单调区间时，根据复合函数求解，一般可写成u y sin =，ϕω+=x u ，选择将x 代入求u 的范围，（1）如果求值域，那么就根据u 的范围，求u y sin =的范围，（2）如果求函数的单调区间，让u 落在相应的函数的单调区间内，（3）本题()1>x f 恒成立，解得0sin >u ，那么u 的范围是不等式解集的子集.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ⋅过2F 作一条直线（不与x 轴垂直）与椭圆交于,A B 两点，如果1ABF ∆恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A. 1± B. 2±C.【答案】C【解析】设1AF m =，则22A F a m =-， ()22222BF AB AF m a m m a =-=--=-，于是()12222242BF a BF a m a a m =-=--=-，又190F AB ∠=︒，所以1BF ，所以42a m -=，a =，因此22AF a m =-=，1212tan AF AF F AF ∠===，直线AB斜率为C ．11．现有10支队伍参加蓝球比赛，规定：比赛采取单循环比赛质，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分叙述正确的是 A. 可能有两支队伍得分都是18分 B. 各支队伍得分总和为180分 C. 各支队伍中最高得分不少于10分 D. 得偶数分的队伍必有偶数个【答案】D【解析】10支队伍参加比赛，采用单循环赛，共赛45场，总得分为90分，如果得偶数分的队伍是奇数个，则得奇数分的队伍也是奇数个，则它们的得分总和为奇数，与总分为90分是偶数矛盾，故假设错误，即得偶数分的队伍必有偶数个，D 正确，故选D ．12．已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠= ，则四面体ABCD 的体积的最大值是A. B. 18 D. 36【答案】A【解析】作BE AD ⊥于E ，连接CE ，因为AD BC ⊥，所以AD ⊥平面BCE ，作EF BC ⊥于F ，所以AD EF ⊥，从而166ABCD V AD BC EF EF =⋅⋅=，要使体积最大，则要EF 最大，则要求,BE CE 最大，而60ABD ACD ∠=∠=︒，所以在BA BD =时， BE 最大，所以BE CE == F 是BC 中点，EF ==6ABCD V =⨯=A ．点睛：四面体ABCD 中，对棱,AD BC 垂直， EF 是,AD BC 的公垂线段，则有AD ⊥平面BCE ，111333ABCD A BCE D BCE BCE BCE BCE V V V S AE S DE S AD --∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅，又12BCES B C E F ∆=⋅，所以16A B C DV B C A D E F =⋅⋅．二、填空题13．52x⎛⎝的展开式中，__________．【答案】-40【解析】展开式通项为()()35552155212rrrr rr r r T C x C x ---+⎛==- ⎝，令31522r -=， 3r =，所以要求的系数为()32351240C -⨯⨯=-．14．已知函数()31f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=__________．【答案】-6【解析】()418f a a ab =++=， ()41f a a ab -=--+，所以()82f a -+=， ()6f a -=-．点睛：本题函数的奇偶性，解题本质是利用奇函数的性质，因此关键是构造出一个奇函数，设()()31g x f x ax bx =-=+，则()g x 为奇函数， ()()1817g a f a =-=-=，于是有()()7g a g a -=-=-，所以()()17g a f a -=--=-， ()6f a -=-．15．已知双曲线22221(0)x y a b a b+=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于,M N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN ．若60,30MPO MNQ ∠=∠= ，则该双曲线的离心率为__________．【解析】∵,M Q 关于原点对称，∴22MN QNb k k a⋅=，∵MN k = QNk =，∴221b a =，∴c e a ===．点睛：设()()1122,,,M x y N x y 是双曲线22221x y a b-=上的两点， Q 是M 关于原点的对称点，则()11,Q x y --， 2212122122121221MN QNy y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅=----，又2211221x y a b -=， 2222221x y a b -=，两式相减得22221212220x x y y a b ---=， 2221222212y y b x x a-=-，所以22M N Q N b k k a ⋅=，同理若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆22221x y a b +=上的两点， Q 是M 关于原点的对称点，则22MN QN b k k a⋅=-，圆锥曲线中的有些特殊结论如果能记住，在解选择填空题时可更加简便． 16．已知数列{}n a满足111,256n a a +==2log 2n n b a =-，则12···n b b b 的最大值为__________． 【答案】6254【解析】由题意可得：21log log n a +=，即： 21211log log 12n n a a ++=+ ，整理可得： ()()2121log 2log 22n n a a +-=- ， 又21log 210a -=- ，则数列{}n b 是首项为-10，公比为12的等比数列，12110222n n n b --⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，则： ()()3212 (52)n n nn n S b b b -==-⨯ ,很明显， n 为偶数时可能取得最大值，由()2*2{2,n n n n S S n k k N S S +-≥=∈≥ 可得： 4n = ，则12···n b b b 的最大值为6254. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且)tan cos cos c C a B b A =+． （I ）求角C ；（II）若c =，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）60C =（2） 【解析】试题分析：(1)由题意求得tan 60C C = ；(2)由余弦定理结合均值不等式的结论和面积公式可求得ABC ∆面积的最大值为试题解析：（I ）)tan cos cos c C a B b A =+)sin tan sin cos sin cos C C A B B A ∴⋅=⋅+⋅ ()sin tan C C A B C ∴⋅=+=0,sin 0C C π<<∴≠ ，tan 60C C ∴=∴=（II ）60c C == ，由余弦定理得： 22122a b ab ab ab =+-≥-，112,sin 2ABC ab S ab C ∆∴≤∴=≤，当且仅当a b == ABC ∆面积的最大值为．18．当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ， 2P ， 20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X=，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）有95%的把握（2）适合【解析】试题分析：首先根据题意将列联表填写完整，结合公式即可求解，（2）根据题意解决此题的人数X可能取值为0,1,2，得分布列，由期望计算公式得出结果试题解析：（1）由题意得列联表为：由列联表可得：()2250201310730202723K⨯-⨯=⨯⨯⨯4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X可能取值为0,1,2，可得分布列为()121.12E X P P=+=10.72P⇒=，120.320.3P P-=≥，二人适合结为“师徒”.19．如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面,,643,30A B C B D D C C A B A B C⊥=∠=.（I ）求证： AC BD ⊥；（II ）若二面角B AC D --为45 ，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值.【答案】（I ）见解析；（II ） 【解析】试题分析：（I ）要证AC BD ⊥，由于有平面BCD ⊥平面ABC ，因此只要证得AC BC ⊥，就有线面垂直，线线垂直，而AC BC ⊥可在ABC ∆中由余弦定理求得AC ，再由勾股定理得证；（II ）首先由AC ⊥平面BCD 知BCD ∠为二面角B AC D --的平面角，又由已知BD CD ⊥及（I ）可知BD ⊥平面ACD ，从而BAD ∠是AB 与平面ACD 所成的角，在相应三角形中可解出． 试题解析：证明： ABC ∆中，由222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，解得AC =222AC BC AB +=AC BC ∴⊥．平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ⋂平面ABC BC =， AC ⊥ 平面BCD ．又BD ⊂ 平面,BCD AC BD ∴⊥．（II ）由AC ⊥平面,BCD CD ⊂平面BCD ，AC CD ∴⊥． 又BC AC ⊥BCD ∴∠是平面DAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCD ∠= ． ,BD CD AC BD ⊥⊥ ，BD ∴⊥平面ACD ．BAD ∴∠是AB 与平面ACD 所成的角．Rt ACD ∆中， sin45BD BC ==Rt BAD ∴∆中， sin BD BAD AB ∠==． 点睛：立体几何中求空间角常用空间向量法求解．如图建立空间直角坐标系，平面ABC 法向量()0,0,1u =，设平面ACD 的法向量()1,,v λμ=，由CA υ⊥，易知0λ=，从而()1,0,v μ=，cos ,u v u v u v ⋅===解得()1,1,0,1v μ==，易知()(),6,0,0A B ，则()6,BA =-，设直线AB 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,4BA v θ== ，即求直线AB 与平面ACE 20．已知过抛物线2:2(0)E x py p =>焦点F 且倾斜角的60直线l 与抛物线E 交于点,M N OMN ∆的面积为4．（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为,A B 直线AB 与直线,OP y 轴的交点分别为,Q R 点,C D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．【答案】（I ）24x y =；（II ）()2±-． 【解析】试题分析： （I ）抛物线焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线l 方程，与抛物线方程联立，消元后可得1212,x x x x +，其中()()1122,,,M x y N x y ，可再求出原点O 到直线l 的距离d ，由12S M N d =求得p ，也可由1212S x x OF =-求得p ； （II ）首先设出点坐标，设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义得出两切线方程，代入P 点坐标，从而得直线AB 方程为240tx y -+=，从而可得,R Q 坐标，得QR 的长，而要使CPD ∠最大，则,PC PD 与圆R 相切，这样可求得sin 2CPD∠，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．试题解析：（I ）依题意， 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22py x py=+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-所以)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,442OMN p d S MN d p ∆=====， 2p ∴=，抛物线方程为24x y =（II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=()0,2R ∴由240{2tx y y xt-+=-=得2244{84Q Q tx t y t -=+=+，r RQ ∴====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠===≤，等号当t =±∴当()2P ±-时，所求的角CPD ∠最大．综上，当CPD ∠最大时点P的坐标为()2±-点睛：在解析几何中由于OMN ∆的边MN 过定点F ，因此其面积可表示为1212S OF x x =-，因此可易求p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II ）小题中如能发现OP AB ⊥则知OP 是圆R 的切线，因此CPD ∠取最大值时， ,PC PD 中一条与PO 重合，另一条也是圆的切线，从而易得解． 另解：（I ）依题意， 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22py x py=+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-124x x p -=，2121422OMN S OF x x p p ∆=-==⇒=，抛物线方程为24x y =． （II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-， 同理，切线PB 方程为222x y x y =-， 把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=()0,2R∴由240{2tx yy xt-+=-=得2244{84QQtxtyt-=+=+，r RQ∴====，注意到OP AB⊥PQ∴=，22tan28RQCPD tPQ t∠∴==≤=+当且仅当28t+即t=±21．已知()()()2ln0f x ax b x a=++≠．（I）若曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程为y x=，求,a b的值；（II）若()2f x x x≤+恒成立，求ab的最大值．【答案】（I）1,2a b=-=；（II）2e．【解析】试题分析：（I）求出导数，由题意有()()'11,11f f==，代入可得,a b；（II）不等式()2f x x x≤+，即()()ln0g x ax b x=+-≤恒成立，这样只要求得()g x的最大值，解不等式()max0g x≤即得．对()g x，当0a<时，函数递减，在定义域内有()0g x>（可只取一个值检验），不合题意，当0a>时，()'1a ba xa ag xax b ax b-⎛⎫--⎪⎝⎭=-=++，由导数可得最大值为a bga-⎛⎫⎪⎝⎭，得ln0a b a bg aa a--⎛⎫=-≤⎪⎝⎭，变形为lnb a a a≤-，22lnab a a a≤-，因此只要设()22lnh a a a a=-，再由导数求出()h a的最小值即得．试题解析：（I ）()'2af x x ax b=++，依题意， 有()()()'121{111af a bf ln a b =+=+=++=， 解得， 1,2a b =-=（II ）设()()()2g x f x x x =-+，则()()ln g x ax b x =+-，依题意()0g x ≤恒成立，①0a <时， ()g x 定义域,a b ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭， 取0x 使得()0ln 1aax b b +=-+，得0b ae b b x a a--=<-， 则()()()0000ln ln 110b b bg x ax b x ax b a a a⎛⎫⎛⎫=+->+--=-++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 与()0g x ≤矛盾，0a ∴<不符合要求，②0a >时， ()'1(0)a b a x a a g x ax b ax b ax b-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=+>++， 当b a b x a a --<<时， ()'0g x >；当a bx a->时， ()'0g x <， ()g x ∴在区间,b a b a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，在区间,a b a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为减函数， ()g x ∴在其定义域,b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有最大值，最大值为a b g a -⎛⎫⎪⎝⎭，由()0g x ≤，得ln 0a b a b g a a a --⎛⎫=-≤⎪⎝⎭， 22ln ,ln b a a a ab a a a ∴≤-∴≤-，设()22ln h a a a a =-，则()()()'22ln 12ln h a a a a a a a =-+=-，0a ∴<< ()'0;h a a >> ()'0h a <，()h a ∴在区间(上为增函数，在区间)+∞上为减函数，()h a ∴的最大值为22e eh e =-=，∴当a b ==时， ab 取最大值为2e ，综合①，②得， ab 最大值为2e ． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{1x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数， 0απ≤<），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ： 1p =. （1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ， B ，点()1,1M ，证明： MA MB ⋅为定值； （2）将曲线1C 上的任意点(),x y作伸缩变换{x y y=''=2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值.【答案】（1）1（2）8.【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程t 得几何意义得出12MA MB t t ⋅=，联立方程根据韦达定理即可求解（2）伸缩变换后得2C ： 2213x y +=.其参数方程为：{x y sin θθ==.为椭圆方程，根据其对称性得周长为())44sin 8sin 3m n πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，从而求出最大值.试题解析：（1）曲线1C ： 221x y +=.221{11x tcos y tsin x y αα=+=++= ()22cos sin 10t t αα⇒+++=， 121MA MB t t ⋅==.（2）伸缩变换后得2C ： 2213x y +=.其参数方程为：{x y sin θθ==.不妨设点(),A m n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（ 6πθ=时取等号）周长最大为8.点睛：考察极坐标和参数方程，尤其要注意对直线参数方程得理解，t 的几何意义是直线上任意一点到定点的距离，在求最值问题时此类问题通常是转化为参数方程借助三角函数的有界性来求解 23．选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求证： 22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）实数t 的最大值为92. 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数()f x 化为分段函数形式，并求出最小值，再根据最小值为1，得结论，(2)先利用变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： 2a bt ab+≤的最小值，再利用1的代换及基本不等式求最值，即得实数t 的最大值.试题解析：（Ⅰ）法一： ()2=22b bf x x a x b x a x x =++-++-+-， ∵()222b b b x a x x a x a ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪⎝⎭且02b x -≥，∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2ba +， ∴12ba +=， 22a b +=. 法二：∵2ba -<，∴()3,2={,23,2x a b x ab f x x a x b x a b a x b x a b x --+<-=++--++-≤<+-≥， 显然()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减， ()f x 在,2b ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴()f x 的最小值为22b b f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴12ba +=， 22a b +=. （Ⅱ）∵2a b tab +≥恒成立， ∴2a bt ab +≥恒成立，()21212112221422a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 191422⎛≥++= ⎝ 当23a b ==时， 2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92.。

安徽蚌埠市2018年高考数学三模试卷（理科含解析）
5 c 安徽省蚌埠市4坐标系与参数方程]
23．（1几何证明选讲]
22．如图，在△ABc和△AcD中，∠AcB=∠ADc=90°，∠BAc=∠cAD，⊙是以AB为直径的圆，Dc的延长线与AB的延长线交于点E．（Ⅰ）求证Dc是⊙的切线；
（Ⅱ）若EB=6，Ec=6 ，求Bc的长．
【分析】（Ⅰ）先得出点c在⊙上，连接c，可得∠cA=∠Ac=∠DAc，从而c∥AD，结合AD⊥Dc得出Dc⊥c，从而Dc是⊙的切线（Ⅱ）利用切割线定理求出EA=12，再证出△EcB∽△EAc，得出Ac= Bc，在RT△AcB中求解．
【解答】（Ⅰ）证明∵⊙是以AB为直径的圆，∠AcB=90°，∴点c在⊙上，连接c，可得∠cA=∠Ac=∠DAc，∴c∥AD，
又∵AD⊥Dc，∴Dc⊥c，∵c为半径，∴Dc是⊙的切线．
（Ⅱ）解∵Dc是⊙的切线，∴Ec2=EBEA，又∵EB=6，Ec=6 ，∴EA=12．
∵∠EcB=∠EAc，∠cEB=∠AEc，∴△EcB∽△EAc，∴ ，Ac= Bc，∵Ac2+Bc2=AB2=36，∴Bc=
【点评】本题考查圆的切线的证明，与圆有关的线段求解．需掌握切割线定理、弦切角定理等知识．
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．（2018蚌埠三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线c的极坐标方程是ρ= ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点（﹣1，0），直线l与曲线c交于A、B两点．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线c的普通方程；
（Ⅱ）求线段A、B长度之积AB的值．
【分析】（Ⅰ）先求出直线l的普通方程，再求出直线l的极坐。

蚌埠市2018届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷（理工类）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置. 1.若复数z 满足(1)22(z i i i +=-为虚数单位），则||z =（ ） A.1D.22.已知集合{}11M x x =-≤≤，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M （ ） A.{}01x x ≤< B.{}0x x <≤1 C.{}11x x -≤≤ D.{}11x x -≤<3.各项均为正数的等比数列{}n a 中，且21431,9a a a a =-=-，则45a a +=（ ） A.16 B.27 C.36 D.－274.已知0a >，且0a ≠，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ）A.sin y ax =B.2log a y x =C.x x y a a -=-D.tan y ax =5.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是（ ）A.[]6,17-B.[]5,15-C.[]6,15-11 2侧视图D.[]5,17-6.已知两个非零向量a ,b 满足a ·(a -b )=0，且2|a |=|b |，则向量a ,b 的夹角为（ ）A.30B.60C.120D.1507.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为A.6B.8C.10D.128.已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点，B A ,分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点．CD F 1∆的周长为8，且直线BC AC ,的斜率之积为41-.则椭圆的方程为（ ） A.2212x y += B.22132x y += C.2214x y += D.22143x y += 9.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为（ ） A. B.C.4D.510.命题p ：“1≤+b a ”；命题q ：“对任意的R x ∈， 不等式1cos sin ≤+x b x a 恒成立”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11.如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相 切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个零点 B.2个极值点 C.2个极大值点 D.3个极大值点12.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ）A.25B.35C.47D.57第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.13.已知双曲线1:2222=-by a x C 的渐近线为y =，则该双曲线的离心O y xy kx m=+()y f x =第11题图率是 .14.在211(1)x x -+的展开式中,3x 项的系数是 . 15.在四面体ABCD 中，3,3,4AC BD AD BC AB CD ======， 则该四面体的外接球的表面积为 .16.设,n n A B 是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，且满足条件522nnA nB n +=+，则20152017a b 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.17．(本小题满分12分)设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围.18．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质标值落在区间[)55,65，[)65,75，[[]75,85内的频率；的这种产品中随机抽取3质量指标值位于区间[)45,75X，求X 的分布列与数学期望．19.(本小题满分12分)在四棱锥ABCD P -中，AD BC //，AD PA ⊥，平面⊥PAB 平面ABCD ，120=∠BAD ，且221====AD BC AB PA . （Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD（Ⅱ）求二面角D PC B --20.(本小题满分12分)过抛物线()2:20E y px p =>的准线上的动点C 作E 的两条切线，斜率分别为12,k k ，切点为,A B .（Ⅰ）求12k k ⋅；（Ⅱ）C 在AB 上的射影H 是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数()()()2ln 1a f x x a R x=-+∈第19题图（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当2x >， ()()ln 12x x a x ->-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲90,,ABC ACD ACB ADC BAC CAD ∆∆∠=∠=∠=∠如图，在和中，圆O 是以AB 为直径的圆，延长AB 与DC 交于E 点. （Ⅰ）求证：DC 是圆O 的切线；（Ⅱ）6,EB EC ==若，求BC 的长.23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin cos θρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值．24. (本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲A D BE CO设函数()2x a x b f x +-+=，（Ⅰ）当10,2a b ==-时，求使)(xf ≥x 取值范围；（Ⅱ）若1()16f x ≥恒成立，求a b -的取值范围.蚌埠市2018届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）答案及评分标准二、填空题：13.2 14. 275- 15.17π16.12.三、解答题：17.（本题满分12分） 解：（1）正弦定理可得6B π=； …………………………………………………………6分（2）化简，利用弦的有界性可得：3cos sin 2A C ⎫+∈⎪⎪⎝⎭.……………………12分18. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，……………3分解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05． ……………………………………………5分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+， 将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………7分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=． 所以X 的分布列为：X学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………………………………………12分………………………10分19. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）证明： 作AB CE ⊥于E120=∠BAD ，∴ CE 与AD 必相交， 又 平面⊥PAB 平面ABCD ，∴⊥CE 平面PAB ， ∴PA CE ⊥ 又AD PA ⊥， ∴⊥PA 平面ABCD . …………………5分（Ⅱ）（方法一：综合法）连AC ，由已知得AC=2， 60=∠CAD ， 从而32=CD ， ∴AC CD ⊥又CD PA ⊥，∴⊥CD 平面PAC ， 从而平面PCD ⊥平面PAC作AC BG ⊥于G ，PC GH ⊥于H ，连BH ， 设则所求的二面角为+ 90BHG ∠3=BG ，1=CG ，22=GH ，所以214=BH ∴742sin )90cos(-=∠-=∠+BHG BHG .……………………………12分（法二：向量法（略））…………………………………………………………12分20. （本题满分12分）解：（Ⅰ）设,2p C t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过C 的切线l 的方程为：2p y t k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，联立方程组：222p y t k x y px ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x得：()2220ky py p t pk -++=①…………………………………………………………3分第19题图PAB C DE GHl 与E相切时，方程①由两个相等的实根，则0∆=，即220pk tk p +-= ②方程②的两根12,k k 是切线,CA CB 的斜率，由根与系数的关系知：121k k ⋅=-； ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，CA 的斜率为k ，则1y 是方程①的相等实根，由根与系数的关系得：1p y k=，则122p x k =，由题意，CB 的斜率为1k-，同理2y pk =-，222pk x =，那么2122121AB y y k k x x k-==--，直线AB 的方程为：22212k pk y pk x k ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭， 令0y =，得2p x =，即直线AB 经过焦点F .由方程②得()212p k t k-=，则直线AB 的一个方向向量为m ()21,2k k =-，()()221,2,122p k pFC p k k kk ⎛⎫- ⎪=-=-- ⎪⎝⎭ ， 显然FCm =0.所以，C在直线AB上的射影为定点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………12分21. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题易知函数()f x 的定义域为()1,+∞，2221222()1(1)a x ax af x x x x x -+'=-=--， ……………………………O…………2分设22()22,484(2)g x x ax a a a a a =-+∆=-=-0,02,()0,()0,()(1,)a g x f x f x '∆≤≤≤≥≥+∞①当即时所以在上是增函数………………………………3分0,(),1,()(1)0()0,()(1,)a g x x a x g x g f x f x <=>>>'>+∞②当时的对称轴当时所以在是增函数………………………………4分2121212121212122,,()2201,1,()0,()(1,),(,),()0,()(,)a x x x x x ax a x a x a x x x x f x f x x x x x x f x f x x x ><-+==>=+'<<>>+∞'<<<③当时设是方程的两个根则当或时在上是增函数当时在上是减函数………………………………5分综合以上可知：当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，无单调减区间；当2a >时，()f x 的单调递增区间为(()1,,a a +∞，单调减区间为(a a ； ………………………………6分（Ⅱ）当2x >时，()()()2ln 12ln 1()0a x x a x x a f x a x->-⇔--+=->………………………………………………7分 ()()h x f x a =-令，由（Ⅰ）知2,()(1,),()(2,)2,()(2)0,a f x h x x h x h ≤+∞+∞>>=①当时在上是增函数所以在上是增函数因为当时上式成立;2,()(,()a f x a a h x >+②当时因为在上是减函数所以在(2,),a 上是减函数(2,,()(2)0,x a h x h ∈+<=所以当时上式不成立.综上，a的取值范围是(],2-∞. ………………………………………………12分22. （本题满分10分）解:（Ⅰ）,90,AB O ACB C O ︒∠=∴ 是的直径点在上, OC OCA OAC DAC ∠=∠=∠连接可得，OC AD ∴∥， ,AD DC DC OC ⊥∴⊥ 又,OC DC O∴ 为半径是的切线；……………………………………………5分（Ⅱ）2, DC O EC EB EA ∴= 是的切线6,12,6,, EB EC EA AB ECB EAC CEB AEC ECB EAC BC EC AC AC EA ====∠=∠∠=∠∴∆∆∴=== 又又∽即，22236,AC BC AB BC +==∴= 又…………………………………10分23. （本题满分10分）解:（Ⅰ）直线lcos()14πθ+=-，曲线C的普通方程为2y x =；………………………………………………………5分（Ⅱ）（方法一）将12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．（方法二）显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩， 消去y 得210x x --=，所以112x =+，212x =13(22A -，13(22B ++则32MA =，32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-=． (10)分24. （本题满分10分） 解:（Ⅰ）由于2x y =是增函数，)(x f ≥1122x x --≥ ① 当12x ≥时，1122x x --=，则①式恒成立， 当102x <<时，11222x x x --=-，①式化为21x ≥，此时①式无解，当0x ≤时，1122x x --=-，①式无解． 综上，x取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭……………………………………………… 5分（Ⅱ）1()||||416f x x a x b ≥⇔+-+≥- ②而由||||||||x a x b x a x b a b +-+≤+--=-⇒||||||||a b x a x b a b --≤+-+≤-∴要②恒成立，只需||4a b --≥-，即||4a b -≤， 可得a b-的取值范围是[]4,4-. …………………………………………10分（其他解法请参考以上评分标准酌情赋分）。

蚌埠市第三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．402． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）3． 双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．4． 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}2,4,5D ．{}2,55． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）A ．259B ．2516C ．6116D ．31156． 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 7． 已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（ ）A ．{x|x ＜2}B ．{x|x ＞2}C ．{x|o ≤x ＜2}D ．{x|0＜x ＜2}8． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 9． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ 10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A ．B ．C ．1:D (1 11．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）A ． 1±B ． ±C ．D ．12．已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．14．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________． 15．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________． 16．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

安徽省蚌埠市2021年高三第三次质检数学试题〔文科〕本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试时间120分钟。

第一卷〔选择题，共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2，4}，那么A(C I B)=〔〕A．{1}B．{3}C．{1，3}D．{1，2，3}2i=〔〕2．复数2i1A．i B．i C．22i D．22i3．假设f[g(x)]6x3,且g(x)2x1,那么f(x)的解析式为〔〕A．3B．3x C．3(2x1)D．6x1 4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为，该同学的身高在[160，175]cm的概率为，那么该同学的身高超过175cm的概率为〔〕A．B．C．D．5．在空间四边形ABCD中，在AB、BC、DC、DA上分别取E、F、G、H四点，如果GH、EF 交于一点P，那么〔〕A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上6．假设曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，那么l的方程为〔〕A．4xy30B．x4y50C．4xy30D．x4y307．如图几何体的主〔正〕视图和左〔侧〕视图都正确的选项是〔〕8．假设双曲线x2ky21的离心率是2，那么实数k的值是〔〕A．—31C．3D．—1 B．3 39．以下命题正确的选项是〔〕A．函数y cos(x)的图像是关于点(,0)成中心对称的图形36B．函数y cos4x sin4x的最小正周期为2C．函数y sin(2x)在区间(,6)内单调递增33D．函数y tan(x)的图像是关于直线x成轴对称的图形3610．某企业生产甲、乙两种产品，生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。