第一章第六节垂直关系的性质

教学目标：1. 理解垂直平分线的定义及其性质。

2. 学会如何判定一条线段垂直平分线。

3. 能够运用垂直平分线的性质解决实际问题。

教学重点：1. 垂直平分线的定义及其性质。

2. 判定一条线段垂直平分线的方法。

教学难点：1. 理解和运用垂直平分线的性质。

2. 判定一条线段垂直平分线的方法。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规、直尺等绘图工具。

教学过程：第一章：垂直平分线的定义1.1 引入：通过展示一些线段垂直平分线段的例子，引导学生思考垂直平分线的特点。

1.2 讲解：垂直平分线是指一条直线，它垂直于线段所在的平面，并且将线段平分成两个相等的部分。

1.3 练习：让学生自己画出一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足垂直平分线的定义。

2.1 引入：通过展示一些垂直平分线的性质，引导学生思考垂直平分线的特点。

2.2.1 垂直平分线垂直于线段所在的平面。

2.2.2 垂直平分线将线段平分成两个相等的部分。

2.2.3 垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等。

2.3 练习：让学生运用垂直平分线的性质解决一些实际问题。

第三章：判定一条线段的垂直平分线3.1 引入：通过展示一些线段的垂直平分线，引导学生思考如何判定一条线段的垂直平分线。

3.2 讲解：判定一条线段的垂直平分线的方法如下：3.2.1 作线段的两个端点的垂直平分线，它们相交于点P。

3.2.2 点P到线段的两个端点的距离相等。

3.2.3 点P所在的直线就是线段的垂直平分线。

3.3 练习：让学生自己判定一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足判定方法。

第四章：垂直平分线的应用4.1 引入：通过展示一些垂直平分线的应用，引导学生思考垂直平分线的作用。

4.2 讲解：垂直平分线在几何和实际生活中有广泛的应用，例如：4.2.1 在几何中，垂直平分线可以用来证明线段相等、平行等问题。

4.2.2 在实际生活中，垂直平分线可以用来解决一些测量和建筑问题，例如确定线段的中点、测量角度等。

课时作业1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【答案】　D2．(2022·大庆二模)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥β，m α，α∩β＝n，则m∥n【解析】　由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥m，则n与α相交、平行或n α，故B错误；在C中，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，m α，α∩β＝n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．【答案】　D3．(2022·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是( )A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【答案】　B4．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确结论的序号是________．【答案】　①②③5．(2022·福建四地六校月考)点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的命题序号是________．【答案】　①②④6．(2022·临沂三模)如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．(1)求证：平面SBC⊥平面SOD；(2)如果∠AOC＝∠SDO＝60°，BC＝23，求该圆锥的侧面积．【解】　(1)证明：由题意知SO⊥平面OBC，又BC 平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB＝OC，CD＝BD，∴OD ⊥BC ，又SO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面SOD ， 又BC 平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SO D ． (2)在△OBC 中，OB ＝OC ，CD ＝BD ， ∵∠AOC ＝60°，∴∠COD ＝60°， ∵CD ＝12BC ＝3，∴OD ＝1，OC ＝2，在△SOD 中，∠SDO ＝60°，又SO ⊥OD ，∴SO ＝3， 在△SAO 中，OA ＝OC ＝2，∴SA ＝7， ∴该圆锥的侧面积为S 侧＝π×OA ×SA ＝27π．7．(2022·铜川二模)如图，△ABC 为边长为2的正三角形，AE ∥CD ，且AE ⊥平面ABC ，2AE ＝CD ＝2．(1)求证：平面BDE ⊥平面BCD ； (2)求三棱锥D BCE 的高． 【解】　(1)如图所示：取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是△BCD 的中位线所以FG ∥AE 且FG ＝AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以AG ∥EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF 面BDE ， 故平面BDE ⊥平面BCD ．(2)过B 做BK ⊥AC ，垂足为K ，因为AE ⊥平面ABC ， 所以BK ⊥平面ACDE ，且BK ＝2×32＝3所以V 四棱锥B ACDE ＝13×12(1＋2)×2×3＝3V 三棱锥E ABC ＝13×12×2×3×1＝33所以V 三棱锥D BCE ＝V 四棱锥B ACDE －V 三棱锥E ABC ＝3－33＝233因为AB ＝AC ＝2，AE ＝1，所以BE ＝CE ＝5，又BC ＝2 所以S △ECB ＝12×2×5－1＝2设所求的高为h ，则由等体积法得13×2×h ＝233所以h ＝3．8．(2022·石家庄)如图，在四棱锥A EFCB 中，四边形EFCB 是梯形，EF ∥BC 且EF ＝34BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上射影为点G ，且FG ＝3，CF ＝212，BF ＝52．(1)证明：平面FGB ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥E GBC 的体积．【解】　(1)证明：由顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥A C ．取AC 的中点为O ，连结OB ，G B ． 在Rt △FGC 中，FG ＝3，CF ＝212，所以CG ＝32． 在Rt △GBO 中，OB ＝3，OG ＝12，所以BG＝13 2．∴BG2＋GF2＝FB2，即FG⊥BG．∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG＝G∴FG⊥面AB C．又FG 面FGB，∴面FGB⊥面AB C．(2)∵EF∥BC，EF 面ABC，BC 面ABC ∴EF∥面ABC．V E GBC＝V F GBC∴三棱锥E GBC的体积V E GBC＝V F GBC＝13×S△GBC×h＝13×334×3＝34．9．(2022·保定二模)如图，在四棱锥P ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PE＝3，求点B到平面PEM的距离．【解】　(Ⅰ)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥PO．因为OP 平面PBD，BD 平面PBD，且OP∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD．所以平面PAC⊥平面PBD．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OP为点P到平面BME的高．所以V B PEM＝V P BEM＝13S△BEM×OP．连接OE．因为PO⊥平面ABCD，OE 平面ABCD，所以PO⊥OE．因为OE＝2，PE＝3，所以OP＝5．又因OA＝OB＝OC＝OD，所以PA＝PB＝PC＝PD．在△PEM中，PE＝PM＝3，ME＝12AC＝22，所以S△PEM＝12×22×32－（2）2＝14．设点B到平面PEM的距离为h，由V B PEM ＝13×S △PEM ×h ＝V P BEM ＝13S △BEM ×OP ＝13×12×2×2×5＝253，得143h ＝253， 所以h ＝707．所以点B 到平面PEM 的距离为707． 10．(2022·郑州质检)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC ．(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离． 【解】　(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC ．理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP ． 在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12， 因为△ADB 中，AP PB ＝12，所以AD ∥PN ．因为AD 平面MPC ，PN 平面MPC ， 所以AD ∥平面MPC ．(2)因为平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，所以AM ⊥平面MBCD ．所以V P MBC ＝13×S △MBC ×A M 2＝13×12×2×1×12＝16．在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝(12)2＋12＝52，所以S △MPC ＝12×2×(52)2－(22)2＝64． 所以点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P MBCS△MPC＝3×1664＝63．11．(2022·福建质检)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．(1)求证：AE ∥平面BCF ；(2)若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°，求三棱锥F AEC 的体积． 【解】　(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AD ∥BC ．又AD 平面BCF ，BC 平面BCF ，所以AD ∥平面BCF ，因为四边形BDEF 是矩形，所以DE ∥BF ．又DE 平面BCF ，BF 平面BCF ，所以DE ∥平面BCF ．因为AD ∩DE ＝D ，AD 平面ADE ，DE 平面ADE ， 所以平面ADE ∥平面BCF ．因为AE 平面ADE ，所以AE ∥平面BCF ．(2)设AC 与BD 交于点O ，则O 为AC 的中点．连接OE ，OF ，如图．故V F AEC ＝V C －AEF ＝2V O －AEF ＝2V A OEF ．在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，所以BD ＝3，所以AB 2＝AD 2＋BD 2，所以AD ⊥BD ．又DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，BD 平面BDEF ，DE平面BDEF ，所以AD ⊥平面BDEF ，故AD 的长为点A 到平面BDEF 的距离．因为DE＝1，所以S△OEF＝12S四边形BDEF＝12BD·DE＝32，所以V A OEF＝13·S△OEF·AD＝36，故V F AEC＝2V A OEF＝33，即三棱锥F AEC的体积为33．12．(2022·太原模拟)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3．(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD．(2)若cos∠BAD＝15，求几何体ABCDFE的体积．【解】　(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC．所以AC⊥平面BEFD．所以平面ACF⊥平面BEFD．(2)设AC与BD的交点为O，AB＝a(a>0)，由(1)得AC⊥平面BEFD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥BD，因为DF∥BE，所以DF⊥BD，所以BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，所以BD＝22，所以S四边形BEFD＝12(BE＋DF)·BD＝32，因为cos∠BAD＝15，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝85a2＝8，所以a＝5，所以OA2＝AB2－OB2＝3，所以OA＝3，所以V ABCDFE＝2V A－BEFD＝23S四边形BEFD·OA＝26．13．(2022·四川省宜宾市二模)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD⊥PD，AB＝AD＝1，CD＝2，PD＝3，E为线段PB的中点，且DE⊥BC．(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)若过三点C，D，E的平面将四棱锥P ABCD分成上，下两部分，求上面部分的体积V．【解】　(1)证明：连接BD，∵AB⊥AD，AB＝AD＝1，PD＝2∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝45°，∵CD＝2，∴BC2＝(2)2＋22－2×2×2cos 45°＝2，∴BC2＋BD2＝BC2，∴BC⊥BD ∵BC⊥DE，DE∩DB＝D，DE 平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PD，∵AD⊥PD，AD与BC相交，∴PD⊥平面ABCD．(2)作PA的中点F，连接EF，EC，DF∵E为PB的中点，∴EF綊12 AB．又∵AB綊12CD，∴EF綊14CD，∴EF与CD共面，∴平面CDFE为过三点C，D，E的截面∵V P CDE＝V B－CDE＝12V P BCD，PD⊥平面ABCD，∴V P CDE＝12×13(12×2×2)×3＝12∵V P DFE＝14V P CDE，∴V P DFE＝18∴V＝18＋12＝58．14．(2022·安徽省安庆市二模)如图，在四棱锥P ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝2，BC＝22．(1)证明：CD⊥平面PBD；(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求点B到平面PCD的距离．【解】　(1)∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，∴BD＝AD2＋AB2＝2；作DE⊥BC于E，则DE＝CE＝2，∴CD＝DE2＋CE2＝2；在△BCD中，∵DC2＋DB2＝22＋22＝8＝(22)2＝BC2，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD；∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PB⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴PB⊥CD，∵PB，BD 平面PBD，PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD．(2)∵PB⊥平面ABCD，∴PD与底面ABCD所成的角是∠PDB＝60°．在Rt△PBD中，DB＝2，∠PDB＝60°，∴PB＝23，PD＝4；设h为点B到平面PCD的距离，∵V B PDC＝V P DBC，∴13×S△PDC×h＝13×S△DBC×PB，∴h＝S△DBC×PBS△PDC＝12×2×2×2312×2×4＝3，即点B到平面PCD的距离为3．。

第六节 面面关系(一)平行 (二)垂直1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2）求多面体CDEFG 的体积。

3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；B 1C BADC 1A 1AEDBCA AC⊥平面BDE.（2）求证：平面15.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，=⊥︒点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节 面面关系答案（一）平行 （二）垂直1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG . （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为11125520335DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯=正方形3.证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 4.证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC5.（1）证明：连接BD.ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 为等边三角形.E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，.PD AB ⊥∴⊂DE 面PED ，PD ⊂面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ⊂AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ⊂面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，⊂EF PED ，.EF AB ⊥∴PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===∆PF EF PE PEF 中,147572212)7(cos 22=⨯-+=∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.1475立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．B ．CD ．3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 55.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ．AB∥平面SCDC ． SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.EFA Gαβ10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是 ． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示， 给出下列结论：①四面体A BCD -体积的最大值为725； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为145． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5． （1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC ． （2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正切值．15.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC ；4343AB CD4334DCBA（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．试卷答案1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征．专题：空间角．分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．解答：解：连接BD，；∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，∴cos∠DBD1===；故选：D．点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．3.C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．4.D考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线．所以OP=5．故选：D．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．5.D考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．6.D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．7.48.(2)(4)10.111.1 (,) 212.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可．解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，∴AC==10，∴，由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan∠DBE==．∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD，在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，∴∠AEO=45°，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（8分）（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，∵MN=1，NE=∴tan∠MEN=2…..（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．。

相交线与平行线全章教案第一章：相交线与平行线的概念介绍教学目标：1. 了解相交线与平行线的定义及特点。

2. 能够识别和判断直线之间的相交与平行关系。

3. 掌握平行线的性质及推论。

教学内容：1. 相交线的定义及特点。

2. 平行线的定义及特点。

3. 平行线的性质及推论。

教学活动：1. 通过图片和生活实例引导学生认识相交线与平行线。

2. 利用几何工具（直尺、三角板）进行实际操作，让学生观察和体验相交线与平行线的关系。

3. 引导学生通过观察和思考，总结出平行线的性质及推论。

作业布置：1. 请学生运用几何工具，画出两条相交线和两条平行线。

2. 请学生总结平行线的性质及推论，并加以证明。

第二章：相交线的性质与判定教学目标：1. 掌握相交线的性质及判定方法。

2. 能够运用相交线的性质解决实际问题。

教学内容：1. 相交线的性质。

2. 相交线的判定方法。

教学活动：1. 通过几何图形的观察和分析，引导学生掌握相交线的性质。

2. 利用几何工具进行实际操作，让学生体验相交线的判定方法。

作业布置：1. 请学生运用相交线的性质，解决一些实际问题。

2. 请学生总结相交线的判定方法，并加以证明。

第三章：平行线的性质与判定教学目标：1. 掌握平行线的性质及判定方法。

2. 能够运用平行线的性质解决实际问题。

教学内容：1. 平行线的性质。

2. 平行线的判定方法。

教学活动：1. 通过几何图形的观察和分析，引导学生掌握平行线的性质。

2. 利用几何工具进行实际操作，让学生体验平行线的判定方法。

作业布置：1. 请学生运用平行线的性质，解决一些实际问题。

2. 请学生总结平行线的判定方法，并加以证明。

第四章：平行线的应用教学目标：1. 掌握平行线的应用方法。

2. 能够运用平行线的性质解决实际问题。

教学内容：1. 平行线的应用方法。

2. 实际问题解决。

教学活动：1. 通过几何图形的观察和分析，引导学生掌握平行线的应用方法。

2. 提供一些实际问题，让学生运用平行线的性质解决。

北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1.能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学过程：<一>创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题——线段的垂直平分线)师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。

还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。

（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．<二>、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC ＝BC ，P 是MN 上的点．求证：PA ＝PB ．N A PB CM证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°.∵AC ＝BC ，PC ＝PC ， ∴△PCA ≌PCB(SAS)．∴PA ＝PB (全等三角形的对应边相等)．师：若直线MN 上还有一点Q ，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QA ＝QB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P ，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生：∠ A ＝∠B ，∠CPA ＝∠CPB .（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。

统编高中数学选择性必修(上中下)教材目
录
上册
第一章：函数基础
1.1 函数的概念与性质
1.2 函数的表示与运算
1.3 函数的图像与性质
第二章：数列与数学归纳法
2.1 等差数列与等差数列的通项公式
2.2 等比数列与等比数列的通项公式
2.3 递推数列与数学归纳法
第三章：三角函数
3.1 三角函数的定义与性质
3.2 三角函数的基本关系及其应用3.3 三角函数的图像与性质
中册
第四章：平面向量
4.1 平面向量的定义与性质
4.2 平面向量的运算与应用
4.3 平面向量的共线与垂直
第五章：立体几何
5.1 空间中的点、直线与平面
5.2 空间中的角与立体角
5.3 空间中的直线与平面的位置关系第六章：二次函数
6.1 二次函数的概念与性质
6.2 二次函数的图像与性质
6.3 二次函数的应用
下册
第七章：三角恒等变换
7.1 三角函数的诱导公式
7.2 三角函数的和差化积公式7.3 三角方程与三角不等式
第八章：数列的极限
8.1 数列的极限概念与性质
8.2 故事的单调性与夹逼准则8.3 数列极限的运算与介值定理
第九章：导数与函数的应用
9.1 导数的概念与性质
9.2 导函数与函数的递增与递减
9.3 函数的极值与最值
参考书目
高中数学教材（人教版）
高中数学教材（___版）
以上是统编高中数学选择性必修教材的目录，分为上中下册，涵盖了高中数学的主要知识点。

希望对您的学习有所帮助！。

人教版必修一第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1交集与并集3.2全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1函数的概念2.2函数的表示方法2.3映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像4.2二次函数的性质§5 简单的幂函数第二章指数函数与对数函数§1 正指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算是性质§3 指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数的图像和性质3.3指数函数的图像和性质§4 对数4.1对数及其运算4.2换底公式§5 对数函数5.1对数函数的概念5.2 的图像和性质5.3对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数的应用§1 函数和方程1.1利用函数性质判定方程解的存在1.2利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题2.3函数建模案例必修二第一章立体几何初步§1 简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1简单组合体的三视图3.2由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理§5 平行关系5.1平行关系的判定5.2平行关系的性质§6 垂直关系6.1垂直关系的判定6.2垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3球的表面积和体积第二章解析几何初步§1 直线和直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.2直线的方程1.3两条直线的位置关系1.4两条直线的交点1.5平面直接坐标系中的距离公式§2 圆和圆的方程2.1圆的标准方程2.2圆的一般方程2.3直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1空间直接坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式。

第六节 空间图形的垂直关系知识梳理一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直． 二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．三、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面．1．定义：从一条直线AB 出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αAB β，AB 叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．2．二面角的平面角：在二面角的棱AB 上任取一点O ，过O 分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM ，ON ，我们把∠MON 叫做二面角αAB β的平面角，用它来度量二面角的大小．平面角是直角的二面角叫做直二面角．1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．五、两个平面垂直的判定和性质.1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定和性质基础自测1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )A. m∥nB. n⊥mC. n∥αD. n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，根据面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.答案：B2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项A；两个平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行，可能异面，排除选项B；根据面面垂直的判定定理知，选项C错误，选项D正确．故选D.答案：D3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，从而有平面PCD⊥平面MBD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．答案：①③④1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：显然α与β相交，不然由α∥β⇒m ∥n ，与m ，n 为异面矛盾，排除选项A ；当α与β相交时，设交线为l ′，由m ⊥平面α，n ⊥平面β知，l ′⊥m ，l ′⊥n ，而l ⊥m ，l ⊥m ，于是易知l ′∥l .故选D.答案：D2．(2012·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明：(1) ∵ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD .又AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2) ∵A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴A 1F ⊥B 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1F .又CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .1．(2013·惠州一模)已知集合A 、B 、C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B.若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥b c ∥b ⇒a ∥c ，②⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥b c ⊥b ⇒a ∥c ，③⎩⎪⎨⎪⎧a ∥bc ⊥b ⇒a ⊥c ， ④⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bc ∥b ⇒a ⊥c .其中所有正确命题的序号是________．解析：对于①，当c 表示平面时，根据a ∥b 且c ∥b ，不一定有a ∥c 成立，可能a ⊂c ，故①不正确；对于②，c如果是平面，a可以在平面c内，所以②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确．综上，正确命题的序号为④.答案：④2．(2013·珠海一模)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE；(3)求二面角APDC的平面角的正弦值．(1)证明：PA⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，因为AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)证明：PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以PA＝AC，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC，由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，所以AE⊥PD.易知BA⊥PD，所以PD⊥平面ABE.(3)解析：过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF.由(2)知，AE⊥平面PCD，故∠AFE是二面角APDC的一个平面角．设AC ＝a ，则AE ＝22a ，AD ＝23a ，PD ＝73a ， 从而AF ＝PA ·AD PD ＝27a ，故sin∠AFE ＝AE AF ＝144.。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。

性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。

第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。

判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。

2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。

方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。

第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。

3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。

3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。

第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。

4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。

4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。

第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。

5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。