垂直关系的性质(最新课件)

1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
4．已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角
形. 证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC 于点F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC. 又PA 平面PAC，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于点G， 同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点 为D，∴PA⊥平面ABC.
提示：AA′与平面ABCD垂直；AD′与平面ABCD不垂 直．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面A′ADD′内的直线与AD垂直时才与平面ABCD垂 直．
平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互 相垂直，那么在 一个平面内垂直 于它们交线直垂 直于另一个平面
α⊥β α∩β＝l aα a⊥l
1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重 要依据，也是由垂直转化为平行的重要方法.
[精解详析] (1)如右图，取 AB 的中点 E， 连接 DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所 以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可 得 DE＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2，
(2)连接A1B，交AB1于点O，连接MO， 在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点， 所以OM∥A1N. 又OM 平面AB1M，A1N 平面AB1M， 所以A1N∥平面AB1M.
1．空间中直线与直线、直线与平面、平面与平 面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下
2．运用两个平面垂直的性质时，一般是在一个 面内作(或找)它们交线的垂线，得到线面垂直，再利 用线面垂直的定义得线线垂直．
③若m α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解：①由面面垂直的判定可知①正确；②中没有说明 m与n的关系，故②不正确；③中n与α有可能平行， 故③不正确；④由线面平行的判定定理可知④正确． 答案：B
[例2] 如图，A，B，C，D为空间四点，在 △ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形 ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. [思路点拨] (1)取AB的中点E，连接DE，CE，由于平 面ADB⊥平面ABC，故由面面垂直的性质定理得DE⊥CE， 从而在Rt△DCE中，可求CD. (2)分D是否在平面ABC内进行讨论．
[思路点拨] (1)要证明EF⊥平面BCE，只须EF⊥BE, EF⊥BC 即可，由面面垂直的性质定理和∠FEA＋∠AEB＝ 90°很容易证明． (2)要证明PM∥平面BCE，只须证明PM平行于平 面BCE内的一条直线，取BE的中点N，易知PM∥CN.
[精解详析] (1)因为平面ABEF⊥平面 ABCD，BC 平面ABCD，BC⊥AB， 平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥ 平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形， AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所 以∠FEB＝90°，即EF⊥BE. 因为BC 平面BCE，BE 平面BCE， BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.
问题3：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？ 提示：平行． 问题4：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？ 提示：不一定，若在同一平面内，则平行，若在 空间中，可能平行，相交，也有可能异面．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
如果两条直线同
垂直于一个平面，那
么这两条直线平行
符号语言
a⊥α b⊥α
理解教材新知
知识点一
立
垂
知识点二
体
直
几
垂直
关
考点一
何
关系
系
把握热点考向
考点二
初
的
考点三
步
性
质
应用创新演练
问题1：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于 地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？
提示：平行． 问题2：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、 CC1、DD1都垂直于平面ABCD，它们之间有什么位置关系 呢？ 提示：平行．
2.面面垂直的性质定理可简记为“面面垂直，则线 面垂直”.但“线”必须同时满足两个条件，即在其中一个 平面内且垂直于交线，“在平面内”不能舍去.
[例1] 如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC， AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG， EF＝EG.
求证：BC∥FG. [思路点拨] 证明BC⊥平面ADE，FG⊥平面ADE， 可得BC∥FG.
⇒a∥b
问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，能 否在黑板上画一条直线与地面垂直？
提示：能，画一条直线垂直于交线．
问题2：如图长方体ABCD－A′B′C′ D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直， 平面A′ADD′内的直线AD′、A′A与平面ABCD垂直吗？平面 A′ADD′内的直线满足什么条件时才与平面ABCD垂直？
6．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1 ⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥AA1； (2)若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥ 平面AB1M. 证明：(1)因为∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC1A1⊥平面ABC， 且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1， 又AA1 平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
[一点通] 1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供 了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常 找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直． 2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线 面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理， 应用此定理时要注意以下三点：①两个平面垂直；②直 线在一个平面内；③直线垂直于交线，缺一不可．
[精解详析] 连接DE. ∵AD⊥AB，AD⊥AC， ∴AD⊥平面ABC.又BC 平面ABC， ∴AD⊥BC，又AE⊥BC. ∴BC⊥平面ADE. ∵AF＝AG，D为FG的中点， ∴AD⊥FG. 同理ED⊥FG，AD∩ED＝D. ∴FG⊥平面ADE. ∴BC∥FG.
[一点通] 1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2．证明线线平行的方法 (1)a∥c，b∥c⇒a∥b. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)连接BE并延长，交PC于点H. ∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂线， ∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E， ∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
[例3] 如图，正方形ABCD所在平面与平面四 边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直 角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°. (1)求证：EF⊥平面BCE； (2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证： PM∥平面BCE.
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、 F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD. ∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1 平面BDD1B1，∴BD1⊥AC. 同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.