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空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
面面垂直的判定和性质定理面面垂直是几何学中一个重要的概念，它在几何证明和解题中扮演着重要的角色。
本文将介绍面面垂直的判定和性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、面面垂直的判定面面垂直的判定有以下几种常见的方法：1. 垂直平分线判定法如果两个平面的垂直平分线相交于一点，那么这两个平面就是垂直的。
垂直平分线是指一个平面同时平分另外两个平面，并且相交于同一个点。
2. 垂直相交线判定法如果两个平面有一条相交线同时垂直于这两个平面，那么这两个平面就是垂直的。
垂直交线是指一个平面与另外两个平面相交，且与这两个平面的交线的方向垂直。
3. 法线向量判定法如果两个平面的法线向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
法线向量是指一个向量垂直于平面，其方向由平面的法线确定。
二、面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理可以用于解决几何题目，以下是几个常见的定理：1. 两个垂直平面的截线是垂直的如果两个平面垂直，那么它们的任意一个截线与另一个截线的垂直切线是垂直的。
2. 两个垂直平面的夹角是锐角或钝角两个平面垂直的夹角是锐角或钝角，而不可能是直角或平角。
3. 直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面上法线的夹角是相等的。
4. 直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的如果一条直线与一个平面垂直，那么直线上的任意一点到平面的距离都是最短的。
总结：面面垂直的判定包括垂直平分线判定法、垂直相交线判定法和法线向量判定法。
面面垂直的性质定理包括两个垂直平面的截线是垂直的、两个垂直平面的夹角是锐角或钝角、直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角以及直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的。
这些定理在几何证明和解题中有着广泛的应用，对于深入理解和应用面面垂直概念非常有帮助。
结论：通过面面垂直的判定和性质定理，我们能够准确判断两个平面是否垂直，并且了解到垂直平面的一些重要性质。
线面垂直线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1题图题图【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c Þb ⊥c ;(2)a ⊥α,b ÌαÞa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理自然想到题断AB 1与A 1C垂直用同法（对称原理）例3题图解(1) 转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6, AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3, ∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例4题图题图●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ^Þþýü^// ②b a M b M a //Þþýü^^ ③Þþýü^^b a M a b ∥M ④Þþýü^b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.①②①② B.①②③①②③ C.②③④②③④ D.①②④①②④ 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m Ìα和m ⊥γ,那么必有那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直都不垂直 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图题图A.α与β必相交且交线m∥d 或m 与d 重合重合 B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合不重合 C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行一定不平行 D.α与β不一定相交不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是的序号是 ( ) A.①②③①②③ B.①②④①②④ C.②③④②③④ D.①③④①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.③与④③与④B.①与③①与③C.②与④②与④D.①与②①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是′的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. (1)求证:VC ⊥AB ; (2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图题图第12题图题图第13题图题图第14题图题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3. (1)求证：BD ⊥平面P AD . (2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小. 17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P . 第15题图题图第16题图题图522+BC AC 52×5354122++CD PC 333定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC , ∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC . ∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD . ∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面ABC 所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE . ∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB . 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD . (3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD . 16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，°，即AD ⊥BD 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD . (2)由BD ⊥平面P AD，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD所成的角. 第15题图解题图解第16题图解题图解∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=´. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M . 点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知中可知∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131=¢×，6 1。
空间中的垂直关系1线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直 线垂直于这个平面。
推理模式： _______________________直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 ________ 。
2. 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直)如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式： _______________________两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直)若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另 一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同 学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中 蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明.例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC(1) 求证：平面 PACL 平面PBC(2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互 相垂直的各对平面.2、 如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB证明：平面AB i C 平面ABC i3、 如图所示，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1 AA=2, M 是棱CC 的中点 (I)求异面直线AM 和GD 所成的角的正切值；(U)证明：平面ABML 平面A 1B 1M4、 如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面ABC 若AE L PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEF L 平面PBC5、 如图，直三棱柱 ABC — A B1C 1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90°，AA = •- 2 ， D是A 1B 1中点.(1)求证GD 丄平面A 1B ； (2)当点F 在BB 上什么位置时，会使 为：线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,得AB丄平面CDF并证明你的结论6、S 是厶ABC 所在平面外一点，SA 丄平面ABC,平面SABL 平面SBC 求证AB 丄BC.7、在四棱锥中B 底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VADL 底面ABCD 证明:AB 丄平面VAD求证：(1)直线EFII 平面PCD (2)平面BEF 丄平面PAD10、如图，，在三棱锥 S ABC 中，平面SAB 平面SBC , AB BC,AS AB .过 求证：(1)平面EFG //平面ABC …十十产弋…护(2) BC SA \/11、如图，在三■棱锥"P ABC 中, PA AC, PA 6,BC 8, DF 5.求证：(1)直线PA//平面DEF ;(2)平面BDE 平面ABC12、如图，在正方形 ABCD 中，AB 2, BC 1, E 是CD 的中点，F 是AE 的中 点。
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积． 解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
