极限的概念和运算法则

如果数列{an }无界, 则数列{an }一定发散.
an 2
n
发散
本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛.例如，数列 xn (1) n1
是有界的，但数列不收敛. 二 函数极限 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限 1 例 考察x 时,函数f ( x) 的变化趋势. x y
1 y x
x 时f ( x) 0.
oபைடு நூலகம்
x
定义
设函数y f ( x)在 x 充分大时有定义如果当x的绝对值 .
无限增大时,函数f ( x)的值无限接近于一个确定的常数A,
则A叫作函数f ( x)当x 时的极限, 记作
lim f ( x) A, 或f ( x) A(当x ).
x
设 lim an A, 对于 1, 必存在正整数N , 使当n N时, 有
n
an A 1成立.
当n N时, 有
| an || (an A) A || an A | | A | 1 | A | .
M max{| a1 |, | a2 |, , | aN |, 1 | A |} an M .
xN 1

a

xN 3 a x3 x1
o x2 a xN 2
x
例1 证明数列 证
(1)n 1 1 (1) | xn a | 0 . 2 2 (n 1) (n 1) n 1
1 1 (2) 0(设 1), 要使 xn a , 只要 ,即n 1. 1 n 1 (1)n (3) 取N [ 1], 则当n N时, 就有 xn a 0 . 2 (n 1)
一般形式
例如
1 2 3 n , , ,..., ,... 2 3 4 n 1
1 4 n (1) n 1 2, , ,..., ,... 2 3 n
1, 1,1, 1,...,(1)n1,...
数列{xn }可看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2 ,..., xn ,...
x x0
x x0
lim f ( x) g ( x) h( x) lim f ( x) lim g ( x) lim h( x).
x x0 x x0 x x0
0
x x0
x x0
x x0
lim 推论1 如果 x x f ( x)存在, C为常数, 则 lim Cf ( x) C lim f ( x).
例9
解
1 3 lim ( 3 ) x 1 x 1 x 1
1 3 ( x 1)( x 2) x2 因为 3 2 2 x 1 x 1 ( x 1)( x x 1) x x 1
x 1
lim (
1 3 x2 1 2 3 ) lim 2 1 2 x 1 x 1 x1 x x 1 (1) (1) 1
x x0 x x0 x x0
lim f ( x) xx0 f ( x) A (3) lim ( B 0). x x0 g ( x) lim g ( x) B
x x0
定理1可推广到有限个函数的情形. lim f ( x) g ( x) h( x) lim f ( x) lim g ( x) lim h( x).
300 3 . 500 5
“ 抓大头 ”
8x2 2 x 1 例 12 求 lim 3 2 . x x x 5 解 用x3同除分子及分母,, 再求极限,得
8 2 1 2 3 2 8x 2x 1 x x x lim 3 lim x x x 2 5 x 1 5 1 3 x x
例如 定义
1 lim f ( x) lim 0. x x x
如果当x ( x )时,函数f ( x)的值无限接近于一个
确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x ( x )时的极限, 记作
x
lim f ( x) A, 或f ( x) A(当x ).
取N max{N1 , N2}, 则当n N时 :
ba an a , 2 ba an b . 2
b a (an a) (an b) an a an b
ba ba b a . 矛盾 2 2 所以数列{an }只能有唯一的极限.
记作
x x0
lim f ( x) A, 或f ( x0 ) A.
x x0
( lim f ( x) A, 或f ( x0 ) A).
函数f ( x)当x x0时极限存在的充分必要条件是 定理 左右极限都存在并相等,即 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
推论2
lim f ( x) lim f ( x) . 如果 lim f ( x)存在, n为正整数, 则 x x x x0 0 x x0
n
x x0
x x0
n
例7
x 1
求 lim(3x 2 2 x 1).
x 1
解 lim(3x 2 2 x 1) lim3x 2 lim 2 x lim1
x
( lim f ( x) A, 或f ( x) A(当x )).
例3
考察函数y arctan x的图像, 求出下列极限： lim arctan x, lim arctan x, lim arctan x.
x x x
y
2
y arctan x
n n
ba 根据定义 , 对于给定的 0,因为 lim an a, 所以存在 n 2
正整数N1 ,当n N1时, 有 ba an a ; 2
又因为 lim an b, 所以存在正整数N 2 , 当n N 2时, 有
n
ba an b . 2
(1)n (4) lim xn lim 0. n n ( n 1) 2
收敛数列的性质
定理 （惟一性） 如果数列{an }收敛,则数列{an }的极限唯一. 证 反证法. 假设数列{an }有两个不同的极限 : lim an a, lim an b, a b,
x x0 x x0 0 x x0 0
1, x 0. 例6 求函数 f ( x) sgn x 0, x 0, 1, x 0
当x 0时的左右极限, 并讨论极限 lim f ( x)是否存在.
x 0
解
y
x 0, f (0 ) lim f ( x) lim ( 1) 1,
x 0
例如
lim f ( x) lim(1 x 2 ) 1,
x 0
或f ( x) 1 x2 1( x 0).
定义
如果当x x0 ( x x0 )时,函数f ( x)值无限接近于一个
确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x x0 ( x x0 )时的左(右)极限,
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
x2 1 例 4 讨论函数 y f ( x ) 当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势. x 1 解 该函数的图像是直线 y x 1上除去点 （1， 以外的部分， 2）
如图可以看到， 此函数在 x ＝1 处虽然没有定义， 但是当 x 从 x ＝ x2 1 1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数 f ( x) 的值越 x 1 来越趋近于 2。
第二节 极限的概念和运算法则
一 数列极限
定义 按照一定顺序排成的一列数，叫作数列.组成数列的 每个数都叫作这个数列的项. 第一个数叫作数列的第1项，
记作x1; 第二个数叫作数列的第2项, 记作x2；第n个数叫作
数列的第n项，也叫作通项，记作xn .
x1 , x2 ,..., xn ,...
并记作{xn }, 有时也简记作xn .
o x2
x1x3
xn
x
1 4 n (1) n 1 ... ,... 的变化趋势. 考察当n 时, 数列 2， ， ，， 2 3 n n (1)n1 (1) n1 xn 1 1.(n ) n n
定义
如果当n无限增大时, 数列{xn }无限接近一个确定的常数a,
x 0 x 0
1
f (0 ) lim f ( x) lim 1 1.
x 0 x 0
o
1
x
f (0 0) f (0 0),
lim f ( x)不存在.
x 0
三 极限的运算法则
1. 极限的四则运算法则 定理
如果 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
则称常数a是数列{xn }的极限，或者称数列{xn }收敛于a, 记作
lim xn a, 或xn a (n ).
n
对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的，数列 极限可以用更精确的数学语言来刻画
几何解释:
| xn a | a xn a
y
2 1
x2 1 y x 1
Ｏ
1
x
定义
设函数f ( x)在点x0的某一邻域内( x0可以除外)有定义.
如果当x无限接近于定值x0 ,即x x0 ( x不等于x0 )时,函数f ( x)
的值无限接近于一个确定的常数A, 则A叫作函数f ( x)当x x0
时的极限, 记做
x x0
lim f ( x) A, 或f ( x) A(当x x0 ).
3x3 2 x 1 . 例11 求 lim 3 x 5 x x 5
解
2 1 3 2 3 3x3 2 x 1 x x lim 3 lim x 5 x x 5 x 1 5 5 2 3 x x 2 1 lim 3 2 3 x x x 1 5 lim 5 2 3 x x x
解
x , arctan x

2
lim arctan x
x

o

x
lim arctan x
x
2 x , arctan x 2
x
;

2
2 lim arctan x lim arctan x,
x
x
;
x 时, 极限 lim arctan x不存在.
x x0 x x0
x x0 x x0
(1) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B.
x x0
(2) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B.
x 1 x 1 x 1
3(lim x) 2 2 lim x 1
x 1 x 1
3 12 2 1 1 4.
例8
解
x2 1 求 lim . x 1 x 1
x =1 时分母为 0 !
x2 1 ( x 1)( x 1) lim lim lim( x 1) 1 1 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
定义 对于数列{an }, 如果M 0, 使得任意n有
an M ,
则称数列{an }是有界的. 如果这样的正数M 不存在, 就说.
数列{an }是无界的
例如 a 2n n
n 1
有界
2n M 2 2对一切正整数n都成立. n 1
an 2n 无界
定理2（有界性） 如果数列{an }收敛, 则数列{an }一定有界. 证 因为数列{an }收敛, 所以数列的极限存在.