历年高考文科数学真题汇编+答案解析(8)：坐标系与参数方程

高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________.2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox 中,A(2,0),B (√2,π4),C (√2,3π4),D(2,π),弧AB ⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M 1是弧AB⏜,曲线M 2是弧BC ⏜,曲线M 3是弧CD ⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M 由M1,M2,M3构成,若点P 在M 上,且|OP|=√3 5.(2018·全国1·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l 与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最(2)设点A的极坐标为(2,π3大值.10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a. 13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (2)直线l 的参数方程是(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=,求l 的斜率.14. (2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin =2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N, 求△C 2MN 的面积.16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:(t 为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5, √3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,].半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q都在曲线 C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C 1:(t 为参数),圆C 2:(θ为参数).(1)当α=时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】√2 +1【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知1+1=1,即|1-a|=√2,解得a=1±√2.∵a>0,∴a=√2+1. 2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【解析】(1)因为-1<1-t 21+t2≤1,且x2+(y 2)2=(1-t 21+t2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l的距离为√3sinα+11√7=4cos (α-π3)+11√7.当α=-2π3时,4cos (α-π3)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7. 3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2√3. 由已知得|OP|=|OA|cos π3=2.设Q(ρ,θ)为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos θ-π3=|OP|=2. 经检验,点P 2,π3在曲线ρcos θ-π3=2上. 所以,l 的极坐标方程为ρcos θ-π3=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2. 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈π4,π2.4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox 中,A(2,0),B (√2,π4),C (√2,3π4),D(2,π),弧AB ⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M 1是弧AB⏜,曲线M 2是弧BC ⏜,曲线M 3是弧CD ⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M 由M1,M2,M3构成,若点P 在M 上,且|OP|=√3 【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤,M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ≤θ≤,M 3的极坐标方程为ρ=-2cos θ≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.综上,P 的极坐标为.5.(2018·全国1·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2,由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以|-k+2|√k +1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2|√k +1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l 与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,<α<.设A,B,P对应的参数分别为t A,t B,t P,则t P=,且t A,t B满足t2-2tsin α+1=0.于是t A+t B=2sin α,t P=sin α.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最(2)设点A的极坐标为(2,π3大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为(t 为参数),直线l 2的参数方程为(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M 为l3与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y=k(x-2);消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k 得x 2-y 2=4(y≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5, 所以交点M 的极径为.11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy 中,已知直 线l 的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2s),从而点P 到直线l 的距离d=.当s=时,d min =.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值.12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.15.(2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,4求△C2MN的面积.【解析】(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.故当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.【解析】(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5, √3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d=√55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=d sin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55. 20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 【解析】(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为(t 为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C 是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=,t=.故D 的直角坐标为,即.21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离 d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得所以C1与C2交点的极坐标分别为.23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【解析】因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A,B,C,D,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3点的交点为B,求|AB|.【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数). (1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),因此当α变化时,P点轨迹的参数方程为(α为参数).P点轨迹的普通方程为+y2=.故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.。

专题14坐标系与参数方程历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 参数方程2019年新课标1文科22解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科22解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科22解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科23解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科23解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科23解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科23解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科23解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科23解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科23历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得162+4m+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．2．【2018年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C1的方程为y＝||+2．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：2+y2+2﹣3＝0，转换为标准式为：（+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝||+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝+2的距离等于半径2．故：，或解得：或0，当＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．3．【2017年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．4．【2016年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，2+（y﹣1）2＝a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①由2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴2+y2＝4，②即（﹣2）2+y2＝4．由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y＝2为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ，∴1﹣a2＝0，∴a＝1（a＞0）．5．【2015年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，直线C1：＝﹣2，圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R）代入圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．6．【2014年新课标1文科23】已知曲线C：1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：1，可令＝2cosθ、y＝3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t＝﹣2，代入②并整理得：2+y﹣6＝0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）＝﹣1时，|P A|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，|P A|取得最小值，最小值为．7．【2013年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（﹣4）2+（y﹣5）2＝25，即C1：2+y2﹣8﹣10y+16＝0，将代入2+y2﹣8﹣10y+16＝0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为2+y2﹣2y＝0，联立，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（）和（2，）．8．【2012年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（0，y0），则为参数）t＝|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝42+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]9．【2011年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（I）设P（，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|．10．【2010年新课标1文科23】已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α时，C1的普通方程为，C2的普通方程为2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为cosα+y sinα＝0②，联立①②可得＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。

学 科 教 师 辅 导 教 案授课日期及时段2017年月日：一1.（ 2015年广东文）线G 的极坐标方程为 ?COST sinv - -2,曲线C 2的参数方程为X" （ t 为参数），则c ,与C 2交[y =2（2txOy 中，曲线 G ： x-tcos- ,（t 为参数，且t = o ）, y =tsinot,,在以o 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ' = 2sin 二，C 3:『=2 3cos .（I ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（II ）若C ,与C 2相交于点A C i 与C 3相交于 点B ,求AB 最大值.试题分析：（I ）把C 2与C 3的方程化为直角坐标方程分别为X 2 y 2-2y =0,x 2 y 2 - 2 - 3^0, 联 立 解学员姓名 年级咼二辅导科目 数学授课老师课时数2h第次课建立极坐标系.曲点的直角坐标为 2, -4 .其中 0 _ ：方程溟可帚玄毛住届 5)元踴定田连q 跆捋方程为&二列尸怎比口砂〕起一步求比点4田股生标 先(24n 蔭.cr ］点3的赣坐标为:2^3阳cc rxj 由lit 可届 |-切| ==4 sin ； a~—；I I »tv.门】曲纯G 的劃i 坐标才程为討+H -即"堆錢C 的臣角坐标2隍为Y 3 +j :- 烬=0慝注T孑百3、：厨以G 写Q 喪点的直审业悟［0』片丄二訂di: it 或G 粧生标古里対■立耳中。

三空v-兀 因i 汽亠田槻坐咄利2血尤②車g以坐标原点为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系(I )求C i ,C 2的极坐标方程.(II )若直线C 3的极坐标方程为日=』(PE R )，设C 2,C 3的交点为M,N ，求A C 2MN1;■ I=sidff-—xOy 吕，直线I 的参数方程为］x = 3十」t占2 (t 为参数)，以原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， L C 的极坐标方程为二=2 3sinx⑴ 写出L C 的直角坐标方程;(II) 为求点P 的坐标.试题解析： ⑴ 由—2、：3sinr ,得「2=2、.3飞inn ，从而有x 2 亠〔y - ；3 = 3卡寸二2 3y 所以 (II)设+号呼「『3昇卜A 2丿<2 丿t 2 12 , 故当t =0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).4、(2015新课标1)在直角坐标系xOy 中，直线C i:x = -2 ,圆 C2：(x-1$+(y -2)2=1 ,兰口=苓时⑷限待醍人直醍尢值拘1. 6Hi以「iff | - |2si]i!Z-2^ UJ > L £(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（H ）直线l 的参数方程是[xicosc ^t 为参数），|与C 交于A ,B 两点，|AB|=V10 , y = tsi na求l 的斜率. f = x 2• y 2解：⑴整理圆的方程得x 2y 212 1^0，由Tcosv-x 可知圆C 的极坐标"sin J - y方程为J 2 12 2osr 1仁0 .⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx — y=0， 由垂径定理及点到直线距离公式知：単=丄5 一回f , 即、时' I 2丿36k ： =90，整理得 k 2=5，则—15 . 1 k 24 337、（ 2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为日（日为参数）, [y =s in 日以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C 2的 极坐标方程为宀心尸2（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（II ）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ 的最小值及此时P 的直角坐8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参数方程为x =cos 入厂2sin '（二为参数）.设直线|与椭圆C 相 交于A, B两点，求线段AB 的长.x =1 - t23 F (t为参数），椭圆C 的参数方程为通方程，并求出它们的公共点的坐标。

-年高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程学生版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：学科教师辅导教案 学员姓名年 级高三 辅导科目 数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2018年 月 日 ： — ：1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.历年高考试题集锦——坐标系和参数方程4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5、（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .6、（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．7、（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.8、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.9．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x （θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。

第6章 极坐标与参数方程1．（2013全国2文23）动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.2.（2014新课标Ⅱ文23）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.3（2012全国文23）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围.4.(2015全国II 文23) 在直线坐标系中，曲线：（为参数，）其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：(1) 求与交点的直角坐标；P Q ，2cos 2sin x tC :y t=⎧⎨=⎩t t α=2t α=0<<2παM PQ M M d a M xOy x C 2cos ρθ=0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C D C C D :2l y =+D 1C 12cos ,:3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ)x 2C 2ρ=ABCD 2C ,,,A B C D A π2,3⎛⎫⎪⎝⎭,,,A B C D P 1C 2222PA PB PC PD +++xOy 1C cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t 0t ≠0πα剟O x 2C 2sin ρθ=3C 2C 3C5.(2015全国I 文23)在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求的极坐标方程. （2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积.6.（2011全国文23））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．7（2013全国I 文23）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标8（2016全国卷1 23.）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。

C的极坐标方程为C的直角坐标方程；为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求点ρ=(I)由2：化为普通方程为2=由题意：y x，（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【简解】（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=. （II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=≤,解得2525a -≤≤12. (2014新标1理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-=（Ⅱ）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255. 13.(2013新标2理)已知动点P 、Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【简解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点． 14、已知点A 的极坐标为(2,)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．2=，15．（2012辽宁）在直角坐标-3）(-3≤≤3) 16．(2013新标1) 已知曲线⎝⎛⎭⎫2，π4⎭⎫，π217．（2013辽宁）⎭⎪⎫－422. ＝2t3解⎨⎪⎧x2＋－＝4，得⎨⎪⎧x1＝0，⎨⎪⎧x2＝2，所以C 与C 交点的一个极坐标为 ⎛⎪⎫4，π，＝12|OA ⎭⎫－π3⎪⎪⎭⎫－π3－32＋ 3. ＝－π12时，＋ 3.＋ 3.23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系＝m k －2＝＝1k (设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝1k＋消去k 得x －y ＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x －y ＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧－＝4，＋－2＝0，得＝－13，从而＝910，＝110.的极径为 5.24．(2017·江苏，21)在平面直角坐标系中＝t222s22s 从而点P 到直线的距离d ＝|2s2－42s ＋8|5＝－2＋4|，当s ＝2时，d ＝45.。

2011年高考试题解析数学（文科）分项版18 选修系列：坐标系与参数方程一、填空题:1．(2011年高考广东卷文科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤θ )π<和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245 （t ∈R ），它们的交点坐标为 ．3.（2011年高考陕西卷文科15) C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为________.【答案】1【解析】：由3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得圆心为1C 1(3,0),1r =，由1ρ=得圆心为2C 1(0,0),1r =，由平几知识知当A B 、为12C C 连线与两圆的交点时AB 的最小值，则AB 的最小值为12||2C C -|30|=-2-321=-=二、解答题:4.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

解：（Ⅰ）设动点),(y x P ，则依题意：)2,2(yx M ，因为点M 在曲线1C 上，所以⎩⎨⎧+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααααsin 44cos 4sin 222cos 22y x y x 即所以，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x （α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=，它们与射线3πθ=交于A 、B 两点的极径分别是343sin 8,323sin 421====πρπρ，因此，3221=-=ρρAB点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）6.（2011年高考辽宁卷文科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合。

坐标参数方程（文） ⑥1、（09普宁文）设直线参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 23322（t 为参数），则它的截距式方程为 。

2、(2013·陕西)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．3、（08年广东文）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ． 4、（2010陕西）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为________________5、（2011广东）已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和 ⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245（t R ∈），它们的交点坐标为6、（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 和2c 的参数方程分别为=5cos =5sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和2=122=2x ty t ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（t为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ． 7、（2013广东A ）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为t t y tx (⎩⎨⎧==为参数）和θθθ(sin 2cos 2⎪⎩⎪⎨⎧==y x 为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______ 8、（2013广东文科）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．9、（广州2011高三上期末调研测试）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .10、（惠州2011高三第三次调研考试文）已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :x y C θθ=+=+，则C 上各点到l 的距离的最小值为____________11、(2011江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程_________12、（2011江西卷）若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为13、（2011湖南）9.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x ，（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()01sin cos =+-θθρ，则1C 与2C 的交点个数为 .[来14、(2011天津卷)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 882，（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆())0(4222>=+-r r y x 相切，则=r ______15、（2012年湖南省文）在极坐标系中，曲线1C ：(2cos sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a = .16、（2012陕西文科）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为17、(12北京)直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______18、（2013年高考湖南（文））在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s=+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____19、（09江门模拟文）在极坐标系中，直线(cos 2sin 2)20ρθθ-+=被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 ．20、（07广东深圳）若直线y=x+b 与曲线θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==y x 为参数，22πθπ≤≤-)有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______答案：极坐标参数方程（文）1、（09普宁毕业考文）设直线参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 23322（t 为参数），则它的截距式方程为 。