高三数学三模(理科)试题及答案.docx

安徽省安庆市高三数学第三次模拟考试卷理（扫描版）2013年安庆市高三模拟考试（三模） 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 选项 B A C C DD C C A C1．解析：∵i i i i8)2()1()11(366=-=-=+，故选B 。

2．解析：x x x x g 2cos )22sin(]3)12(2sin[)(=+=++=πππ，故选A 。

3．解析：3lg lg lg 963=++a a a ⇒10101063363963=⇒=⇒=a a a a a ，∴10026111==a a a ，故选C 。

4．解析：当 x 为直线， y 、 z 为平面时，x 可能在平面y ；故A 错； 当 x 、 y 、 z 为平面时，x ， y 可能相交； 当 x 、 y 为直线， z 为平面时， x ∥ y 当 x 、 y 、 z 为直线时，x ， y 可能相交也可能异面； 故选C 。

5．解析：由100111≤<⇒≥-⇒≥x xx x ，100)1ln(<≤⇒≤-x x ， 故选D 。

6．解析：4(4x tt y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），03=+-⇒y x ，ρθ=⇒2)2(22=-+y x ，∴圆心到直线的距离为2223<-=d故选D 。

7．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，不妨设点P 在右支上，∴22121222212||||2||||4||||b PF PF aPF PF c PF PF =⇒⎩⎨⎧=-=+，∴221||||2121b PF PF S F PF ==∆，故选C 。

8．解析：由12123)(23++-=x x x x f 2133)('2+-=⇒x x x f21036)(''=⇒=-=⇒x x x f ，∴1)21(=f ，∴)(x f 的对称中心为)1,21(，∴2)()1(=+-x f x f ，∴2013)20142013()20142()20141(=+++f f f ，故选C 9．解析：74cos72cos 7cos πππ⋅⋅=S 817sin878sin 7sin 274cos 72cos 7cos 7sin233-==⋅⋅=πππππππ，故选A 。

2021届高三数学三模试题 理〔含解析〕第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设复数z 满足(23)z i i +=，那么z 在复平面上对应的点位于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z,再求复数z 即得解. 【详解】由题得(23)3223(23)(23)13i i i iz i i i -+===++-， 所以321313z i =-， 所以z 在复平面上对应的点为32)1313（，-， 应选：D【点睛】此题主要考察复数的除法运算和一共轭复数的求法，考察复数的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.集合(){}2|lg 1A x y x ==-，{}|2xB y y ==，那么AB =〔 〕A. (1,1)-B. (1,)-+∞C. [0,1]D. (0,1)【答案】D 【解析】【分析】根据对数中真数大于0求出集合A ，根据指数函数的图像和性质得出集合B ，进而求出AB【详解】(){}2|lg 1A x y x ==-∴210x ->解得：11x -<<{}|11A x x ∴=-<< {}|2x B y y =={}|0B y y ∴=>{}|01A B x x ⋂=<<应选D【点睛】此题重点考察交集及其运算，易错题在于集合A 、B 分别代表对数函数的定义域和指数函数的值域。

3.假设命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.那么以下命题中是真命题的是〔 〕 A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】对于命题p,22000131=()024x x x -+-+>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题；对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题. 所以()p q ⌝∧是真命题. 应选：C【点睛】此题主要考察复合命题的真假的判断，考察全称命题和特称命题的真假的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.设110a e =，b =1lg c e=〔其中 2.71828e =是自然对数的底数〕，那么〔 〕A. c b a >>B. a b c >>C. a c b >>D.b ac >>【答案】B 【解析】 【分析】判断a,b,c 的范围即得a,b,c 的大小关系. 【详解】由题得10101a e e =>=，ln 1,b e ==且b>0.1lg lg10c e=<=，所以a b c >>. 应选：B【点睛】此题主要考察指数函数、对数函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为〔 〕 A. 210x y +-=B. 210x y -+=C. 10x y -+=D.10x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，求出导函数'()f x ，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程。

九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,24.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814B.8168C.4D.35.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是()甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（）A.89B.79 C.429D.0A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（A.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.(4g π= D.()g x 在(0,6π10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x-的图像关于直线1x =对称，则()f x （）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增DA C 图2图1榫卯B 11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.2D.212.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为.BCDP1C 1B 1A 1D A 14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅=.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12nn n a a ++=，则9S =.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为,).BA CD三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.D ABC。

卜人入州八九几市潮王学校郓城一中等2021届高三数学第三次模拟考试试卷理〔含解析〕一、选择题1.集合A＝{x|－2≤x≤3}，函数f〔x〕＝ln〔1－x〕的定义域为集合B，那么A∩B＝〔〕A.[－2，1]B.[－2，1〕C.[1，3]D.〔1，3]【答案】B【解析】【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.应选：B【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，属于根底题。

2.假设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，那么〔〕A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用求得z2=−1+i，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。

【详解】∵z1=1+i，复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴z2=−1+i，∴z1z2=1+i−1+i=(1+i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2i2=−i应选:B【点睛】此题主要考察了复数的对称关系，还考察了复数的除法、乘法运算，属于根底题。

3.假设tanα=43，那么cos(2α+π2)=〔〕A.−2425B.−725C.725D.2425【答案】A 【解析】 【分析】由tan α=43及cos 2α+sin 2α=1可求得cos 2α=925，整理cos (2α+π2)得cos (2α+π2)=−83cos 2α，问题得解。

【详解】由{tan α=43=sinαcosαcos 2α+sin 2α=1得：cos 2α=925又cos (2α+π2)=−sin2α=−2sinα⋅cosα=−2×43cosα⋅cosα=−83cos 2α所以cos (2α+π2)=−83×925=−2425 应选：A【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系及诱导公式，还考察了二倍角公式，考察计算才能，属于中档题。

4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规那么多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉冷庐杂识写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱．假设用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，那么恰好取自雄鸡鸡尾〔阴影局部〕的概率为〔〕 A.14B.17C.18D.116【答案】C 【解析】 【分析】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解。

三模理科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3的零点为x1和x2，则x1+x2的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知向量a=(3,-1)，b=(2,1)，则向量a与b的数量积为：A. 5B. 4C. -1D. -5答案：C3. 若直线l的方程为y=2x+1，且直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形OAB的面积为：A. 1/2B. 1C. 2D. 4答案：B4. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A5. 若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 486B. 162C. 54D. 18答案：A6. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(1/2)x，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=bC. b=2aD. b=4a答案：A7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+6答案：A8. 若抛物线C的方程为y^2=4x，且抛物线C上的一点P到焦点F的距离为5，则点P的横坐标x为：A. 4B. 3C. 2D. 1答案：B9. 已知函数f(x)=ln(x)-x，求f(x)的极值点为：A. 1B. 0C. -1D. e答案：A10. 若正方体的体积为8，则其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 48答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值为________。

答案：212. 若直线l的倾斜角为60°，且过点(1,2)，则直线l的方程为________。

答案：y-2=√3(x-1)13. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2=2，则a1+a3的值为________。

高中届毕业班第三次诊断性考试数 学（理工类）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合U (C )N M =A ．{}2B ．{}2,5C ．{}4,5D ．{}1,3 2．已知是虚数单位，复数21+(1)i i -的虚部为A.12 B. 12- C. 12i D. 12i - 3． 已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ,m α,n β⊥,则A ．m n ⊥B ．n l ⊥ C.mn D ．ml4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大 鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图 描述，如图所示，则输出的结果是A. 5B. 4C. 3D. 25．函数33()xx f x e-=的大致图象是6．等比数列的前项和为，若，，则等于A ．33B ． -31C ．5D ．-37．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是A ．B ．C ．D ．8．已知圆22:(3)(1)1C x y +-=和两点(,0),B(,0),(0)A t t t ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则当OP 取得最大值时，点P 的坐标是 A ．333(,2 B ．333)2C ．332(,22 D ．323()229．已知函数()3)(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，1(,0)3A 为图象()f x 的对称中心，,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是A ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ B ．24(2,2),33k k k Z -+∈C ．24(4,4),33k k k Z ππππ-+∈D ．24(4,4),33k k k Z -+∈10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．883π+B ．1683π+ C ．8163π+ D ．16163π+ 11．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 235 D.312．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =. 若对任意x R ∈，都有()()1f x f x '>+，则使得()1x f x e +<成立的的取值范围为A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若不等式组满足21022040x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤，则2z x y =+的最大值为 .14．在42⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．(用数字作答) 15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA在CB 方向上的投影为 .16．n S 为数列{}n a 的前项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =______.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。

2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k 赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力. (2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M 的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,,设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积. 详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。

R2 = OA2 = 00； + AO；=詈,I-I 2 >~i因此该直三棱柱外接球的表面积为S = 4兀疋=4兀X旦二一牝2,故选A.12 38.【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力. _____ __________【试题解析】C 由d”+i = + 2 J a” +1 +1,球口。

”+] +1 = a” +1 + 2 J a” +1 +1 = (J °” +1 +1)2, 即J°”+i +1 = J。

” +1 +1，故数列{、乔“是公差为1的等差数列，所以J Q^+I=J°I+1+12=13,则a l3 = 168.故选C.9.【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求.本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.■JT【试题解析】D.由于«G[O,y], Z?G[O,1]，而a x G[O,1], b x G[0,1],TT所以坐标变换公式为a = -a,, b =勺.故选D.210.【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质.本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】A 设卩(西*]),。

(七，％)，由题意可知，I PF\=x^2, \QF\=X2+2,贝!J1 11 1 _ + x2 + 4I FP I I FQ I Xj +2 兀2+ 2 x{x2 + 2(%j +x2) + 4联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2-(4k2+8)x + 4k2=0,可知占耳=4,故丄+丄=—无+耳+4—=勺+耳+4 =丄故选人I FP I I FQ I XyX2 + 2(%j + x2) + 4 2(x{ +x2) + 8 211.【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此V =1X2X4+^X12X2=8+2^-.故选B.12.【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质，对于函数图像的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查，本题是函数与不等式的综合题，考查较为全面，难度系数较高，是一道区分度较好、综合性较强的题目.同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.【试题解析】C 设A(X A , y A), B(X B ,y B\C(x c, y c), D(X D ,y D),则= 4~a, = 4°,18—旦n4—4茲石a+旦x c= 4 2a+1, x D=42a+1,则丄=一面兰——，分子与分母同乘以4 2。

2019-2020年高三下学期三模考试数学（理）试题含答案理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,|x 5x 60U R A x ==-+≥，则U C A =A.{}|2x x >B. {}|32x x x ><或 C. {}|23x x ≤≤ D. {}|23x x << 2.设复数z 满足()25i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知,a b R ∈，则"01a ≤≤且01"b ≤≤是"01"ab ≤≤的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知向量,a b 的夹角为60，且1,23a a b =-=，则b =A. 1B.D.25.在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1—30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[]77,90内的学生人数为A. 2B. 3C. 4D.56.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S 表示的值为 A.0123a a a a +++ B. ()30123a a a a x +++C. 230123a a x a x a x +++D. 320123a x a x a x a +++ 7.已知函数()()sin 20f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移个4π单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于A.2B. 4C.6D. 8 8.给出以下四个函数的大致图象：则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是 A.②④③① B.④②③① C.③①②④ D.④①②③9.在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有 A.24种 B.36种 C.60种 D.96种10.已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为,B A ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为A.1B. 1C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11.若存在实数x 使4x a x -+≤成立，则实数a 的取值范围是 .12.已知函数()1x xe mf x mx e -=++是定义在R 上的奇函数，则实数m = . 13.圆心在x 轴的正半轴上，半径为双曲线221169x y -=的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是 .14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 15.已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点，记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3c o s c o s 13s i n s i n cAB A B +=+ （1）求C（2）若ABC 的面积为5b =，求sin .A17.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，190,//,2,2A D C ABCD A DD C ∠===平面PBC ⊥平面A B C D .（1）求证：;AC PB ⊥（2）若PB PC ==，问在侧棱PB 上是否存在一点M ，使得二面角M AD B --的余弦值为9？若存在,求出PMPB的值;若不存在，说明理由.18.(本小题满分12分)某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课10人进行分析.（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； （2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.19.(本小题满分12分)下表是一个由2n 个正数组成的数表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+==（1）求1n a 和4n a ； （2）设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中内动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于C,D 两点（A,C 两点相邻）.①若BF tFA =，当[]1,2T ∈时，求k 的取值范围；②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN 与BDN 面积之积的最小值.21.(本小题满分14分) 已知函数()()l n1.a fx x x a Rx=-++∈ （1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；（2）当0a =时，关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ，证明：12 2.x x +>。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第三次模拟考试数学〔理科〕试卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，那么A B =〔〕A.(1,2)-B.(0,1)C.(,2)-∞D.(1,1)-【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-；由20log x<得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 1,2⋃=-.应选A【点睛】此题主要考察集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于根底题型.11iz i+=-，z 是z 的一共轭复数，那么z z⋅=〔〕A.-1B.iC.1D.4【答案】C 【解析】 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，求得z 的值，可得z ，从而求得z z ⋅的值．【详解】()()()211111i iz i i i i ++===--+，那么z i =-，故()1z zi i ⋅=⋅-=，应选C.【点睛】此题主要考察复数根本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于根底题．3.“搜索指数〞是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为根底所得到的统计指标.“搜索指数〞越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2021年9月到2021年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，以下结论正确的选项是〔〕A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强。

卜人入州八九几市潮王学校三中2021届高三年级第三次模拟考试数学〔理科〕试卷本卷须知：1.本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.2..3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，那么A B =〔〕 A.{1,2}B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{2,3} 【答案】B【解析】【分析】 先求出集合B ，由此能求出A B ． 【详解】集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}，{1A B ∴=，4}．应选：B ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2.91i 1i+=-〔〕 A.1-B.i -C.1D.i【答案】D【解析】【分析】按照复数的运算规那么进展运算即可. 【详解】921i 1(1)1i 12i i i i +++===--. 应选：D【点睛】此题考察复数的根本运算，属于根底题. 3.,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么tan θ=〔〕 A.2 B.43 C.3 D.125【答案】A【解析】【分析】 由同角三角函数的根本关系计算可得cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角差的正切公式计算可得. 【详解】解：因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,424πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么tan 34πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan 3144tan tan 244131tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭. 应选：A【点睛】此题考察三角恒等变换，考察运算求解才能，属于根底题.4.在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，假设P 为CD 的中点，那么PA PB ⋅的值是〔〕A.5-B.4-C.4D.5【答案】D【解析】 【分析】由题意可知5cos 5PDA ∠=，由()()2PA PB PD BC PD CB ⋅=-⋅-+，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可. 【详解】解：由题意可知，2DA CB =，PD PC =-，2214252PD PC ==+=. ∴tan 2PDA ∠=，5cos 5PDA ∠=. //BC AD，∴BCD PDA π∠=-∠，5525855⎛⎫=--⨯⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察两个向量的加减法法那么，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.5.算数书竹简于上世纪八十年代在江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖〞的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一〞.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136VL h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为〔〕 A.227 B.15750 C.289 D.337115【答案】C【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213Vr h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，那么213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=，故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 应选：C.【点睛】此题利用古代数学问题考察圆锥体积计算的实际应用，考察学生的运算求解才能、创新才能.6.等差数列{}n a 的公差为3，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，6a 成等比数列，那么6S =〔〕 A.51B.54C.68D.96 【答案】A【解析】【分析】根据1a ，2a ，6a 成等比数列，列出方程解出1a ，再利用等差数列求和公式，即求出6S ．【详解】因为1a ，2a ，6a 成等比数列，所以2216a a a =，即2111(3)(53)a a a +=+⨯，解得11a = 所以665613512S ⨯=⨯+⨯=． 应选：A.【点睛】此题主要考察等比中项及等差数列前n 项和公式，属于根底题．7.以下说法正确的选项是〔〕A.“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀>，2sin x x >〞B.假设平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥那么//αβ C.随机变量ξ服从正态分布()21,N σ〔0σ>〕，假设(01)0.4P ξ<<=，那么(0)0.8P ξ>= D.设x 是实数，“0x <〞是“11x<〞的充分不必要条件 【答案】D【解析】【分析】 A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x <⇒0x <或者1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】“00x ∃≤，002sin x x ≤〞的否认形式是“0x ∀≤，2sin x x >〞，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，那么,αβ可能相交，故B 错误；假设(01)0.4P ξ<<=，那么(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x<，得0x <或者1x >， 故“0x <〞是“11x <〞的充分不必要条件，D 正确. 应选：D.【点睛】.8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假玩耍某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨〞是“甲在原始森林〞的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．假设以上语句都正确，那么玩耍千丈瀑布景点的同学是〔〕A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】D【解析】【分析】根据演绎推理进展判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此玩耍千丈瀑布景点的同学是丁．应选：D ．【点睛】此题考察演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题根底．9.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的局部图像如下列图，给出以下四个结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，那么4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又(0)2f =，可得sin26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π-⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 应选：B.【点睛】此题主要考察利用三角函数局部图象求解析式和三角函数的根本性质，考察运算求解才能，是根底题.10.函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当1x >时，()1ln()f x x x =-， 由1,y y x x=-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增 又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x =-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x f x e π=，假设()0,1x ∈，那么()0,x ππ∈ 所以cos tx π=在()0,1递减，而t y e =是增函数 所以()cos x f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误应选：A【点睛】此题考察详细函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.11.P 为双曲线C ：22221x y a b-=〔0a >，0b >〕左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，假设2||MP PF +的最小值为12F F ，那么C 的离心率为〔〕B.2D.4+【答案】C【解析】【分析】 根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得. 【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a ac +==， 22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得42e +=或者42e =，所以42e +=. 应选：C【点睛】此题考察双曲线的离心率，考察化归与转化的数学思想.12.函数()ln(f x x =+满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，那么实数a 的取值范围为〔〕 A.ln 2[8,)2-+∞ B.ln 25[8,2ln 2]24--- C.ln 2(,8]2-∞- D.5(,2ln 2]4-∞-- 【答案】C【解析】【分析】由函数()ln(f x x =+在定义域单调递增，原不等式成立可转化为()2211max 2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a 的取值范围.【详解】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增， 对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得22112ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()2211max 2maxln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭， 令2111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-， 在11[,2]2x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令222ln ()x h x x =， 求导可得22221ln ()x h x x -'=，2()0h x '=，可得2x e =，在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增， 所以在21[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==， 即ln 282a +≤， 解得ln 282a ≤-， 应选C .【点睛】此题为函数与导数的综合应用题，考察函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.(2x -1)7=a o +a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 2=____.【答案】84-【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()71721r r r r T C x -+=-当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-， 那么284a =-.故答案为：84-【点睛】此题考察求二项展开式指定项的系数，是根底题.14.f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．【答案】7【解析】当02x ≤<时，3()00,1f x x x x =-=⇒=，所以函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点横坐标为0,1,2,3,4,5,6一共7个点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15.椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么2ABF 的内切圆半径是________. 【答案】23【解析】【分析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆方程分析可得a ，b ，c 的值，由勾股定理分析可得222116AF AF -=，122AF AF a +==1AF 和2AF 的值，计算可得2ABF 的面积与周长，由内切圆的性质计算可得内切圆半径.【详解】解：设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=，其中a =b =2c =，1224F F c ==.因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，那么有222116AF AF -=，122AF AF a +==解得13AF =，23AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积1211422SAB F F =⨯⨯==，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r =. 故2ABF 内切圆的半径为23. 故答案为：23. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，利用三角形面积公式进展转化是解题关键，属于中档题. 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．那么c ＝_____；AB BC⋅=_____．【答案】(1).7(2).967-【解析】 【分析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin 〔A ﹣B 〕＝0，故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =，由余弦定理得16＝c 2+〔2a 〕2﹣2c •2a •cos 6π，解得c 7=；可得a 7=，可得AB BC ⋅=-accosB 9677==-．967-．【点睛】此题考察了正弦、余弦定理的综合应用，考察了学生综合分析，转化化归，数学运算的才能，属于中档题.三、解答题:(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.等比数列{}n a 〔其中n *∈N 〕，前n 项和记为n S ，满足：3716S =，且212log 1log n n a a +=-+ ()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列{}log n n a a ⋅，n *∈N 的前n 项和nT.【答案】()1112n n a +=；()213322n n n T ++=-. 【解析】 【分析】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据对数的运算可得q 的值，再根据等比数列求和公式可得首项1a 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；()2设2log n n n b a a =⋅，然后根据()1题的结果可得{}n b 的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减法求出前n 项和n T . 【详解】解：()1由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，212log 1log n n a a +=-+，∴12122log log log 1n n n na a a a ++-==-，∴112n n a q a +==．由3716S =，得31127116121a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣=-⎦，解得114a =． ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a +=．()2由题意，设2log n n n b a a =⋅，那么112n n n b ++=-． ∴12231231222n n n n b b T b ++⎛⎫++=-+++⎪⎝+⎭＝， 故231231222nn n T ++-=+++，312212222n n n T n n +++-=+++. 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-．∴13322n n n T ++=-．【点睛】此题考察等比数列的性质应用，错位相减法求和的方法，考察转化思想，数学运算才能，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点〔1〕证明：BEDC ⊥；〔2〕假设F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.【答案】〔1〕证明见详解；〔2 【解析】 【分析】〔1〕以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；〔2〕设(,,)F a b c ，由BFAC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪ ⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：〔1〕∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B 〔1，0，0〕，P 〔0，0，2〕，C 〔2，2，0〕，E 〔1，1，1〕，D 〔0，2，0〕，(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BEDC ⊥；〔2〕∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PFPC λλ=∈，那么(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=，∵BFAC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =，那么0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z =，得(0,3,1)n =-，平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m=，设二面角F AB P --的平面角为θ， 那么||cos ||||103m n m n θ⋅===⋅ ∴二面角F AB P --. 【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.19.十八大以来，HYHY 提出要在2021年实现全面脱贫，为了实现这一目的，国家对“新农合〞〔新型农村医疗〕推出了新政，各级财政进步了对“新农合〞的补助HY ．进步了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表假设一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．假设李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．〔Ⅰ〕李村在这个结算年度内去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？〔Ⅱ〕假设将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用〔报销后个人应承担局部〕X的分布列与期望．【答案】〔Ⅰ〕316495； 〔Ⅱ〕X的发分布列为：期望61EX ． 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；〔Ⅱ〕由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X的分布列，进而求出概率．【详解】解：〔Ⅰ〕由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲、三甲人数为200070%1400⨯=，200010%200⨯=，200015%300⨯=，20005%100⨯=，而三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，所以去三甲门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：10080%80⨯=人，设从去三甲门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A ，那么()2802100316495C P A C ==；〔Ⅱ〕由题意可得随机变量X的可能取值为：50500.620-⨯=，1001000.460-⨯=，2002000.3140-⨯=，5005000.2400-⨯=，(20)0.7p X ==，(60)0.1P X ==，(140)0.15P X ==，(400)0.05P X ==，所以X的发分布列为：所以可得期望200.7600.11400.154000.0561EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】此题主要考察互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 20.在直角坐标系xOy 中，点()1,0P、Q (x ，y )，假设以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切.〔1〕求点Q 的轨迹C 的方程； 〔2〕假设C 上存在两动点A B ，〔A ，B 在x 轴异侧〕满足32⋅=OA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB的值.【答案】〔1〕24y x =；〔2〕48AB = 【解析】 【分析】 〔1〕设(),Qx y 122+=⨯x ，化简后可得轨迹C 的方程.〔2〕设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=OA OB并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长.【详解】〔1〕设(),Qx y ，那么圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，122+=⨯x ，化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+，联立24y x =得2440y my n --=，设()()1122,,A B x y x y ，〔其中120y y <〕所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或者4n =-〔舍〕， 直线:8AB x my =+，因为PAB ∆的周长为22AB +所以22PA PB AB AB ++=+即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y y =-==所以24182m +=，解得m =±所以48AB ===.【点睛】此题考察曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或者y 的一元二次方程，再把等式化为关于两个的交点横坐标或者纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或者1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.此题属于中档题. 21.函数2()cos 2a f x x x =+〔a ∈R 〕，()f x '是()f x 的导数. 〔1〕当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕1a ≤ 【解析】 【分析】〔1〕设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，再利用零点存在性定理即可解决；〔2〕函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么'0y ≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【详解】〔1〕由，'()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-，设'1()()cos g x h x x x ==-，'21()sin g x x x-=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()gx 单调递增，而(1)0g '<，'02g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，且'()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图象连续不断.所以'()gx 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点α，当(0,)x α∈时，'()0gx <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >；∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点，即()hx '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点；〔2〕设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥，∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=，即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤，因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴34()2sin 203m x ax x x =--≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令'2()22cos24()m x a x x p x =--=，∵sin 22x x ≤， ∴'()4sin 280p x x x =-≤，'()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，当1a ≤时，'()0m x ≤，那么()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意. 当1a >时，'()mx 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，'(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当00x x ≤<时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是1a ≤【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，此题是一道较难的题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分．做答时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 选修4-4：坐标系与参数方程 22.曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是:22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 是参数〕. ()1假设直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且AB =m 值.()2设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.【答案】()11m =或者3m =；()22⎡-+⎣.【解析】 【分析】()1把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的间隔求出m 值； ()2把曲线C 的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出x y +的取值范围.【详解】解：()1曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程为：y x m =-.∴圆心到直线l的间隔〔弦心距〕2d ==,圆心()2,0到直线y x m =-2=, ∴1m =或者3m =.()2曲线C 的方程可化为()2224x y -+=，其参数方程为：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕(),M x y 为曲线C上任意一点，24x y πθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭x y ∴+的取值范围是2⎡-+⎣.【点睛】此题考察参数方程与极坐标的应用，属于中档题. 选修4—5；不等式选讲.23.函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 【答案】〔1〕{}|11x x -<<；〔2〕证明见解析 【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M . 〔2〕将不等式坐标因式分解，结合〔1〕的结论证得不等式成立.【详解】〔1〕解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 由()4f x <，解得11x -<<，故{}|11Mx x =-<<. 〔2〕证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->， 所以10ab a b --+>.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的证明，属于根底题.。

唐山市—高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞ 2、已知i 为虚数单位，(21)1z i i -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1355i -- B ．1355i + C ．1355i -+ D ．1355i - 3、总体由编号为01,02,03,,49,50的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A ．05B ．09C ．11D ．204、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为 A ．52 B ．52或5 C ．2 D ．5 5、执行右侧的程序框图，若输出4y =，则输入的x 为 A ．3-或2-或1 B ．2- C ．2-或1 D ．16、数列{}n a 首项11a =，对于任意,m n N +∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =A ．121B ．25C ．31D ．35 7、某几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．4B ．8C ．43 D ．838、函数()1(1)x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为9、若9290129(1)x a a x a x a x -=++++，则1239a a a a ++++=A ．1B ．513C ．512D ．511 10、函数()cos()(0)6f x wx w π=+>在[0,]π内的值域为3[1,]2-，则w 的取值范围是 A ．35[,]23 B ．53[,]62C ．5[,)6+∞ D ．55[,]6311、抛物线2:4C y x =的焦点F ，N 为准线上一点，M 为轴上一点，MNF ∠为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF ∆的面积为 A ．22 B ．2 C ．322D ．32 12、已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()0()g x f x f x =- ，则()g xA ．恰有一个零点B ．恰有两个零点C ．恰有三个零点D ．至多两个零点第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13、已知向量(3,1),(2,1)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为 14、直角ABC ∆顶的三个顶点都在球的球面O 上，且2AB AC ==，若三棱锥O ABC -的体积为2，则该球的表面积为15、已知变量,x y 满足约束条件102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为5-，则实数a =16、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214()2n n n S a n N +-+=-∈，则n a =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,cos a b c a b b C -=． （1）求证：sin tan C B =；（2）若2,a C =为锐角，求c 的取值范围．18、（本小题满分12分）某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？ （2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动． ①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率；②记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，024,60,,,BC AB ABC PA AD E F ==∠=⊥分别为,BC PE 的中点，AF ⊥平面PED ．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1)2E（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相较于不同的两点,A B ， 求AB 的最大值．21、（本小题满分12分）已知函数()2ln(1),(0)f x x ax a =++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间(1,0)-有唯一的零点0x ，证明2101e x e --<+<．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积．23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()21f x x a x =++-． （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1()g a f a=，求满足()4g a ≤的a 的取值范围．唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题：（13）5 （14）44π （15）－3 （16）n2n －1三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ， 即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ， 得sin C ＝tan B ． …6分 （Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝b 2＋4b －4＝(b ＋2)2－8， …8分由a －b ＝b cos C 知b ＝a 1＋cos C ＝21＋cos C ，由C 为锐角，得0＜cos C ＜1，所以1＜b ＜2． …10分 从而有1＜c 2＜8．所以c 的取值范围是(1，22)．…12分（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则8100＝x4000，解得x ＝320.所以该校4000名学生中“读书迷”有320人．…3分（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率P ＝1－C 45C 48＝ 1314．…6分（ⅱ）X 可取0，1，2，3．P (X ＝0)＝ C 45 C 48＝ 114，P (X ＝1)＝C 13C 35 C 48＝ 37，P (X ＝2)＝ C 23C 25 C 48＝ 37，P (X ＝3)＝ C 33C 15 C 48＝ 114，…10分XE (X )＝0× 1 14＋1× 3 7＋2× 3 7＋3× 1 14＝ 32．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AE ，因为AF ⊥平面PED ，ED ⊂平面PED ，所以AF ⊥ED ．在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°，所以AE ＝2，ED ＝23， 从而有AE 2＋ED 2＝AD 2， 所以AE ⊥ED ． …3分又因为AF ∩AE ＝A ，所以ED ⊥平面PAE ，P A ⊂平面P AE ， 从而有ED ⊥PA ．又因为P A ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ， 所以P A ⊥平面ABCD ． …6分（Ⅱ）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，2，0)，D (23，0，0)，B (－3，1，0)．因为AF ⊥平面PED ，所以AF ⊥PE ， 又因为F 为PE 中点，所以P A ＝AE ＝2． 所以P (0，2，2)，F (0，1，1)，AF →＝(0，－1，1)，AD →＝(23，－2，0)， BF →＝(3，0，1)．…8分设平面AFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AF →·n ＝0，AD →·n ＝0得，⎩⎨⎧－y ＋z ＝0，23x －2y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．…10分设直线BF 与平面AFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BF →，n 〉|＝|BF →·n ||BF →||n |＝232×7＝217，即直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值为217．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…4分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， 可知直线l 的方程为x ＝±1，易求|AB |＝3． …5分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，…6分将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，AFP BE C D xy z设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，…8分|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－8km 1＋4k 2)2－16m 2－161＋4k 2＝41＋k 21＋4k 2－m 21＋4k 2，又因为m 2＝k 2＋1，所以|AB |＝43|k |k 2＋11＋4k 2≤2(3k 2＋k 2＋1)1＋4k 2＝2，当且仅当3|k |＝k 2＋1，即k ＝±22时等号成立． 综上所述，|AB |的最大值为2．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x ＞－1．令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1，Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)．若Δ＜0，即0＜a ＜2，则g (x )＞0，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0，仅当x ＝－ 12时，等号成立，当x ∈(－1，＋∞)时，f '(x )≥0，f (x )单调递增．若Δ＞0，即a ＞2，则g (x )有两个零点x 1＝－a －a (a －2)2a ，x 2＝－a ＋a (a －2)2a ．由g (－1)＝g (0)＝1＞0，g (－1 2)＜0得－1＜x 1＜－ 12＜x 2＜0． 当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f '(x )＞0，f (x )单调递增． 综上所述，当0＜a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，f (x )在(－1，－a －a (a －2)2a )和(－a ＋a (a －2)2a，＋∞)上单调递增，在(－a －a (a －2)2a ，－a ＋a (a －2)2a)上单调递减．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1，0)的唯一零点x 0． 所以2ax 02＋2ax 0＋1＝0，从而有a ＝－12x 0(x 0＋1)． 又因为f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 02＝0，所以ln(x 0＋1)－x 02(x 0＋1)＝0． 令x 0＋1＝t ，则ln t －t －12t ＝0．设h (t )＝ln t ＋12t － 1 2，则h '(t )＝2t －12t2．再由（Ⅰ）知：0＜t ＜1 2，h '(t )＜0，h (t )单调递减．又因为h (e －2)＝e 2－52＞0，h (e －1)＝e －32＜0，所以e －2＜t ＜e －1，即e －2＜x 0＋1＜e －1．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．设Q (ρ，θ)，则P (ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π2)＝4sin θ．所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π3)＝2(3－1)，则S ＝ 12|AB |×d ＝3－3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和， 因为x ＝－3或2时f (x )＝5，依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1a－1|，当a ＜0时，g (a )＝－ 2a－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无解；当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2a＋2a －1，由g (a )≤4得2a 2－5a ＋2≤0，解得 1 2≤a ≤2，又因为0＜a ≤1，所以 12≤a ≤1；当a ＞1时，g (a )＝2a ＋1≤4，解得1＜a ≤ 32，综上，a 的取值范围是[1 2， 32]． …10分。