2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】

绝密★启用前山东省济南市2019届高三高考模拟考试数学（理科）试题（解析版）2019年3月本试卷共6页,23题（含选考题）,全卷满分150分。

考试用时120分钟.注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积,为锥体的高）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算,然后得到,再确定是在复平面的象限.【详解】,所以在复平面对应的点位于第四象限.故选D项.【点睛】复数的四则运算,与的关系,复数与复平面的关系.2.已知全集,集合,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合和进行化简,然后求得.【详解】集合中：,,集合中：,故选A项.【点睛】考查集合补集的求法,属于简单题.3.已知为等比数列,若,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：由等比数列可求得,再由和求得.法二：由等比数列的性质,等比中项求得.【详解】法一：为等比数列,且,法二：为等比数列【点睛】本题考查等比数列求公比和其中一项的值,等比中项,属于简单题.。

2019届山东省高三3月模拟考试理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则 ( )A. B. C. D.2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知命题：对任意，总有；：“ ”是“ ，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.4. 已知函数，则函数的图象大致为( )A. B. C. D.5. 运行下边的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 下列结论中错误的是（）A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点（），则D. 若扇形的周长为 6 ，半径为 2 ，则其圆心角的大小为 1 弧度7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为（其中为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9. 设实数满足约束条件，若目标函数的最小值为-6，则实数等于( )A. 2B. 1C. -2D. -110. 定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（ )A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题11. 已知向量，其中，，且，则__________ ．12. 在上随机取一个数，则事件“ 成立”发生的概率为 __________ ．13. 在二项式的展开式中，含项的系数是，则__________ ．14. 对于函数，若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为 __________ ．15. 已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________ ．三、解答题16. 在中，内角的对边分别是，已知为锐角，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）设函数，其图象上相邻两条对称轴间的距离为 .将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，是等边三角形，且侧面底面，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值.18. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．19. 已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，， .（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和为 .20. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为 .（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.21. 设函数， .（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）记，讨论的单调性；（Ⅲ）若在恒成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

青岛市2019年高三自主检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．D A C C A D B A C B C B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．43-14．36415．9816．①②③三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ，两式相减得121()2n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 为正项数列，所以22=-+n n a a ，又11=a ，·······································································3分故数列21{}n a -是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以211(1)2n a n -=+-⨯12-=n .·································································6分（2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以23(1)221n a n n =+-⨯=+·····································································8分所以nn n a a a a a S 2123212+++++=- 2(121)(321)2222n n n n n n +-⨯++⨯=+=+.·················································12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题知：8,12,20,10a b c d ====···················································2分则2225080240)25162532800===3 2.70620302822328223711231k -⨯⨯=>>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（，··················4分所以，有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；················································5分（2）由题知X 的分布列为：X101112P0.160.480.36·················································································································8分当10k =时，()=103000.16+(10300+600)0.48+(10300+2600)0.36=3720E Y ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯元；当11k =时，()=113000.64+(11300+600)0.36=3516E Y ⨯⨯⨯⨯元；当12k =时，()=12300=3600E Y ⨯元；所以当()E Y 最小时=11k ·············································································12分19．（本小题满分12分）解：（1）取AD 中点O ，连接,,PO FO 四边形ABCD 为菱形AC BD ∴⊥,O F 分别为,AD AB 中点，//OF BD∴AC OF ∴⊥又PF AC ⊥ ，OF PF F = AC ∴⊥面POF ·························································································3分PO ⊂ 面POF PO AC∴⊥又O 为AD 中点，PA PD =PO AD ∴⊥AD AC A = PO ∴⊥面ABCD ·······················································································5分PO ⊂ 面PAD ∴面PAD ⊥面ABCD ··················································································6分PD C B A F O y x z（2）连OB ，11,602AO AB A ==∠= ，OB AD ∴⊥，分别以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),P B (1,0,0)D-2),PB ∴=-(1,BD =- ····························································8分设平面PBD 的一个法向量1(,,)n x y z = 1100n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200z x -=--=⎪⎩，取y =，则13()2n =- ·····································································10分显然2n OB == 为面PAD 的一个法向量设二面角A PD B --的平面角为θ，121212cos cos ,19||||n n n n n n θ⋅∴=<>==⋅ ·····················································12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题知F 恰为),0(b -········································································1分所以中点)0,(2c F 满足：2a c =，因为222c b a +=，所以2243a b =…①·············2分又因为点),(b a E在抛物线2:3N x y =上，所以23a =…②····················3分由①②解得：1,3,2===cb a ····································································4分所以椭圆M 的标准方程为：13422=+y x ··························································5分（2）设43,(2t t P ，因为抛物线243:x y N =，所以x y 23='，则直线243)(23t t x t y AB +-=：·································································6分将直线24323t x t y AB -=：的方程代入椭圆13422=+y x 得：048312)1(124322=-+-+tx t x t ···································································7分因为32212121222,()1222(1)t x x y y x x t t +=+=+-=++·····························9分所以点3222()2(1)4(1)t C t t -++，，··································································10分t k t k 23,4321-==···················································································11分所以8321-=k k （点差法等其他方法正常给分）················································12分21．（本小题满分12分）解：（1）当a e =时，x e x x f ln )(-='····························································1分令()ln ,()1(0)e x e h x x e x h x x x x -'=-=-=>·················································2分当),0(e x ∈时,0)(<'x h ；当),(+∞∈e x 时,0)(>'x h ，所以()f x '在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增；所以0)()(='≥'e f x f ··················································································3分所以)(x f 在），（∞+0上单调递增·····································································4分又因为0)(=e f ，所以)(x f 有且只有一个零点e ········································································5分（2）由题意知x a x x f ln )(-='，令()ln H x x a x =-，()1(0)a x a H x x x x -'=-=>···········································6分当0≤a 时，()0H x '>，()H x =)(x f '在），（∞+0上单调递增，()f x '不可能有两个零点，不合题意·································································7分当0>a 时，当(0,)x a ∈时，()0H x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0H x '>所以()H x =)(x f '在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，因此()H x =)()(a f x f '≥'所以()ln 0f a a a a '=-<，a e >···································································9分当e a >时，因为(1)10f '=>所以()f x '在(1,)a 上有一个零点；·································································10分令2()()a ag a a e e =>，则(2)()0()a a a g a a e e-'=<>()g a ∴在(,)e +∞上单调递减222()()1e e e g a g e e e ∴<=<=所以2a e a >·······························································································11分所以0ln )(2>-=-='a e e a e e f a a a a ，所以)(x f '在),(a e a 上也有一个零点；综上知：当e a >时，)(x f 有两个极值点························································12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）曲线C 的普通方程为1x y +=，·························································1分曲线C 的极坐标方程为：(cos sin )1ρθθ+=，即sin()42πρθ+=.···················3分曲线M 的极坐标方程为：4cos ρθ=.··························································5分（2）因为OMB ∆与OMA ∆以点M 为顶点时，它们的高相同，即OMB OMA S S ∆∆=||||OB OA ·························································································6分由（1）知，1||sin cos A OA ραα==+，||4cos B OB ρα==，所以2||4cos (sin cos )2sin 24cos ||OB OA ααααα=+=+2(1sin 2cos 2)2)4πααα=++=++·················································8分由0,2πα<<得52444πππα<+<，所以当2,42ππα+=即8πα=时，||||OB OA有最大值为2+·····························9分因此OMB OMAS S ∆∆的最大值为2+.·································································10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）由题知，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩·····················································2分所以不等式3)(≥x f 可化为：133x x ≥⎧⎨≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩·························4分所以不等式的解集为{|1x x ≤-或1}x ≥···························································5分（2）画出函数()y f x =的图象，如图所示其中13(,22A -，(1,3)B 因为直线AB 的斜率为1所以直线a x y +=与直线AB 平行因为直线a x y +=与)(x f y =的图象围成多边形，所以2a >分由3y x a y x =+⎧⎨=⎩得：3(,)22a a C ；由3y x a y x=+⎧⎨=-⎩得：3(,44a a D -所以|||244a a CD =+=·····································································7分又AB 与CD 之间的距离d ==||2AB =·································8分所以梯形ABCD 的面积2139()(4)24282S a a =⨯+⨯-=·················9分所以4a =或4-（舍）故所求实数a 的值为4·················································································10分。

2019年山东省青岛市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数z 满足z ＝3+2i （i 为虛数单位），则z 2的虚部为（ ） A.5 B.−12 C.−5 D.12 【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z ＝3+2i ，∴ z 2＝(3+2i)2＝9+12i +4i 2＝5+12i ， ∴ z 2的虚部为12．2. 函数f(x)=ln(x 2−4x+4)(x−2)5的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】使用换元法判断出函数的奇偶性，从而排除不符合答案；其次在根据零点正确选出答案． 【解答】函数f(x)定义域为x ≠2； ∴ f(x)=ln[(x−2)2](x−2)5，令x −2＝t ，则函数f(t)=lnt 2t 5；∴ 函数f(t)为奇函数，排除B ，C ；且当t >0即x >2时，函数f(t)＝0有且只有一个零点，排除D ．3. 已知{a n }为等比数列，a 10，a 30是方程x 2−11x +16＝0的两实根，则a 20等于（ ） A.3 B.±4 C.4 D.±3 【答案】 C【考点】等比中项一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】由{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16＝0的两实根，可得a10a30=a202= 16，a10+a30＝11>0，a10，a30都为正数．即可得出a20．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16=0的两实根，∴a10a30=a202=16，a10+a30=11>0，∴a10，a30都为正数．∴a20>0．则a20=4．故选C.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为a，且−46<a<2，则①处应填入的条件为（）A.n≥7？B.n≥6？C.n≥5？D.n≥4？【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得n＝1，S＝16不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝14，n＝2不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝10，n＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝2，n＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝−14，n＝5由题意，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为−14，可得判断框内的条件为n≥5？5. 将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间[π12, 7π12]上单调递增B.在区间[π12, 7π12]上单调递减C.在区间[−π6, π3]上单调递减D.在区间[−π6, π3]上单调递增【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k ＝0即可得到函数在区间[π12, 7π12]上单调递增，则答案可求． 【解答】把函数y ＝3sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y ＝3sin[2(x −π2)+π3]． 即y ＝3sin(2x −2π3)．当函数递增时，由−π2+2kπ≤2x −2π3≤π2+2kπ，得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ,k ∈Z ．取k ＝0，得π12≤x ≤7π12．∴ 所得图象对应的函数在区间[π12, 7π12]上单调递增．6. 若不等式ax 2+ax −1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A.0≤a ≤4 B.−4<a <0 C.−4≤a <0 D.−4≤a ≤0 【答案】 D【考点】函数恒成立问题 【解析】讨论a ＝0和a ≠0时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【解答】解：a =0时，不等式ax 2+ax −1≤0化为−1≤0，解集为实数集R ； a ≠0时，应满足{a <0,Δ≤0,所以{a <0,a 2+4a ≤0,解得−4≤a <0；综上，实数a 的取值范围是−4≤a ≤0． 故选D .7. 为了深入践行绿水青山就是金山银山的理念，坚定不移走好生态优先、绿色发展之路，某环保部门决定在某一地段圈岀一个圆形区域种草、植树，在建立直角坐标系的设计图纸上，记该圆形区域的边界为圆C ，若圆C 过点M(1, −2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（）A.满足条件的圆C有且只有一个B.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4√2C.满足条件的圆C有三个，它们的圆心在一条直线上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为2√2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，解方程可得a，b，r，计算即可得到所求结论．【解答】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，化为b2+4b−2a+5＝0，若a＝b，可得b2+2b+5＝0，由△＝4−20＝−16<0，可得方程无实数解，故a≠b；若a＝−b，可得b2+6b+5＝0，解得b＝−1或−5，即有a＝1，b＝−1，r＝1；或a＝5，b＝−5，r＝5，可得圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝1，或(x−5)2+(y+5)2＝25，两个圆的圆心距为√(52+(−5+1)2=4√2，8. 已知球O与各条棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积（）A.8πB.8√23π C.32π D.24π【答案】A【考点】球的体积和表面积【解析】将三棱锥放入棱长为2√2的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，由此算出内切球半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】将棱长均为4的正四面体放入棱长为2√2的正方体，如图，∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点．由此可得该球的直径为2√2，半径r=√2．∴该球的表面积为S＝4πr2＝8π．9. 不等式|x|+|y≤2所表示的封闭区域为M，函数y＝x2的图象与x轴、直线x＝1围成的封闭区域为N，向M内随机投一个点，则该点落到N内的概率为（）A.5 48B.116C.124D.13【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，求出区域M 的面积，再由定积分求得区域N 的面积，由测度比是面积比得答案． 【解答】不等式|x|+|y|≤2所表示的封闭区域M 为如图的正方形区域，其中正方形的边长a ＝2√2，函数y ＝x 2的图象与x 轴、直线x ＝1围成的封闭区域为N 为图中阴影部分．S M =2√2×2√2=8，S N =∫ 10x 2=13x 3|01=13． ∴ 向M 内随机投一个点，则该点落到N 内的概率为P =138=124．10. 若实数x ，y 满足{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 ，则z =yx 的最小值为（ ）A.12B.13C.1D.14【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得z =yx 取得最小值时对应点的坐标，并求出z 的最小值． 【解答】画出不等式组{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当直线y ＝zx 过点C 时，z =yx 取得最小值， 由{2x +y =3x +4y =3 ，解得C(97, 37)， 所以z =yx 的最小值为z min =3797=13．11. 设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ccosB −bcosC =35a ，则关于tan(B −C)的取值下列说法正确的是（ ） A.有最大值43B.有最小值−43C.有最小值−34D.有最大值34【答案】C【考点】正弦定理两角和与差的三角函数【解析】由条件利用正弦定理，两角和的正弦函数公式以及同角三角函数的基本关系化简可得tanC＝4tanB，根据两角差的正切函数公式以及基本不等式即可求解．【解答】∵△ABC中，由ccosB−bcosC=35a，利用正弦定理可得sinCcosB−sinBcosC=35sinA，即sinCcosB−sinBcosC=35(sinCcosB+sinBcosC)，∴25sinCcosB=85sinBcosC，∴tanC＝4tanB，∴tan(B−C)=tanB−tanC1+tanBtanC=−3tanB1+4tan2B=−31tanB+4tanB≥2√1tanB⋅4tanB=−34．即tan(B−C)有最小值为−34．12. 已知函数f(x)的图象在[a, b]上连续不断，定义：f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)−f1(x)≤k(x−a)对任意的x∈[a, b]成立，则称函数f(x)为区间[a, b]上的“k阶收缩函数”，给出以下三个命题：①若f(x)＝cosx，x∈[0, π]，则f1(x)＝cosx，x∈[0, x]，f2(x)＝1，x∈[0, π]；②函数f(x)＝−x3+3x2，x∈[0, 1]是[0, 1]上的“2阶收缩函数”；③若函数f(x)＝x2，x∈[−1, 4]是[−1, 4]上的“k阶收缩函数”，则k＝3．其中所有正确命题的序号为（）A.①②③B.①②C.②③D.①③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用函数的最值及其几何意义【解析】①根据f(x)＝cosx的最大值为1，可得f1(x)、f2(x)的解析式；②先对函数f(x)进行求导判断函数的单调性，进而写出f1(x)、f2(x)的解析式，然后再根据题意判断是否有f2(x)−f1(x)≤2(x−0)成立；③根据函数f(x)＝x2在x∈[−1, 4]上的值域，先写出f1(x)、f2(x)的解析式，再由f2(x)−f1(x)≤k(x−a)求出k的范围得到答案．【解答】①，由f(x)＝cosx，x∈[0, π]，为递减函数，由题意可得：f 1(x)＝cosx ，x ∈[0, π]，f 2(x)＝1，x ∈[0, π]，故①正确； ②，f′(x)＝−3x 2+6x ＝−3x(x −2)， 当x ∈[0, 1]时，f′(x)>0， ∴ f(x)在[0, 1]上单调递增，因此，f 2(x)＝f(x)＝−x 3+3x 2，f 1(x)＝f(0)＝0． ∵ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)＝−(x 3−3x 2+2x) ＝−x(x 2−3x +2)＝−x(x −1)(x −2)， 及x ∈[0, 1]，∴ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)<0，∴ f 2(x)−f 1(x)≤2(x −0)对x ∈[0, 1]恒成立；所以f(x)＝−x 3+3x 2是[0, 1]上的2阶收缩函数，故②正确； ③，根据题意，有f 1(x)={x 2,x ∈[−1,0]0,x ∈[0,4] ，f 2(x)={1,x ∈[−1,1]x 2,x ∈[1,4]，所以f 2(x)−f 1(x)={1−x 2,x ∈[−1,0)1,x ∈[0,1)x 2,x ∈[1,4] ，当x ∈[−1, 0]时，1−x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1−x ，k ≥2；当x ∈(0, 1)时，1≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥1； 当x ∈[1, 4]时，x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥165．综上所述，k ≥165，即存在k ＝4，使得f(x)是[−1, 4]上的4阶收缩函数，故③不正确． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.若sinθ+cosθ=15(0≤θ≤π)，则tanθ＝________； 【答案】−43【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知等式两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，求出sinθ−cosθ的值，解得sinθ，cosθ，则tanθ可求． 【解答】由sinθ+cosθ=15，两边平方得：sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=125， 则2sinθcosθ=−2425， ∵ θ∈[0, π]，∴ sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ=75．∴sinθ=45，cosθ=−35，则tanθ=sinθcosθ=−43．在(√x−2x)n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则在该二项展开式中含x4项的系数为________；【答案】364【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求出n＝14，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x4项的系数．【解答】在(√x−2x )n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则n＝14，在(√x−2x)n=(√x−2x)14，则在该二项展开式的通项公式为Tr+1=C14r⋅(−2)r⋅x14−3r2，令14−3r2=4，求得r＝2，中含x4项的系数为C142⋅(−2)2＝364，在《九章算术》方田章“圆田术”（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的剖圆术所体现的是一种无限与有限转化的思想比如在√2+√2+√2+⋯中“…”即代表无限次重复，但原数却是个定数x，这可以通过√2+x=x确定出来x＝2，类似地可得到1+13+13+⋯+132n−2+⋯=________；【答案】98【考点】类比推理【解析】本题要根据已知算式将所求表达式作类似变形，然后同理可解方程得到结果．【解答】类比已知算式，1+132+134+⋯+132n−2+⋯=1+132{1+132[1+132(...)]}．可令1+132+134+⋯+132n−2+⋯=x，则1+132x＝x，解得x=98．已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，给出以下结论：①△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x＝a上；②|OM|＝a；③若∠F1IF2＝θ，则△PF1F2的面积为−b2tanθ；④△PF1F2的内切圆与x 轴的交点为(c−a, 0)，以上结论中，所有正确的序号________．【答案】①②③【考点】双曲线的离心率【解析】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|＝c−a，可判断①；延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，可判断②；由三角形的面积公式和余弦定理，结合双曲线的定义和三角函数的恒等变换可判断③；由①的判断过程可判断④．【解答】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|＝|F1Q|，|F2K|＝|F2L|，|PF1|−|PF2|＝2a＝|F1Q|−|F2L|＝|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|＝2c，解得|F2K|＝c−a，则K(a, 0)，即I的横坐标为a，即I在直线x＝a上，故①正确；延长F2M交PF1于N，可得PM为△PNF2的垂直平分线，可得|PN|＝|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|＝|NF1|＝2a，可得|OM|＝a，故②正确；若∠F1IF2＝θ，则∠IF1F2+∠IF2F1＝180∘−θ，∠F1PF2＝180∘−2(180∘−θ)＝2θ−180∘，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m−n＝2a，△PF1F2的面积为S=12mnsin(2θ−180∘)=−12mnsin2θ，又cos(2θ−180∘)=m2+n2−4c22mn =(m−n)2+2mn−4c22mn=2mn−4b22mn=−cos2θ，可得mn=2b21+cos2θ，则S=−12⋅2b2⋅sin2θ1+cos2θ=−b2⋅2sinθcosθ2cos2θ=−b2tanθ，故③正确；△PF1F2的内切圆与x轴的交点为(a, 0)，故④不正确．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.（一）必考题：60分.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，a1＝1，a n a n+1＝2S n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的项a2n−1；(Ⅱ)求数列{a n}的前2n项和S2n．【答案】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法的应用求出结果．【解答】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世界各国民众喜爱．（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为喜欢足球与性别有关？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．（2）某国“糖果盒”足球场计划购买2台相同的无人机用于2020年的比赛直播拍摄，每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为5，6的概率分别为0.4，0.6，该易损零件可在购买无人机时一同购买作为备件，每个300元；在无人机购买后若备件不足再购买，则每个600元．记X表示2台无人机一年内共需更换的易损零件的次数，k表示购买无人机时同时购买的易损零件数．为保证两台无人机能正常使用，求购买易损零件所需费用Y的期望E(Y)最小时k的值．【答案】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元；所以所需费用Y的期望E(Y)最小时k＝11．【考点】独立性检验茎叶图【解析】（1）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的分布列，分别计算对应的数学期望值，即可得出结论．【解答】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+ 2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k ＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元； 所以所需费用Y 的期望E(Y)最小时k ＝11．如图，在四棱锥中P −ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠DAB ＝60∘，PA ＝PD =√5，F 为AB 的中点，PF ⊥AC ． （1）求证：面PAD ⊥面ABCD ；（2）求二面角A −PD −B 的余弦值．【答案】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）取AD 中点O ，连结PO ，FO ，推导出AC ⊥BD ，OF // BD ，AC ⊥OF ，PF ⊥AC ，从而AC ⊥面POF ，进而PO ⊥AC ，再由PO ⊥AD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此能证明面PAD ⊥面ABCD ，（2）连结OB ，则OB ⊥AD ，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PD −B 的余弦值． 【解答】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M:x2a +y2b=1(a>b>0)的左右焦点，点E(a, b)在抛物线N:x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【答案】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．【考点】直线与椭圆的位置关系抛物线的性质椭圆的应用【解析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．已知函数f(x)=x22−ax(lnx−1)−e22（其中e＝2.718…为自然村数的底数，a∈R）．（1）若a＝e，证明：函数f(x)有且只有一个零点；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围．【答案】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e a，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a>e，f(x)有两个极值点．【考点】利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】（1）二次求导，判断出函数的单调性，证明二次导数的极小值恒≥0，则原函数是单调递增的，从而表示出只有一个零点．（2）先求导，根据导数和函数极值的关系，分类讨论，再构造函数，根据导数和函数单调性的最值的关系即可求出a的取值范围．【解答】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a >e ，f(x)有两个极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线C:{x =−√22t y =1+√22t（t 为参数），圆M:x 2+y 2−4x ＝0．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 与圆M 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线l:θ＝α(ρ≥0)与曲线C 相交于A ，与圆M 相交于B （异于原点O ），当α∈(0, π2)时，求S △OMBS △OMA的最大值．【答案】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS △OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值． 【解答】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS△OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +1|+|x −1|． (Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若直线y ＝x +a 与y ＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值． 【答案】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)分2段去绝对值解不等式，在相并；(Ⅱ)画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)，由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．，然后求出|CD|以及两平行线间的距离，用梯形面积公式可得． 【解答】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．。

山东省济南市2019届高三第三次模拟考试高三数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知命题；命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.3.若0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则 （ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。

问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。

问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。

这个问题中，戊所得为（ ）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱6.若直线被圆截得的线段最短，则的值为（ ）A. B. C. D.7.为了得到的图像，只需把图像上的所有的点（ ）A.向右平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B.向左平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位D.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示，俯视图由正三角形及其中心与三个顶点的连线组成，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B.C. D.9.在数列中，，则的值为（ ）A. B.C. D.10.若等边△ABC 的边长为6，其所在平面内一点M 满足，则的值为（ ） A.8 B .6C .D .11. 已知直线过点且与⊙B ：相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐近线平行于，则E 的离心率为（ ） A .B .2 C .D .12. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．1 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届山东师大附中高三上学期第三次模拟理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合（）A ． 2___________B ．___________C ． 4___________D ．2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A ．第一象限___________B ．第二象限___________C ．第三象限___________D ．第四象限3. 设平面向量均为非零向量，则“ ”是“ ”的（） A．充分非必要条件B ．必要非充分条件C．充要条件D ．即不充分又不必要条件4. 等差数列的前项和为（）A ． 9___________B ． 10___________C ． 11___________D ． 125. 已知命题：函数恒过定点：命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称．下列命题为真命题的是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．6. 已知是不等式组的表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值（）A ． 2______________B ． 3______________C ． 5______________D ． 67. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A ．向右平移个单位______________B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位______________D ．向左平移个单位8. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（）A ．B ．C ．与平面所成的角等于与平面所成的角D ．与所成的角等于与所成的角9. 设（）A ．___________B ．___________C ．___________D ． 210. 函数是定义在上的偶函数，且满足当，若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．二、填空题11. 在正项等比数列中，前项和为________ ．12. 已知是球表面上的点，平面， ,,则球的表面积等于______________ ．13. 设 ___________ ．14. 在中，，的平分线，则_________ ．15. 已知，动点满足，且，点所在平面区域的面积为__________ ．三、解答题16. 已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（ 2 ）在，求三角形的面积．17. 已知函数．（ 1 ）证明：；（ 2 ）求不等式的解集．18. 如图，在四棱锥中，，．（ 1 ）求证：平面平面；（ 2 ）求直线与平面所成角的正弦值．19. 数列．（ 1 ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（ 2 ）设，求和，并证明：．20. 已知函数．（ 1 ）讨论函数的单调性；（ 2 ）若对于任意的恒成立，求的范围．21. 设函数．（ 1 ）求函数的最大值；（ 2 ）对于任意的正整数，求证：；（ 3 ）当时，成立，求实数的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

山东省聊城市2019届高三数学三模试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(23)z i i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z,再求复数z 即得解. 【详解】由题得(23)3223(23)(23)13i i i iz i i i -+===++-， 所以321313z i =-， 所以z 在复平面上对应的点为32)1313（，-， 故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的求法，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合(){}2|lg 1A x y x ==-，{}|2xB y y ==，则AB =（ ）A. (1,1)-B. (1,)-+∞C. [0,1]D. (0,1)【答案】D 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0求出集合A ，根据指数函数的图像和性质得出集合B ，进而求出A B详解】(){}2|lg 1A x y x ==-∴210x ->解得：11x -<<{}|11A x x ∴=-<< {}|2x B y y =={}|0B y y ∴=>{}|01A B x x ⋂=<<故选D【点睛】此题重点考查交集及其运算，易错题在于集合A 、B 分别代表对数函数的定义域和指数函数的值域。

3.若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题的是（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】对于命题p,22000131=()024x x x -+-+>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题；对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题. 所以()p q ⌝∧真命题.故选：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.设110a e =，ln b =1lg c e=（其中 2.71828e =是自然对数的底数），则（ ）A. c b a >>B. a b c >>C. a c b >>D.b ac >>【答案】B 【解析】 【分析】判断a,b,c 的范围即得a,b,c 的大小关系. 【详解】由题得10101a e e =>=，ln ln 1,b e =<=且b>0.1lg lg10c e=<=，所以a b c >>. 故选：B【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A. 210x y +-=B. 210x y -+=C. 10x y -+=D.10x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，求出导函数'()f x ，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程。

2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。

2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. （5分）若复数z满足iz = 2+4i，则z在复平面内对应的点的坐标是（）A . (4, 2)B . (2,- 4) C. (2, 4) D. (4,- 2)22. ( 5 分)已知集合M = {x|2x-x >0}, N = { - 2, - 1, 0, 1, 2｝，则等于M n N =( )A . ?B. {1} C . {0 , 1} D . { - 1, 0, 1}八- 0.4 , ,3. ( 5 分)已知a = 1.9 , b= log o.41.9,1 9c= 0.4 则( )A . a> b>cB . b> c> aC . a > c> bD . c> a> b4. （5分）某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）2 11 11 2A• 「J B •「C. 「 D •■■- I'3 6 3 35. （5 分）已知函数f （x）= Asin （®x+0）（A> 0, w> 0, W|v n）的图象与直线y= b （0V b V A）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8，则f （x）的单调递增区间为（）A . [4k, 4k+3] （k 題）B. [6k, 6k+3] （k€Z）C. [4k, 4k+5] （k 包）D. [6k, 6k+5] （k€Z）6. （5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（）A . 60 里B . 48 里C. 36 里 D . 24 里7. （5分）a为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简cos （a n- 0）的结果是（）& （ 5分）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是（则x 2的系数为（3164C . 2C . sin 0D . - sin 0OA 、OB 为直径的圆，在1 7T9. （ 5分）在（1+亍）(n €N +, n > 2) 的展开式中,X的系数为；C .35 128 10. （5分）已知实数x , y 满足］若 z =( x - 1)2+y 2,则z 的最小值为（11. （5分）设F 1, F 2是双曲线：，a2■' -：的左、右两个焦点，若双曲线右b2支上存在一点P,使二+ 「I■「二I (0为坐标原点)，且则双曲线的离心率为( )A •丄B. 一-】C.^ D.2 2212. ( 5分)已知函数. 与g (x)= 2elnx+mx的图象有4个不同的交点，贝U2x-2elnx实数m的取值范围是( )A . (- 4, 0)B .:宁门C. .「. =] D. (0, 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ( 5分)设二，二，为向量，若| +】占I的夹角为——,-1+与b的夹角为——，则一丄3 4 Ib|2 214. (5分)过点M (1 , 2)的直线l与圆C: (x- 3) + ( y-4) = 25交于A, B两点，C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程是_________ .15. ( 5分)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1, 2，…，9的9个小正方形(如下表)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”___________ 种.sin^T 16 [0, 2j,16. (5分)对于函数_Lf(x_2)垃€(2 +oo)，有下列4个结论：①任X1 , x2 q o , +m),都有|f ( X1)- f ( x2) |< 2 恒成立；② f ( x)= 2kf (x+2k) (k€N*),对于一切x€[0, +^)恒成立；③函数y= f (x)- ln (x- 1)有3个零点；④对任意x> 0,不等式•」.1儿恒成立，则实数是的取值范围是. ■ '■：.则其中所有正确结论的序号是________ .三、解答题：本大题共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 *17. (12 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为Si, a1 = , 2S n= S n-1+1 (n》2, n€N ).(1)求数列｛a n ｝的通项公式;ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O , G 、H 分别是 AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，且 DC 丄平面ABC .(I)证明：GH //平面ACD ;(H)若 AC = BC = BE = 2，求二面角 O -CE - B 的余弦值.2 219.(12分)已知椭圆C : ' = 1 (a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2，若椭圆经J b Z过点P (航，-1)，且△ PF 1F 2的面积为2(1) 求椭圆C 的标准方程(H)设斜率为1的直线I 与以原点为圆心，半径为 「的圆交于A , B 两点，与椭圆C 交于C , D 两点，且|CD|= A|AB| (入R ),当入取得最小值时，求直线 I 的方程 20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概 率都为p (0v p v 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1 )记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f ( p ),求f ( p )的最大值点P 0. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1 )中确定的p o 作为p 的值•已知每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件 不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求(2 )记:屮 |，求7的前n 项和T n .18. (12分)如图，一简单几何体 EBEX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验?21. (12 分)已知函数 f (x )=丄ax 2-( a - 1) x - lnx ( a€R 且0).2(I )求函数f ( x )的单调递增区间；(n)记函数y = F (x )的图象为曲线 C .设点A (X 1, y i ), B (X 2, y 2)是曲线C 上的x +垃不同两点.如果在曲线 C 上存在点M ( x o , y o ),使得：①X 0= _ ;②曲线C 在点2M 处的切线平行于直线 AB ,则称函数F (x )存在“中值和谐切线” •当a = 2时，函数f (x )是否存在“中值和谐切线”，请说明理由.选考题：共10分•请考生在22, 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］ p 2= 4pcos 0+6 psin 0- 12，以极点为原点，极轴为 x(I )写出直线I 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系; (II )将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ,设曲线D经过伸缩变换:得到曲线E ,设曲线E 上任一点为M (x , y ),求占汁寺y 的取值范围.［选修4-5:不等式选讲］23.已知函数 f (x )= |x - 2|+|2x+a|, a€R .(I)当a = 1时，解不等式f (x )> 5;(n)若存在 x 0满足f (x 0) +|x 0- 2|v 3，求a 的取值范围.2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由iz = 2+4i , 得.i-i*i•••则z 在复平面内对应的点的坐标是： （4,- 2）. 故选：D .22. (10分)已知曲线C 的极坐标方程是轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线(t 为参数).【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2. 【分析】可求出集合M，然后进行交集的运算即可.【解答】解：M = {x|0v x v 2};•M n N = {1}.故选：B.【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.3. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【解答】解：a= 1.9°.4> 1.9°= 1,b= log o.41.9 v log o.41 = 0,1.9 c J d0v c= 0.4 v 0.4 = 1,• a > c> b.故选：C.【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.4. 【分析】由三视图知几何体是左边为一半圆锥，右边为半圆柱的组合体，根据三视图的数据判断圆锥与圆柱的底面圆直径为2,圆柱的高为3，圆锥的高为2,利用体积公式计算可得答案.【解答】解：由三视图知几何体是左边为一半圆锥，右边为半圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面圆直径为2，圆柱的高为3,圆锥的高为2,几何体的体积V = V 半圆柱+V半圆锥= -nX 12X 3+ • X ■ X nX 12X 2 =」n2 23 6故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量.5. 【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数3、$的值, 进而利用三角函数的单调性求区间.【解答】解：与直线y= b (O v b v A)的三个相邻交点的横坐标分别是2, 4, 8知函数的周期为T =竺=2 (空-丝)，得3 =卫_,0) 2 2 3再由五点法作图可得？’ — $= ，求得$= - ^ ,3 2 2 2兀7T.函数 f (x)= Asin ( x—).3 2A JT Jl JI n令2k n— < x— < 2k n+ , k 氐，2 3 2 2求得x€[6k, 6k+3] ( k®),故选：B .【点评】本题主要考查正弦函数的图象性质，充分体现了转化、数形结合思想，属于基础题.6. 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以丄为公比的等比数列，由S6= 378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为｛a n｝，可知｛a n｝是公比q = 2-的等比数列，2a l(1 寺由S6= 378,得S6= _：；「，解得：a i = 192,‘- 1 - - 1 > 此人第4天和第5天共走了24+12=36里.故选：C.【点评】本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题.7. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a值，即可求得cos ( a n- 0).【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i是否继续循环循环前a= 2 i = 1第一圈a =- 1, i = 2是循环第二圈a = —, i2=3是循环第三圈a= 2, i = 4是循环第四圈a=- 1, 5是循环第3n +1圈，a =- 1 i = 3n+2 是循环第3n+2圈a = —i = 3n+3 是循环2第3n+3圈a= 2 i = 3n+4 是循环第2012圈a = , i= 2013 是循环2第2013圈a = 2 i = 2014 否，退出循环故最后输出的a值为2.故有：cos (2 n- 0) = cos 0.故选：A.【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型,X其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算 的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数 据进行分析管理）孑② 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 ③解模.CMO = 90°,这样就可以求出弧 0C 与弦0C 围成的弓形型的概率公式解之即可.| 2 |S 扇形 OAB = n , S 半圆 OAC = n4 2丄…2S^OmC = X X =r,2 2 2 8【点评】 本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的 面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题.在（1+ -）（1+ ；）…（1+：）（丽+ ,心2）的展开式中，X 的系数=丁=+…&【分析】OA 的中点是M ，则/的面积，从而可求出两个圆的弧0C 围成的阴影部分的面积，用扇形OAB 的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧0C 围成的面积就是无信号部分的面积, 最后根据几何概 【解答】解：0A 的中点是M , 则/ CM0 = 90°，半径为 0A = r2 2S 弧 oc = S 半圆 OAC - S ^0DC =n - r ,2 16 8I 2 I 2n - r ,84 (-，r 2- - r 2)84两个圆的弧0C 围成的阴影部分的面积为 图中无信号部分的面积为 •••无信号部分的概率是:〕2 ] 2—n - — r4 21 19.【分析】 故选：B .可得1-x 的)(1的展开X=G4【点评】 本题考查了二项式定理的应用、多项式的乘法运算性质，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题.10.【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 则z 的几何意义为区域内的点到点(1, 0)距离的平方， 则由图象可知，当点(1, 0)到直点A 的距离最小， 由卩+厂3=0,解得x = 2, y = 1 ,x-2y=0即 A (2, 1),••• z =( 2- 1) 2+12= 2, 故选：C .+ | x 」一_ 亠―，即可得出. 2 2 2 上 22-)(n €N +, n 》2)的展开式中，x 的系数=丄十丄+…2n 2 2’ 222I 解答】解：在(1+： )(1+・)••(1 +22.••1 ——=—^,解得 n = 4.利用向量的加减法可得］-」〕・：I ：--故有OP = OF 2= C = OF 1,可得PF 1丄PF 2，由条件可得/ PF 1F 2= 30°，由sin30 °=一=求出离心率.2【解答】解：T',：' I 」I專 2 丄j•••〔三—11「= 0, OP = OF 2= C = OF 1,「. PF 」PF 2,: 一二：丨「：\.，•••/ PF 1F 2= 30°.故选：D .【点评】 本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△ PF 1F 2是直角三角形是解题的关键. 12.【分析】由题意可得m=' . - ' ( x > 0且X M e )有4个不等实根，设h( x )2K-2elnM x='-—1!"，求得导数和极值点、最值，考虑 XT + g,……T 0,可得h (x )2x-2elnx KKz 的几何意义，结合数形结合是解决本题11.【分析】 Rt △ PF 1F 2 中，I由双曲线的定义得PF1—心2a ,•PF2=,sin30。