2021届黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)

黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数为虚数单位），则z的共轭复数是（）A . －iB . +iC . －－iD . －+i2. （2分）设有集合M和N，且k是常数，则集合的真子集个数是（）A . 4B . 3C . 3或1D .3. （2分）(2016·黄山模拟) 设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A . 0.8B . 0.4C . 0.3D . 0.24. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 给出下面类比推理命题（其中为有理数，为实数集，为复数集）：①“若，则”类比推出“ ，则”；②“若，则复数”类比推出“ ，则”；③“若，则”类比推出“若，则”；④“若，则”类比推出“若，则”；其中类比结论正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）(2017·唐山模拟) 执行如图程序框图，若输出y=4，则输入的x为（）A . ﹣3或﹣2或1B . ﹣2C . ﹣2或1D . 16. （2分）(2020·梧州模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线上的一点，若线段与轴的交点恰好是线段的中点，，其中，为坐标原点，则双曲线的渐近线的方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 某学校为了调查喜欢语文学科与性别的关系，随机调查了一些学生情况，具体数据如表：调查统计不喜欢语文喜欢语文男1310女720为了判断喜欢语文学科是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2的观测值k= ≈4.844，因为k≥3.841，根据下表中的参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828判定喜欢语文学科与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为（）A . 95%B . 50%C . 25%D . 5%8. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A .B .C . 1D .9. （2分） (2018高一下·平原期末) 定义为个正数的“平均倒数”.若已知数列的前项的“平均倒数”为，又，则等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·菏泽期中) 设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或x＞3}B . {x|x＜﹣3或0＜x＜3}C . {x|x＜﹣3或x＞3}D . {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11. （2分）(2017·济宁模拟) 已知点M（x，y）为平面区域D：内的一个动点，若z=的最大值为3，则区域D的面积为（）A . ln2+B . ln2﹣C . ln2+D . ln2﹣12. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 已知F是抛物线的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为________．14. （1分） (2015高二下·周口期中) 函数f（x）=ax2+c（a≠0），若 f（x）dx=f（x0），其中﹣1＜x0＜0，则x0等于________．15. （2分）(2020·长春模拟) 已知△ 的内角的对边分别为，若 ,，且，则 ________;若△ 的面积为，则△ 的周长的最小值为________.16. （1分）平面内与两定点距离之比为定值的点的轨迹是________.三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分）已知函数f（x）=sin（x∈R）．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程（Ⅱ）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式（Ⅲ）设函数h（x）=2|x﹣k| ， H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围参考公式：sinα﹣cosα=sin（α﹣）18. （5分） (2017高二下·眉山期末) 随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数51012721（I）由以上统计数据填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；年龄不低于45岁的人年龄低于45岁的人合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.8416.63510.82819. （5分）(2017·宜宾模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA= ED，EF∥BD（ I）证明：AE⊥CD（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20. （5分） (2018高二上·佛山期末) 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且过点 .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，关于点的对称点为，判断点是否共线，并说明理由.21. （5分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2 ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．22. （5分）(2017·三明模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1 ．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．23. （5分）已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．求a的值参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。

齐齐哈尔市xx届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.2021年高三第三次高考模拟考试数学（理）试题含答案一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{R|}，B＝{R|}，则A∩B等于（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足（为虚数单位），则复数所表示的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列说法正确的是 （ ）A. 命题p ：“”，则 p 是真命题B.“”是“”的必要不充分条件C. 命题“使得 ”的否定是：“”D. “”是“上为增函数”的充要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B.C. D.5.在一次“对学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的试验中，由列联表算得的观测值，参照附表判断，在此次试验中，下列结论正确的是 （ ） 附表： 0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828A. ”B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”C. 有99%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”D. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”6.执行右面的程序框图，如果输入，则输出的是（ ）A. B. C. D.7.数列满足，且， 则 （ ）A. B.C. D.8.在中，分别是角的对边，且,，则的面积等于 （ ）A. B. C. D. 109.某小学星期一每班都排6节课，上午4节、下午2节，若该校王老师在星期一这天要上3个班的课，每班l 节，且不能连上3节课（第4节和第5节不算连上），那么王老师星期一这天课的排法共有 （ ）A. 108种B. 120种C. 18种D. 20种10.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.11.三棱锥S —ABC 中，，，与平面所成角的余弦值是，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是 （ ）A. B. C. D.12.已知函数()201343212013432x x x x x x f ++-+-+= ， ，设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答.二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若向量与垂直，则实数等于 .14. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 .15.定义：. 在区域内任取一点，则， 满足的概率为 .16.设函数)(,2,1)461(2,)3()(222n f a x dt t x x a x f n x =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=⎰-π，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为 .三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知为锐角，且，函数.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）数列的首项 ，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）有关部门对甲、乙两家企业生产的产品进行检验，其中甲企业有5种产品，乙企业有3种产品。

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（）A. {1，2，3，4}B. {2，3}C. {3，4}D. {4，5}2.若复数z的共轭复数为（3-i）i，则=（）A. 1-2iB. 1+2iC. 2-iD. 2+i3.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和，若S6=-7S3，a2+a4=10，则a1=（）A. 3B. -1C. 2D. -24.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（）A. 7B. 14C. 18D. 205.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）A. 平方丈B. 平方丈C. 平方丈D. 平方丈6.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是（）A. 84B. 120C. 162D. 2107.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（）=-，则f（1）+f（）=（）A. B. C. D.8.设x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A. 2B. 1C.D.9.已知函数f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）（）在[-]上单调递增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（）A. [，+∞）B. [，+∞）C. [1，+∞）D. [，+∞）10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，且l与x轴的交点为P，过P的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆过点F，则|AB|=（）A. 4B. 4C. 3D. 612.在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE=1，点M是平面ABC上的任意一点，则（2）的最小值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，常数项为______（用数字表示）14.已知α满足tan（α+）=-3-2，则tan2α=______15.数列{a n}满足+=，a1=1，a8=，b n=a n a n+1，则数列{b n}的前n项和为______．16.已知双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7c=2a，cos C=-（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若D为AB中点，且△ABC的面积为，求CD的长度18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值甲、乙、丙三人：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验（Ⅰ）记选取的2组数据相隔的月份数为X，如1月与3月或3月与1月相隔1个月，取X=1．若是相邻2组的数据，取X=0，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）已知选取的是1月与6月的两组数据（1）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？（参考公式：==，）19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，PA=PD=AB=AD=CD=1，BC=2，点E在线段PC上，且CE=2PE．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．20.已知椭圈C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+2与椭圆C有两个交点D，E，且O是坐标原点，当△ODE 面积最大时，求k值．21.已知函数f（x）=ln x-．（Ⅰ）求证：函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；（Ⅱ）设g（x）=，其中x0是函数f（x）的零点．若方程g（x）=k（k∈R）在（1，+∞）内有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．22.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P坐标为（-2，0），l与C的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，=1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜5}；∴A∩B={1，2，3，4}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵=（3-i）i=1+3i，∴z=1-3i，则=．故选：C．由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵{a n}为等比数列，S6=-7S3，a2+a4=10，∴两式相除可得，1+q3=-7∴q=-2，代入可得，a1=-1故选：B．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4.【答案】D【解析】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得A（a，3a）函数在点A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7，解得a=1．此时解得B（1，-6），所以z的最大值是：2+18=20．故选：D．先画出满足约束条件的平面区域，判断最优解的坐标，点的坐标代入目标函数，求解a，然后求解目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意画出图形，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=3，AB=4.5，V=10000×2.7×10-3=27，粮仓的高AA1=（丈）．长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为（2R）2==22+32+4.52=33.25=，∴外接球的表面积为4πR2=π（平方丈），故选：C．由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后是计算S=3×4+3×6+3×8+3×10+3×12+3×14+3×16=210；则输出的结果是S=210．故选：D．模拟程序框图的运行过程知该程序是计算等差数列前n项和的应用问题，计算即可．本题考查了利用算法与程序框图计算等差数列前n项和的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（x）是周期为2的奇函数，则f（0）=0，即f（0）==0，若f（）=-，则f（-）=f（-）=-f（）=-，则f（）=，即=，解可得：a=0，b=1，则当0≤x＜1时，f（x）=，则f（）==；又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，则f（1）+f（）=0+=；故选：A．根据题意，由f（x）是周期为2的奇函数，可得f（0）=0，同时可得f（-）=f（-）=-f （）=-，解可得函数的解析式可得关于a、b的方程，解可得a、b的值，即可得函数的解析式，由此可得f（）的值，又由f（x）是周期为2的奇函数，则有f（1）=f（-1）与f（1）=-f（-1）同时成立，则f（1）=0，相加即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a、b的值，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x，定义域是：{x|x＞-2}f′（x）=-2ax-3a2因为x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则：f′（-）=0，解得：9a2-3a-2=0，即：a=-，或a=，讨论a；①当a=-时，函数f′（x）=+x-=，在（-2，-1），f′（x）＞0在（-1，-）f′（x）＜0在（-，+∞）f′（x）＞0∴函数f（x）在x=-取得极小值点，在x=-1取得极大值点，∵函数定义域是：{x|x＞-2}∴f（x）的极大值为f（-1）=②当a=时，函数f′（x）=-x-=-，在（-2，-），f′（x）＞0在（-，+∞），f′（x）＜0∴x=-不是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，与题设矛盾，a=舍去．综合可得：x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点时，f（x）的极大值为：．故选：D．求函数的导函数，利用极小值点求出a的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大值．考查利用导数研究函数的极值问题，考查函数极值和极值点，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）∴f（x）=cos2x cos-sin2x sin=cos（2x+），∵x∈[-，-，∴2x+，∵函数f（x）在[-，-]上单调递增，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∵|θ|≤，∴当k=0时，符合题意，∴，∴当=0时，f（）=cos（）的最大值为1，∵f（）≤m在[-，-]上恒成立，∴m≥f（）max=1，∴m的取值范围为：[1，+∞）．故选：C．根据函数f（x）在[-，-]上单调递增，求出θ的范围，然后求出f（）的最大值即可．本题考查了三角函数的图象与性质，关键是θ的取值范围，属中档题．10.【答案】B【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，1），B1（2，2，2），G（1，2，0），=（2，0，1），=（0，2，1），=（-1，0，-2），设平面B1EDF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，-2），设直线B1G与平面B1EDF所成角为θ，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为：sinθ===．故选：B．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】A【解析】解：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，l与x轴的交点为P（-1，0），假设k存在，设AB方程为：y=k（x+1），与抛物线y2=4x，联立得k2（x2+2x+1）=4x，即k2x2+（2k2-4）x+k2=0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），则x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x2）+2k==，∴AB的中点坐标为：（，），∵以AB为直径的圆过点F，∴|AB|=•=2，解得k2=，∴|AB|=•==4．故选：A．设AB方程为：y=k（x+1），与抛物线y2=4x，联立得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），则x1+x2=，x1x2=1，AB的中点坐标为：（，），由以AB为直径的圆过点F，得到|AB|=•=2，解得k2=，由此能求出|AB|．本题考查弦长的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】D【解析】解：∵D是BC中点，E是AD中点，∴=2，=2，∴（2）=•（2+2）=•4=4．∴当M为BE的中点时，取得最小值cos180°=-，∴（2）的最小值为-1．故选：D．根据平面向量加法的平行四边形法则化简可得（2）=4，再根据平面向量的数量积定义求出最小值．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何运算，属于中档题．13.【答案】【解析】解：在的展开式中，通项公式为T r+1=•（-1）r••x3r-12，令3r-12=0，求得r=4，可得常数项为•=，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】-2【解析】解：∵tan（α+）==-3-2，∴解得：tanα=，∴tan2α===-2．故答案为：-2．由已知利用两角和的正切函数公式化简可求tanα的值，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：数列{a n}满足+=，则：数列{}是以以，即d=2的等差数列．所以：，所以：=，所以：，=，=．故答案为：首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】y=±x【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，可得：，，a2+b2=c2，e=，解得a=1，b=，双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．通过点的坐标在双曲线上，列出方程组，转化求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，，∵cos C＜0，∴C为钝角，∴A，B均为锐角，∴，∴；（Ⅱ）由，∴，又，AD=，由余弦定理得，．∴CD的长度为1．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理求解即可；（Ⅱ）根据面积公式求出a，然后利用余弦定理即可求出CD．本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，考查了计算能力，属基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，P（X=4）==，所以X的分布列为：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=（Ⅱ）（1）由数据求得=11，=24，由公式求得=，所以=-•=24-×11=-，所以y关于x的线性回归方程为：=x-．（2）当x=10时，=-=≈21，同理当x=6时，=×6-=≈11，依题意可得这三人所得线性回归方程是理想的．【解析】（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2，3，4，根据古典概型概率公式可求得概率，可得分布列和期望；（Ⅱ）（1）根据数据算出，，，，可得线性回归方程；（2）将x=10和x=6代入线性回归方程得到就诊人数看是否超过2．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，则BC∥AD，，又CE=2PE，则=，∴=，∴PA∥EF，∵PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．解：（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∵O，H分别为AD，BC中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴OH⊥AD，∴以O为原点，以OA为x轴，OH为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，，0），C（-1，，0），D（-），P（0，0，），可得=（1，，-），=（-），=（-，-，0），===（-），设平面PBD的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（-），设平面BDE的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=-1，得=（-1，，-），设二面角P-BD-E的平面角为θ．则cosθ===，∴二面角P-BD-E的余弦值为．【解析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点F，连结EF，推导出PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，取BC中点H，连结PO，OH，则PO⊥BD，以O为原点，以OA 为x轴，OH为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-E 的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由，得（2+3k2）x2+12kx+6=0．设D（x1，y1），E（x2，y2），则△=144k2-24（2+3k2）＞0，即k2＞．，，|DE|==．O到DE的距离d=．∴△ODE的面积S=．令，则S=．当且仅当t=，即t=2时上式取“=”，此时，k=．【解析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由点到直线距离公式求出O代直线的距离，写出三角形面积，利用换元法与基本不等式求最值，同时求得k值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与基本不等式求最值，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为：x∈（0，+∞），f′（x）=＞0，所以函数是增函数，∵f（1）=＜0，∴＞=＞0，因为函数是增函数，所以函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．（Ⅱ）g（x）=，由（Ⅰ）可知ln x0=，∴x0ln x0=•x0；当1＜x＜x0时，g（x）=x lnx，g′（x）=1+ln x＞0，因而g（x）是增函数，当x＞x0时，，g′（x）=＜0，此时函数是减函数；g（x）=k在（1，+∞）上由两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），由于g（1）=0，所以可以猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，而g（x）在（x0，+∞）上是减函数，故可证g（x2）＜g（2x0-x1），又g（x1）=g（x2）即证g（x1）＜g（2x0-x1），即，记h（x）=，1＜x＜x0其中h（x0）=0，∴=1+ln x+，记φ（t）=，φ，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0，t∈（1，+∞）时，φ′（t）＜0φ（t）max=，而φ（t）＞0，故0，而2x0-x＞0，从而，因此h′（x）=1+ln x+＞0．即h（x）递增，从而当1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故x1+x2＞2x0，得证．【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，判断函数的单调性，利用零点判定定理判断函数f（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；（Ⅱ）g（x）=，推出x0ln x0=•x0；判断函数的单调性，说明g（x）=k在（1，+∞）上有两个实数根，x1，x2；x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），猜想x1+x2＞2x0，要证明x1+x2＞2x0，即证x2＞2x0-x1＞x0，即，记h（x）=，求出导函数，记φ（t）=，再次求解导函数φ，判断函数的单调性，推出1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，推出结论．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查构造法二次导数的应用，考查分析法的应用，难点比较大．22.【答案】解：（Ⅰ）由ρ=2sin（θ+）=2sinθ+2cosθ，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2，∴C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）代入（x-1）2+（y-1）2=2并整理得t2-t+8=0，设点A，B的坐标对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=8，得|PA||PB|=|t1t2|=8．【解析】（Ⅰ）根据和角的正弦公式以及极坐标与直角坐标的互化公式可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：（I）∵=1，≥3，当且仅当=时取等号，∴≤，即abc≥27×6，∴≥=9．（II）∵=（）（）≥（•+•+•）2=（++）2=6，∴．【解析】（I）根据基本不等式证明；（II）不等式左侧乘（），根据柯西不等式得出结论．本题考查了基本不等式，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题．。

2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学模拟试卷（理科）（1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1−i1+i，则z2021=()A. iB. −iC. −1D. 12.设集合A={x|(x+1)(x−5)<0,x∈Z}，B={x|x(x−2)≥0,x∈Z}，则A∩B=()A. {0,2，3，4}B. {0,2}C. {3,4}D. {0,1，2}3.已知如表所示数据的回归直线方程为ŷ=5x+6，则实数m的值为()x23456y1420m3237A. 25B. 26C. 27D. 284.焦点坐标为(3,0)，(−3,0)，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为()A. x2100+y291=1 B. y2100+x291=1 C. y225+x216=1 D. x225+y216=15.圆x2+y2=4上任意一点M到直线3x+4y−15=0的距离大于2的概率为()A. 16B. 13C. 23D. 566.已知等比数列{a n}中，4a1，12a3，3a2成等差数列．则a2018−a2020a2017−a2019=()A. 4或−1B. 4C. −1D. −47.函数f(x)=x3−sinx在[−1,1]上的图像大致为()A. B.C. D.8.计算：(cos5π12+cosπ12)(cos5π12−cosπ12)=()A. −√32B. −12C. 12D. √329. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为√3，则正视图中的x为( )A. 2B. 32 C. √3D. 4√3310. 已知函数f(x)=Asin(wx +φ)(A,w ，φ是常数，A >0，w >0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．为了得到函数f(x)的图象，可以将函数y =√2sinx 的图象( )A. 先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变 B. 先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C. 先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cosθ=−14.若|AB|=|AF 1|，则双曲线C 的离心率为( )A. 4B. √15C. 32D. 212. 已知函数f(x)={e x (x ≥0)mx +m(x <0)在R 上单调递增，当m 取得最大值时，若存在x ∈(−1,3)使得kf(x)−f(−x)≥0成立，则实数k 的取值范围是( )A. [−1e 2,+∞)B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [−2e 3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，若a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=______ ．14.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有______种．(用数字作答)15.三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，在底面ABC中，AB=2，∠C=60°，则三棱锥P−ABC的外接球的体积等于______．16.观察下列各式：1+12C11=22−12，1+12C21+13C22=23−13，1+12C31+13C32+14C33=24−14，1+12C41+13C42+14C43+15C44=25−15，…照此规律，当n∈N∗时，1+12C n1+13C n2+⋅⋅⋅+1n+1C n n=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinCc−b =sinBc−a．(1)求角A的大小；(2)若a=2√3，且S△ABC=2√3，求△ABC的周长．18.如图所示，半圆弧AD⏜所在平面与平面ABCD垂直，且M是AD⏜上异于A，D的点，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2CD=2BC．(1)求证：AM⊥平面BDM；(2)若M为AD的中点，求二面角B−MC−D的余弦值．19.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先．获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是23(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到焦点的距离为4．(1)求抛物线的方程；(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x，其中a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，求a的值；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)若函数f(x)的导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点，证明：当x∈(1,e)时，f(x)>−e2．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x−1=m 2+2my−2=2m(m为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ−ρcosθ+1=0．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(3,2)，设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x|，g(x)=|2x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x)+g(x)≤2；(Ⅱ)若2f(x)+g(x)>ax−2对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，又(−i)4=1，则z2021=[(−i)4]505⋅(−i)=−i，故选：B．利用复数的运算法则化简z，再利用周期性、运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|(x+1)(x−5)<0,x∈Z}={x|−1<x<5,x∈Z}={0,1，2，3，4}，集合B={x|x(x−2)≥0,x∈Z}={x|x≤0或x≥2，x∈Z}，所以A∩B={0,2，3，4}．故选：A．先分别求出集合A，B，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由已知数据计算可得，x−=2+3+4+5+65=4，y−=14+20+m+32+375=103+m5，因为样本中心点(4,103+m5)一定在回归直线方程上，所以103+m5=5×4+6，解得m=27．故选：C．根据题意，样本中心点(4,103+m5)一定在回归直线方程上，列出关于m的方程，解之即可．本题考查回归直线方程，考查学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意知，椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且2a=10，则a=5，又c=3，∴b2=a2−c2=52−32=16，∴椭圆的标准方程为：x225+y216=1．故选：D．由已知可得椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且2a=10，求得a，由焦点坐标得到c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．本题考查椭圆的标准方程，关键是注意利用隐含条件求得b，是基础题．5.【答案】C【解析】解：圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y−15=0的距离为d=|OC|=|0+0−15|√9+16=3，如图所示：AB⏜上的点到直线3x+4y−15=0的距离小于或等于2，所以OD=3−2=1，OA=2，所以∠AOD=π3，∠AOB=2π3，所以圆上任意一点M到直线3x+4y−15=0的距离大于2的概率为P=1−2π3×22π×2=23．故选：C．利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长，利用几何概型的公式计算即可．本题考查了点到直线的距离公式与几何概型的概率计算问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，为保证a 2018−a 2020a 2017−a 2019有意义，则q 2≠1， ∵4a 1，12a 3，3a 2成等差数列， ∴a 3=4a 1+3a 2， 即q 2−3q −4=0， 解得q =4，从而a 2018−a2020a 2017−a 2019=q =4，故选：B ．根据等比数列的定义和等差中项的性质即可求出．本题考查了等比数列的定义和等差数列的性质，考查了运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵f(1)=1−sin1>0，∴排除选项A 和D ， 又f(π6)=(π6)3−sin π6=(π6)3−12<0，∴排除选项B ， 故选：C ．分别计算f(1)与f(π6)的值，并与0比较大小，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：(cos 5π12+cos π12)(cos 5π12−cos π12)=cos25π12−cos 2π12=1+cos5π62−1+cos π62=1−√322−1+√322=−√32． 故选：A ．由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图可知该几何体为四棱锥体，直观图如图所示：则V=13×12×(1+2)×√3×x=√3，解得x=2．故选：A．根据几何体的三视图可知该几何体为四棱锥体，再求出几何体的高．本题考查了三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象得到A=√2，1 4×2πω=7π12−π3，解得ω=2，由于2×π3+φ=kπ，0<φ<π2，解得φ=π3．故f(x)=√2sin(2x+π3)，所以要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=√2sinx的图象向左平移π3个单位，横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变即可．故选：D．首先根据函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的解析式的确定，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由|AB|=|AF 1|，|AF 1|−|AF 2|=2a ，|AB|=|AF 2|+|BF 2|， 可得|BF 2|=|AB|−|AF 2|=|AF 1|−|AF 2|=2a ， 由双曲线的定义，可得|BF 1|=|BF 2|+2a =4a ， 在△BF 1F 2中，|F 1F 2|=2c ，cos∠BF 2F 1=cosθ=−14， 由余弦定理可得−14=(2a)2+(2c)2−(4a)22×2a×2c，化简可得2c =3a ， 即有e =ca =32． 故选：C ．运用双曲线的定义和余弦定理，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)={e x (x ≥0)mx +m(x <0)在R 上单调递增，∴{m >0m ≤1，即0<m ≤1，即m 的最大值为1． 此时在x ∈(−1,3)上，f(x)>0，由存在x ∈(−1,3)使得kf(x)−f(−x)≥0成立，得存在x ∈(−1,3)使得k ≥f(−x)f(x)成立，即k ≥[f(−x)f(x)]min ． 当0<x <3时，f(−x)f(x)=1−x e x，令ℎ(x)=1−x e x(0<x <3)，ℎ′(x)=x−2e x，可得ℎ(x)在(0,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，则ℎ(x)≥ℎ(2)=−1e 2； 当−1<x <0时，f(−x)f(x)=e −xx+1，令g(x)=e −x x+1，g′(x)=−(x+2)e x (x+1)2，此时g′(x)<0，g(x)在(−1,0)上单调递减，g(x)>g(0)=1； 当x =0时，f(−x)f(x)=1．综上可知，k≥−1．e2,+∞)．∴实数k的取值范围是[−1e2故选：A．]min，由分段函数的单调性求得m的范围，可得m的最大值，由x∈(−1,3)时，f(x)>0，问题转化为k≥[f(−x)f(x)分类利用导数求最小值，则答案可求．本题考查分段函数的应用，考查数学转化思想，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．13.【答案】4【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，若a⃗与b⃗ 的夹角为60°，(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=9+3×2×cos60°−2×22=4．故答案为：4．利用已知条件结合向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查平面向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．14.【答案】90【解析】解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42=120种取法，若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，其取法有C53C32=30种，则至少有一名主任医师参加的取法有120−30=90种，故答案为：90．根据题意，先计算从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．15.【答案】43√12954π【解析】解：由题意设三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，如图：可以把三棱锥放在圆柱中，此题转化为求解圆柱的外接球的半径，底面△ABC外接圆的半径r=AB2sin60∘=2√33，设外接球的半径为R，则R2=r2+(12PA)2=4312，R=√4312，所以三棱锥的外接球的体积为：4π3×R3=43√12954π．故答案为：43√12954π．画出几何体的直观图，把三棱锥放在圆柱中，说明圆柱的外接球与三棱锥的外接球相同，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】2n+1−1n+1【解析】解：观察已知等式．可知当n∈N∗时，1+12C n1+13C n2+⋅⋅⋅+1n+1C n n=2n+1−1n+1，故答案为：2n+1−1n+1．观察已知等式，归纳推理出结果即可．本题主要考查了归纳推理，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．17.【答案】解：(1)由sinA+sinCc−b =sinBc−a，利用正弦定理可得：(a+c)(c−a)=b(c−b)，化为：c2+b2−a2=bc，∴cosA=c2+b2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵a=2√3，且S△ABC=2√3，∴(2√3)2=c2+b2−bc，12bcsinπ3=2√3，化为：(b +c)2=3bc +12=3×8+12=36， 解得b +c =6，∴△ABC 的周长=b +c +a =6+2√3．【解析】(1)由sinA+sinCc−b=sinB c−a，利用正弦定理可得：(a +c)(c −a)=b(c −b)，化简利用余弦定理即可得出．(2)由a =2√3，且S △ABC =2√3，利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)取AB 中点为E ，连结DE ，∵AB =2CD ，∴CD =BE ，∵AB//CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形， 又CD =BC ，∠ABC =90°，∴BCDE 是正方形，设CD =1，则BC =DE =BE =AE =1，AB =2，BD =AD =√2， ∴BD 2+AD 2=AB 2，即BD ⊥AD ，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM ∩平面ABCD =AD ， ∴BD ⊥平面ADM ，又AM ⊂平面ADM ，∴AM ⊥BD ， ∵M 是半圆弧AD 上异于A ，D 的点，∴AM ⊥DM ，又DM ∩BD =D ，DM 、BD ⊂平面BDM ∴AM ⊥平面BDM ．解：(2)取AD 的中点为O ，连结OM ，OE ， 则OE//BD ，∴OE ⊥AD ，当M 为AD 的中点时，MA =MD ，则OM ⊥AD ， ∵平面ADM ∩平面ABCD =AD ，∴OM ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 由(1)知，B(√2,√22,0)，C(√22,√2,0)，D(0,√22,0)，M(0,0，√22)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√2,−√22)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面MBC 的一个法向量，则{m⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，3)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面MCD 的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −z =0n ⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，取y =1，得n⃗ =(−1,1，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√11⋅√3=√3311， 由图知二面角B −MC −D 是钝角， ∴二面角B −MC −D 的余弦值为−√3311．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)取AB 中点为E ，连结DE ，推导出四边形BCDE 是平行四边形，进一步推导出BCDE 是正方形，推导出BD ⊥AD ，BD ⊥平面ADM ，AM ⊥BD ，AM ⊥DM ，由此能证明AM ⊥平面BDM ．(2)取AD 的中点为O ，连结OM ，OE ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −MC −D 的余弦值．19.【答案】解：(1)恰好打了7局小明获胜的概率是P 1=C 64(23)5×(13)2=15×2537，恰好打了7局小亮获胜的概率为P 2=C 64(23)2×(13)5=15×2237，∴比赛结束时恰好打了7局的概率为P =P 1+P 2=15×25+15×2237=2081，(2)X 的可能取值为2，3，4，5， P(X =2)=(23)2=49，P(X =3)=C 21×(23)2×13=827，P(X =4)=C 31×(23)2×(13)2+C 44×(13)4=1381， P(X =5)=C 43×23×(13)3=881，∴X 的分布列如下：E(X)=2×49+3×827+4×1381+5×881=23681．【解析】(1)比赛恰好打了7局的情况有两种，小明胜、小亮胜，即可解出； (2)分析可知X 的取值可以是2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可解出． 本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程为x =−p2，由抛物线C 上一点A 的横坐标为3，根据抛物线的定义可知，3+p2=4，解得p =2， 所以抛物线C 的方程是y 2=4x ； (2)由题意可知，直线l 不垂直于y 轴，可设直线l ：x =my +6，则由{y 2=4xx =my +6可得y 2−4my −24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−24， 因为以AB 为直径的圆过点F ，所以FA ⊥FB ，即FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0，即(my 1+5)(my 2+5)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+5m(y 1+y 2)+25=−24(1+m 2)+20m 2+25=0， 解得m =±12，所以直线l ：x =±12y +6，即l ：2x +y −12=0或2x −y −12=0．【解析】(1)求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得p 的方程，解得p ，可得抛物线的方程； (2)可设直线l ：x =my +6，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，由题意可得FA ⊥FB ，由向量垂直的条件：数量积为0，运用向量的坐标表示，化简整理，解方程可得m ，进而得到直线l 的方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：根据条件f′(x)=ax +2x −(a +2)，则当x =2时，f′(2)=a2+4−(a +2)=−a 2+2=1，解得a =2；(Ⅱ)解：函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax +2x−(a+2)=(2x−a)(x−1)x，①a≤0时，2x−a>0，令f′(x)>0，解得：x>1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，②0<a<2时，令f′(x)>0，解得：x>1或0<x<a2，令f′(x)<0，解得：a2<x<1，故f(x)在(0,a2)递增，在(a2,1)递减，在(1,+∞)递增，③a=2时，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)递增，④a>2时，令f′(x)>0，解得：x>a2或0<x<1，令f′(x)<0，解得：1<x<a2，故f(x)在(0,1)递增，在(1,a2)递减，在(a2,+∞)递增；综上：a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，0<a<2时，f(x)在(0,a2)递增，在(a2,1)递减，在(1,+∞)递增，a=2时，f(x)在(0,+∞)递增，a>2时，f(x)在(0,1)递增，在(1,a2)递减，在(a2,+∞)递增；(Ⅲ)证明：因为f′(x)=ax +2x−(a+2)=(2x−a)(x−1)x，又因为导函数f′(x)在(1,e)上存在零点，所以f′(x)=0在(1,e)上有解，则有1<a2<e，即2<a<2e，且当1<x<a2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当a2<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(a2)=aln a2+a24−a2(a+2)=alna−a24−(1+ln2)a，设g(x)=xlnx−x24−(1+ln2)x，2<x<2e，则g′(x)=lnx+1−x2−(1+ln2)=lnx−x2−ln2，则g′′(x)=1x −12<0，所以g′(x)在(2,2e)上单调递减，所以g(x)在(2,2e)上单调递减，则g(2e)=2eln2e−e2−2e(1+ln2)=−e2<g(2)，所以g(x)>−e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈(1,e)时，f(x)>−e2．【解析】(Ⅰ)求出函数在x =2处的导数f′(2)=1，解得a =2；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅲ)根据导函数在(1,e)上存在零点，则f′(x)=0在(1,e)上有解，则有1<a2<e ，即2<a <2e ，得到函数f(x)的最小值，构造函数g(x)=xlnx −x 24−(1+ln2)x ，2<x <2e ，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x −1=m 2+2m y −2=2m ，得{x =m 2+2m +1y 2=4(m 2+2m +1)， ∴曲线C 的普通方程为y 2=4x ；由直线l 的极坐标方程ρsinθ−ρcosθ+1=0，结合y =ρsinθ，x =ρcosθ， 得直线l 的直角坐标方程为x −y −1=0； (Ⅱ)由于点P(3,2)在直线l 上，设直线l 的参数方程为{x =3+√22ty =2+√22t(t 为参数)， 代入y 2=4x ，得t 2=16，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1=−4，t 2=4， 由直线参数方程的几何意义，得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=14+14=12．【解析】(Ⅰ)把{x −1=m 2+2my −2=2m (m 为参数)消去参数m 可得曲线C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的普通方程，得到关于t 的一元二次方程，求得t 1，t 2的值，则答案可求．本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，考查运算求解能力，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)+g(x)≤2即为|x|+|2x −1|≤2，等价为{x ≥12x +2x −1≤2或{0<x <12x +1−2x ≤2或{x ≤0−x −2x +1≤2，即为12≤x ≤1或0<x <12或−13≤x ≤0，综上可得，解集为[−13,1]；(Ⅱ)若2f(x)+g(x)>ax −2对任意的x ∈R 恒成立，当x ≥12时，2x +2x −1=4x −1>ax −2，即(4−a)x +1>0，所以4−a ≥0且12(4−a)+1≥0，解得a ≤4；当0<x <12时，2x +1−2x >ax −2，即ax −3<0，所以12a ≤3，即a ≤6； 当x ≤0时，−2x +1−2x >ax −2，即(4+a)x −3<0，4+a ≥0即可，即a ≥−4． 综上可得，−4≤a ≤4，即a 的取值范围是[−4,4]．【解析】(Ⅰ)由绝对值的定义，零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； (Ⅱ)分别讨论x ≥12，0<x <12，x ≤0时，去绝对值，结合一次函数的单调性和不等式恒成立思想，解不等式，求交集，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021年高三第三次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足(1)2z i i +=，i 是虚数单位，则z =( )A B ．2C ．1D 2．(){}2|lg 34A x y x x ==+-，{}21|2x B y y -==，则A B =（ ） A ．(]0,2 B ．(]1,2 C ．[)2,4 D ．()4,-0 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+单调递减的函数是A ．3y x =-B ．ln y x =C ．cos y x =D ．2x y -= 4．等比数列{}n a 中，若124a =，188a =，则36a 为A ．32B ．64C ．128D ．256 5．已知(0,)2πα∈，且2cos 2cos()4παα=-，则sin 2α的值为（ ） A ．18 B ．18- C ．78 D ．78- 6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a ，b 分别为18,27，则输出的a =（ ）A ．0B ．9C ．18D ．547．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．3D ．38．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．3109．已知AB ⊥AC ，AB =AC ，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若∠BAM =π3，则t 的值为A ．√3−√2B ．√2−1C ．√3−12D ．√3+1210．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若椭圆1C 的离心率132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是A ．35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．三棱锥P ABC -中，底面ΔABC 满足BA BC =，π2ABC ∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为A ．2B ．3C ．D ．12．设函数()f x 1e 1e cos 22y x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为A ．20,e e 1⎡⎤-+⎣⎦B ．20,e e 1⎡⎤+-⎣⎦C ．20,e e 1⎡⎤++⎣⎦D ．20,e e 1⎡⎤--⎣⎦二、填空题13．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =_______．14．平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有··PAB PCD S PA PB S PC PD∆∆=（其中PAB S ∆、PCD S ∆分别为PAB ∆、PCD ∆的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有P ABE P CDFV V --=______（其中P ABE V -、P CDF V -分别为四面体—P ABE 、—P CDF 的体积）.15．已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______. 16．已知圆22:25C x y +=，过点(2,3)M -作直线l 交圆C 于,A B 两点，分别过,A B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为__________．三、解答题17．已知03x π=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π.（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =，b =求2c a -的取值范围. 18．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由.19．如图，在棱台ABC FED -中，ΔDEF 与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为直角梯形，BC CD ⊥，1CD =，N 为CE 中点，(),0AM AF λλλ=∈R ＞.(1)λ为何值时，MN ∥平面ABC(2)在(1)的条件下，求直线AN 与平面BMN 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过椭圆C 中心的弦PQ 长为2，且090PFQ ∠=，PQF ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x =1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，设12,S S 分别为12A SA ∆，MSN ∆的面积，求12S S 的最大值. 21．已知()()2e ln x f x x a =++.(1)当1a =时，①()f x 在()0,1处的切线方程；②当0x ≥时，求证：()()21f x x x ≥++.(2)若存在[)00,x ∞∈+，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围. 22．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，212:12x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） （1）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（2）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2到曲线1C ，设(1,1)P -，曲线2C 与1C 交于,A B 两点，求PA PB +.23．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足132x y -＜，126x y +＜，求证：310x ＜； (2)求证：44331628x y x y xy +≥+.参考答案1．A【解析】()()()2121111i i i z i z i i i -==+∴=++- A. 2．B【详解】因为{}2|340{|1A x x x A x x =+->⇔=>或4},{|02}x B y y <-=<≤， 所以{|12}AB x x =<≤，故应选答案B ．3．D 【解析】逐一考查所给的函数：A. 3y x =- ，函数是奇函数；B. ln y x = 函数是偶函数，在区间()0,+∞是增函数；C. cos y x = 函数是偶函数，在区间()0,+∞不具有单调性；D. 2x y -=函数是偶函数，在区间()0,+∞单调递减；本题选择D 选项.4．B【解析】由等比数列的性质可知：1218243036,,,,a a a a a 构成等比数列，且18122a a = 故4364264a =⨯= ，本题选择B 选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．5．C【解析】由题意可得：()222cos sin cos cos sin sin 44ππαααα-=+ ，即：()())2cos sin cos sin cos sin αααααα+-=+ ，由α 的范围可得cos sin 0cos sin αααα+≠⇒-=， 两边平方可得：171sin 2,sin 288αα-=∴= . 本题选择C 选项.6．B【解析】因为18,27,a b a b ==<，所以27189,18b b a a =-=-==，此时18,9,a b a b ==>，则1899,9a a b b =-=-==，此时9a b ==，运算程序结束，输出9a =，应选答案B ．7．A【解析】从题设中提供的三视图中的数据信息与图形信息可知该几何体是底面为边长为2的正方形，高是2的四棱锥，如图，其体积184233V =⨯⨯=，应选答案A ． 8．C【解析】三个男生都不相邻的排列有：3334144A A ⨯= 种，三个男生都相邻的排列有：33334144A A ⨯= 种，六个人所有肯能的排列有66720A = 种，据此可知3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为144144317205+-= . 本题选择C 选项.9．C【解析】 由题意可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒t =|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | . 其中CB AC =√2 ，由正弦定理：CM AC =sin∠30∘sin∠105∘ ，整理可得：t 的值为√3−12. 本题选择C 选项.点睛：三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．10．C【解析】 设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>> ，由题意有：1225225c c c a e a c +=⇒==+ ， 设双曲线方程为()222210,0x y m n m n-=>> ，同理可得2225c e c =- , 由1232,2553c c e a c ⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭ 有：()222,325c e c =∈-. 本题选择C 选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．B【解析】设AC 的中点为D ，连结PD ，很明显球心在PD 上，设球心为O ，PD=h ，AB=x ，则：2221192727,322x h hx x h⎛⎫⨯⨯=⇒== ⎪⎝⎭ ， 在Rt △OAD 中：222OA AD OD =+ ，设OA R = ,则：()2222R x h R ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ，解得：2222127112711922224444h x h h R h h h h h ⨯++===⨯++≥= ， 当且仅当21271,344h h h ⨯== 时等号成立，即当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为3 .点睛：两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式22a b a b ab +⎛⎫+≥≤ ⎪⎝⎭，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.12．D【解析】因为1cos 1x -≤≤，所以11112222e e e e y -+-++≤≤+，即1y e ≤≤，所以由题意存在01y e ≤≤使得()()00f f y y =成立，即()00f y y =在区间[1,]e 上有解，也即方程(1)x x e =≤≤有解．所以问题转化为方程2ln (1)x x m x x e ++=≤≤有解．令2()ln (1)h x x x x x e =--≤≤，故2()ln 0h x x x x =--≥，且2121(21)(1)()210x x x x h x x x x x --+-=--'==>，故函数2()ln (1)h x x x x x e =--≤≤单调递增，所以22max ()ln 1h x e e e e e =--=--，即201m e e ≤≤--，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是要深刻理解函数的内涵，把握函数的对应关系，借助函数的定义中的对应关系建立方程，从而将问题进行等价转化．难点在于如何理解存在与恒成立、以及转化的等价性等．求解时充分运用函数与方程思想将方程问题等价转化为函数问题进行求解，从而使得问题巧妙获解．13．27 【解析】设抽取的女教师为y 人，所以8012100y=，解得15y =，所以27x y +=，故答案为27.14．PA PB PEPC PD PF⋅⋅⋅⋅【解析】由题设可得P P ABE E AB P CDF F PCD V V V V ----==sin sin sin sin PAB PCD S PE PA PB BPAA PES PF PC PD DPC PFθθ∆∆⋅⋅∠⋅==⋅⋅∠⋅PA PB PE PC PD PF ⋅⋅⋅⋅(其中θ是射线PL 与平面PAB 所成角)，应填答案PA PB PEPC PD PF⋅⋅⋅⋅．点睛：解答本题的思路也可以直接运用类比推理的思维模式进行推证，求解本题时充分借助题设条件中的三棱锥可以换底的几何特征，先将三棱锥的体积进行等价转化，然后借助三角形的面积公式及三棱锥的体积公式进行分析推证，从而使得问题巧妙获解．15．1375 【解析】因为24(1)(1)n n n a n n =-+-，所以5012S S S =+，则12225021(1)1(1)2(1)50S =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-，即2221123(49)50123501275S =-+-+⋅⋅⋅+-+=+++⋅⋅⋅+=，又24[(1)112(1)350]4[21435049]425100S =-⨯+⨯+-⨯+⋅⋅⋅+=-+-+-=⨯=501212*********S S S =+=+=，应填答案1375．16．23250x y -+= 【解析】考虑如下问题：已知C :x 2+y 2=r 2(r >0)和点P (a ,b ).若点P 在C 内，过P 作直线l 交C 于A . B 两点，分别过A . B 两点作C 的切线，当两条切线相交于点Q 时，求点Q 的轨迹方程.圆C :x 2+y 2=r 2的圆心C 为(0,0)， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x 0,y 0)，因为AQ 与圆C 相切，所以AQ ⊥CA . 所以(x 1−x 0)(x 1−0)+(y 1−y 0)(y 1−0)=0， 即x 21−x 0x 1+y 21−y 0y 1=0， 因为x 21+y 21=r 2， 所以x 0x 1+y 0y 1=r 2， 同理x 0x 2+y 0y 2=r 2.所以过点A ,B 的直线方程为xx 0+yy 0=r 2. 因直线AB 过点(a ,b ). 所以代入得ax 0+by 0=r 2，所以点Q 的轨迹方程为：ax +by =r 2.结合题意可知，点N 的轨迹方程为23250x y -+=. 点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： (1)直接法：根据题设条件直接列出方程； (2)定义法：根据圆的定义写出方程； (3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．17．（1）m = ，,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2）⎛ ⎝ 【解析】 【分析】（1）由三角函数的辅助角公式，得()()f x x ωϕ=-，求得2ω=，又由03x π=为对称轴，求得6k πϕπ=-+，进而得到则1tan m m ϕ==⇒=式，即可求解函数的单调递增区间；（2）由（1）和()2f B =，求得3B π=，在利用正弦定理，化简得26c a A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用角A 的范围，即可求解答案． 【详解】（1）()()sin cos f x m x x x ωωωϕ=-=-，所以22T ππωω==⇒=.因为03x π=为对称轴，所以2=32k ππϕπ⨯-+，即6k πϕπ=-+，则1tanm ϕ==m ，所以()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+()k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . （2）()2sin 226f B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以262B ππ-=，则3B π=， 由正弦定理得22sin sin sin b a c R B A C====，R 为ABC △外接圆半径，所以π3π2sin sin sin cos 23226c a A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2c a ⎛-∈ ⎝． 【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，以及正弦定理的应用，其中解答中根据题设条件求解函数的解析式，熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 18．（1）0.30a =（2）0.88（3）2.9 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件先求出m =数的单调区间进行求解；（2）先求三角形的内角，再运用正弦定理及三角变换公式求解:（1）0.30a =（2）10.060.040.020.88P =---= （3）()0.880.850.300.1-÷=30.1 2.9x =-=19．（1）见解析（2【解析】试题分析： (1)由题意可知当1λ2=，即M 为AF 中点时MN //平面ABC ，利用题意可首先证得平面MNP //平面ABC ?，然后利用面面平行的性质定理有MN //平面ABC (2)利用题意建立空间直角坐标系，由空间向量的结论可得直线AN 与平面MNB. 试题解析：解： （1）当12λ=，即M 为AF 中点时//MN 平面ABC ， 取CD 中点P ，连,PM PN}//}//AC ABCAM MFMP AC MP ABC CP PDMP ABC⊂=⇒⇒=⊄平面平面平面//}//}//}//////BC ABCCP PDNP DENP BC NP ABC CN NEDE BCNP ABC⊂⇒⇒⇒⊄平面平面平面 所以，平面//MNP 平面//ABC MN ⇒平面ABC（2）取BC 中点O ，连,OA OE}}ABC BCDEAB ACAO BC AO BCDE OB OCAO ABC⊥=⇒⊥⇒⊥=⊂平面平面平面平面1}//2}//OC BC EDOE CD OE BC BC EDCD BC==⇒⇒⊥⊥以,,OE OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系(()()11,0,1,0,1,0,0,0,,222A C E EF BA ⎛== ⎝⎭，所以111111,,,,,,,,02224422F M N ⎛⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设(),,n x y z =为平面BMN的法向量，则()3022{{{93,3004x y n BN n BN n y n MN n MN z +=⊥⋅=⇔⇔⇒=-⊥⋅=-+=46cos ,1897ANn -〈〉=所以，直线AN 与平面MNB. 20．（1）2212x y +=（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意求得1,1c b == ，则椭圆方程为2212x y +=；(2)由题意求得面积比值的解析式()()()1222222A SA 122222MSNt 93t 32S SA ?SA t 9t 114··SSM?SN t 3t 333t 3⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦==≤=+++，当且仅当22933t t +=+，即t =时取“=”.试题解析：解：（1）弦PQ 过椭圆中心，且2PFQ π∠=，所以112c OF PQ ===， 不妨设()0000,(,0)P x y x y > 所以000121012PFQSOF y y x b =⋅==⇒=⇒= 所以椭圆方程为2212x y +=（2）设直线1:A S x y =，代入2222xy +=中，得22181220y y t t ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解得1269t y t =+ 同理，设直线2:A S x y t=2222x y +=中， 得222420y y t t ⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得2221t y t =-+ 12221222·91··33A SA MSNS SA SA t t S SM SN t t ++==++ ()()()22222933214·333t t t ⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≤=+当且仅当22933t t +=+，即t =时取“=” 21．（1）见解析（2）a e > 【分析】（1）依据题设条件导数的几何意义建立方程求出参数，进而构造函数运用导数知识推证；（2）先将不等式问题进行等价转化，再构造函数借助导数与函数单调性之间的关系进行分析探求： 【详解】（1）1a =时，()()2ln 1xf x ex =++，()2121x f x e x '=++ ①()01f =，()10231f '=+=，所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x②设()()()()22ln 110x F x e x x x x =++-+-≥()()2122111x F x e x x -+'=++- ()()()()222222ll 4221011xxx x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎢⎥⎣⎦'' 所以，()F x '在[)0,+∞上递增，所以()()00F x F ''≥= 所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()()00F x F ≥= （2）原问题00x ⇔∃≥使得()02200ln 0x e x a x -+-<设()()22ln xu x ex a x =-+-()2122x u x e x x a =--+' ()221420x u x e x a '=+->+（）()u x ∴'在[)0,+∞单调增()()102u x u a∴'≥=-'1当12a ≥时，()1020u a =-≥' ()u x ∴在[)0,+∞单调增，()()min01ln 0u x u a ∴==-<a e ∴>2当12a <时，()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭设()11ln ,(0)22h x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭ ()11211122x h x x x -=='-++ 另()()110,0022h x x h x x ''>⇒><⇒<<()h x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增()102h x h ⎛⎫∴≥= ⎪⎝⎭设()221,(0)2xg x ex x x ⎛⎫=---> ⎪⎝⎭()2221x g x e x '=-- ()'242420x g x e ='->-> ()g x '∴在()0,∞+单调递增()()010g x g ∴'>=>' ()g x ∴在()0,∞+单调递增()()00g x g ∴>>()2211ln ln 22x e x x x x a ⎛⎫∴->->+>+ ⎪⎝⎭ ∴当12a <时，()()22ln f x x a x >++恒成立，不合题意 【点睛】本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用. 22．（11（2）7【解析】试题分析：（1）由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果；然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；（2）伸缩变换为2{x x y ='='，所以221:143x y C '+''=，将'2C 和'1C联立，得27100t +-=，因为120t t <，再根据1212PA PB t t t t +=+=-，利用韦达定理，即可求出结果.试题解析：（1）221:1C x y +=，圆心为()0,0，半径为1；2:2C y x =+圆心到直线距离d ==所以1C 上的点到2C的最小距离为1（2）伸缩变换为2{x xy ='='，所以221:143x y C '+''= 将'2C 和'1C联立，得27100t +-=，因为120t t <∴1212PA PB t t t t +=+=-= 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由()()23325x y x y x -++=，根据基本不等式可得结论；（2）先作差，再分解因式，从而利用配方法判定各因式为正，进而可得结果.试题解析：（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅=310x ∴<（2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦。

2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，14}，则A∩B的真子集个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．（5分）某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）售价x4a 5.56销售量y1211109用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程＝﹣1.4x+17.5，那么表中实数a的值为（）A．4B．4.7C．4.6D．4.54．（5分）若过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝15．（5分）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取一点（）A．B．C．D．1﹣6．（5分）已知等比数列{a n}中，a n a n+1＝4n，则公比q为（）A．B．2C．±2D．±7．（5分）函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法“在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝，则＝（）A．4B．﹣1C．2D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．7C．D．10．（5分）函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）的图象关于（，0）对称D．函数f（x）在[，]上递增11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD，若双曲线E以A，B为焦点，D 两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点（A，B）（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数f（x）＝．恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜e﹣2B．0＜a≤e﹣2C．0＜a＜e﹣1D．0＜a≤e﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={(x,y)|x +y =1}和B ={(x,y)|y =1}，则A ∩B =( )A. {1}B. {0}C. {(1,0)}D. {(0,1)}2. 若复数z 满足z +2=4i1−i (i 是虚数单位)，则z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫(“榫”，即指木制构件利用凹凸方式相连接的部分)的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是( )A. 6B. 8C. 12D. 164. 若实数x ，y 满足不等式组{x −2≤0y −1≤0x +2y −a ≥0，目标函数t =x −2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A. −2B. 0C. 1D. 25. 在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2√33，b =√2，B =2π3，则A 等于( )A. π4B. π12C. π6D. 3π46. 若(a +2x 2)(1+x)n (n ∈N ∗)的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )A. 30B. 45C. 60D. 817. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A. 4453B. 911C. 1113D. 2653098. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=6，则向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. 6 B. 3 C. −2 D. −39. 人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应(简称双耳效应).根据双耳的时差，可以确定声源P 必在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上．又若声源P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P 对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左、右两耳相距约为20cm ，声源P 的声波传及甲的左、右两耳的时间差为3×10−5s ，声速为334m/s ，则声源P 对于甲的方向偏角α的正弦值约为( )A. 0.004B. 0.04C. 0.005D. 0.0510. 已知函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 图象的一个公共点为P(x 0,y 0)，现给出以下结论：①f(x 0)=g(x 0)； ②f′(x 0)=g′(x 0)；③f(x)和g(x)的图象在点P 处的切线的倾斜角互补； ④f(x)和g(x)的图象在点P 处的切线互相垂直． 其中正确结论的序号是( )A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④11. 已知抛物线C ：x 2=43y 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则|AB||AF|⋅|BF|=( )A. 2B. 3C. 4D. 512.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为底面ABCD的中心，E为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，Q为线段AE的中点现有以下结论：①PE与QC是异面直线；②过A，P，E三点的正方体的截面是等腰梯形；③平面APE⊥平面BDD1B1；④PE//平面CDD1C1．其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为______ ．14.某校高二20名学生学业水平考试的数学成绩如表：学生编号成绩学生编号成绩学生编号成绩学生编号成绩18068011711670288785127817293808691379189048198314831963573107615652076用系统抽样法从这20名学生学业水平考试的数学成绩中抽取容量为5的样本，若在第一分段里用随机抽样抽取的成绩为88，则这个样本中最小的成绩是______ ．15.已知函数f(x)=cos2x+sinx，若对任意实数x，恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2)，则cos(α1−α2)=______．16.已知实数a，b满足(a−1)5+(b−3)5=2020(1−a)3+2020(3−b)3，则a+b=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）．17.已知{a n}是公比为q的等比数列，其前n项和为S n，且S3=−3，S6=−218(1)求q；(2)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为T n，当n≥2时，试比较T n与b n的大小．18. 如图是M 市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012～2019年我市接待游客人次”的统计图.根据该统计图提供的信息解决下列问题：(1)求M 市在所统计的这8年中所接待游客人次的平均数和中位数；(2)在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)；(3)从该统计图上看，从2016年开始，M 市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测到2021年M 市接待游客的人次．①参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘法计分别为b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑(ni=1x i y i −nx −y −)∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． ②参考数据： x′=x −2016123 y′=y −630 −300 −120 9033019.如图．已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=2BC=2CD=4，PA=PD=2√2，AD，AB的中点分别是O，G．(Ⅰ)求证：GO⊥平面POC；(Ⅱ)求二面D−PG−O的余弦值．20.已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A，C分别是椭圆E的左、右顶点，D，B分别是椭圆E的上、下顶点，若四边形ABCD的面积为2√2，△DF1F2的面积为1．(1)求椭圆E的方程：(2)设平行于AB的动直线l与四边形ABCD的对边AD，BC分别交于点M，N，与椭圆交于点P，Q(在直线l上从上到下顺次分别为P，M，N，Q)，求证：|PM|=|NQ|．21.已知函数f(x)=lnx+1ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，若关于x的方程f(x)=m有两个实数根x1，x2，且x1<x2，求证：x1+x2>1．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosαy =1+rsinα(r >0,α为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+2y 2+xy −1=0.以坐标原点O 为极点x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过极坐标系中的点P(2,3π4)．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2若曲线C 2上的两点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,α)，(ρ2,α+π2)，求1|OA|2+1|OB|2的值．23. 已知a ，b 均为正实数，且a +b =3．(Ⅰ)求1a+1+1b 的最小值；(Ⅱ)若|x −2|−|x +3|≤1a+1+1b 对任意的a ，b ∈R ∗恒成立，求实数x 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：解方程组{y =1,x +y =1,解得{x =0,y =1,，所以A ∩B ={(0,1)}． 故选：D ．解方程组{y =1,x +y =1,即可求出集合A 与集合B 的交集点坐标．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z +2=4i1−i ，得z +2=−2+2i ， 所以z =−4+2i ，所以z −=−4−2i ，所以z −在复平面内对应的点为(−4,−2)，位于第三象限． 故选：C ．先利用复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求． 本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】A【解析】 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积。