东北三省三校2021届高三三模理科数学试题(含答案解析)

2021年高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案精华教考中心 xx年5月班级姓名考号分数一、选择题：(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1. 已知集合, , 则（）A． B. C. D.2. 复数的虚部为（）A． B. C. D.3. 设，则大小关系为（）A. B. C. D.4. 已知命题：,使得,命题：,,下列结论正确的是（）A．命题“”是真命题 B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是真命题5．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）6.一排个座位坐了个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A． B． C．D．7．在中，内角,,的对边分别是，若，，则角大小为（）A． B. C. D.8．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1 B. C. D.二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分)。

9. 若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，则该抛物线方程为___．10. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为________.11.设等比数列的公比为，前项和为，则 .12. 如图所示，在平行四边形中，，垂足为，且，则______.13. 设，且满足，则的最小值为___ ；若又满足，则的取值范围是_______.14．如图，在正方体中，分别是棱，，的中点，点在四边形的四边及其内部运动，则当只需满足条件________时，就有；当只需满足条件________时，就有∥平面．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的值域．16．(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取件和件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5169 178 166 175 18075 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足，且时,该产品为优等品。

2021届黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x，y)|x，y为实数且x 2+y 2=1}，B={(x，y)|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为()A. 4B. 3C. 2D. 12.已知i为虚数单位，复数z1=2−ii，z2=a+i(a∈R).若z3=|z1|+z2，则z3的实部为()A. aB. √5+aC. √5D. 13.一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A. 43√3 B. 53√3 C. 2√3 D. 83√34.实数X，y满足{x−y+1≥0x+3y−3≥03x+y−9≤0，若z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是()A. [−3,1]B. [−1,3]C. (−∞,1]D. [3,+∞)5.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为为锐角，，则为()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6.二项式(6x−1√x)15的展开式中的常数项是第几项()A. 10B. 11C. 12D. 137.运行如图所示的程序流程图，则输出的值是()A. 5B. 7C. 9D. 11 8. 在等腰中，，则的值为( ) A.B. C. D. 9. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F(−c,0)(c >0)作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线的离心率( )A. √102 B. √105 C. √10 D. √210. 给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的重心．正确的命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图，过抛物线y 2=0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3.则此抛物线的方程为( )A.y2=—xB.y2=9xC.y2=xD.y2=3xA. AB. BC. CD. D12.一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是()A. 西与楼，梦与游，红与记B. 西与红，楼与游，梦与记C. 西与楼，梦与记，红与游D. 西与红，楼与记，梦与游二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．14.高二年级共有247名同学报名参加数学支教活动，年级组决定从中随机抽取4位代表海中前往黎村小学支教，请你用“随机数表法”确定参加该活动的人员．如果你从000开始对上述同学编号，且选取的首个数字在随机数表的第4行第9列，读数方式为向右，则被选人员的编号为______ ．随机数表片段(1～5行)03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 9597 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 7316 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 1012 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30．15. 已知函数f(x)=x|x −a|−a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围______．16. 若10x =3，10y =4，则102x−y =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，满足S n =2a n −1．(1)求数列的通项a n 及前n 项和S n ；(2)若数列{b n }满足b n =1log 2(S n +1)⋅log 2(S n+1+1)(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)若对任意的x ∈R ，恒有T n <x 2−ax +2成立，求实数a 的取值范围．18. 对凯里一中高二(1)、高二(2)、高二(3)、高二(4)、高二(5)五个班级调查了解，统计出这五个班级课余参加书法兴趣小组并获校级奖的人数，得出如表：班级 高二(1) 高二(2) 高二(3) 高二(4) 高二(5)班级代号x 1 23 4 5 获奖人数y 54 2 3 1 从表中看出，班级代号x 与获奖人数y 线性相关．(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a^； (2)从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过3人的概率．(附：参考公式：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x).19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ．(1)求证：AC⊥BB1；(2)若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P−AB−A1的平面角的余弦值为．20. (本小题满分14分)已知椭圆：()的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)直线：()与椭圆有两个交点.若线段的中点为，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．(为坐标原点)21. 设函数f(x)=x n+bx+c(n∈N+，b，c∈R).(1)设n≥2，b=1，c=−1，证明：f(x)在区间(，1)内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(−1)|≤1，|f(1)|≤1，求b+3c的最小值和最大值；(3)设n=2，若对任意x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4，求b的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2+2t(t为参数)，在以O为极点，x轴的正y=−√2+t半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρ=．√1+3sin2θ(Ⅰ)求曲线C1、C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若A、B分别为曲线C1、C2上的任意点，求|AB|的最小值．23. 已知函数f(x)=3|x|+|3−x|．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若不等式f(x)<5的解集为M，且a，b∈M，证明：ab>a+b−1．【答案与解析】1.答案：C解析： 由解得或故A ∩ B ={(0,1)，(1,0)}，所以A ∩ B 的元素个数为2．2.答案：B解析：解：∵z 1=2−i i =(2−i)(−i)−i 2=−1−2i ，又z 2=a +i ，∴z 3=|z 1|+z 2=√5+a +i ，则z 3的实部为√5+a ．故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简z 1并求模，求得z 3=|z 1|+z 2，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．此几何体是底面积是S =12×1×2=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为√3，即可得出．解：此几何体是底面积是S =12×1×2=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为√3，∴V =13(2×2+1)×√3=5√33． 故选B ． 4.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由{x −y +1=03x +y −9=0，解得{x =2y =3， 即A(2,3)，若z=ax+y的最大值为2a+3，即A是函数取得最大值的最优解，由z=ax+y得y=−ax+z，即目标函数的斜率k=−a，要使是函数取得最大值的最优解，若a=0，y=z，满足条件，若−a>0，则满足−a≤1，即a<0，且a≥−1，此时−1≤a<0，若−a<0，则满足−a≥−3，即a>0，且a≤3，此时0<a≤3，综上−1≤a≤3，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.答案：D解析：试题分析：由已知得，所以，且，由为锐角，故，由正弦定理得，则，，展开得，，故，所以，所以是等腰直角三角形考点：正弦定理和三角恒等变形．6.答案：B)15展开式的通项公式为解析：解：二项式(6x−√x)r=C15r⋅615−r⋅(−1)r⋅x15−3r2，T r+1=C15r⋅(6x)15−r⋅√xr=0，求得r=10，令15−32∴展开式中的常数项是第10+1=11项．故选：B．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中的常数项即可．本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题．7.答案：B解析：试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是确定满足条件P=1×3×5×…×I>100的最小I值(I为奇数)∵当I=5时，P=1×3×5=15<100当I=7时，P=1×3×5×7=105>100故满足条件的I值为7，故选B．考点：程序框图的算法功能点评：简单题，必考题型，在理解算法的基础上，逐次运行程序。

2021年高考长春三模理科数学试题word版2021年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2021年长春市高中毕业班第三次调研测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. ．．1.若集合A?{x|x2?4}，则集合{y|y?x?1,x?A}?A.{y|0?y?1} 2. 若A.?12B.{y|0?y?1}C.{y|0?y?3}D.{y|0?y?3}3?2iz?52?1?i，则z?12?52i C.i B.12?52i D.?12?52i3.直线l：x?my?2与圆M：x2?2x?y2?2y?0相切，则m的值为 A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或?174.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为r1相关系数为r2相关系数为r3A. r2?r4?0?r3?r1 C. r4?r2?0?r3?r1相关系数为r4 B. r4?r2?0?r1?r3 D. r2?r4?0?r1?r315.各项都是正数的等比数列{an}中，3a1，a3，2a2成等差数列， 2则a10?a12?a15?a19?a20?a23a8?a10?a13?a17?a18?a21?A.1?2B.312 C.6 D.96.函数f(x)?3cosx?log2x?的零点个数为A.2B.3C.4D.57.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是163，则判断框内应填入的条件是 A.i<4 C.i<5B.i>4D.i>5 ?8.函数f(x)?Asin(?x?)(??0)的图像与x轴的交点6的横坐标构成一个公差为?2的等差数列，要得到函数- 1 -g(x)?Acos?x的图像只需将f(x)的图像A.向左平移C.向左平移?63B.向右平移D.向右平移?332?2?9.给出下列说法：①命题“若?，则1”的否命题是假命题；??sin??62②命题p：③“???2?x0?R,使?sinx0?1，则?p：?x?R,sinx?1；?2k?(k?Z)?x?,0()”是“函数y?sin(2x??)为偶函数”的充要条件；，命题q：“在△ABC中，若sinA?sinB,1”2④命题p：“?，使2sinx?cosx?则A?B”.那么命题（?p?q）为真命题. 其中正确的个数是A. 4 10.双曲线x22B. 3 C. 2 D. 1ab共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为?y22?1(a?0,b?0)的右是焦点是抛物线y2?8x的焦点，两曲线的一个公A. 52B. 5C. 2D. 23311.四棱锥S?ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于4?43，则球O的体积等于A.423?B.823?C.1623?D.3223?12.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有A.288种B.144种C.72种D.36种第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.二项式(2x?x)(1?x)的展开式中x的系数是___________.46514.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15.等比数列{an}的首项为a，公比为q，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充分必要条件是________________. 16、如果直线2ax?by?5?0(a?0,b?0)和函数f(x)?m- 2 -x?1正视图侧视图俯视图?1(m?0,m?1)的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x?a?1)2?(y?b?2)2?上，那么ab2a?b854的内部或圆的取值范围是_______________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17、（本小题满分12分）????B在△ABC中，向量m?(2cosB,1)，向量n?(2cos2(?),?1?sin2B)，且满足??????m?n?m?n.42⑴求角B的大小；⑵求sin2A?sin2C的取值范围. 18.（本小题满分12分）2021年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）；⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记?表示其中贷款年限不超过20年得人数，求E(?).19.（本小题满分12分）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1??D1C1底面ABCD,A1B1?ADC?90，AB??CD，AD?CD?DD1?2AB?2.⑴求证：AD1?B1C；⑵求二面角A1?BD?C1的正弦值; （3）求四面体A1BDC1的体积.20.（本小题满分12分）已知F1,F2分别为椭圆xa22DCAB?yb22?1(a?b?0)的左右焦点， M,N分别为其左右顶点，过F2的直线l与椭圆相交于A,B两点. 当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN?????的面积等于2，且满足MF2??????????2AB?F2N.??????????????????⑵当直线l绕着焦点F2旋转但不与x轴重合时，求AM?AN?BM?BN 的取值范围.⑴求此椭圆的方程；- 3 -21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?xlnx.⑴讨论函数f(x)的单调性；⑵对于任意正实数x，不等式f(x)?kx?12恒成立，求实数k的取值范围；⑶是否存在最小的正常数m，使得：当a?m时，对于任意正实数x，不等式xf(a?x)?f(a)?e恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B,C两点，且?BMP?100，?BPC?40.??⑴求证：?MBP 与?MPC相似；⑵求?MPB的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.?x?sin??cos?在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为?(?为参数)，若以该直?y?sin2?角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：?sin(???4)?22t（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当t??2时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数f(x)?|x?1|?|2x?2|.⑴解不等式f(x)?5；⑵若关于x的方程1f(x)?4?a的解集为空集，求实数a的取值范围.- 4 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。

黑龙江省实验中学2020—2021学年度下学期高三学年第三次模拟考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合{}{})1lg(|,5|2+==-==x y y N x y x M ，则=N M ( ) A.]5,(-∞ B.]5,1[ C.),0[+∞ D.]5,0[ 2．等差数列{}n a 的前15项和1530S =，则789a a a ++=（ ） A ．2- B ．6 C ．10 D ．143.已知复数z 的共轭复数为z ，若i z zi +=2（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A.i 32 B.32 C.i 31- D.31- 4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为75π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-5. 2021年强基计划开始申报，省实验中学有4所不同学校的校荐名额，每所学校有一个。

分给学年前三名的同学，名额不能浪费，每个人至少一个，共有分配方法（ ） A.3种 B.4种 C.24种 D.36种6.已知直线1y =与y 轴交于点A ，与曲线3y x =交于点B ，O 为原点，记线段OA ，AB 及曲线3y x =围成的区域为Ω．在Ω内随机取一个点P ，已知点P 取在OAB 内的概率等于23，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．16 B ．15C ．14 D ．137.正三棱柱111C B A ABC -中，CE CC AA AB 36411===，，，则异面直线B A 1与AE 成角余弦值为（ ）A.13135 B.1313 C.6565 D.42658．已知34,5a b c <<<，且3e 3e ,aa =且44,bbe e =且5e 5e cc =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<9.如图所示三棱锥中，90=∠BCD ，ABD ∆为等边三角形，二面角C BD A --为直二面角，22==BC BD ，则该三棱锥外接球体积为（ ）A.π34 B.π27332 C.π2738 D.π91610．已知椭圆()2222:11x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，平行于直线FB 的直线 l 交椭圆E于M 、N 两点，若线段MN 的中点坐标为()2,1-，P 为椭圆E 上任意一点，PF 的最大值为4+22，则椭圆E 的长轴长为（ ） A ．8 B ．4 C ．22 D ．4211. 已知函数()()()()sin cos 0f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()()f x f x π=-，则ϕ=（ ）A .56π B .23π C .6π或56π D .3π或23π12．已知函数1,(0)()ln 2,(0)x xe x f x x x x ⎧+≤=⎨-->⎩，若函数()y f x a =-有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,1(1,)e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若平面向量内单位向量21,e e 满足2|2|21=+e e ，则1e 在2e上投影为 .14．63)2(x x -的展开式中4x 系数的为 .15．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线左、右两支分别交于点P 、Q ，且满足QF PF -的值为虚轴长，则该双曲线离心率为 .16．在数列{}n a 中，()123312,3,4,12nn n a a a a a ++=-==+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则80S =__________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题.第22,23题为选考题.）17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,,C B A 对边的边长分别是,,,c b a 已知B A B AC sin sin cos cos cos 1222=--+． （1）求角C 的大小；（2）若角C 的平分线交AB 边于点D ，CD 长为2，求ABC △的面积的最小值．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -，⊥PA 面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，442===CD BC AB .（1）证明：PBD PAC 面面⊥；（2）若2=PA ，求直线BD 与平面PBC 成角正弦值。

黑龙江省2021版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，，若,则a的值是（）A . －1B . 0C . 1D . 1或－12. （2分）(2017·临川模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2 ，则|z|的值为（）A . 2B . 3C .D . 53. （2分）某班学生父母年龄的茎叶图如图，左边是父亲年龄，右边是母亲年龄，则该班同学父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大（）A . 2.7岁B . 3.1岁C . 3.2岁D . 4岁4. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A . （￢p）∨qB . p∧qC . （￢p）∧（￢q）D . （￢p）∨（￢q）5. （2分）设且满足，则的最小值等于（）．A . 2B . 3C . 9D . 116. （2分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A .B .C .D .7. （2分）(2019·郑州模拟) 已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为A .B .C .D .8. （2分） 25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（）A . 60种B . 100种C . 300种D . 600种9. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在△ABC中，B=30°，AB=2 ，AC=2，那么△ABC的面积是（）A . 2B .C . 2 或4D . 或210. （2分）若关于x的不等式x3﹣3x+3+a≤0恒成立，其中﹣2≤x≤3，则实数a的最大值为（）A . 1B . ﹣1C . ﹣5D . ﹣21二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2015高三上·苏州期末) 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为________12. （1分） (2016高二上·右玉期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC= ，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线BF与平面BB1C1C所成的角为________13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2017高二上·绍兴期末) 设F1 ， F2分别为椭圆 +y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5 ；则点A的坐标是________．15. （1分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣4）]=________三、解答题 (共6题；共55分)16. （5分） (2017高三下·岳阳开学考) 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）= sin •cos +cos2 ，求f（B）的取值范围．17. （15分）(2013·四川理) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i （i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610 (21001027376697)乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；（3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18. （5分）(2017·昆明模拟) 如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，，E为线段PD上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；（Ⅱ）求点P到平面ACE的距离．19. （10分）(2020·盐城模拟) 若有穷数列共有项，且，，当时恒成立.设 .（1）求，；（2）求 .20. （10分）(2016·湖南模拟) 已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21. （10分）(2019·山西模拟) 已知正项等比数列的前项和为，且， . （1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．82．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．23．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为( )A ．21.75B ．22.25C ．23.75D ．20.754．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．5C ．4D ．35．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．402436．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( ) A ．2πB ．6π C ．3π D ．4π 11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C．D．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ= ．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = ．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE，则椭圆C 的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围．18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望； （2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：k 2.072 2.70 3.841 5.024 6.6357.87910.82822()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BB AB AB BC===，D为AC的中点，1AB B D⊥，190B BC∠=︒．（1）求证：平面11ABB A⊥平面ABC；（2）求二面角1D BB A--的余弦值．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，AOB∆（点O为坐标原点）的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝3（x﹣1）e x﹣ek有两个不同的零点（其中e为自然对数的底数）．（1）当x＜﹣1时，求证：（x﹣1）e x﹣1＞﹣；（2）求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1、x2，求证：＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．8【解答】解：220x x -，02x ∴，[0A ∴=，2]， 01000lgx <<，1000110x ∴<<，(1B ∴=，100010)，[0A B ∴=，100010)，()[0AB C =，3)，∴32a=，6a ∴=． 故选：C ．2．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【解答】解：因为函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f f -=-（3）a =，所以f （3）a =-， 即23a a +=-， 所以12a =-，则f （7）2log 873 3.50.5a =+=-=-． 故选：B ．3．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为()A．21.75B．22.25C．23.75D．20.75【解答】解：由频率分布直方图可得，平均值为(0.0112.50.0717.50.0822.50.0227.50.0232.5)521.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．故选：A．4．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．5C．4D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱锥和棱柱组成的组合体；如图所示：所以：111113223112313263223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++=．故选：A ．5．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．40243【解答】解：2~(20,)X N σ，∴正态分布曲线的对称轴为20x μ==，又2(1921)3P X <=， 11(2021)(1921)23P X P X ∴<=<=， 故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为： 3235114140(1)()1033927243P C =⨯-⨯=⨯⨯=． 故选：D ．6．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，设()1x g x e x =--，其导数()1x g x e '=-， 在区间(,0)-∞上，()0g x '<，则()g x 为减函数， 在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则()g x 为增函数， 则()(0)0min g x g ==， 故9()11xf x e x =+--的定义域为{|0}x x ≠，且()1f x >恒成立，其图像在1y =上方，排除BCD ，故选：A ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]【解答】解：因为直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ， 所以圆心到直线的距离114d =<+，解得55m -<<，又0OA OB ⋅，所以2d，即25，解得10m 或10m -②， 由①②得(5m ∈-1010][，5)． 故选：B ．8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈【解答】解：由题意可知，函数()f x 在“4LD π-”区间单调递增，函数()4f x π+在“4LD π-”区间单调递减，函数()3sin(2)6f x x π=-，则令222,262k x k k Z πππππ-+-+∈，解得,63k xk k Z ππππ-++∈，故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈，又()3sin(2)3sin(2)4263f x x x ππππ+=+-=+，令3222,232k x k k Z πππππ+++∈， 解得7,1212k xk k Z ππππ++∈， 故()4f x π+的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈，两个单调区间的公共区间为[,],123k k k Z ππππ++∈，所以此函数的“4LD π-”区间为[,],123k k k Z ππππ++∈．故选：C ．9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-【解答】解：因为226426426(2)(1)(44)(1)(44)(1)x x x x x x x x +-=++-=++-，则6(1)x -的展开式的通项公式为166()(1)r r rr r r T C x C x +=⋅-=-， 所以原二项式的展开式中含5x 项为41123335555666(1)4(1)4(1)110x C x x C x C x x ⋅-+⋅-+⋅-=-， 所以5x 的系数为110-， 故选：D ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( )A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π【解答】解：由题意可得渐近线by x a=，即有b a =， 设(,)M m n ，(,0)m n >，可得bn m a=，① 又||OM c =，即222m n c +=，②由①②可得m a =，n b =，即(,)M a b ， 又(,0)A a -，(,0)B a ，可得AB MB ⊥，直线AM 的斜率为tan 2b MAB a ∠== 可得6MAB π∠=， 所以263AMB πππ∠=-=．故选：C ．11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C ．D ．【解答】解：设z x yi =+，(,)x y R ∈，因为||1z =，则221x y +=，22223()3()(3)(23)w z z x yi x yi x y x xy y i =+=+++=-+++，故复数w 对应的点为22(3x y x -+，23)xy y +， 设复数w 所对应的点与点(4,0)的距离为d ， 则22222(34)(23)d x y x xy y =-+-++2222(2134)(23)(1)x x x x =-+-++- 22(1)[(1)(25)(1)(23)]x x x x x =--+-++(1)(1634)x x =--- 2161834x x =--+，对称轴为916x =-，因为[1x ∈-，1]，所以当916x =-时，225625(25)1616max d =-⨯-=， 故254max d =， 所以数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是254． 故选：B ．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900【解答】解：由题意可得：121210000(1 1.5%)10000 1.01512000x =⨯+=⨯≈， 1000010000 1.525%1211830y =+⨯⨯=， 1183012000170y x ∴-=-=-，故选：A ．二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ=1- ．【解答】解：向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+， 则22(3)(2)2(6)324(6)21cos12030a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=++⋅+=⨯++⨯⨯⨯︒+=， 1λ=-，故答案为：1-．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = 0 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立3020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩，解得6(3m A -，3)3m +，由3z x y =+，化为33x z y =-+，由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为639533m m -++=，解得0m =． 故答案为：0．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE 2，则椭圆C 的离心率为102- ． 【解答】解：由题意可得(,0)A a -，设0(E x ，00)0y y >，由四边形OABE 为平行四边形可得1(B x ，0)y ，且OA EB =，所以(a -，100)(x x =-，0)， 所以10x x a =-，即0(B x a -，0)y ，由B ，E 在椭圆上，所以220022220022()11x a y a b x y a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得20220ax a a -=， 解得02ax =，代入可得03y =， 即(2aE 3)， 所以3322AEbb k a a ==+ 所以直线AE 的方程为：3)by x a =+，30ay -=，右焦点(,0)F c 到直线AE的距离d =， 整理可得：23420e e +-=，解得：e ==，由椭圆的离心率可得：e =． 16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = 2023 ．【解答】解：数列{}n a 满足：152a =，21122n n n a a a +=-+， 整理得111122n n na a a +=---，所以111122n n n a a a +=---． 所以1220211202120211111112222a a a a a a ++⋯+=-=----， 由于2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=+-=->，所以数列{}n a 单调递增， 由于152a =，2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n 时，3n a >， 所以20213a >， 12202111112a a a <++⋯+<， 整理得122021111[]2a a a ++⋯+=． 111n n n na b a a +==+， 2021[]202122023T ∴=+=，故答案为：2023．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， (2)cos cos 0b c A a C --=，(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C ∴--=，2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos sin 0B A C A A C B A A C B A B ∴--=-+=-=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=， (0,)2A π∈，3A π∴=．（2）由（1）知，23B C π+=， 锐角ABC ∆，∴022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62B ππ<<，211cos cos cos cos()cos cos cos sin()3226B C B B B B B B B B ππ∴+=+-=-=+=+，62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，sin()6B π∴+∈，1]， 故cos cos B C+的取值范围为，1]． 18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：2(()()()()n ad K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（1）由已知，学生为优秀的概率为720.6120=， 记优质学生数为X ，由题意可孩子，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以033(0)(0.4)0.064P X C ===， 123(1)(0.4)0.60.288P X C ==⨯=，223(2)0.4(0.6)0.432P X C ==⋅=，333(3)(0.6)0.216P X C ===，所以X 的分布列为：故X 的数学期望()30.6 1.8E X =⨯=； （2）22⨯列联表如下：所以222()120(40282032) 2.22 2.706()()()()60607248n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关． 19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB AB AB BC ===，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥，190B BC ∠=︒．（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）求二面角1D BB A --的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 中点O ，连接OD 、1OB ，所以//OD BC ， 因为11BB AB =，所以1OB AB ⊥， 又因为1AB B D ⊥，111B DOB B =，所以AB ⊥平面1OB D ，又因为OD ⊂平面1OB D ，所以AB OD ⊥， 因为190B BC ∠=︒，//OD BC ，所以1OD B B ⊥， 又因为1B BAB B =，所以OD ⊥平面11ABB A ，又因为OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ， 于是平面11ABB A ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知OD 、OA 、1OB 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，1(0BB =，13)，(1BD =，1，0)， 设平面1BB D 的法向量为(m x =，y ，)z ，130BB m y z BD m x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3y =-(3m =，3-1)， 平面1BB A 的法向量为(1n =，0，0)， 所以二面角1D BB A --的余弦值为||321||||71m n m n ⋅==⋅⋅．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，AOB ∆（点O 为坐标原点）的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，设直线OP 、OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点．【解答】（1）解：根据题意可得焦点(2p F ，0)，因此可得(,),(,)22p pA pB p -， 所以12222AOB pS p ∆=⋅⋅=，解之可得2p =，故可得抛物线的方程为：24y x =．（2）证明：根据题意，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，易知直线l 的斜率存在，假设直线l 的方程为y kx m =+，联立抛物线方程得，224404y kx mky y m y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩， 由韦达定理可得，121244,my y y y k k+==，则222121212122142[()2]444y y m x x y y y y k k +=+=+-=-，2221212244y y m x x k =⋅=， ∴121212164OP OQ y y kk k x x y y m ⋅=⋅==， 12121212122()4OP OQ y y kx x m x x k k x x x x m+++=+==， 又因为tan OP k α=，tan OQ k β=， 所以4tan tan m αβ+=，4tan tan kmαβ⋅=，所以当4παβ+=时，4tan tan tan()141tan tan 1m k m αβαβαβ++===-⋅-，解得44m k =+，所以直线l 的方程即为：444(4)y kx k y k x =++⇔-=+， 即得直线l 恒过定点(4,4)-．21．（12分）已知函数f （x ）＝3（x ﹣1）e x ﹣ek 有两个不同的零点（其中e 为自然对数的底数）．（1）当x ＜﹣1时，求证：（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣；（2）求实数k 的取值范围；（3）若函数f （x ）的两个零点为x 1、x 2，求证：＜e ．【解答】证明：（1）当x ＜﹣1时，要证（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣，只需证明（x ﹣1）e +1＞0，令x ﹣1＝t ，则t ＜﹣2，设g （t ）＝te +1，则g ′（t ）＝e（1+t ），当t ＜﹣2时，g ′（t ）＜0，在（﹣∞，﹣2）上，g （t ）为单调递减函数， 此时g （t ）＞g （﹣2）＝1﹣＞0，所以原不等式成立． 解：（2）∵f ′（x ）＝3xe x ，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，当x ＜0时，当f ′（x ）＞0，可得函数f （x ）在（﹣∞，0）上为单调递减函数，在（0，+∞）上为单调递增函数， 所以f （x ）min ＝f （0）＝﹣3﹣ek ，（i ）当﹣ek ≥3时，f （x ）min ≥0，不合题意，（ii ）当﹣ek ≤0时，f （1）＝﹣ek ，若x ＜1，则f （x ）＜﹣ek ， 当x ≥1时，f （x ）≥ek ，又因为当x ＜﹣1时，由（1）可得f （x ）＞﹣﹣ek ，由﹣﹣ek＞0得x＜2ln（﹣ek）+1，取x0满足x0＜﹣1且x0＜2ln（﹣ek）+1，则f（x0）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）上有唯一的零点，综上所述，﹣＜k＜0．证明：（3）函数f（x）的两个零点为x1、x2，所以3（x1﹣1）e﹣ek＝0，同理3（x2﹣1）e﹣ek＝0，由（1）得（x1﹣1）e ＞﹣，（x2﹣1）e ＞﹣，所以，，所以＜﹣（+），因为x1＜1，所以＜0，所以＞﹣，同理＞﹣，所以＜1＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． 【解答】解：（1）P 为曲线122cos :(1sin 2x C y ααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点， 设(,)P x y ''，(,)Q x y ，则212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 消去x '和y '得到：22(1)1x y -+=．即222x y x +=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+； 由于(,)23ππθ∈-，故2(,)636πππθ-∈-，所以|||cos 2sin()[26A B OA OB πρθθθ=-=-∈-，1)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．【解答】解：（1）()32f x x =-，()21g x x =-，()|()||()||32||21||(21)(32)|2h x f x g x x x x x ∴=+=-+--+-=， 当且仅当1322x 时等号成立． ()2min h x ∴=，又()h x a 恒成立，∴实数a 的最大值为2；（2）()x ϕ由柯西不等式可得，()11x ϕ22(11)(22+=．=1x =时等号成立．()x ϕ∴的最大值为2．。

2021届三省三校“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e =，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．{},,b c dB ．{},,,,a b c d eC ．8D ．32【答案】C【分析】先求得集合的交集，根据交集的元素个数，利用集合的子集个数公式可得解. 【详解】A B 含有3个不同元素，故它的子集个数为8，故选:C .【点睛】归纳并掌握集合的子集个数公式：若即和M 有n 个元素，其子集有2n 个.2．i 为虚数单位，已知复数234202020211i i i i i i z i+++++⋅⋅⋅++=，则复数z 在复平面中对应的点的坐标为（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,1-【答案】D【分析】依据2310i i i +++=，进行化简，然后使用复数除法法则计算并进行简单判断即可.【详解】2310i i i +++=，根据i 的运算周期性，所以11iz i i+==-， 所以该复数对应的点为()1,1- 故选:D.3．命题p ：x ∀∈R ，2440x x ++>，则命题p 的否定p ⌝以及p ⌝的真假性正确的选项是（ ）A ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，假 B ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，真 C ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++>，假 D ．p ⌝：x ∀∈R ，200440x x ++≤，真【答案】B【分析】由全称命题的否定为特称命题即可，取02x =-进行判断真假即可【详解】由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤”， 令02x =-，则200444840x x ++=-+=，所以命题“0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤”为真命题， 故选：B.4．已知向量()0,1a =，向量31,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则a b -与a 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【分析】计算a b -，然后根据夹角公式计算即可.【详解】因为31,2a b ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设所求角度为θ，则()112cos 112a b a a b a θ-⋅===⨯-⋅，又[]0θπ∈，，所以π3θ=故选:B.5．已知l ，m ，n 为空间里不重合的三条直线，α，β为空间里不重合的两个平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若//l m ，//m n ，n ⊂α，则//l αB ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则l α⊥C ．若l m ⊥，m n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则l α⊥D ．若l αβ=，m α⊂，n β⊂，αβ⊥，m l ⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，判断选项.【详解】A 有可能是l α⊂，故A 不对；B 不知道m ，n 是否是相交的位置关系,故B 不正确；C 可能是l α⊂，故C 不正确；根据面面垂直性质定理和线面垂直的性质，可知D 正确. 故选：D .6．若实数x ，y 满足约束条件10,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则221z x y =++的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．212+ 【答案】C【分析】先画出可行域，221z x y =++表示可行域内的点到原点的距离的平方加1，由图可知最近的距离为O 到直线AB 的距离，从而可得答案【详解】如图1，作出平面区域可知：z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1，所以最近的距离为O 到直线AB 的距离，所以221z x y =++的最小值为223122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.7．函数()()2sin cos x x x e e f x x x-⋅+=+在[]5,5x ∈-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入特殊值1x =，判断选项. 【详解】()()()()()()22sin sin cos cos x x x x x e e x e e f x x xx x ---⋅+⋅+-==-+-+-，即()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故排除BC ，当1x =时函数值为正数，故排除D ，只有A 选项复合题意. 故选：A.8．已知某空间几何体的三视图如图所示，图中均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π【答案】B【分析】根据三视图还原几何体如图，进而将其放置于正方体中，即可得答案. 【详解】易知该几何体为三棱锥，且棱锥的各个顶点恰好位于棱长为1的正方体的顶点,如图，33π. 故选:B.【点睛】本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，属中档题.本题解题的关键在于还原几何体后，将几何体放置于正方体中，即可求解.9．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N 两点且线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ） A．B ．12C ．14D【答案】A【分析】求得直线l 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的斜率为k则()()()()2211221212121222222222101x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎧+=⎪-+-+⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ 所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，由线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以121211,2x x y y +=-+=-所以222k b a =-，又b k c =-，所以222b b c a=，又222a b c =+所以b c =，∴2a e =⇒=， 故选：A.10．斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》(LiberAbacci )一书中研究的一个著名数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列是数学史中非常重要的一个数列.它与生活中许多现象息息相关，如松果､凤梨､树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切.已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，121a a ==，32a =，若2021S t =，则2023a =（ ） A ．tB ．21t +C ．2tD ．1t +【答案】D【分析】利用递推关系21n n n a a a ++=+,结合累加法求解. 【详解】由递推关系得：321a a a =+，432a a a =+，543a a a =+，…11n n n a a a +-=+，21n n n a a a ++=+，累加可得22n n a S a +=+， 所以2023202121a S a t +=+=， 故选：D.11．已知抛物线()220y px p =>上有两个动点M ，N ，F 为该抛物线的焦点.已知0FM FN ⋅=，以MN 为直径的圆的周长为8π，且过该圆的圆心P 作该抛物线准线l 的垂线PQ ，重足为Q ，则线段PQ 的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．8【答案】A【分析】假设FM a =，FN b =，可知()12PQ a b =+，然后依据题意可知8MN =，并化简结合基本不等式可知结果. 【详解】设FM a =，FN b =，则根据抛物线性质和梯形中位线定理可知，()12PQ a b =+， 而由向量数量积0可知，F 在以MN 为直径的圆上，8MN =，则2264a b +=，则2a b +≤=，当且仅当a b =时等号成立，故选:A.12．已知m ∈R ，若定义[]m 表示不超过m 的最大整数，如[]1.72-=-，[]2.62=，[]33-=-，若正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则x y z +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】令2360x y z k ===>，化为对数式，利用对数的换底公式可得2212log 32log 3x y +=++，根据基本不等式可得42x y +>，由()2log 62,3∈，()3log 61,2∈可得52x y +<，从而可得()4,5x yz+∈，再根据[]m 的定义可得结果. 【详解】令2360x y z k ===>，可得2log x k =，3log =y k ，6log z k =，3266log log log log kk x y x y z z z k k+=+=+=232322log 6log 61log 6log 62log 3log 22log 3log 2log 3log 3k k k k +=+=++=++， ∵221log 32log 3+>，而且()2log 62,3∈，()3log 61,2∈，所以()4,5x y z+∈，取整后为4， 故选：B.二、填空题13．在等比数列{}n a 中，22a =-，68a =-，则4a =___________. 【答案】4-【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则462a a q =⋅， 所以4842q -==-，所以22q =， 所以242224a a q ==-⨯=-.故答案为：4-14．()412122x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为___________. 【答案】40【分析】根据二项式定理以及组合的知识计算即可. 【详解】由()()242434412C 2C 2402x x x x x ⎛⎫⋅-+-⋅-= ⎪⎝⎭,所以3x 的系数为40 故答案为：4015．记由2x =，2x =-，2y =及2y =-围成的封闭图形为F ，由22y x =-和y x =围成的封闭图形为M ，若在图形F 内任取一点，则该点正好在图形M 内的概率为___________. 【答案】932【分析】数形结合，联立方程，然后可得交点坐标，最后根据定积分计算公式以及几何概型的计算方法计算即可. 【详解】如图联立22,,y x y x ⎧=-⎨=⎩，解得2,2x y =⎧⎨=⎩或1,1,x y =-⎧⎨=-⎩则()2,2A ，()1,1B --，()212232111111192d 24822122323232M S x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=⨯-⨯+⨯-⨯+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰4416F S =⨯=∴9921632M F S P S ===. 故答案为：93216．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2R ，且满足124R R =，则直线l 的斜率为___________. 【答案】43【分析】数形结合，设MA MC m ==，11AF BF n ==，22BF CF t ==，依据双曲线定义可知n a c =+，利用直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等，简单计算即可. 【详解】设圆1O 与12MF F △的三边的切点分别为A ，B ，C ， 如图令MA MC m ==，11AF BF n ==，22BF CF t ==，根据双曲线的定义可得()()2,2,m n m t a n t c ⎧+-+=⎨+=⎩可得n a c =+，由此可知，在12F F M △中，1O B x ⊥轴于B ，同理2O B x ⊥轴于B ， ∴12O O x ⊥轴.过圆心2O 作1CO 的垂线，垂足为D . 易知直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等. 不妨设14R =，21R =，则215O O =，13O D =， 所以根据勾股定理，24O D =，所以4tan 3θ=. 故答案为：43【点睛】关键点点睛，得到n a c =+是关键，说明12O O x ⊥轴，同时直线l 的倾斜角θ与21O O D ∠大小相等便于计算.三、解答题17．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍.（1）求表中a，b的值，并补全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？参考数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）28,14,ab=⎧⎨=⎩，表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.【分析】（1）由题意可得122680,2a ba b+++=⎧⎨=⎩从而可求出,a b的值，进而可填出列联表；（2）直接利用公式()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++求解，然后根据临界值表得结论【详解】解：（1）由己知得122680,2a ba b+++=⎧⎨=⎩解得28,14,ab=⎧⎨=⎩补全表中所缺数据如下：（2）根据题意计算观测值为()2280282614129.8257.87942384040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.18．已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()4sin 8sin b A b B =-. （1）若1a =，30B =︒，求cos A ；（2）已知60C =︒，求ABC 的面积最大时的周长，【答案】（1）8；（2）5+【分析】（1）根据()4sin 8sin b A b B =- ，利用正弦定理得到()48ba b b =-，再结合1a =求得b ，再利用正弦定理求得sin A 即可；（2）由（1）知84a b =+，利用基本不等式求得a ，b ，再利用余弦定理求得c 即可. 【详解】（1）因为()4sin 8sin b A b B =- ， 由正弦定理得()48ba b b =-，即48a b +=， 因为1a =，所以4b =.由正弦定理14sin sin 30A =︒， 解得1sin 8A =，又a b <，所以A B <，所以030A ︒<<︒，所以cos A ==.（2）因为84a b =+≥=， 所以4ab ≤，所以11πsin 4sin 223ABC S ab C =≤⨯⨯=△当且仅当4a b =，即1a =，4b =时，等号成立.此时22241241cos6013c =+-⨯⨯⨯︒=，即c =，所以ABC 的周长为513+.【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．19．如图甲是由正方形ABCD ，等边ABE △和等边BCF △组成的一个平面图形，其中6AB =，将其沿AB ，BC ，AC 折起得三棱锥P ABC -，如图乙.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）过棱AC 作平面ACM 交棱PB 于点M ，且三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1:2，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）427. 【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，PO OB ⊥，即证PO ⊥平面ABC ，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量AM 的坐标，再计算平面PBC 法向量n ，利用所求角的正弦为cos ,AM n 即得结果.【详解】（1）证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO . ∵PA PC =，∴PO AC ⊥. ∵6PA PC ==，90APC ∠=︒， ∴1322PO AC ==32BO =又6PB =，∴222PO OB PB +=， ∴PO OB ⊥.∵AC OB O =，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC . 又PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，()32,0,0A ，()32,0,0C -，()0,32,0B ，()0,0,32P ，∴()32,32,0CB =，()32,0,32CP =.∵三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1:2， ∴:1:2PM BM =， ∴(2,22M ， ∴(32,2,22AM =-.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则3232032320x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得()1,1,1n =--. 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ， 则6242sin cos ,7273AM n θ-===⋅.∴直线AM 与平面PBC 42. 【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.20．已知抛物线C ：()220y px p =>经过点()1,2.（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设过点()2,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴.垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点.【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）代入点的坐标可得2p =，可得抛物线的标准方程和准线方程； （2）设直线l 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理求出M 的坐标，进而得N 的坐标，设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ，利用0DM DN ⋅=恒成立可解得结果.【详解】（1）由抛物线22y px =经过点()1,2，得42p =，即2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-.（2）证明：由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x my =+. 将2x my =+代入24y x =，消去x 得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y m +=，128y y =-. ∵12AM AB =，∴M 是线段AB 的中点，设(),M M M x y ， 则()1221242222M m y y x x x m +++===+，1222My y y m +==， ∴()222,2M m m +，又MN y ⊥轴，所以垂足N 的坐标为()0,2N m .设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ，则()20022,2DM m x m y =+--，()00,2DN x m y =--，由0DM DN ⋅=，得()()220002220x m x m y -+-+-=，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，①因为对任意的实数m ，①式要恒成立，所以0022000420,40,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，解得002,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以以MN 为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为()2,0.【点睛】关键点点睛：利用直线与抛物线方程联立求出M 的坐标，再根据向量知识求解是解题关键.21．已知函数()()()211ln 12f x x x ax x =++--，()ln e 1x xg x m x=--. （1）设f x 为函数()f x 的导函数，讨论函数fx 的单调性；（2）当1em ≥时，证明：函数()g x 的图像不落在x 轴的下方. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）令()()()ln 1h x f x x ax '==+-，则()11h x a x '=-+，然后分0a ≤和0a >讨论()h x '的正负，可得其单调区间；（2）要证明函数()g x 的图像不落在x 轴的下方，即证()0g x ≥，即证ln e 1xxm x≥+，由于1e m ≥，则只要证1e ln 0ex x x x --≥，构造函数()()1e ln 0e xF x x x x x =-->，然后利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()()()ln 11x f x x a x =+->-'， 令()()()ln 1h x f x x ax '==+-，则()11h x a x '=-+. 当0a ≤时，()0h x '>， ∴fx 在()1,-+∞上单调递增.当0a >时，由()0h x '>，得111x a -<<-，由()0h x '<，得11x a>-， ∴fx 在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证明：要证明函数()g x 的图象不落在x 轴的下方，即证()0g x ≥， 即证ln e 1xx m x≥+. ∵定义域为0,，∴只要证e ln 0x mx x x --≥.∵1e m ≥，∴1e ln e ln exx mx x x x x x --≥--， 所以只要证明1e ln 0e xx x x --≥.令()()1e ln 0exF x x x x x =-->，则()()111e x F x x x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭， 令()11ex x xϕ-=-，则()ϕx 在0,上单调递增，且()10ϕ=，所以当()0,1∈x 时，()0x ϕ<，所以()0F x '<； 当()1,∈+∞x 时，()0x ϕ>，所以()0F x '>. 所以()F x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.所以()()10F x F ≥=，即当1em ≥时，()0g x ≥. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是要证明函数()g x 的图像不落在x 轴的下方，即证()0g x ≥，即证ln e 1x x m x ≥+，而1e m ≥，所以只要证1e ln 0ex x x x --≥，构造函数()()1e ln 0exF x x x x x =-->，利用导数求其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin cos m ρθθ=+.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求证：11OQ OPk k +为定值. 【答案】（1）1C 的普通方程为212x y =，2C 的直角坐标方程为40x my +-=；（2）证明见解析.【分析】（1）消去参数t 后，得到曲线1C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式sin x ρθ=，sin y ρθ=，求曲线2C 的直角坐标方程；（2）首先判断2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率，再将曲线2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=，转化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示11OQOP k k +. 【详解】（1）解：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去参数t ， 得212x y =， 即1C 的普通方程为212x y =. 由4sin cos m ρθθ=+，得sin cos 4m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得40x my +-=， ∴2C 的直角坐标方程为40x my +-=. （2）证明：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)， 得()20yt x x=≠， 故2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率. 由（1）知，当0m =时，2C ：4x =， 则1C 与2C 只有一个交点，不合题意，故0m ≠.把2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=， 得2240mt t +-=，设P ，Q 两点所对应的参数分别为1t ，2t ， 则1212t t m +=-，122t t m⋅=-， ∴1212121111112222282OP OQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，以及利用参数解决几何问题，本题的关键是构造几何意义：2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率，所以12111122OP OQ k k t t +=+，方程联立后，代入韦达定理即可求解.23．已知函数()121f x x x =++-.（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 都为正数，且1112342ma b c ++=，求证：2349a b c ++≥.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）使用零点分段法表示函数()f x ，然后分段画出图像即可. （2）根据（1）的条件可知m ，然后使用基本不等式计算即可. 【详解】（1）解：由()121f x x x =++-，得()31,13,11,31,1,x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩作出函数()f x 的图象如图5所示.（2）证明：由（1）可知，函数()f x 的最小值为2，所以1111234a b c++=. ∵a ，b ，c 都为正数， ∴()111234234234a b c a b c a b c ⎛⎫++=++⋅++⎪⎝⎭324234332229232443b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当234a b c ==时，等号成立.。

黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。

卜人入州八九几市潮王学校2021年三中、东北育才、育明、耀华四校第三次高考模拟联考数学试题〔理科〕考试说明：本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值是150分，考试时间是是120分钟。

2．选择题必须使需要用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕 1．集合Φ=⋂==-+==B A m x y x B x y y x A 若},|),{(},1)1lg(|),{(，那么实数m 的取值范围是〔〕A ．1<mB ．1≤mC ．1-<m D ．1-≤m2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的 〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一动圆过点l l x y A 则直线相切且恒与定直线上圆心在抛物线,,21),21,0(2=的方程为〔〕A ．21=x B ．161=x C ．21-=y D ．161-=y 4．正项等比数列1511383,6lg lg lg ,}{a a a a a a n 则中=++的值是〔〕A ．100B ．10000C ．1000D ．105．某铁路货运站对6列运煤列车进展编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，假设甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序一共有 〔〕A ．162种B ．108种C ．216种D ．432种 6．0)(,1)(1>--=-x fx x x f 则的解集是〔〕A ．),1(+∞-B ．(]1,1-C ．〔—1，1〕D ．),1(+∞7．假设a a a a a a n n 则实数,9141414lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+--∞→ 等于〔〕A ．3B ．35 C ．3135或 D ．31 8．函数a ax x x f a 则实数上恒为正值在区间,),1()4(log )(2+∞+-=的取值范围是〔〕A ．(]2,1B ．)2,1()1,0(⋃C ．)32,1(D ．〔1，4〕9．F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，假设椭圆的离心率为e ，且e PF e PF 则|,|||21=的值是〔〕A ．33B ．32-C ．22D ．22-10．假设实数)0(,0630402,>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--a y ax z y x y x y x y x 若目标函数满足仅在点〔2，0〕处取最小值，那么实数a 的范围是〔〕A ．〔1，3〕B ．〔+∞,3〕C ．〔0，3〕D ．〔0，1〕11．定义在R 上的函数x x f 对任意的实数成中心对称的图象关于点,)0,43()(-都有)2009()3()2()1()0(,2)0(,1)1(,0)23()(f f f f f f f x f x f +++++-==-=++ 则且的值是 〔〕A ．2B ．—2C ．4D ．012．一个四面体ABCD 中除AD 外其它5条棱长都等于,515那么当它的体积最大时，A ，D 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面间隔为〔〕A ．)54arccos(21- B ．2πC ．41arccos 21 D ．π2053 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在题后的横线上。

2021年高三数学三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集，集合，，则（）A． B．C． D．2．已知复数，，则（）A． B． C． D．俯视图侧视图正视图12222OM CBA3．若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ） A ． 或 B ． C ． D ． 或4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天每天日平均温度不低于”，现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位） ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据的中位数为，平均数为； ③丙地：个数据中有一个数据是，平均数为， 方差为.则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 7．的展开式中含项的系数为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若如图所示的程序框图输出的是，则条件① 可为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若方程的任意一组解都满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知外接圆的圆心为，，， 为钝角，是边的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．D C12.函数.给出函数下列性质：①函数的定义域和值域均为；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④（其中为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤为函数图象上任意不同两点，则.则关于函数性质正确描述的序号为（）A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．向量，，，则向量与的夹角为 .14．函数的值域为 .15．设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是 .16．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，已知（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求.18. （本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是.P19. （本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于为正品，小于为次品，现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件甲元件乙（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件乙，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元.在（Ⅰ）的前提下：（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产件元件乙所获得的利润不少于元的概率20. （本小题满分12分）椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.（Ⅰ）求椭圆与的方程；（Ⅱ）设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于点，.（1）求证：直线，斜率之积为常数；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）P设函数，（）（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在内有极值点，当，，求证：.（）请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）.23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为. （Ⅰ）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程； （Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为，，求的值.24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数，（Ⅰ）若，解不等式：；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.PF EDC BA松原实验高中 xx 年三校联合模拟考试 理科数学能力测试长春十一高中 东北师大附中参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）13. 14. 15. 16. 三、解答题17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件：，由于：，所以：， 即：………….5分（Ⅱ），所以：，………….6分，………….8分又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由，所以：，所以：………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，所以：，又， 所以：平面，平面，所以：平面平面………….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）平面，以 为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高，， 则，，，， ，，设平面的一个法向量 则：，取，则，所以：设平面的一个法向量，则， 取，则，，所以：………….10分二面角的余弦值是，所以：322)1(23111,cos 2=+++++=>=<h h ， 解得：………….12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：元件乙为正品的概率约为：………….4分（Ⅱ）（1）随机变量的所有取值为，，，，而且 ；； ；所以随机变量的分布列为：………….8分所以：66201155130203455390)(=⨯-⨯+⨯+⨯=X E ………….9分 （2）设生产的件元件乙中正品有件，则次品有件， 依题意，，解得：，所以或，设“生产件元件乙所获得的利润不少于元”为事件，则： ………….12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，设：，：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：， 所以椭圆：，：………….4分 （Ⅱ）（1）设，则，，，………….6分 所以：，直线，斜率之积为常数………….8分（2）设，则，，，所以：， 同理：………….10分 所以：，由，，结合（1）有 ………….10分 21. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数的定义域为， 当时，，…………3分 令：，得：或，所以函数单调增区间为：，，得：，所以函数单调减区间为：，…………5分 （Ⅱ）证明：，令：0))((1)2()(2=--=++-=n x m x x a x x g ， 所以：，，若在内有极值点， 不妨设，则：，且 由得：或， 由得：或所以在递增，递减；递减，递增 当时，； 当时，所以：)1111(ln 21ln 1ln )()()()(12---+=----+=-≥-m n a n m a m n a n m f n f x f x f ， 设：，，则所以：是增函数，所以又：03)3)(13(331033101)342(122>---=-+-=+--=---+ee e e e e e e e e e 所以：22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲 （Ⅰ）证明：连接，,由题设知，故 因为：，，由弦切角等于同弦所对的圆周角：， 所以：，从而弧弧，因此： ………5分 （Ⅱ）由切割线定理得：，因为， 所以：， 由相交弦定理得： 所以： ………10分23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程 （Ⅰ）由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标 所以；消去参数的曲线的普通方程为： ………5分（Ⅱ）点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得： ，设其两个根为，，所以：，，由参数的几何意义知：64)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .………10分24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲（Ⅰ）当时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：，所以原不等式解集为………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若恒成立，只需：解得：或 ………10分( g26154 662A 昪6 36786 8FB2 農$28218 6E3A 渺37232 9170 酰20712 50E8 僨22582 5836 堶gs25539 63C3 揃。

齐齐哈尔市xx届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.2021年高三第三次高考模拟考试数学（理）试题含答案一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{R|}，B＝{R|}，则A∩B等于（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足（为虚数单位），则复数所表示的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列说法正确的是 （ ）A. 命题p ：“”，则 p 是真命题B.“”是“”的必要不充分条件C. 命题“使得 ”的否定是：“”D. “”是“上为增函数”的充要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B.C. D.5.在一次“对学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的试验中，由列联表算得的观测值，参照附表判断，在此次试验中，下列结论正确的是 （ ） 附表： 0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828A. ”B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”C. 有99%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”D. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”6.执行右面的程序框图，如果输入，则输出的是（ ）A. B. C. D.7.数列满足，且， 则 （ ）A. B.C. D.8.在中，分别是角的对边，且,，则的面积等于 （ ）A. B. C. D. 109.某小学星期一每班都排6节课，上午4节、下午2节，若该校王老师在星期一这天要上3个班的课，每班l 节，且不能连上3节课（第4节和第5节不算连上），那么王老师星期一这天课的排法共有 （ ）A. 108种B. 120种C. 18种D. 20种10.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.11.三棱锥S —ABC 中，，，与平面所成角的余弦值是，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是 （ ）A. B. C. D.12.已知函数()201343212013432x x x x x x f ++-+-+= ， ，设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答.二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若向量与垂直，则实数等于 .14. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 .15.定义：. 在区域内任取一点，则， 满足的概率为 .16.设函数)(,2,1)461(2,)3()(222n f a x dt t x x a x f n x =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=⎰-π，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为 .三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知为锐角，且，函数.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）数列的首项 ，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）有关部门对甲、乙两家企业生产的产品进行检验，其中甲企业有5种产品，乙企业有3种产品。

2021年高三第三次模拟考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 A. B. 2 C. D.2.设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则 A.B.C.D.3.已知是偶函数，且 A.4B.2C.D.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是 A ．成正相关，其回归直线经过点（30，76） B ．成正相关，其回归直线经过点（30，75） C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D ．成负相关，其回归直线经过点（30，75）5．已知数列满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，，则的前项和6..已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是（ ）A .若，，则B .若，，则C .若，，则D .若，，则7.若点满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点，为坐标原点，则的最大值为A. B. C. D.8.已知集合，定义函数，且点，，，（其中）.若△ABC 的内切圆圆心为，满足，则满足条件的有（ ）A ．10个B ．12个C ．18个D ． 24个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。

） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.不等式的解集为 . 10. 已知向量，，则________.11已知双曲线两条渐近线的夹角是，则 ．12．设是公比不为1的等比数列，其前n 项和为，若成等差数列，则 .13.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线C:相交于A 、B 两点，O 为极点.则∠AOB 的大小是 ．14．（几何证明选讲选做题）如图，、是圆上的两点，，是弧的中点．延长至使得，连接，设圆的半径，则的长是 ．三、解答题。

哈师大附中三模（理科）数学答案一、选择题：ＤＤＤＢＤ　ＤＡＡＢＡ　ＡＣ二、填空题：１３．－３；１４．２１６；１５．２０；１６．（－∞，－２），（－２，＋∞），［－１，２］１７．选择条件是：；△ＡＢＣ（１分）解：由已知：２ｓｉｎＡ＋π()６＝２　∴ｓｉｎＡ＋π()６＝１（４分）∵Ａ＋π６∈π６，７π()６　∴Ａ＋π６＝π２　∴Ａ＝π３（７分）选①：由Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝槡３４ｂｃ槡＝３　∴ｂｃ＝４（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ｂ＝２，ｃ＝２（１２分）选②：由已知：ｂ＋ｃ槡＝２３由余弦定理得：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ａ＝槡４３３，ｂ＝槡２３３或ａ＝槡２３３，ｂ＝槡４３３（１２分）选③：由→ ＡＢ·→ ＡＣ＝３得：ｂｃ＝６（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ　∴ｂｃ≤４矛盾∴△ＡＢＣ不存在（１２分）１８．解：（１）由已知得：小明中奖概率为２３，小红中奖的概率为２５．且两人中奖与否互不影响．（１分）设“这两人的累计得分Ｘ≤３”为事件Ａ，则Ａ的对立事件为“Ｘ＝５”∵Ｐ（Ｘ＝５）＝２３×２５＝４１５（４分）∴Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ｘ＝５）＝１１１５（６分）（２）设小明、小红都选择方案甲，抽奖中奖次数为Ｘ１，都选择乙方案抽奖，中奖次数为Ｘ２，则这两人选择甲方案抽奖，累计得分的期望为Ｅ（２Ｘ１），选择乙方案抽奖累计得分期望为Ｅ（３Ｘ２）（８分）由已知：Ｘ１～Ｂ２，()２３；Ｘ２～Ｂ２，()２５（１０分）∴Ｅ（Ｘ１）＝２×２３＝４３，Ｅ（Ｘ２）＝２×２５＝４５∴Ｅ（２Ｘ１）＝２Ｅ（Ｘ１）＝８３，Ｅ（３Ｘ２）＝３×４５＝１２５∵Ｅ（２Ｘ１）＞Ｅ（３Ｘ２）∴他们选择甲方案抽奖时，累计得分的期望较大（１２分）—１—∴ＰＤ⊥ＡＤ，ＰＤ⊥ＣＤ　在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥ＣＤ∴ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ三条线两两垂直（１分）如图，分别以ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系则：Ａ（２，０，０），Ｂ（２，４，０），Ｃ（０，４，０），Ｐ（０，０，４）（２分）∵→ ＰＥ＝３→ ＥＣ　∴Ｅ（０，３，１）；∵→ ＰＦ＝２→ ＦＢ　∴→ ＰＦ＝２３→ ＰＢ＝４３，８３，()８３∴→ ＡＦ＝→ ＡＰ＋→ ＰＦ＝（－２，０，４）＋４３，８３，－()８３＝－２３，８３，()４３设→ ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＢＤＥ的一个法向量由→ ｎ·→ ＤＥ＝０→ ｎ·→ ＤＢ{＝０　得：２ｘ＋４ｙ＝０３ｙ＋ｚ{＝０　取→ ｎ＝（－２，１，－３）（４分）∵→ ＡＦ·→ ｎ＝４３＋８３－４＝０∴→ ＡＦ⊥→ ｎ又∵ＡＦ 平面ＢＤＥ　∴ＡＦ∥平面ＢＤＥ（７分）（２）假设存在Ｍ满足→ ＡＭ＝λ→ ＡＰ（０≤λ≤１），使ＣＭ⊥平面ＢＤＥ→ ＣＭ＝→ ＣＡ＋→ ＡＭ＝（２，－４，０）＋λ（－２，０，４）＝（２－２λ，－４，４λ）（８分）若ＣＭ⊥平面ＢＤＥ，则→ ＣＭ∥→ ｎ∴２－２λ－２＝－４１＝４λ－３（１０分）即：２－２λ＝８１２＝４{λ　∴λ∈故不存在满足条件的点Ｍ（１２分）２０．解：（１）由已知：Ｃ２（４，０）；Ｃ１的准线为：ｘ＝－１４．（２分）∴圆心Ｃ２到Ｃ１准线距离为４－－()１４＝１７４（３分）（２）设Ｐ（ｙ２０，ｙ０），Ａ（ｙ２１，ｙ１）·Ｂ（ｙ２２，ｙ２）切线ＰＡ：ｘ－ｙ２０＝ｍ１（ｙ－ｙ０）由ｘ＝ｍ１ｙ＋ｙ２０－ｍ１ｙ０ｙ２＝{ｘ　得：ｙ２－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０由ｙ０＋ｙ１＝ｍ１　得：ｙ１＝ｍ１－ｙ０切线ＰＢ：ｘ－ｙ２０＝ｍ２（ｙ－ｙ０）同理可得：ｙ２＝ｍ２－ｙ０依题意：Ｃ２（４，０）到ＰＡ：ｘ－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０距离　｜４－ｙ２０＋ｍ１ｙ０｜ｍ２１槡＋１＝１—２—同理：　（ｙ２０－１）ｍ２２＋（８ｙ０－２ｙ３０）ｍ２＋ｙ４０－８ｙ２０＋１５＝０∴　ｍ１＋ｍ２＝２ｙ３０－８ｙ０ｙ２０－１　（ｙ２０≠１）（９分）∵　ｋ１＝ｙ０ｙ２０－４，ｋ２＝ｙ１－ｙ２ｙ２１－ｙ２２＝１ｙ１＋ｙ２＝１ｍ１＋ｍ２－２ｙ０＝ｙ２０－１－６ｙ０∴　ｋ１ｋ２＝ｙ０ｙ２０－４·ｙ２０－１－６ｙ０＝－５２４．解得：ｙ＝±４故所求Ｐ点坐标为（１６，４）或（１６，－４）（１２分）２１．解：（１）由已知：ｆ′（ｘ）＝ａ＋１＋ｌｎｘ（１分）依题意：ｆ（ｅ）＝３ｅ－３ｅ＝０＝ａｅ＋ｅｌｎｘ＋ｂｆ′（ｅ）＝ａ＋１＋ｌｎｅ＝ａ{＋２＝３解得：ａ＝１，ｂ＝－２ｅ（４分）（２）由（１）知：ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘ－２ｅｆ（ｘ）＋２ｅｘ－１＞ｎ　即：ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１＞ｎ设：ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１，（ｘ＞１）　原问题转化为ｇ（ｘ）ｍｉｎ＞ｎ（５分）ｇ′（ｘ）＝（１＋１＋ｌｎｘ）（ｘ－１）－（ｘ＋ｘｌｎｘ）（ｘ－１）２＝ｘ－ｌｎｘ－２（ｘ－１）２令ｈ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ－２，（ｘ＞１）∵ｈ′（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ＞０∴ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上递增．又∵ｈ（３）＝１ｌｎ３＜０　ｈ（４）＝２－２ｌｎ２＞０∴ｈ（ｘ）存在唯一零点，设为ｘ０，ｘ０∈（３，４）　ｈ（ｘ）＞０ ｘ＞ｘ０，　ｈ（ｘ）＜０ ｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ′（ｘ）＞０ ｘ＞ｘ０，　ｇ′（ｘ）＜０ ｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ（ｘ）在（１，ｘ０）递减，（ｘ０，＋∞）上递增∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｘ０＋ｘ０ｌｎｘ０ｘ０－１（９分）∵ｇ′（ｘ０）＝０　∴ｘ０－ｌｎｘ０－２＝０　∴ｌｎｘ０＝ｘ０－２∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｘ０＋ｘ０（ｘ０－２）ｘ０－１＝ｘ０∈（３，４）　∴ｘ０＞ｎ（１１分）∴ｎ的最大值为３（１２分）—３—２２．解：（１）消参得ｌ的普通方程为：ｙ＝１－ｘ（２分）∵ρ２＝１２３ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎ２θ　∴３ρ２ｃｏｓ２θ＋４ρ２ｓｉｎ２θ＝１２∵ρｃｏｓθ＝ｘρｓｉｎθ＝{ｙ　∴３ｘ２＋４ｙ２＝１２　∴ｘ２４＋ｙ２３＝１∴Ｃ的直角坐标方程为：ｘ２４＋ｙ２３＝１．（５分）（２）设Ａ、Ｂ对应参数为ｔ１，ｔ２，则Ｍ对应参数为ｔ１＋ｔ２２由ｔ的几何意义知：｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２将ｘ＝－槡２２ｔｙ＝１＋槡２２ ｔ　代入３ｘ２＋４ｙ２－１２＝０　得：３ｘ１２ｔ２＋４ｔ２２槡＋２ｔ()＋１－１２＝０　∴７ｔ２槡＋８２ｔ－１６＝０　Δ＞０∴ｔ１＋ｔ２＝－槡８２７　∴｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２＝槡４２７（１０分）２３．（１）解：当ｘ＜－１时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ－２ｘ－２＝－４ｘ－１≥４　∴ｘ≤－５４　∴ｘ≤－５４当－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ＋２ｘ＋２＝３≥４　∴ｘ∈当ｘ＞１２时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１≥４　∴ｘ≥３４　∴ｘ≥３４∴不等式解集为：－∞，－(]５４∪３４，＋[)∞（５分）（２）ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜２ｘ＋２｜＝｜１－２ｘ｜＋｜２ｘ＋２｜≥｜（１－２ｘ）＋（２ｘ＋２）｜＝３当且仅当（１－２ｘ）（２ｘ＋２）≥０，即：－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３　∴ｍ＝３（７分）∴ａ＋２ｂ＋３ｃ＝３由柯西不等式可得：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（１２＋２２＋３２）≥（ａ＋２ｂ＋３ｃ）２∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥３２１２＋２２＋３２＝９１４当且仅当ａ１＝ｂ２＝ｃ３即：ａ＝３１４，ｂ＝６１４，ｃ＝９１４时：ａ２＋ｂ２＋ｃ２最小值为９１４（１０分）—４—。

2021届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集I=｛x|x是小于9的正整数｝，集合M=｛1，2，3｝，集合N=｛3，4，5，6｝，则( I M)∩N等于A. ｛3｝B. ｛7，8｝C. ｛4，5，6｝D. {4,5，6，7，8}2. 6.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，>0，则的值A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负3.为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为()A. 240B. 210C. 180D. 604.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √135.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16)，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为()参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.683，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<X≤μ+ 3σ)=0.997A. 2300B. 3170C. 3415D. 4606. 函数y =−1x+1+1的大致图象是( ) A. B.C. D.7. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是( )．A.B. C. D. 8. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)，则函数f(x)在区间[0,π2]的取值范围是( )A. [−√32,1]B. [−12,√32]C. [−√32,√32]D. [−12,1] 9. (x −ax )5的展开式中x 3的系数为10，则实数a 为( ) A. −2B. −1C. 1D. 2 10. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则其离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1.2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)11. |101+3i |=( ) A. 103 B. √103 C. 10 D. √1012. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y =10x 2−10x(0<x <8,x ∈N ∗)，若每台产品的售价为70万元，则该产品的生产者可获得的最大利润为( )A. 100万元B. 140万元C. 150万元D. 160万元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若BC =6，CD =5，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．14.设变量x、y满足约束条件{x+y≤3x−y≥−1y≥1，则目标函数z=2x+y的最大值为______．15.已知F是椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2+y2=b2相切于点Q，且=，则椭圆C的离心率为．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=π3，b−a=1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)sin(A+B)的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：c=5；条件②：cosB=−17．18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：(3)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907060岁以下140合计300附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图．已知正方体ABCD−A1B1C1D1．(1)平面A1ABB1与平面ABCD是否垂直？为什么？(2)平面ABC1D1与平面BCC1B1是否垂直？为什么？(3)平面ABC1D1与平面A1B1CD是否垂直？为什么？(4)平面ABC1D1与平面ABB1A1是否垂直？为什么？20.已知抛物线y2=2px(p>0)，直线y=x+2是它的一条切线．(1)求p的值；(2)若A(2,4)，过点p(m,0)作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为常数，求实数m的值．21.已知函数f(x)=a(x2−1)−xlnx(Ⅰ)若F(x)=f′(x)，当a=1时，求F(x)的单调区间；2(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知．曲线C的极坐标方程为ρ=21−cosθ(1)试将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(2)直线l过点M(m,0)，交曲线C于A、B两点，若1|MA|2+1|MB|2的定值为14，求实数m的值．23.设函数f(x)=2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f(a)=m．(Ⅰ)求m及a的值；(Ⅱ)若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q(p+r)≤2．。