高二数学 互斥事件

高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。

2024年人教版高二数学复习知识点总结高二数学是高中数学学习中的重要阶段，是扎实掌握基础知识，提高数学思维能力的关键时期。

下面是2024年人教版高二数学复习的知识点总结。

一、函数与方程1.函数概念：自变量、函数的值、函数定义域、函数值域。

2.二次函数：顶点、轴、对称轴、判别式、特殊值，函数图像的平移、伸缩、翻折。

3.指数与对数函数：指数函数的性质、对数函数的性质，指数和对数的换底公式。

4.三角函数：正弦函数、余弦函数、三角函数的图像与性质，反三角函数。

5.方程与不等式：一元一次方程与不等式，一元二次方程与不等式，绝对值方程与不等式，分式方程与不等式。

二、数列与数学归纳法1.数列概念：数列的表示、通项公式、求前n项和、对数函数。

2.等差数列：通项公式、求和公式、等差数列与一元二次方程。

3.等比数列：通项公式、求和公式、等比数列与指数函数。

4.数学归纳法：递推关系式、证明数学命题。

三、平面向量1.向量的定义：共线向量、平行向量、向量的加减。

2.向量的模与方向：向量的模、单位向量、方向角、方向余弦。

3.向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、正交、共线与垂直。

4.向量的叉积：叉积的定义、叉积的性质、平行四边形面积、叉积的应用。

四、平面几何1.二维坐标系：直线的斜率和截距、直线的倾斜角、直线方程的互相转化。

2.三角形：勾股定理、正弦定理、余弦定理、海伦公式。

3.四边形：平行四边形的性质、矩形、正方形、菱形、长方形的性质，平行四边形的面积。

4.圆：圆的定义、圆的性质、弧长、扇形面积、圆的切线与切线定理。

5.向量与平面几何：平面点的表示、向量方程与参数方程、平面方程的转化。

五、空间几何1.空间直线：空间直线的方程、两直线位置关系、两直线的交点、平面与直线的交线。

2.空间平面：平面的方程、平面的位置关系、两平面的交线、平面的倾斜角、两平面的夹角。

3.空间几何中的重要结论：点到平面距离公式、直线到直线的距离、平行四边形体积。

高二数学知识点手抄报模板一、三角函数1. 正弦函数正弦函数是一个周期为2π的周期函数，表示为sin(x)，其中x 为角度或弧度。

2. 余弦函数余弦函数也是一个周期为2π的周期函数，表示为cos(x)，其中x为角度或弧度。

3. 正切函数正切函数是一个无穷区间的函数，表示为tan(x)，其中x为角度或弧度。

4. 反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，分别表示为arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)。

二、二次函数1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

3. 二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。

4. 二次函数的零点二次函数的零点为方程ax² + bx + c = 0的解，可使用求根公式求解。

三、概率论1. 事件与样本空间事件是指在随机试验中可能发生的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。

2. 事件的概率事件A的概率P(A)表示事件A发生的可能性大小，介于0到1之间。

3. 互斥事件与对立事件互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件中有一个必然发生。

4. 独立事件独立事件指两个事件的发生不受对方的影响。

5. 条件概率事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率，表示为P(A|B)。

四、数列与数列极限1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。

2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。

3. 通项公式数列的通项公式是指用公式表示数列第n项与n的关系。

4. 数列极限数列极限是指数列无限逼近某个值时的极限值。

五、解三角形1. 正余弦定理正余弦定理是解决三角形边长和角度之间的关系的重要定理。

高二数学概率试题1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45【答案】A【解析】由二项分布的均值和方差得,解的【考点】二项分布的均值和方差.2.某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】解题思路：(Ⅰ)利用对立事件的概率求解；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解（Ⅲ）利用二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解.规律总结：涉及概率的求法，要掌握好基本的概率模型，正确判断概率类型，合理选择概率公式. 试题解析：（1）(Ⅰ)设选手甲答对一个问题的正确率为，则故选手甲回答一个问题的正确率（Ⅱ）选手甲答了4道题进入决赛的概率为；（Ⅲ）选手甲答了5道题进入决赛的概率为；选手甲答了6道题进入决赛的概率为；故选手甲可进入决赛的概率.【考点】1.互斥事件与对立事件；2.二项分布.3.将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件概率计算公式：,,要求点数至少含有6且点数不同，含有6有11中，而其中相同的就一种，故，【考点】条件概率的计算.4.为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA 的学生的概率为2/3 ⑴请将上面列连表补充完整，并判断是否有的把握认为关注NBA 与性别有关？⑵现从女生中抽取2人进一步调查，设其中关注NBA 的女生人数为X ，求X 的分布列与数学期望. 附：，其中【答案】(1)关注NBA 与性别有关；（2）分布列（略），E （X ）=1.【解析】（1）本小题独立性检测的应用，本小题的关键是计算出的观测值,和对应的临界值，根据关注NBA 的学生的概率为，可知关注NBA 的学生为32（估计值）.根据条件填满表格，然后计算出，并判断其与的大小关系，得出结论.（2）对于分布列问题：首先应弄清随机变量是谁以及随机变量的取值范围，然后就是每个随机变量下概率的取值，最后列表计算期望. 试题解析：(1）将列联表补充完整有：由,计算可得4分因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为学生关注NBA 与性别有关，即有把握认为关注NBA 与性别有关 6分 （2）由题意可知，X 的取值为0，1，2，,,9分所以X 的分布列为）=1. 12分【考点】（1）独立性检测应用；（2）随机变量的分布列与期望.5.实验北校举行运动会，组委会招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10 人和6人喜爱运动，其余不喜爱.（1）根据以上数据完成以下列联表：（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为性别与喜爱运动有关？(3)从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各选1人，求其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取的概率．参考公式：（其中）没有关联90%95%99%【答案】（1）见解析；（2）性别与喜爱运动没有关联；（3）.【解析】（1）独立性检验关键是计算出,并同概率表作对比，选择适合的临界值，得出是否具有相关性结论；（2）古典概型概率的计算，间接法：“1”减去既没有甲乙的概率.试题解析：（1）由已知得：喜爱运动不喜爱运动总计（2）由已知得：，则：（选择第一个）.则：性别与喜爱运动没有关联. 8分（3）记不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取为事件A，由已知得：从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各抽取1人共有种方法，其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙没有一人被选取的共有种方法，则：12分【考点】（1）独立性检测；（2）古典概型.6.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得分．若从这个口袋中随机地摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是．⑴求的值；⑵从口袋中随机摸出个球，设表示所摸球的得分之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1），（2）的分布列为：.【解析】（1）本小题为古典概型，基本事件的种数为：，事件：从口袋中随机地摸出个球，有一个是黄色球的方法数为：，即可构建关于的方程；（2）易知取值为，利用古典概型概率公式，易求的每个取值对应的概率，从而可列出分布列，并求出数学期望.试题解析：⑴由题意有，即，解得；⑵取值为.则，，，，的分布列为：故.【考点】古典概型概率公式，分布列，数学期望公式.7.设随机变量服从，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为随机变量服从，所以，故选A.【考点】二项分布.8.某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加上海世博会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≥1)＝________.【答案】【解析】P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝9.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.(Ⅱ)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（1）76.4 （2）0.7【解析】解：(Ⅰ).(Ⅱ)(i)这100天的平均利润为(ii) 销量为16枝时，利润为75元，故当天的利润不少于75元的概率为【考点】函数与概率点评：主要是考查了分段函数与均值以及概率的求解，属于中档题。

高二数学概率综合试题答案及解析1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）A．n＝5，p＝0.32B．n＝4，p＝0.4C．n＝8，p＝0.2D．n＝7，p＝0.45【答案】C【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【考点】随机变量的期望方差.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，已知第一次抽到A，则第二次也抽到A的概率为_________ ．【答案】.【解析】由于第一次抽到A,则第二次抽牌时，还有3张A，共51张牌，而每张牌被抽到的概率是相等的，故第二次也抽到A的概率为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式．3.抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为__________。

【答案】【解析】抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则成功的概率为，则在3次试验中恰有2次成功的概率为。

【考点】等可能事件的概率4.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：(参考公式：，其中)【答案】（1）详见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.【解析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论.试题解析：列联表补充如下： 3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计（2）∵∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 12分【考点】独立性检验．.5.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?【答案】（1）（2）选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大【解析】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,,这两人的累计得分的概率为. 6分(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为由已知:,,,他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 12分【考点】独立事件的概率以及期望点评：主要是考查了独立事件的概率以及期望值的运用，属于中档题。

2023~2024学年度上期高中2022级期中联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）A.8B.9C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.⨯=．【详解】设4个小球分别为1A，2A，1B，2B，则试验结果为4312故选：C2.某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.⨯=，则成绩在515分以上人数为【详解】成绩在515分及以下人数为1600060%9600-=．1600096006400故选：D3.给出下列命题：①若空间向量a，b满足0a b ⋅<，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若a c b c ⋅=⋅，则a b =；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++ 也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]人数/人42550156A.59B.59.4C.69D.69.4【答案】D 【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为42550156506070809069.4100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：D5.若1()3P A =，()14P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 的关系为（）A.相互独立B.互为对立C.互斥D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式()5()()()6P A B P A P B P AB ==+- ，求出5()6P AB =，从而得到()()()P AB P A P B =⋅，即可判断出结果.【详解】因为()5135()()()()6346P A B P A P B P AB P AB ==+-=+-= ，得1()4P AB =，所以131()()()344P AB P A P B =⨯==⋅，故选：A.6.的正方形ABCD 对角线BD 折起，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角的大小为120︒，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A.14B.14-C.34-D.34【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出,,,A B C D 坐标，从而得到13(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =-，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取BD 中点O ，连接AO ，CO ，以OC ，OB 分别为x ，y 轴，垂直面BOC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，如图所示，因为ABCD 的正方形，所以1OA OB OC ===,则(0,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，又易知，OA BD ⊥,OC BD ⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，由题知，120AOC ∠=︒，所以030A Z ∠=︒，则13,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，1(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =- ，故131322cos ,24AD BC AD BC AD BC+⋅===⋅ ，所以，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34．故选：D.7.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为21s ．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，A 同学实际成绩137分，被错录为118分；B 同学实际成绩115分，被错录为103分；C 同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A.2212s s = B.2212s s > C.2212s s < D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为n ()0n >，因为11810312913711598++=++，所以更正前后平均分不变，且()()()()()()22222211812510312512912554913712511512598125973-+-+-=<-+-+-=，所以2212s s <．故选：C8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，其中3AB =，2BC =，14CC =，2BE =，则BC 中点G 到平面1AEC F 的距离为（）A.211B.3211C.32222D.92222【答案】D 【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(2,3,2)E ，1(0,3,4)C ，(1,3,0)G ，所以1(2,3,4)AC =- ，(0,3,2)AE =，(1,0,2)GE = ，设(,,)n x y z = 为平面1AEC F 的法向量，则100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3202340y z x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1z =，所以21,,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，点C 到平面1AEC F 的距离为2222GE n d n ⋅==．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x '，方差为2s '．下列结论正确的是（）A.x ax '=B.222a a cs =+' C.x ax c'=+ D.222s s a '=【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，则新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x ax c '=+，方差为222s s a '=.故选：CD10.下面结论正确的是（）A.若事件M 与N 相互独立，则M 与N 也相互独立B.若事件M 与N 是互斥事件，则M 与N 也是互斥事件C.若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()0.58P M N =D.若()0.6P M =，()0.4P N =，则M 与N 互为对立事件【答案】AC 【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A 、B ；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C ，D.【详解】对于A ：若事件M 与N 相互独立，因为M N M MN =-，所以()()()()P M N P M MN P M P MN=-=-又()()()()()()()()1P M N P M P N P M P N P M P M P N ==-=-⎡⎤⎣⎦，所以()()()P MN P M P N =，所以事件M 与N 相互独立，所以()()()()P M N P N NM P N P NM=-=-()()()()()()()1P N P N P M P N P M P N P M =-=-=⎡⎤⎣⎦，所以M 与N 是相互独立事件，故A 正确；对于B ：若事件M 与N 是互斥事件，如掷一枚骰子出现1、2、3点记为事件M ，出现1、2、3、4点记为事件N ，则N 为出现5、6点，满足事件M 与N 是互斥事件，显然M 与N 不互斥事件，故B 错误；对于C ，若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()()()()()()0.40.3P M N P M P N P MN N M P P =+-=+- 0.70.40.30.58=-⨯=，故C 正确；对于D ：如从110 共10个整数中随机抽取一个数，记抽到1、2、3、4、5、6为事件M ，则()0.6P M =，记抽到1、2、3、4为事件N ，则()0.4P N =，显然M 与N 不为对立事件，故D 错误；故选：AC11.某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，该单位全体工作人员平均体重x 和方差2s 分别为（）A.61x =B.60x = C.2155s = D.2169s =【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为5a （0a >），女性人数为3a ，该单位全体人员体重的平均数为：536456615353a ax a a a a=⨯+⨯=++，所以该单位全体人员体重的方差为：2253151(6461)159(5661)16988⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：AD12.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点O 是AC 中点，点M 是棱SD 的上动点（M 与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为910B.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为35C.存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60︒D.不存在点M ，使//OM 平面SBC 【答案】ABC 【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A 、O 、C 和S 、M 、D 分别共线，其余18种均不共线，故概率为2912010-=；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为93155=．故A 、B 正确．以A 为空间原点建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2,0,0,1,1,0A D C S B O ，设DM DS λ=，(0,1)λ∈，设(),,M x y z ，则有()()(),2,0,2,20,22,2x y z M λλλ-=-⇒-，则(1,12,2)OM λλ=-- ，(2,0,0)AB =-，1cos ,2AB OM AB OM AB OM ⋅==⋅，解得24210λλ--=，()22160∆=-+>，方程有解，故C 正确．设平面SBC 的法向量(,,)n a b c =，()()0,2,0,2,0,2BC SB ==-，则有()201,0,1220n BC b n n SB a c ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅=-=⎪⎩，由0OM n ⋅= ，可得1212λλ=⇒=，故D 错误．故选：ABC【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：8636029371409857572703474373964746983312 6710037162332616959780456011366142817424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为153 204=．故答案为：3 414.某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则n=__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为1n，高中生抽取的人数为3n，则初中生抽取的人数为360n+，所以331601100**********n n n +==，解得340n =，1110n =从而13306025n n n n +==++．故答案为：25015.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设i A ()1,2,3,4i =为独孤队第i 局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：123A A A ，1234A A A A ，1234A A A ，1234A A A A ，所以独孤队取胜的概率()()()()123123412341234P P A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++0.40.50.60.40.50.40.50.40.50.40.50.60.30.40.50.236=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：0.23616.已知空间向量a ，b ，c 两两之间的夹角均为60︒，且2= a ，6b = ，2c = ，若向量x ，y分别满足()0y y a b ⋅+-= 与12x c ⋅=，则y x - 的最小值为__________．【答案】5-5【解析】【分析】由题意可得2b a y --= ，令2b ap -=，可得y p -= 且2p c ⋅= ，利用数量积的性质得出5x p -≥，最后由模的三角不等式()()()()y x y p x p x p y p -=---≥--- 可得结论．【详解】依题意26cos606a b ⋅=⨯⨯︒=，22cos 602a c ⋅=⨯⨯︒=，62cos606b c ⋅=⨯⨯︒=，因为()0y y a b ⋅+-= ，所以()222022b a b a y b a y y ⎛⎫⎛⎫---⋅-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2222724b a b a b a y ⎛⎫--⋅+-== ⎪⎝⎭，所以2b ay --= ，令2b a p -= ，则y p -= ，且222b a bc a cp c c -⋅-⋅⋅=⋅==，由12x c ⋅= ，得()122x c p c x p c x p c -=⋅-⋅=-⋅≤-⋅，所以1052x p -≥=，所以()()()()5y x y p x p x p y p -=---≥---≥当且仅当x p - ，y p -u r u r共线同向且x p - ，c 共线时等号成立.故答案为：5-【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由()0y y a b ⋅+-= 结合已知变形得出2b ay --=，引入向量2b ap -=，可得y p -= ，从而得到x p - 的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分。

高二数学概率试题1.如图，用三类不同的元件连成一个系统.当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576【答案】B【解析】系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.【考点】独立事件的概率.2.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45【答案】A【解析】由二项分布的均值和方差得,解的【考点】二项分布的均值和方差.3.设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）A．50，B．60，C．50，D．60，【答案】B【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以答案为B.【考点】二项分布X～B（n，p）的均值与方差4.投两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为______.【答案】.【解析】设“投两枚均匀的骰子，点数不同”为事件A,“至少有一个是6点”为事件B,则;,.【考点】条件概率.5.中国2010年上海世博会已于2010年5月1日在上海隆重开馆．小王某天乘火车从重庆到上海去参观世博会,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0．8、0．7、0．9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求:(1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2）这三列火车至少有一列正点到达的概率【答案】（1）0.398；（2）0.994．【解析】解题思路：（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解即可;(2)正面情况较多，考虑反面情况即可.规律总结：若A,B相互独立，则也相互独立；对事件包含的情况分类要不重不漏，对于“至少”、“至多”，可以考虑事件的对立事件.试题解析：用、、分别表示这三列火车正点到达的事件．则所以(1）恰好有两列正点到达的概率为(2）三列火车至少有一列正点到达的概率为.【考点】相互独立事件同时发生的概率.6.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，敌机被击中的概率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲击中敌机为事件,乙击中敌机为事件.方法一（直接法）：击中敌机分3种：甲中乙中，甲中乙不中，甲不中乙中,即;方法二(间接法)：.【考点】独立事件概率的计算.7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）；（3）分布列（略），.【解析】（1）4个球均为黑球，即从甲、乙中取出的2个球均为黑球，由于甲、乙相互独立，因此概率为甲中取出黑球的概率与乙中取出黑球概率的乘积；（2）取出4球中恰有1个红球，分两类计算：一类红球来至于甲，二类红球来至于乙；（3）红球个数可能取值为0,1,2,3，注意分别对应概率的计算.试题解析：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，． 2分故取出的4个球均为黑球的概率为． 4分（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．则，． 6分由于事件互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为． 8分（3）可能的取值为．由（1），（2）得，，．从而．的分布列为的数学期望． 12分【考点】组合与概率综合应用.8.高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率（2）的概率分布列为X12345所以.【考点】1. n次独立重复试验；2. 离散型随机变量的分布列、期望.9.在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.【答案】该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率为0.69；及格的概率为0.93.【解析】射击的成绩是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式即可求得结果.试题解析：分别记该战士的打靶成绩在9分以上、在8～9分、在7～8分、在6～7分分别为事件B、C、D、E，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，该战士的打靶成绩在8分以上的概率是P（B C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69. 5分该战士打靶及格的概率，即成绩在6分以上的概率，由公式得P（B C D E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 8分【考点】互斥与对立事件、概率问题.10.甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为。

高二数学都学哪些知识点高二数学学习的知识点数学是一门重要的科学学科，对于高中学生来说，数学是必修的一门学科。

高二是数学学科的重要阶段，学生在这一年需要掌握并牢固基础知识，为高考做好准备。

下面将重点介绍高二数学学习的知识点。

一、函数与方程1.1 函数的概念和性质：自变量、因变量、定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1.2 一次函数：直线的斜率和截距，两点确定一条直线等。

1.3 二次函数：顶点、对称轴、平移、拉伸等。

1.4 不等式与方程：一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。

二、三角函数与解三角形2.1 三角函数的定义和性质：正弦、余弦、正切等。

2.2 三角函数的图像与性质：周期性、奇偶性等。

2.3 解三角形：正弦定理、余弦定理、面积公式等。

三、向量与坐标系3.1 向量的定义和性质：向量的模、方向、垂直、平行、共线等。

3.2 平面直角坐标系：直角坐标系的表示、距离公式等。

3.3 向量的运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等。

四、数列与数列的极限4.1 数列的概念和性质：通项、公比、和等。

4.2 等差数列与等比数列：首项、公差、公比等。

4.3 数列求和：等差数列求和公式、等比数列求和公式等。

4.4 数列的极限：极限的定义、收敛与发散等。

五、导数与微分5.1 导数的概念和性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则等。

5.2 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

5.3 函数的最值和单调性：极值点、临界点、函数单调性的判断等。

5.4 微分：微分的定义、微分的应用等。

六、概率与统计6.1 概率的基本概念：随机事件、样本空间、几何概率等。

6.2 条件概率与独立性：条件概率的计算、独立事件与互斥事件等。

6.3 统计与频率分布：频数、频率、频率分布表等。

6.4 统计图表的应用：条形图、折线图、饼图、直方图等。

以上是高二数学学习中的主要知识点，这些知识点涵盖了数学的基本理论和应用技巧，对于学生的数学学习和解题能力的提升至关重要。

高二数学对立事件与减法公式试题答案及解析 1. 从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（ ） A．3个都是正品 B．至少有个是次品 C．个都是次品 D．至少有个是正品

【答案】D 【解析】由于个同类产品中个是正品，个是次品，故任意抽取3个时最少有一个是正品，故选D. 【考点】必然事件的概念

2. 公务员考试分笔试和面试，笔试的通过率为20%，最后的录取率为4%，已知某人已经通过笔试，则他最后被录取的概率为（ ） A．20% B．24% C．16% D．4%

【答案】A 【解析】A表示事件：通过笔试；B表示事件：通过面试；C表示事件：应聘者被录取； 则有P（C）=P（A•B）=P（A）•P（B）,即4%=20% P（B），所以，P（B）=20%，因为，该考生已通过笔试，所以，其通过面试即被录取，所以，他最后被录取的概率为20%，选A。 【考点】独立事件的概率计算。 点评：简单题，注意理解题意，转化成求面试合格的概率。

3. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。现从盒子中每次任意取出一个球，若取出的是蓝球则结束，若取出的不是蓝球则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球次数最多不超过3次。求： （1）取两次就结束的概率； （2）正好取到2个白球的概率．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）取两次的概率 5分 答: 取两次的概率为 6分 （2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况， 7分 所以恰有两次取到白球的概率为 . 11分 答: 恰有两次取到白球的概率为 .12分 【考点】相互独立事件同时发生的概率 点评：求解本题先要将所求的事件与每次取球的结果对应起来，进而转化为相互独立事件同时发生的概率，利用公式计算

4. 设是A的对立事件，是B的对立事件。若和事件A+B发生的概率为0．4，则积事件·发生的概率为（ ） A．0．24 B．0．36 C．0．4 D．0．6