【步步高】2020高考数学 考前三个月抢分训练20 综合(四)

解答题专项规范练姓名: 班级: 学号: »»二次函数的应川4.已知函数y(x) = 3o?+2加+c, d+b+c=O,且X0)；/( 1 )>0.(1)求证：一2舟v—1；(2)若Q、疋是方程・/(兀)=0的两个实根，求*]—对的取值范围.5.(2015-金华一模)已知二次函数/W=C + bx+c(d>0,b,cWR),设集合A = {x^R\f(x)=x}, B={兀WR[/(/(x))=Ax)}, C={xeR|/(x)=0}・(1)当d=2, A={2}时，求集合B；⑵若冯v0,试判断集合C的元素个数，并说明理由.6.(2015-杭州模拟)己知函数沧)=/+3比一0|(0>0),记./W在[~1/1]±的最小值为g⑷.⑴求g(d)的表达式；⑵若对^e[-i,i],恒有/U)Wg⑷+加成立，求实数加的収值范围.答案精析解答题专项规范练41.证明(1)因为入j,疋是方程几¥)—* = 0的根, 所以/(兀)—X=a(x~ X\){x—Xi).当xW(O,兀J时，白于x\<x2, a>0,所以a(x—Xj)(x—X2)>0,故x<f(x).因为X]—/U)=X|—d(x—X1)(兀一*2)—X=(%1 —x)[l+a(x—X2)],所以l+d(X—兀2)= 1+似一°疋>1 — OT2>0.于是 Q —Ax)>0.从而综上，X<fix)<X].(2)由题意知x()=因为Q,兀2是方程/U)—兀=0的根，b——1 即Xi，疋是方程dX+e—l)x+c=0的根，所以兀|+疋=_ Q，_ __b__ a(X|+x2)_ 1Xo=_2^= 2Zax\+ax2— 12.解(iyu)满足/(—x+5)=/U—3),则函数7W的图象关于直线x=l对称，故一光=1, b =—2a.又兀丫)=兀有等根，即方程cuC+(h~\)x= 0有等根，则b= 1.所以a=一*.所以/U)= —|x2+x.(2)因为 /(兀)=—*/+x=—*(x—1F+*在区间［m,门］上有值域［3m z3n］,则nW*.故所以函数/U)在［m,门］上为增函数.所以人加)=3加，且j{n) = 3n.所以〃7, n是方程yu)=3兀的两个不相等的实数根. 所以一*/+x=3x,即X2+4X=0.所以兀1=0,兀2=—4.因为加vn,所以加=—4, n=0.3.解(1)・・・夬朗=兀2_2处+5是(一8,切上的减函数，••・夬兀)=/一2处+5在［1, a］上单调递减，・・・.心)叭=/(1)=0且/U)min=Ad)=l，・：d=2.(2)・・・/匕)在区间(一8, 2］上是减函数，.•.aN2,・\/U)在［1, a］上单调递减，在［a, a+1］上单调递增,・\A兀)min=/(a)=5—/, /Wrnax = max{Xl), X«+l)}.人1)—张+1)=6—2d—(6—/)=/—2d=a(d—2) $ 0.・・・夬兀)0^=夬1) = 6一20,T对任意的兀］,兀2丘［1, a+1］,总有IA M)—/U2)|W4.・\/Wmax—/(兀)血£4,即6? —2叶3W0,・・・一lWdW3,又・.・0三2,・・・2WdW3.4.(1)证明当G=0时，夬0) = c, y(l)=2b+c,又b+c=0,则X0)-y( 1)=C(lb+c)=-c2<0 与已知矛盾,因而Q HO,则fiOW)=c(?a+2b+c)=—(d+b)(2a+h)>0,即(许1)(号+2)<0, 从而一2<^<-l.(2)解占、兀2是方程./U) = 0的两个实根，则兀|+兀2=—警，尤"2=—告那么(兀i —兀2)「=(・心+兀2)~ —4七兀2_r 2^ 2 a±b_4 A2 . 4^ 4_43 2 1_(_3°)+4 3a _9勺)+3Q+3_9(G+2)+3-••普即|兀］一也|的取值范围是［爭,|）.5. 解(1)・・1=2, A={2},・•・方程J （x ）=x 有且只有一个根2, 故一… =2,故 b=—l.由A={2}可得，方程/（心））=/（兀）可化为加而且2是方程心）=2的根，故另一根为一号一2 =多.故集合B=*, | ；⑵，?Z9<0 及 Q°‘・；方程7U ） = 0有两个不等的实根，记为X ］, X2，且有Xi<^<X 2,从而可设 /U)=a(x —X])(x —X2),X]+X2另一万面，/OOminVOQ^2；・・・方程/U ）=X2有两个不等的实根；且可知方程Jtx ）=Xi 与方程J （X ）=X 2没有相同的根,・・・方程0有四个不同的根，即c={xWR|/（心））=0}中的元素有4个.由于 a>0, — 1 WxWl,6.解f —3x+3a, x<a,• 兀)min —J\2•:方程J （X ）=X\有两个不等的实根;① OsWl 时，7U)在［―1, a ］上递减，在［a,1］上递增，则g(a)=血)=/；② a>l 时，/U)在［一1，1］上递减，则 g(a)=Al) = 3a —2,⑵令 /2(x)=/U)—g(a),① OvaWl 时，g(a)=a\当一 lWxWa, h(x) =x 2—3x+ 3tz —a 2 在［一1, a ］递减，力(兀)W/z(—1)=4 + 3口一/£6, 当aW 兀Wl, /?(x) =x 2+3x —3a —a 2 在［a,1］上递增，/?(x) W 〃( 1)=4 一 3d —a 2<4,② 当 a>l 时,g ⑷=3°—2,蚣)=/一3兀+2W/i(—1)=6,综上可得，/2(Q=A 兀)一gS)在G>0, —IW JV WI 上的最大值为6,即有h(x)Wm 恒成立，即m26. 综上gS)= 必 OsWl,3d —2, a>\.则m的取值范围是［6, +°°).1.己知二次函数^x)=ax +bx+c («>0),方程/(X)—x=()的两个根小兀2满足0<ri<r2<A.(1)当xW(O,占)时，证明x<f(x)<xi；(2)设函数夬兀)的图象关于直线兀=旳对称，证明：x0<f.2.己知函数J{x)=ax + bx (a^0)满足条件：./(—兀+5)=/(兀一3),且方程夬对=兀有等根. (1) 求./W的解析式；(2) 是否存在实数m, n(m<n}，使几兀)的定义域和值域分别是［m,门］和［3m,3^］?如果存在，求出加，n的值；若不存在，请说明理由.3. (2015-湖州模拟)已知函数fix)=x* 1 2~2ax+5(a>\).(1)若函数/U)的定义域和值域均为［1，Q］,求实数a的值；⑵若7W在区间(一I 2］上是减函数，且对任意的q, x2e［l, a + 1］，总有险J—7U2)|W4, 求实数a的取值范围.。

2019步步高高考数学考前三个月抢分练习20：综合(四)注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

能被5整除、”那么假设的内容是________________、2、设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，那么z 的模为________、3、(2017·大纲全国)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，那么tan2α＝________.4、甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，那么这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.5、右图给出了一个算法流程图，假设给出实数a 、b 、c 为a ＝4，b ＝x 2，c ＝2x 2－3x ＋2，输出的结果为b ，那么实数x 的取值范围是________________、6、(2017·江西改编)观察以下各式：55＝3125，56＝15625,57＝78125，…，那么52011的末四位数字为________、7、(2017·湖南改编)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________、8.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y＋c ＝0的距离为1，那么实数c 的取值范围是________、9、两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，那么使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是________、 10、(2017·湖北改编)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点的个数为________、11、(2017·安徽改编)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为________、12、设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，那么x 3y 4的最大值是________、13、球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB ＝4.假设OM ＝ON ＝3，那么两圆圆心的距离MN ＝________.14、设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，假设在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，OP ＝7a ，那么该双曲线的渐近线方程为____________、 答案1、a ，b 中没有一个能被5整除2、23、－434、24235、x ＝2或－2≤x ≤16、81257.128、(－13,13)9、510、111.1512、2713、314.2x ±y ＝0。

高考能力测试步步高数学基础训练20基础训练20 不等式的性质、均值不等式及应用●训练指要掌握不等式的运算性质，两个数及三个数的几何平均值与算术平均值的不等关系.一、选择题1.若a ＞b ＞1,P =b a lg lg ⋅,Q =21(lg a +lg b ),R =lg 2b a +,则 A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q2.已知a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2,②ba 11<,③ab a 11>-中不成立的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3个3.设a ∈R ，且a 2+a ＜0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小顺序是A.a 2＞a ＞-a 2＞-aB.-a ＞a 2＞-a 2＞aC.-a ＞a 2＞a ＞-a 2D.a 2＞-a ＞a ＞-a 2二、填空题4.在“充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，非充分非必要条件”中选择适当的词填空：(1)a ＞b ,c ＞d 是a +c ＞b +d 的_________条件；(2)a +b ＞2，ab ＞1是a ＞1且b ＞1的_________条件； (3)ba ＞1是a ＞b 的_________条件 5.如果-2π≤a ＜β≤2π,则2βα-的范围是_________. 三、解答题6.已知a ,b ,x ,y 均为正数，且b a 11>,x ＞y ，求证by y a x x +>+. 7.已知a ,b ∈R ，比较a 2-2ab +2b 2与2a -3的大小.8.设a ＞0，且a ≠1,t ＞0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小.。

训练22 综合(六)1．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)＞0，则实数a 的取值范围为__________．2．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x ，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，则f (113.5)＝________. 3．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1y ≥0x ＋y ≥1，则(x ＋2)2＋y 2的最小值是________． 4．已知α＋β＝π3，且3(tan α·tan β＋C )＋tan α＝0(C 为常数)，那么tan β＝________.5．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝18，S 4，则S 40＝________.6．定点A (4,0)与圆x 2＋y 2＝4上动点B ，则满足条件OA →＋OB →＝2OP →的点P 轨迹方程为____________．7．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，命题b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的________条件．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a ，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S ________.9．已知0＜a ＜b ，x ＝a ＋b －b ，y ＝b －b －a ，则x ，y 的大小关系是________．10．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8展开式中，项1x 2的系数为________(用数字作答)． 11.棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和CC 1的中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为________．12．(·陕西)植树节某班学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______米．13．若函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－7，则函数y ＝a cos x ＋b sin x 的最大值是________．14．(·重庆)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．答案 1．1＜a ＜ 2 2.15 3.92 4.3(1＋C ) 5.803 6．(x －2)2＋y 2＝17．必要不充分 8．10035 8 11. 2 12．2 000 13．5 14.6－19．x＜y 10.。

（浙江专用）2020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷（二）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255 B.45 C.25 D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x .双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)，此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y ＝x 3＋ln(x 2＋1－x )的图象大致为( )答案 C解析 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＋ln ()(－x )2＋1＋x ＝－x 3＋ln ()x 2＋1＋x＝－x 3－ln ()x 2＋1＋x －1＝－x 3－ln ()x 2＋1－x ＝－f ()x ，所以f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，因为f (1)＝1＋ln ()2－1>0，所以排除A. 7．设随机变量X 的分布列如下：则方差D (X )等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 a ＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E (X )＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，沿直线BD 将△ABD 折成△A ′BD ，使点A ′在平面BCD 上的射影在△BCD 内(不含边界)．设二面角A ′－BD －C 的大小为θ，直线A ′D, A ′C 与平面BCD 所成的角分别为α，β则( ) A ．α<θ<β B ．β<θ<α C ．β<α<θ D ．α<β<θ答案 D解析 如图，作A ′E ⊥BD 于E, O 是A ′在平面BCD 内的射影，连接OE ，OD ，OC ，易知∠A ′EO ＝θ，∠A ′DO ＝α，∠A ′CO ＝β，在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，由O 点必落在EF 上，由AD ＝2AB 知OE <AE <CF <CO <OD ，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1ex ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1 B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154，所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则b a 2＋c 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，55 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15C ．(－2，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c.令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x ，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋a c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2，所以2c a ＋a c∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－45，所以t 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，15.所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________.答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin Aa＝2×sinπ33＝22，由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc的最大值为________． 答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A，则c b ＋b c ＝b 2＋c 2bc＝a 2＋2ah cos Asin Aahsin A＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt△AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5，MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin∠MNI ＝MI MN ＝16530. 20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1. (1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0， 得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得 a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1，故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1 ＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1， 于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得 b n <12n －1b 1＝12n －2，即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2，故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3，综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)， 从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值为8.22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ， 当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)， 当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a， 由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立，因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ， 只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1恒成立即可．构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x ，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x 单调递增，因为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得t (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1.所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3，所以b 的最小的整数值为－3.。

训练15 概率与统计1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab 的最大值为________．2．已知某一随机变量X 的概率分布表如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为________.3.1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为________．4．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为________．5．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________． 6．如果ξ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为________． 7．(2011·锦州模拟)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________． 8．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.9.甲、乙两人进行5场比赛，每场甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，如果有一人胜了三场，比赛即告结束，那么比赛以乙获胜3场负2场而结束的概率是________．10．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．11．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别是________．12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况 ，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为________．13．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别为________________.14.(2010·福建)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.答案1.1242．7 3.112 4.12 5.8276．3或4 7.348.149.88110．0.12811．0.4,12 12．15 13．31,26 14．60。

(浙江专用）２020高考数学三轮冲刺抢分练仿真卷(四)一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共４０分)1.已知集合A ＝错误!未定义书签。

，Ｂ=错误!,则A ∩B 等于( ) A.（-∞,1) Ｂ．（0，1） C ．(－1,0) D ．(－1,１) 答案 Ｂ解析 由题得A ＝｛x |－1<x 〈１},B =｛x |0＜x <1}， 所以A ∩B =(0,1).2．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为3x +４ｙ=０，则该双曲线的离心率是( )Ａ。

错误! Ｂ。

错误! Ｃ.错误!未定义书签。

或错误!未定义书签。

D 。

错误!或错误! 答案 D解析 3ｘ＋４y ＝0⇒y =－＼ｆ（3，4)ｘ,当焦点位于x 轴时,错误!＝错误!未定义书签。

⇒错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，而c 2＝a 2+b ２,所以ｃ２－a 2a 2=错误!⇒ｅ=错误!=错误!;当焦点位于ｙ轴时，错误!=错误!⇒错误!未定义书签。

=错误!,c 2＝a ２+b 2⇒错误!未定义书签。

＝＼f （１６，9）⇒e ＝错误!=错误!未定义书签。

3．如果实数x ，y 满足条件错误!那么z =2x －y 的最大值为( ） A.２ Ｂ．－2 C ．1 D ．－3 答案 C解析 由约束条件错误!未定义书签。

画出可行域如图中阴影部分所示(含边界), 再画出目标函数z =2x －y 如图中过原点的虚线, 平移目标函数易得过点A (０，－1)处时取得最大值, 代入得z max ＝1。

4.如图是一个几何体的三视图,且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）ﻬＡ．１２ B．14 C.16 D.１８答案 D解析由题意可得，该几何体是由一个四棱柱和一个三棱柱组成的几何体，其中四棱柱的体积Ｖ１=1×３×4＝12,三棱柱的体积Ｖ2=＼f(1，2）×３×１×４＝6,该几何体的体积为Ｖ＝Ｖ１＋Ｖ2＝18．５．“对任意正整数n，不等式n lg a〈(n+1）lｇａａ(a>1)都成立"的一个必要不充分条件是( ) A．a＞0 B.a＞1 C.a>2 Ｄ.a＞3答案Ａ解析由n lg a〈（n＋1）ｌg aａ得ｎlｇａ<a（n＋1）lg a,∵a〉1,∴lg a>0，∴n〈a(ｎ+１),即a＞错误!未定义书签。

1 2 3 4 5|A](A](A)[AUA] [BKBKBHBHB] (CJICKCUCHCJ [DHDKDHDHD]6 7 8 9 10 I A U A H A H A K A ]ICHCHC)(C](Cl IDHDHDHDKD)11 12 13 14 15(A H A H A H A H A ][CHCJICJICJIC] (DHD](D)[D](D]一、选择题1. 已知集合 M={x\x^x 2}f N={y^=2\ xGR},则 MQN 等于( )A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. [0,1]2. 命题的否定是( ) A. *R, B. VxER, x 2=xC. 3x4R,X 'H XD.R» X 2=X3. 设 Q=(|)|，b=(|£, c=(|% 则 a, b, c 的大小关系是()A- a>c>b B ・ a>b>c C. c>a>bD. b>c>a4. 设加，〃是两条不同的直线，g 0是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A. 若加〃a, n//a f 则 m//nB. 若 G 丄〃，加丄“，mQa,则 tn//aC. 若a 丄“,fnUa,则加丄0D. 若加Ucc, 〃Ua, 〃？〃0, n 〃B ，贝lj ct 〃05. 已知M(a, b)(abH0)是圆O ： x 2+y 2=r 2内一点，现有以M 为屮点的弦所在直线加和直线/： ax+by=^f 贝lj()A. m//l,且/与圆相交B. /丄加，且/与圆相交C. m 〃l,且/与圆相离D. /丄加，与/与圆相离兀一y+1 W0,6. 变量x 、y 满足条件<応1,M(X -2)2+J 2的最小值为()X>— 1 ,»»小题苗练4*【0)⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻(9] 2 [0)[1][2](3K4H5K6H7H8H9] 弓[O)(1](2][3](4](5H6H7H8H91B.^5二、填空题9・(2015-绍兴模拟)在厶ABC 中，A. B 、C 的对边分别为a 、b 、s 若a = 3, B=2A, cosA10. 已知向量a, 〃满足|a| = l, \a+b\=y[7, (a, b)=彳，则|方|= ___________ ..xMO,11. 己知平面区域石$0, 恰好被面枳最小的圆C ： (x-a)2+^~b)2=r 2及其内部所x+2y —4^0 覆盖，则圆C 的方程为 ______________ 12. (2015-衢州质检)下列结论：① 若命题P ： 3 VR, tanx= 1 ；命题g ： R, x 2—x~\~ 1>0,则命题"p 1\儀q"是假命题; ② 已知直线厶：祇+3尹一1=0, /2： x+®+l=O,贝昇丄“的充要条件是彳=一3；③ 命题“若3X +2 = 0,则兀=1”的逆否命题：“若兀H1,则,一3x+2H0” .其屮正确 结论的序号为7.A. k=q.B. k =~^f壮r+1(—2Wx<0),的图象如图，贝lj(C. k=-g, co=|, 0=?D. k = —2, ® = 2, 0=亍8.己知整数a, b, c, /满足:2(t +2h=2c ff=字，K'J log 2/ 的最大值是( A. 0 B. Iog23 C. 2D. 3 函数尸2血3+卩)(0匕0<局) 1兀13.设Q0,函数y=sin@x+£j+2的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，则®的最小值是___________________________________ .14.已知椭圆的屮心在坐标原点O, A, C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线/F与BC相交于点D若椭圆的离心率为*，则ZBDF的正切值为___________ 15.对向量a=（ci\ f aj, b = （b\,方2）定乂—种运算"©” : a®b=（ci \, U2）®（b\, 〃2）=（。

高中数学学习材料唐玲出品【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：三角函数的图象与性质1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2． 三角函数的图象及常用性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )3． 三角函数的两种常见变换回顾二：三角变换与解三角形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.回顾三：平面向量1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4． 平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点知识再梳理——胸有成竹】热点一：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式【典例】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A.1sin2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【跟踪练习】函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x yB ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y【考点定位】三角函数的解析式．热点二：三角函数的性质【典例】已知函数)2sin()4cos()4sin(32)(πππ+-++=x x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期； (2)若将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间)2,0[π上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．【跟踪练习】已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值．【考点定位】正弦的二倍角公式和降幂公式、三角函数的值域.热点三：三角函数与三角形问题的结合【典例】已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cosB ＝13，f(C 2)＝－14，求b.的.【跟踪练习】21()cos 3sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π． （I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，2b =，322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求B的大小．【考点定位】1．三角恒等变换（倍角公式）；2．三角函数的周期和单调性；3．正弦定理．热点四：三角变换、向量、三角形问题的综合【典例】已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，3)，且m //n ． (I)求角A 的大小；(II)若a=2，b=22，求∆ABC 的面积．【考点定位】平面向量的坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.【跟踪练习】在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知m ()A A sin 3,cos 2=，n ()A A cos 2,cos -=，m·n 1-=．（1）求A ∠的大小；（2）若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积．【考点定位】数量积的坐标运算、正弦定理和余弦定理、三角恒等变换.【综合模拟练兵——保持手感】1．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .A ．045 B.030 C.060 D.0120【考点定位】向量的坐标运算、三角形面积公式、余弦定理．2．ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ）A .030B. 060C. 090D. 0120【考点定位】等差中项、正弦定理.3．在ABC ∆中，已知B C B C cos )sin(2sin +=，那么ABC ∆一定是( )。