2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

2014年普通高等学校招生统一考试(江苏卷)英语试题第一部分：听力(共两节，满分 20 分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共 5 小题；每小题 1 分，满分 5 分)听下面 5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A.₤19.15B.₤9.18C.₤9.15答案是 C。

（A）1．What does the woman want to do?A. Find a place.B. Buy a map.C. Get an address.（B）2．What will the man do for the woman?A. Repair her car.B. Give her a ride.C. Pick up her aunt.（C）3．Who might Mr. Peterson be?A. A new professor.B. A department head.C. A company director.（B）4．What does the man think of the book?A. Quite difficult.B. Very interesting.C. Too simple.（A）5．What are the speakers talking about?A. Weather.B. Clothes.C. News.第二节 (共15小题;每小题1分,满分 15 分)（B）6．Why is Harry unwilling to join the woman?A. He has a pain in his knee.B. He wants to watch TV.C. He is too lazy.（C）7．What will the woman probably do next?A. Stay at home.B. Take Harry to hospital.C. Do some exercise.听第7段材料,回答第8、9题。

2014 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第15 题第20题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，此中 s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，此中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知会合A{ 2 ， 1，3，4} ， B{1，2，3} ，则A I B _______ ．【答案】 {1，3}【分析】由题意得 A I B {1,3} ．（ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2( i 为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】 21【分析】由题意z(52i) 225 2 52i(2i) 22120i，其实部为 21．（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _______．【答案】 5【分析】此题本质上就是求不等式2n20的最小整数解．2n20整数解为 n5，所以输出的 n 5．（ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 _______．【答案】132 个数共有 C42【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取6种取法，此中乘积为 6 的有1,6和2,3两种取法，所以所求概率为P2 1 ．63（ 5）【 2014年江苏， 5， 5 分】已知函数y cosx 与y sin(2 x)(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 _______ ．3【答案】6【分析】由题意 cos sin(23) ，即 sin(2) 1 ， 2k( 1)k， (k Z ) ，因为 0，所33236以．6（ 6）【 2014 年江苏， 6， 5 分】为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm．【答案】 24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025) 10 6024 ．（ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 1 ，a 8 a 6 2a 4 ，则 a 6 的值是 ________．【答案】 4【分析】设公比为 q ，因为 a 21 ，则由 a 8a 6 2a 4 得 q 6 q 42a 2 ， q 4 q 2 2 0 ，解得 q 22 ，所以a 6 a 2 q 4 4 ．（ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1 ，S 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，若它们的侧面积相等，且S 19，则V 1的值是 _______．S 24V 2【答案】32r2h r 2S9 【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1 ， r 2、h 2 ，则 2 r 1 h 12 r 2 h 2 ，1，又11，所h 2r 1S 22r 24以r 1 3V 1r 12 h 1r 12 h 1 r 12 r 2r 1 3r 22 ，则r 22 h 2 r 22 h 2 r 22 r 1 r 2 ．V 2 2（ 9）【 2014 年江苏， 9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为 ________．【答案】 2 555【分析】圆 (x2) 2 ( y 1)2 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为 r 2 ，点 C 到直线 x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3 ，所求弦长为 l 2 r 2 d 2 24 9 2 55 ． d12 2255 5 （ 10）【 2014 年江苏， 10， 5 分】已知函数 f ( x)x 2 mx 1 ，若对随意 x [ m ，m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【答案】2 ，2【分析】据题意 f (m)m 2 m 2 1 0，解得2 m 0 ．f (m 1) (m1)2 m(m 1) 1 0 2（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2bx ( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ________． 【答案】3【分析】曲线y ax 2b过点 P(2, 5) ，则 4ab 5 ①，又 y ' 2ax b 2 ，所以 4a b 7②，由①②解得x2x42a1，所以 ab2 ．b 1（ 12）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB 8，AD 5 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuurCP 3PD ， BP 2 ，则 AB AD 的值是 ________．AP【答案】 22 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur【分析】由题意， AP AD DP AD AB ，BP BC CP BC 4 CD AD AB ，4 3 uuur 1 uuur 4uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2所以 AP BP ( AD AB) (AD AB) AD AD AB AB ，4 4 2 16即 2 1 uuur uuur 3 uuur uuur25 AD AB 16 64 ，解得 AD AB 22．21（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x [0 ，3) 时，2．2f ( x) x 2x若函数 y f ( x)a 在区间 [ 3 ，4] 上有 10 个零点 ( 互不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 10 ，2【分析】作出函数f ( x)x22x 1 , x [0,3) 的图象，可见 f (0)1，当 x 1时， f ( x)极大1 ，222f (3)7，方程 f (x) a 0 在 x [ 3,4] 上有 10 个零点，即函数y f ( x) 和图象与直线2ya 与函数ya 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，因为函数f ( x) 的周期为 3，所以直线f ( x)x 2 2 x 1 , x [0,3) 的应当是4 个交点，则有 a (0, 1 ) ．22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若 ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是 _______ ．【答案】6 24a 2b 22a 2b 2( a2b )2【分析】由已知 sin A2sin B 2sin C 及正弦定理可得 a2b 2c ， cosCc 22ab2ab3a22b 22 2ab2 6ab 22ab6 2，当且仅当 3a 22b2，即 a2时等号成立， 所以 cosC8ab8ab4b3的最小值为6 2 ．4二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出必需的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．（ 15）【 2014 年江苏， 15， 14 分】已知， ， sin 5 ．25（ 1）求 sin4的值；（ 2）求 cos62的值．解：（ 1）∵2， ，sin 5，∴ cos1 sin 22 5 ，55sinsin coscos sin2(cos sin)10 ．444210（ 2）∵ sin 22sincos4，cos 2cos 2 sin 23 ，55∴cos62cos 6 cos2sinsin 233 14 3 3 4 ．6 25 2 5 10（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14 分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ，PA 6，BC 8，DF 5 ．（ 1）求证：直线 PA ∥平面 DEF ；（ 2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．解：（ 1）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点∴ DE ∥ PA ∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF ∴PA ∥平面 DEF ．（ 2）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点，∴ DE1PA3∵E ，F 为 AC ，AB 中点，∴EF1BC 4 ，2，∴ DE ⊥ EF ，∵2∴222，∴，，∴，DEEFDFDEF90°DE //PA PA ACDEAC∵ ACI EF E ，∴ DE ⊥平面 ABC ，∵ DE 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．（ 17）【 2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 1 2 y 21(a b 0)的左、2分别是椭圆 x22F ，Fab右焦点，极点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结2C ，BF 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点连结 FC 1 ．（ 1）若点 C 的坐标为4 1，且 BF 22 ，求椭圆的方程；3 ，3（ 2）若 FC 1AB ，求椭圆离心率 e 的值．4 1 16 1解：（ 1）∵ C9922 2 2 2( 2)2 22，，∴ a 2b 22b c a ，∴a，∴ b 1 ，3 39，∵ BF∴椭圆方程为x 2y 2 1 ．（ 2）设焦点 212A Cx 轴对称，∴A(xy)，∵ ， ，， 对于∵2b b y ，即 bx cy bc 0 ①B ，F ，A 三点共线，∴cx∵ 1AB ，∴ x yb1 ，即xc byc20 ②ccFCx ca 2a 2 c 2bc 2 ①②联立方程组，解得b 2c 2∴ C2bc 2b 2 2 ， 2 2yc b cb 2c 2a 2c22bc 22C 在椭圆上，∴b 2c 2b 2c 222c55a 2b 2 1 ，化简得 5c a ，∴ a 5 , 故离心率为 5 ．（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥 ，规划建一座新桥 ，同时建立一个圆形保护区．规OABC划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的界限为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两头 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m ．经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处 ( OC 为河岸 ) ， tan BCO 43 ．（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系xOy ．由条件知 A (0, 60) ， C (170, 0) ，直线 BC 的斜率 k BC－tan BCO4 ．3又因为⊥，所以直线 的斜率k AB3．设点 B 的坐标为 ( a , b ) ，AB BCAB4则 k BC = b 04， kAB =b603，解得 a =80， b=120．a 1703a 04所以 =22．所以新桥 的长是 ．BC(17080)(0120) 150 150 mBC（ 2）设保护区的界限圆M 的半径为 r m,OM =d m,(0 ≤ d ≤60) ．由条件知，直线BC 的方程为 y4( x 170) ，即 4 x 3y680 0，3| 3d 680 |680 3d ．因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是 r ，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，5 5rd ≥ 806803dd ≥ 805，解得 10≤ d ≤35．所以 ，即r (60 d ) ≥ 80 3d680 (60 d ) ≥ 805故当 d =10 时 , r 6803d最大，即圆面积最大． 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二： 5（ 1）如图，延伸 OA , CB 交于点 F ．因为 tan ∠ BCO = 4 ．所以 sin ∠ FCO = 4 ，cos ∠ FCO = 3．3 5 5 因为 OA =60, OC =170，所以 OF =OC tan ∠ FCO = 680． CF = OC 850 ，3 cos FCO 3进而500 ．因为 ⊥ ，所以 ∠ ∠4，又因为⊥ ，所以=AF OF OAcos AFB =sin AB BCBF AF3OA OC FCO = 5cos ∠ AFB ==400，进而 BC =CF －BF =150．所以新桥 BC 的长是 150 m ．3（ 2）设保护区的界限圆 M 与 BC 的切点为 D ，连结 MD ，则 MD ⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m ，OM =d m(0≤ d ≤60) ．因为 OA ⊥ OC ，所以 sin ∠ CFO =cos ∠ FCO ，故由（ 1）知， sin ∠ CFO =MDMD r 3所以 r 680 3d ．MFOF OM680 d 553因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于80 m ，rd ≥ 80680 3dd ≥ 80510≤ d ≤ 35所以，即，解得 ，r (60 d ) ≥ 80 680 3d(60 d ) ≥ 805故当 d =10 时， r6805 3d最大，即圆面积最大．所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．f (x) e x e x 此中 e 是自然对数的底数．（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若对于 x 的不等式 mf x ≤ e x m1在 (0 ，)上恒成立，务实数m( )的取值范围；（ 3）已知正数 a 知足：存在[1，a(x 3a 1 与a e 1的大小，并证明x) ，使得 f ( x )3x ) 成立．试比较 e你的结论．解：（ 1）xR ，f (x ) e xe xf ( )x ，∴ f (x) 是 R 上的偶函数．（ 2）由题意， xxxxxxxx(e e )≤e m 1，即m(ee 1)≤ e 1，∵x (0 ，) ，∴e e 1 0 ，m即 m ≤x e xx 1对 x(0 ， ) 恒成立．令te x ( 1)，则 m ≤21 t对随意 t (1，) 恒成立．ee1ttt 1∵t 21 t1 (t2t11) 1 11≥ 1，当且仅当 t 2 时等号成立，∴ m ≤ 1 ．t1)(tt 1t 11 33'( ) e xe x（ 3） f ，当时∴在 ，上单一增， 令 h( x)33x) ，，x 1f '( x)f (x)) a( x3ax( x 1)(1h'( x)∵ a0 ，x 1，∴ h '(x)0 ，即 h( x) 在 x (1，) 上单一减，∵存在 x 0e-1∵ lnaa 1ea1e2[1，ln a e 11e ．当 ) ，使得f ( x 0 ) a( x 0 33x 0 ) ，∴ f (1) e 1 2a ，即 a1 e 1 ． e2 eln e a 1 (e 1)ln a a 1 ， 设 m(a) (e 1)ln a a1 ， 则 m'(a)e1 1 e 1 a ，a a1 e 1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单一增；当 a e1 时， m'(a ) 0 ， m(a ) 单一2e减，所以 m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ；当1e 1 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1；当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ．2 e（ 20）【 2014 年江苏，20，16 分】设数列 { n} 的前 n nn ，总存在正整数nm，a 项和为 S ．若对随意的正整数m ，使得 Sa 则称 { a n } 是“ H 数列”．（ 1）若数列 { n }nnN )na 的前 n 项和 S 2 (n ，证明： { a } 是“ H 数列”；（ 2）设 a} 是等差数列，其首项 a1，公差 d．若 { a }是“ H 数列”，求 d 的值；{ n1n（ 3）证明：对随意的等差数列{ a n}nn，使得 a nnnN)成立．解：（ 1）当 n ≥ 2 时，，总存在两个“ H 数列” { b } 和 { c }bc (na nnn 12n2 n 12n 1 ，当n 1 时，11，S Sa S 2∴n 1 时，11na n 1，∴n} 是“ H 数列”．S a ，当 n ≥ 2 时， S{ a（ 2） n1n(n 1) d nn(n 1) dn N ， m N nmn n(n1)d 1 (m 1)dS na，对，22使 Sa ，即21取 n 2 得 1 d( m 1)d ， m 2 ，∵ d 0 ，∴ m 2 ，又 m N ，∴ m 1，∴ d1．d（ 3）设 ad ，令 b a (n 1)a (2 n) a ，对 n N， b b a c (n 1)(a d)，{ n} 的公差为 n111n 1n1， n1对 n N ， c c a d ，则 b c na 1(n 1)d a ，且 { b } ，{c } 为等差数列．n 1n1nnnnn的前 n 项和 T nna 1 n( n 1) ( a 1 ) ，令n1，则 mn(n 3)2 ．{ b }2T (2m)a2当 n 1时 m1；当 n 2 时 m 1；当 n ≥ 3 时，因为 n 与 n 3 奇偶性不一样， 即 n(n 3) 非负偶数， m N ．所以对n ，都可找到 m N T b {b } 为“ H 数列”．，使 n m 成立，即 n{c n } 的前ｎ项和 R nn(n1)(a 1d ) ，令 c n(m 1)(a 1 d ) R m ，则 m n(n 1) 1n22∵对N ， n(n 1) 是非负偶数，∴ mN，即对n N，都可找到 mN，使得Rcnm成立，即 {c n } 为“ H 数列”，所以命题得证．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有 A 、 B 、 C 、 D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第 22、 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前， 请您务势必自己的姓名、 准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点． 3． 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答 ，若多做，则按作答．．．．．． ．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 21-A ）【 2014 年江苏， 21-A ， 10 分】（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径， C 、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB =∠ D ．解：因为 ， 是圆 O 上的两点，所以 = ．故∠ =∠ ．又因为 ,是圆 O 上位于 AB 异侧B COB OCOCBBC D的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠ D ．所以∠ OCB =∠ D ．（ 21-B ）【 2014 年江苏， 21-B ，10 分】（选修 4-2 ：矩阵与变换） 已知矩阵 A1 2112 1， B2，向量，x1yx ，y 为实数，若 A α= B α，求 x ，y 的值．解： A 2 y 2 ， B α 2 y ，由 A α= B α得2 y 2 2，1，y 4 ．y解得 x2 xy 4 y2 xy 4 y ， 2（ 21-C ）【 2014 年江苏， 21-C ， 10 分】（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 lx1 2t ， 的参数方程为2 ( t 为参数 ) ，直线 l 与抛物线 y 2 4x 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长． y22 t2解：直线 l ：x y 3 代入抛物线方程 y 2 4x 并整理得 x 2 10x 9 0，∴交点 A(1，2) ，B(9， 6)，故| AB | 8 2 ．（ 21-D ）【 2014 年江苏，21-D ，10 分】（选修 4-5 ：不等式选讲）已知 x 0 ，y 0 ，证明： 1 x y 21 x2 y 9 xy ．解：因为 x >0, y >0, 所以 1+x +y 2≥ 3 3 xy 2 0 ，1+x 2+y ≥ 33 x 2 y0 ，所以 (1+ x +y 2)( 1+x 2+y ) ≥ 3 3 xy 2 33 x 2 y =9xy ． 【必做】第 22、 23 题，每题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题 卡的指定地区内 ． ．．．． ．．．．．．． （ 22）【 2014 年江苏， 22，10 分】盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 ；P（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，随机变量 X 表示 x 1 ，x 2 ，x 3中的最大数，求 X 的概率散布和数学希望 E ( X ) ．解：（ 1）一次取 2 个球共有 C 92 36 种可能状况， 2 个球颜色同样共有 C 42C 32 C 22 10种可能状况，∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P10536 18 ．43131（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，则 P( X4)C 4 1；P(X 3)C 4 C 5C 3C 613 ；43C 9126C 963P( X 2) 1 P( X3) P( X4)11 ．∴ X 的概率散布列为： X142 3 4P11 13114 63126故X 的数学希望E(X )2 113 134 1 20 ．14631269（ 23）【 2014 年江苏， 23， 10 分】已知函数 f 0 ( x)sin x (x 0) ，设 f n (x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（ 1）求2 f 1 2 2 f 2 2的值；（ 2）证明：对随意的 n N ，等式 nf n14f n 4 2成立．42解：（ 1）由已知，得 f (x)f (x) sin xcos x sin x ，1x x x 2于是 f 2 ( x)f 1 (x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x，所以 f 1 () 4) 216 xx 2xx 2x 32 2 , f 2 (3 ，2故 2 f 1 ( ) f 2 ( ) 1 ．2 2 2 x 求导，得（ 2）由已知，得 xf (x) sin x, 等式两边分别对 f 0(x) xf ( x) cosx ，即 f 0( x) xf ( x) cos x sin( x 2 ) ，近似可得 2 f 1(x) xf (x) sin x sin(x ) ，123 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos x sin( x3 ) ，4 f 3 ( x) xf 4 (x) sinx sin(x 2 ) ．2下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( xn ) 对全部的 n N * 都成立． （ i ）当 n =1 时，由上可知等式成立．2（ ii ）假定当 n =k 时等式成立 ,即 kf k 1 ( x) xf k (x) sin( x k ) ．2因为 [kf k 1 ( x) xf k (x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x)(k 1) f k ( x) f k 1 ( x),[sin( xk )]cos( x k ) ( xk ) sin[ x ( k 1) ]，所以22( k 1) 22( k 1) f k( x) f k 1( x) sin[ x ] ．2所以当 n=k +1时, 等式也成立．综合 (i),(ii)可知等式 nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( x n ) 对全部的 n N * 都成立．2n *2*令 x 4 ，可得 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 ) sin( 42 ) ( n N ) ．所以 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 )2 ( n N ) ．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)语文语文Ⅰ一、语言文字运用(15分)1.在下面一段话空缺处依次填入词语,最恰当的一组是(3分) ( )最使我艳羡的还是园林艺术家化平淡为神奇的。

某些树木当植当伐;某些花卉当疏当密;何处须巧借地形,顺势筑坡;何处又宜少见轩敞, :所有这一切都煞费心血,但又不露惨淡经营的痕迹,正像一帧名作脱稿前画师那奇绝而的点睛之笔。

A.用心别树一帜浑成B.匠心别树一帜饱满C.匠心别有洞天浑成D.用心别有洞天饱满2.下列诗句与“墙头雨细垂纤草”对仗工整的一项是(3分) ( )A.水面风回聚落花B.数峰无语立斜阳C.楼上春容带雨来D.蝉曳残声过别枝3.下列交际用语使用不得体的一项是(3分) ( )A.涂鸦之作,不足当先生一哂,如蒙赐正,小子不胜感激!B.欣闻敝校百年校庆,本人忝为校友,因事不能躬临为歉!C.吉日良辰,花好月圆,恭祝一对璧人并蒂同心、白首偕老!D.家母古稀之庆,承蒙各位亲友光临,略备薄酒,敬答厚意!4.在下面一段文字横线处填入语句,衔接最恰当的一项是(3分) ( )遥远的箕山,渐渐化成了一幢巨影,遮断了我的视线。

我在那个遗址上发掘了很久,但一无所获。

①如果是冬日晴空,从那里可以一直眺望到中岳嵩山齿形的轮廓。

②箕顶宽敞平坦,烟树素淡,悄寂无声。

③而遗址都在下面的河边,那低伏的王城岗上。

④山势平缓,从山脚慢慢上坡,一阵工夫就可以到达箕顶。

⑤如此空旷,让人略感凄凉。

A.①②④⑤③B.①④⑤③②C.④①③②⑤D.④②⑤①③5.阅读右边这幅漫画,对它的寓意理解最贴切的一项是(3分) ( )A.人如果不用眼睛看,而只用耳朵听,肯定会受骗上当。

B.人生一般总是在两种互相矛盾的真理之间寻找中庸。

C.我们很少想到我们有什么,可是总想到我们缺什么。

D.我们不仅希望我们自己幸福,而且也希望他人幸福。

二、文言文阅读(18分)阅读下面的文言文,完成6~9题。

答严厚舆秀才论为师道书柳宗元严生足下:得生书,言为师之说,怪仆所作《师友箴》与《答韦中立书》,欲变仆不为师之志,而屈己为弟子。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值X 围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第12题）PDCA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，求x+y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x>0，y>0，证明： 22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)xf x x x=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．。

2014年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I _______． 【答案】{13}-，【分析】由题意得{1,3}A B =-I ．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【分析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【分析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =和sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【分析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【分析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，测试时间为120分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【分析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【答案】255【分析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-=． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【分析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线和直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【分析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是________． 【答案】22【分析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u u r u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【分析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象和直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =和函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．62-【分析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c =，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=，当且仅当2232a b =，即23a b =所以cos C 62- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π，，，∴225cos 1sin αα=--=， ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并和BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 和直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠， 从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AFcos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 和BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -和e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a aa a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-， 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+．当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 和3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ． 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵和变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2122x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 和抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．测试时间30分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：X 2 3 4P11141363 1126 故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()12444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．（i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以12()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱侧c l ，其中 c 是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式：V圆柱Sh, 其中S 是圆柱的底面积, h为高.一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．开始上．．n 01. 已知集合A={ 2, 1, 3,4 }，B { 1, 2,3} ，则A B .2. 已知复数z (52i)2 (i为虚数单位) ,则z的实部为.n n 13. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为6 的概率是.n2 20YN5. 已知函数y cosx与y sin( 2x ) (0≤),它们的图象有一个横坐标为输出n的交3 点,则的值是.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130] 上,其频率分布直方图如图所示,则在抽结束（第3题）测的60 株树木中, 有株树木的底部周长小于频率100cm.组距7. 在各项均为正数的等比数列{ a n} 0.0300.025中,a2 1,a8 a6 2a4 ,则a6 的值是. 0.0200.0158.设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1 ，S2 ，体积分别为0.010V V，，若它们的侧面积相等，且 21值是. S1S294V1，则V2的80 90 110 120 130100（第6题）底部周长/cm9. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线x 2 y 3 0 被圆(x2)2 (y1)2 4 截得的弦长为.10. 已知函数 f (x) x2 mx 1,若对于任意x [ m,m 1],都有 f (x) 0 成立,则实数m 的取值范围是.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ax 2 (a，b为常数)过点P(2, 5) ，且该曲线在bx点P处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则a b 的值是.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB 8 ，AD 5 ，PD CCP 3PD ，AP BP 2 ，则A B AD 的值是.A B（第12题）2x113. 已知 f (x) 是定义在 R 上且周期为3 的函数 ,当 x [ 0,3)时,|f ( x) | x2.若函数 2y f (x) a 在区间[ 3,4] 上有 10 个零点 (互不相同 ),则实数 a 的取值范围是.14. 若△ ABC 的内角满足 sin A2 sin B 2 sin C ,则c os C 的最小值是.二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内 作 答 ， 解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.( 本小题满分 14 分)已知, ) ( , 25 sin . 55(1) 求)sin(的值；(2)求 cos(2 ) 的值.4616.( 本小题满分 14 分)如图，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱 PC, AC, A B 的中点 .已知 PAAC , PA 6, BC 8, DF 5.求证: (1) 直线P A // 平面 DEF ；(2) 平面 BDE 平面 ABC .PDA CEFB（第 16题）17. (本小题满分 14 分)如图, 在 平 面 直 角 坐标系 x O y 中 , F 1, F 2 分别是椭圆x a2 23 2 yb1( a b 0) 的 左 、 右 焦 点 ，顶点 B 的 坐标为 y BC(0,b)，连结BF 2 并延长交椭圆于点A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C .4 1(1) 若点C的坐标为)( , ,且BF 2 2 ,求椭圆的方程；3 3 F1 O F2 x(2) 若F1C AB, 求椭圆离心率 e 的值.A( 第17题)18. (本小题满分16 分)如图,为了保护河上古桥O A,规划建一座新桥B C,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥B C与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A 位于点O 正北方向60m处,点C 位于点O 正东方向170m处(OC为河岸),(1)求新桥B C的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？4tan BCO .3北BA17060 东MO C（第18题）19.( 本小题满分16 分)已知函数x xf (x) e e ,其中e 是自然对数的底数.(1)证明: f (x) 是R上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式mf ( x) ≤e x m 1在( 0, ) 上恒成立，求实数m 的取值范围；3a 1与a e 1 (3)已知正数a满足：存在x [1, ) ，使得( ) ( 3 0 )f x 成立.试比较e00 a x x的大小，并证明你的结论.20.( 本小题满分16 分)设数列{a n} 的前n项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n a m ，则称{ a n } 是“H 数列”.(1) 若数列{ a n } 的前n项和nS 2 ( n N),证明: {a n } 是“H 数列”;n(2)设{a n} 是等差数列,其首项a1 1,公差d 0 .若{ a n} 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H 数列”{b n} 和{c n } ，使得a n b n c nn( n N)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10 分）如图，AB是圆O的直径，C，D 是圆O上位于AB异侧的两点．证明：OCB= D．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）1 2 1 1A ,B，向量1 x2 -1已知矩阵a2y，x，y为实数．若Aa =Ba，求x+y 的值．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t22y 2 t2（t为参数），直线l与2 4抛物线y x 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10 分）已知x>0，y>0，证明： 2 2(1 x y )(1 x y) 9xy．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）盒中共有9 个球，其中有 4 个红球、 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．(l) 从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；(2) 从盒中一次随机取出 4 个球其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3 ，随机变量X 表示x1,x2,x3 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．23．（本小题满分10 分）sin x已知函数0f (x) (x 0)x ，设f n (x)为f n 1(x) 的导数，n N ．(1)求 2 f1 f2 的值；2 2 2(2)证明：对任意的n N ，等式2nf f 都成立．n 1 n4 4 4 22014 年江苏高考数学试题参考答案数学Ⅰ试题一、填空题 1、 { 1，3} 2 、 21 3 、5 4 、 135、6、24 7 、4 8 、 6 3 2 9、 2 555 10、2 ，0 11、 312、2213、 0，114、 6 2224二、解答题15. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式， 考查运算求解能力.满分 14 分. （ 1）∵sin5， ，， 25∴22 5 cos 1 sin5210 sinsin coscos sin(cos sin )44 4 210； （ 2）∵4322sin 2 2sin cos ，cos2 cos sin 5 5∴ cos 2coscos2 sin sin 2 3 3 1 43 34 6 6 62 5 25 10．16. 本小题主要考查直线与直线、 直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分 . （ 1）∵ D ，E 为P C ，AC 中点 ∴DE ∥PA∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF∴PA ∥平面 DEF （ 2）∵ D ，E 为P C ，AC 中点∴1 3 DEPA 2 ∵ E ，F 为A C ，AB 中点∴14 EF BC 2∴ 2 2 2DEEF DF ∴DEF 90°，∴ DE ⊥ EF∵ DE //PA ，PA AC ，∴ DE AC∵ ACEFE∴D E ⊥平面 ABC∵DE 平面 BDE ， ∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．17. 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力 .满分 14 分.16 1（1）∵4 1C ， ， ∴ 3 3 9 9 9ab22∵ BF 2 b 2c2a 2 ，∴2a2( 2)22 ，∴xy2b21 ∴椭圆方程为212（2）设焦点 F 1( c ，0)，F 2(c ，0) ，C (x ，y)∵ A ，C 关于 x 轴对称， ∴ A(x ， y)∵B，F ，A 三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y bFC AB ，∴ 11x c c，即x c by c2 0 ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b2 c2∴C2 2a c 2bc，2 2 2 2b c b c∵C 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21 ，化简得5c a ，∴ 5c2 2a 5 ,故离心率为5518. 本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16 分.解法一：(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线B C的斜率k B C=－tan∠BCO=－4 3 .又因为A B⊥B C，所以直线A B的斜率k AB= 3 4 .设点 B 的坐标为(a,b)，则k BC=ba0 4170 3,k AB= ba60 30 4,解得a=80，b=120. 所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 . 因此新桥B C的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60).4由条件知，直线B C的方程为y(x 170) ，即4x 3y 680 03由于圆M与直线B C相切，故点M (0，d)到直线B C的距离是r，即|3d 680 | 680 3dr .5 5因为O和A 到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r d 80≥即r (60 d) 80≥680 3d5680 3d5d 80≥(60 d)80≥解得10≤ d ≤35 680 3d故当d=10时,r 最大，即圆面积最大.5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.解法二: (1)如图，延长O A, CB交于点F.因为t an∠BCO= 43.所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为O A=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO= 680 3.C F=OC850cos FCO 3,从而500AF OF OA .3因为O A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO== 45，又因为A B⊥B C，所以BF=AF c os∠AFB== 因此新桥B C的长是150 m. 4003，从而BC=CF－BF=150.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则M D⊥BC，且MD 是圆M的半径，并设M D =r m，OM =d m(0≤d≤60).因为O A⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO= MD MD r 3,680 5MF OF OM d3所以680 3dr .5因为O和A 到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r d 80≥即r (60 d) 80≥680 3d5680 3d5d 80≥(60 d)80≥解得10≤ d ≤35 680 3d故当d=10时,r 最大，即圆面积最大.5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.19. 本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16 分.（1）x R，f ( x) e e f ( x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数x x（2）由题意，(e e ) e 1 x x xm ≤m ，即m(e e 1)≤ e 1x x x∵x (0 ，)，∴ e e 1 0x x，即e 1xm≤对x(0 ，) 恒成立e e 1x x1 t令t e x (t 1) ，则≤对任意t (1，) 恒成立mt t 12∵ 1 t t 1 1 1≥，当且仅当t 2时等号成立t t 1 (t1) (t 1) 1 t 1 1 1 32 2t 1∴ 1m ≤3（3）'( ) e x e xf x ，当x 1时f '( x) 0 ，∴ f (x) 在(1，) 上单调增令h( x) a( x 3x) ，h'(x) 3ax( x 1)3∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，)上单调减∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a30 0 0e 2 e∵e-1 ae 1 a 1ln ln a ln e (e 1)ln a a 1ea 1设m(a )(e 1)ln a a 1，则'( ) e 1 1 e 1 1 e 1am a ，aa a 2 e 当1 e 1 e 1a时，m '(a) 0 ，m(a )单调增；2 e当a e 1时，m '(a) 0 ，m(a)单调减因此m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0∴当a e时，m(a) 0 ， e 1 e 1aa ；当1 e 1 ea时，m(a) 0 ，2 ee 1 e a 1a ；当a e时，m(a) 0 ， e 1 e 1aa ．20. 本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16 分.（1）当n≥2时，a S S 1 2 2 2 当n 1时，a1 S1 2n n 1 n 1n n n∴n 1时，S a ，当n ≥2时，1 1 S a ∴{ a } 是“H 数列”n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n dn 12 2对n N，m N使S a ，即n(n 1) 1 ( 1)n d m dn m2取n 2 得1 d (m 1)d ，m 2 1d∵ d 0 ，∴m 2 ，又m N，∴m 1，∴ d 1（3）设{ a } 的公差为d令n b a1 (n 1)a1 (2 n)a1 ，对n N，nb b an 1 n 1c (n1)(a d) ，对n N，n 1 c c a dn 1 n 1则b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c }为等差数列n n n n nn(n 1) { b } 的前n项和T na ( a ) ，令n n 1 12 T (2 m)a ，则mn 1n(n 3)22当n 1时m1；当n 2时m1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3)非负偶数，m N 因此对n，都可找到m N，使T b 成立，即{ b }为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c m ad R ，则n(n 1) 1( 1)( ) mn 1 m2∵对n N，n(n 1)是非负偶数，∴m N即对n N，都可找到m N，使得R c 成立，即{c }为“H 数列”n m n 因此命题得证.数学Ⅱ( 附加题)参考答案21. 【选做题】A.【选修4-1:几何证明选讲】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10 分.证明：∵B,C是圆O上的两点，∴OB=OC.故∠OCB=∠B.又∵C, D 是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，∴∠B=∠D.∴∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10 分.2y 2 A，2 xy2 yBα，由Aα=Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y22 xy 4 y，C.【选修4-4:坐标系与参数方程】满分10 分.本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 直线l：x y 3 代入抛物线方程y2 4x并整理得 2 10 9 0x x∴交点A(1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB | 8 2D.【选修4-5:不等式选讲】本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10 分.证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥2≥232+y≥3 xy 0 ，1+x233 x y 0 ，2)( 1+x2+y)≥所以(1+x+y2 23 33 xy 3 x y =9xy.22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10 分.（1）一次取 2 个球有C2 36种可能情况， 2 个球颜色相同共有9 C2 C2 C2 10 种可能情况4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P36 18（2）X 的所有可能取值为4 ，3，2 ，则P( X 4) C 14C 1C 12649 P( X 3) C C C C 134 5 3 6C 6339P( X 2) 1 P( X3) P(X 4) 1114∴X 的概率分布列为X 2 3 4P 111413631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X19 14 63 126 923.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10 分.sin x cos x sin x(1)解：由已知，得 1 0 2f (x) f (x) ,x x x于是cos x sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f ( x) ,2 1 2 2 3x x x x x所以4 2 16f ( ) , f ( ) , 故2 f1( ) f2 ( ) 1.1 2 2 32 2 2 2 2(2)证明：由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得f0 ( x) xf0 ( x) cosx ，即f0 (x) xf1 (x) cos x sin( x ) ，类似可得2 2 f ( x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 23 3 f (x) xf (x) cos x sin( x) ，2 32 4 f ( x) xf (x) sin x sin(x 2 ) .3 4下面用数学归纳法证明等式nnf 1 (x) xf ( x) sin( x)对所有的nn n2*N都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即k kf 1 (x) xf (x) sin(x ) .k k2因为k f x xf x kf x f x xf x k f x f x [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ), k 1 k k 1 k k k k 1(k 1) kk k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x] ，2 2 2 2所以(k 1) f (x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] . 所以当n=k+1时,等式也成立.2综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 (x) xf ( x) sin(x )对所有的nn n2*N都成立.令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) (nn n4 4 4 4 2N).*所以 2 nf f ( n( ) ( )n 1 n4 4 4 2 N).*。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象 有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)25cos(απ-的值.（第3题）100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第12题）如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河 岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论. （第16题）P D CE F B A设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案。

2014普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）语文试题佚名
【期刊名称】《读写月报：高中版》
【年(卷),期】2014(000)009
【总页数】8页(P49-54,47-48)
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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5.2014年高考新课标卷语文试题评析
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2014年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学答案解析1、【答案】【解析】由题意得．【考点】集合的运算2、【答案】21【解析】由题意，其实部为21．【考点】复数的概念．3、【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的【考点】程序框图．4、【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．【考点】古典概型．5、【答案】【解析】由题意，即，，，因为，所以．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6、【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．【考点】频率分布直方图．7、【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．【考点】等比数列的通项公式．8、【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．9、【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．【考点】直线与圆相交的弦长问题．10、【答案】【解析】据题意解得．【考点】二次函数的性质．11、【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．12、【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．【考点】向量的线性运算与数量积．13、【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．14、【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．15、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.试题解析：（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．16、【答案】证明见解析．【解析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．【考点】线面平行与面面垂直．17、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，，又，∴，解得．∴椭圆方程为．（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，，又，由得，即，∴，化简得．【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．18、【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标炎，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.19、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．【解析】试题分析：试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．20、【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）首先，当时，，所以，所以对任意的，是数列中的项，因此数列是“数列”．（2）由题意，，数列是“数列”，则存在，使，，由于，又，则对一切正整数都成立，所以．（3）首先，若（是常数），则数列前项和为是数列中的第项，因此是“数列”，对任意的等差数列，（是公差），设，，则，而数列，都是“数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．21、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：这两个角直接证明相等不太可能，我们可以通过第三个角过渡，即证明他们都与第三个角相等，在本题中一个等腰三角形说明，另一方面与是同弧所对的圆周角，相等，故结论得证．试题解析：由题意，，又∵，∴，∴. 【考点】圆周角问题.22、【答案】【解析】试题分析：利用矩阵运算和矩阵相等列出关于的方程组，解出即可．试题解析：由题意得，解得.∴.【考点】矩阵的运算.23、【答案】【解析】试题分析：可以把直线参数方程化为普通方程，与抛物线方程联立解得的坐标，可求线段的长，也可直接把直线的参数方程代入抛物线方程，解关于的方程，利用此直线参数方程中的几何意义，可得．试题解析：直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.【考点】直线的参数方程.24、【答案】证明见解析.【解析】试题分析：直接利用算术－几何平均不等式可得，，两式相乘即得要证不等式．试题解析：∵，∴,,∴.【考点】算术平均值－几何平均不等式．25、【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为，概率为；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此的可能值为，，说明抽出的4个球都是红球，，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求时，可用来求．试题解析：（1）由题意；（2）随机变量的取值可能为，，，，所以的分布列为.【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.26、【答案】(1)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本题首先考查复合函数的求导，如；（2）要找到式子的规律，当然主要是找式子的规律，为了达到此目标，我们让看看有什么特点，由（1），对这个式子两边求导可得，再求导，由引可归纳出，从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论.试题解析：（1）由已知，，所以，，故.（2）由（1）得，两边求导可得，类似可得，下面我们用数学归纳法证明对一切都成立，（1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.【考点】复合函数的导数，数学归纳法。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)．本卷满分为160分．考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符． 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：圆柱的侧面积公式：S 圆柱侧＝cl ，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长． 圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{－2，－1,3,4}，B ＝{－1,2,3}，则A ∩B ＝________.2．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．5．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，＝的值是________．13．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．14．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证： (1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．20．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．23．(本小题满分10分)已知函数f 0(x )＝sin xx (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式nf n －1π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立．答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．解析：利用交集的概念求解．A ∩B ＝{－1,3}． 答案：{－1,3}2．解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：213解析：该流程图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5. 答案：54．解析：从1,2,3,6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3，共2种，故所求概率是26＝13.答案：135．解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫π3，12，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ<π，解得φ＝π6.答案：π66．解析：由频率分布直方图可得树木底部周长小于100 cm 的频率是(0.025＋0.015)×10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60＝24.答案：247．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：48．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：329．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：255510．解析：由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 11．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－3 12．答案：2213．解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0<a <12时满足题意．答案：⎝⎛⎫0，12 14．解析：由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，又cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a ＝2b 时取等号，所以cos C 的最小值是6－24. 答案：6－24二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55 ＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.16．解析：(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .17．解析：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1. 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55. 18．解析：解法一：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34.解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝(170－80)2＋(0－120)2＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－(60－d )≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二：(1)如图，延长OA ，CB 交于点F .因为tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170， 所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803，CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503.从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35，所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－(60－d )≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 19．解析：(1)因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e－(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数g (x )＝e x ＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x －1ex >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0.所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0. 故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e －12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x .令h ′(x )＝0，得x ＝e －1，当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数； 当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0. 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． ①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.20．解析：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n (3－n )2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n (3－n )2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d的值为－1.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n (n ＋1)2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n (n ＋1)2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.解析：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC . 故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D . 因此∠OCB ＝∠D .B ．解析：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.C ．解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. D ．解析：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解析：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望 E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.23．解析：由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin xx 2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x3，所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(2)由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，类似可得 2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (ⅰ)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋(k ＋1)π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋(k ＋1)π2.因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝ sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)． 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝22(n ∈N *)．。