第七讲 工程问题

第课时工程问题1.通过创设情景,经历分析分数工程问题数量关系的过程,学会分析问题,会找数量关系。

2.理解工程问题的特点,掌握解题方法,并能正确解答。

3.感受假设法,体会数学知识的逻辑之美,激发学习数学的兴趣。

【重点】理解工程问题的特点,并能正确解决简单的工程问题。

【难点】工作总量用单位“1”表示及工作效率所表示的含义。

【教师准备】PPT、实物展台1.加工一批零件,5天完成,每天完成这批零件的几分之几?(课件出示)师:说一说题中是哪三种量之间的关系,已知什么?求什么?数量关系是什么?预设生1:工作总量、工作时间、工作效率。

生2:工作总量是“1”,工作时间是5天,求工作效率。

生3:工作总量“1”÷工作时间=工作效率。

2.加工一批零件,每天加工这批零件的1,几天可以完成?4师:说一说这一题的数量关系。

预设生:工作总量÷工作效率=工作时间。

师:上面的题中都含有“工作总量、工作效率、工作时间”这三个量,我们把这一类型题目统称为“工程问题”,这节课,我们一起来学习分数工程问题。

(板书课题) 由简单的工程问题,引出其中的数量关系式,为例题的展开打下基础。

并且很自然地把学生的学习注意力引导到对工程问题的理解上。

师:为了让灾区损坏的道路能早一些修好,工程队接到了一项任务。

(课件出示例题情景图)师:从两位叔叔的对话中,你知道了什么?预设生1:一队单独修,12天修完。

生2:二队单独修,18天修完。

师:你能解决什么问题?。

预设生1:一队平均每天修多少?1÷12=112生2:二队平均每天修多少?1÷18=1。

18师:这是我们以前学习过的简单的工程问题。

今天我们可不能再解决这么简单的问题了。

看看我们今天会解决什么问题?(板书课题)由情景图导入,先开放性地提问,让学生回顾已学知识,再用挑逗性的语言激发学生的挑战欲望,推动学生主动地学习新知识。

课件出示教学例7,工程问题如果两队合修,多少天能修完?1.阅读与理解。

类型七工程问题【知识讲解】：1. 与工作效率、工作时间、工作总量有关的问题被称为工程问题；通常把工作总量看作单位“1”，工作效率用单位时间内完成工作总量的“几分之一”表示。

2. 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

3. 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作效率×工作时间=工作总量，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。

【典型例题】：【例1】一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成，现在两队合作，需要几天完成？【分析】题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。

由于甲队独做需12天完成，那么每天完成这项工程的；乙队单独做需18天完成，每天完成这项工程的；两队合做，每天可以完成这项工程的（＋）。

【解答】1÷（＋）＝（天）答：两队合做需要天完成。

【例题2】：一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？【分析】设总工作量为1，则甲每小时完成，乙每小时完成，甲比乙每小时多完成（－），二人合做时每小时完成（＋）。

因为二人合做需要［1÷（＋）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（＋）］＝7（个）（2）这批零件共有多少个？7÷（-）＝168（个）答：这批零件共有168个。

【小结】：解决此类问题首先要根据题意求出每小时甲比乙多做多少零件，再找出等量关系就可以解决了。

第七讲工程成绩之杨若古兰创作一、常识要点在日常生活中，做某一件事，建造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效力、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效力×工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的利用题，我们都叫做“工程成绩”.举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个全体，是以可以把工作量算作1.所谓工作效力，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，是以甲的工作效力是，乙的工作效力是，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效力，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效力=6（天）.两人合作须要6天.这是工程成绩中最基本的成绩，这一讲介绍的很多例子都是从这一成绩发展发生的.30÷（3+ 2）= 6（天）实际上我们把这个算式，先用30乘了一下，都酿成整数计算，就方便些.10天与15天，体现了甲、乙两人工作效力之间比例关系，两人合作时，甲应完成全部工作的，所需时间是（天）.是以，在上面例题的讲述中，我们可以采取“把工作量设为全体1”的做法，也能够“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，如许会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.此刻甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙须要做几天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）例2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成.这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，此刻甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还须要多少天？解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法：令甲每天唱工程的百分比为x，乙每天唱工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，须要1/2÷1/112=56天例4. 一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的，甲乙单独做这项工程各须要多少天？甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；由于甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一路，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.此刻他们两队一路做，其间甲队歇息了3天，乙队歇息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队歇息了多少天？例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成起码须要多少天？解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲.乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以致少要工作：8+4=12（天）解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲当前再和小张一路做乙至多须要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7. 甲、乙合做一件工作要15天才干完成，此刻甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？解析：甲乙合作10天，完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做须要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成.此刻开始两队合作，但两头乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10.合做分想：这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的.可以用工作总量减去甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）.所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6.已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以须要20天例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11..一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？解析1：当做鸡兔同笼成绩处理，如果10天都是乙做，能完成：1/9×10=10/9，超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：设甲做了X天X×1/12＋(10-X)×1/9＝1，得出X＝4甲做了4天例12. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终究做完了这件工作.问总共用了多少天？解析：设甲做了x天，则乙做了3x天，丙做了6x天，所以x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1x=2，所以总共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字须要的时间分别是20小时、24小时、30小时，此刻三人合打，但甲因半途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？解析1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小时，则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以（1/20)=2甲打了2小时解析2：方程法：设甲打x小时.则：x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出X=2例14. 一项工程甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天.此刻由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲歇息了2天，乙歇息了3天，丙没有歇息，最初把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？解析1：方程法设是第x天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1清算，得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没歇息，那么应当完成总工程的1+2/30 +3/45例15. 一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天才完成全部任务.已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析1：思路同第四题，设乙每天完成的工作占全部工作的x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲40/3天完成，乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（4＋6）＝1/8（4＋6暗示甲一共做了10天）1-1/8＝7/8（相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4＋4＋6＝14（天）乙每天完成：7/8÷14＝1/16，甲每天完成：1/16＋1/80＝3/40，单独完成甲要：1÷3/40＝13又1/3（天）例16. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做须要多少天完成？解析：甲乙合作的效力=1÷36=1/36，乙丙合作的效力=1÷45=1/45，甲丙合作的效力=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的效力=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效力=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？解：天2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天.甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队从头回来与乙队一路干了10天，将工程做完.求乙队在两头单独工作的天数.3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天竣工.此刻合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完.这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成.甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天，甲的工作效5. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成.如果开工时甲、乙两队合做，半途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务.问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变成“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”如许一来，成绩就简单多了.答：甲队干了12天.6. 建造一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一路做只需6天就能完成.乙车间与丙车间一路做，须要8天才干完成.此刻三个车间一路做，完成后发现甲车间比乙车间多建造零件2400个.问丙车间建造了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成是以这批零件的总数是丙车间建造的零件数目是答：丙车间建造了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设建造零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一路每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一路，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效力之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效力之比是3∶2= 12∶8.综合一路，甲、乙、丙三人工作效力之比是12∶8∶7.当三个车间一路做时，丙建造的零件个数是2400÷（12- 8）× 7= 4200（个）.7.搬运一个仓库的货物，甲须要10小时，乙须要12小时，丙须要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮忙甲搬运，半途又转向帮忙乙搬运.最初两个仓库货物同时搬完.问丙帮忙甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.此刻相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮忙甲搬运3小时，帮忙乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也能够整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，须要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮忙搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.乙需丙帮忙搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.8.一件工作，甲独做12天完成，乙独做18天完成，丙独做24天完成.这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终究做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答.设甲先做了X天，则乙接着做了3 X天，丙做了（2×3）X天，由题意可得：X×1/12＋3X×1/18＋（2×3）X×1/24＝1解得：X＝2所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.解法二：把甲的工效（一天的工作量）、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有如许的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：1÷（1/12＋3×1/18＋2×3×1/24）＝2（天）所以这件工作做完共用时间：2×（1＋3＋2×3）＝20（天）.。

第1篇教学目标：1. 理解工程问题的概念和特点。

2. 掌握解决工程问题的基本方法。

3. 能够运用工程问题的解决方法解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

教学重点：1. 工程问题的概念和特点。

2. 解决工程问题的基本方法。

教学难点：1. 工程问题中的逻辑推理。

2. 复杂工程问题的解决。

教学准备：1. 教师准备：PPT、工程问题实例、练习题。

2. 学生准备：笔记本、笔。

教学过程：一、导入1. 教师通过提问：“同学们，你们在生活中有没有遇到过需要合作完成某项任务的情况？”引导学生思考。

2. 学生回答后，教师总结：“在生活中，我们需要与他人合作，共同完成任务。

这种合作完成任务的过程，就叫做工程问题。

”二、新课讲授1. 工程问题的概念和特点- 教师讲解工程问题的定义：指在限定的时间内，通过团队合作完成某项任务的问题。

- 教师举例说明工程问题的特点：共同目标、限定时间、团队合作、相互依赖。

2. 解决工程问题的基本方法- 教师讲解解决工程问题的基本步骤：a. 确定任务目标；b. 分析任务内容；c. 制定解决方案；d. 实施方案；e. 评估结果。

- 教师举例说明如何运用这些步骤解决工程问题。

三、案例分析1. 教师展示一个工程问题实例，如：修建一座桥梁。

2. 学生分组讨论，分析问题，提出解决方案。

3. 学生代表分享小组讨论成果，教师点评并总结。

四、课堂练习1. 教师发放练习题，学生独立完成。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

3. 学生展示答案，教师点评。

五、总结1. 教师总结本节课所学内容，强调工程问题的概念、特点及解决方法。

2. 学生分享学习心得，提出疑问。

教学反思：本节课通过讲解工程问题的概念、特点及解决方法，使学生掌握了解决工程问题的基本步骤。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2. 结合实际案例，让学生了解工程问题的应用。

3. 鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

七年级数学工程问题知识点归纳在七年级数学学习中，工程问题是一个非常重要的知识点，它涉及实际生活中的计算问题，需要学生掌握一定的计算方法和思维方式。

本文将针对七年级数学工程问题进行归纳整理，旨在帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。

一、工程问题的基本概念1. 工程问题的定义：工程问题是指实际生活中与建筑、制造、设计等相关的数学问题。

2. 工程问题的解决方法：工程问题的解决方法包括数学模型的建立、方程式的推导和解题思维的转化。

二、工程问题的常用计算方法1. 倍数关系法：倍数关系法指利用两个数之间的倍数关系来计算其数值的变化。

例如：两个数的比为3:7，其中一个数增加了30，求它们之间的新比值。

2. 公式法：公式法指利用已知的公式来计算相关问题。

例如：求平行四边形面积公式为S=a×h，其中a为底边长度，h为高，根据公式即可解决相关问题。

3. 图形法：图形法指根据问题所描述的图形进行计算。

例如：一块矩形的长和宽分别为2/3m和1/4m，求它的面积和周长，可以根据矩形的面积和周长公式进行计算。

4. 分数法：分数法指利用分数的性质和变化来计算相关问题。

例如：甲乙两地相距320公里，若已走了215/16个小时，求两地之间的平均速度。

三、工程问题的解题思路1. 理解问题：工程问题的解题需要先仔细理解问题，弄清楚问题所涉及的数学知识点和计算方法。

2. 建立模型：根据问题的特点和所学知识点，建立相应的数学模型。

3. 推导方程：根据数学模型，推导出相应的方程式。

4. 解决问题：根据已有的方程式，利用相应的计算方法求出问题的解，并进行验证。

四、工程问题的典型例题1. 一条直角三角形的斜边长为5，其中一直角边长为3，求另一直角边长。

解题思路：利用勾股定理建立数学模型，推导出a²+b²=25的方程式，解出b=4。

2. 一车油量为80L，耗油率为12L/km，求可行驶的最长里程。

解题思路：利用公式法，建立油耗公式，推导出可行驶里程的计算公式为M=80/12=6.67km。