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第六章点的运动学

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(完整版)点的运动学

(完整版)点的运动学

dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O

点的运动学

点的运动学

aτ = − g sin α a n = a 2 − aτ2 = g cos α
由
an =
v2
ρ
得
2 2 v0 v0 = a n g cos α
ρ=
例 2： （7-10）
已知： 等速前进，M 点起始位置为坐标原点。 求： 1）M 的运动方程。
2） ϕ = π 2 时，M 点的速度。
dv x =0 dt dv y = −g ay = dt ax =
2 2 ∴ a = ax + ay =g
t=0 时，炮弹的速度和全加速度大小分别为
v = v0 a=g
若将加速度在切线和法线方向分解则有
2 a = aτ2 + a n
而
t=0 时 v = v 0 代入上式
aτ =
dv g = − (v0 sin α − gt ) dt v
x = v0 cos α × t
1 y = v 0 sdinα × t − gt 2 2 求：t = 0时aτ , a n , ρ
Y
解：由炮弹运动方程可解出
v0
α
O X
g
11
理论力学讲义
vx =
dx = v0 cos α dt dy = v 0 sin α − gt vy = dt
2
2 2 2 + vy = v0 ∴ v = vx cos 2 α + (v0 sin α − gt )
理论力学讲义
运 动 学
引 言
在静力学中，我们研究了物体在力系作用下的平衡条件，但是，如果作用在 物体上的力系不平衡，物体的运动状态将发生变化。在运动学中我们将研究物体 运动的几何性质（轨迹，运动方程，速度和加速度）而不考虑引起运动的原因。 既然研究运动，就要涉及到参考系，瞬时，时间间隔等概念。这些在物理学 中已有过介绍，故不重复。

38理论力学第六章点的运动学PPT课件

38理论力学第六章点的运动学PPT课件

一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法

第六章 点的运动学

第六章 点的运动学

所以，动点的矢径是时间t的单值连续矢量函数， 称为单矢连续函数，可表示为：
r=r t
称为点的矢量形式的运动方程，表明点的位置随时 间变化的规律（的方程）。
单矢连续函数 ——是一个矢性函数，即:
不但可以确定大小而且可以确 定方向的函数。是单值连续变 化的。
2、点的速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r，在瞬时 t+Δt时，动点位于M’点，其矢径为r’ ，
模等于： v 方向沿 v' 方向。
t
瞬时t 动点 M 的加速度：
a v t
a
lim t
a 0
lim t
0
v t
dv dt
v
d 2r dt 2
r
加速度是速度对时间的一阶导数，或者是矢径
对时向。
加速度的量纲：
a
长度 时间2
LT
2
加速度的单位，国际单位制为：米 秒（2 m s 2 )或 m m s 2
因此，在描述物体的机械运动时，只有在 某个物体上来观察另一物体的运动才有意义。
参考体： 凡可借以确定被研究物体的位置和运动的其他物
体称该被研究物体的参考体。 参考系：
与参考体相固结的整个延伸空间或坐标系称为参 考系或参考坐标系。
在同一参考体上可以有不同的参考坐标系，它们 对同一物体的位置描述的坐标值虽然不同，但有确定 的几何关系相联系。
综上所述可知： 瞬时速度是平均速度的极限值， 其大小代表动
点在瞬时
t运动的快慢，而其方向则应沿轨迹在 M点处的切线
并指向动 点前进的一方，从而代表了动点在瞬时t的运动方向。
速度的量纲：
v dr r dt
v
长度 时间

运动学点的运动学

运动学点的运动学

第二部分 运动学第六章点的运动学一、基本要求1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

2．了解描述点的运动的极坐标法。

3．能求点的运动轨迹。

4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。

二、理论要点1．描述点的运动的三种基本方法（1）矢量法z 运动方程点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。

以矢量形式表示的点的运动方程为)(t r r =z 轨迹轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。

在矢量法中，矢径r 的矢端曲线即为点的运动轨迹。

z 速度点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即dtd r v = z 加速度点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即2dtd dt d 2r v a == （2）直角坐标法z 运动方程)()()(321t f z t f y t f x ===z 轨迹从上面点的运动方程中消去时间t 即可得轨迹方程。

如：),(0),(21==z y F y x Fz 速度 k j i v z y x v v v ++=dtdz v dt dy v dtdx v z y x ===即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。

由此可求得速度的大小和方向余弦。

z 加速度k j i a z y x a a a ++=222222dtz d dt dv a dty d dt dv a dtx d dt dv a z z y y x x ====== 即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。

由此可求得加速度的大小和方向余弦。

（3）自然法（弧坐标法）利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。

z 运动方程)(t f s =z 速度ττv dtds v == z 加速度 n τa a a n τn τa a +=+=22dt s d dt dv a τ== ρ2v a n =式中，ρ为曲率半径。

第六章：点的运动学

第六章：点的运动学

第六章：点的运动学第六章点的运动学⼀、要求1、能⽤⽮量法建⽴点的运动⽅程，求速度和加速度。

2、能熟练地应⽤直⾓坐标法建⽴点的运动⽅程，求轨迹、速度和加速度。

3、能熟练地应⽤⾃然法求点在平⾯上作曲线运动时的运动⽅程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。

⼆、重点、难点点的曲线运动的直⾓坐标法，点的运动⽅程，点的速度和加速度在直⾓坐标轴上的投影。

点的曲线运动的⾃然法（以在平⾯内运动为主），点沿已知轨迹的运动⽅程，点的切向加速度与法向加速度。

三、学习指导点的运动学是整个运动学的基础。

三种⽅法描述同⼀点的运动，其结果是⼀样的。

如果将⽮量法中的⽮量r 、v 、a ⽤解析式表⽰，就是坐标法；⽮量v 、a 在⾃然轴投影，就得出⾃然法中的速度与加速度。

直⾓坐标系与⾃然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。

直⾓坐标系是固定在参考系上，可⽤来确定每⼀瞬时动点的位置。

点沿空间曲线运动有三个运动⽅程，点沿平⾯曲线运动有两个运动⽅程，点沿直线运动有⼀个运动⽅程。

⾃然轴系是随动点⼀起运动的直⾓轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能⽤⾃然轴系确定动点的位置。

⾃然法以已知轨迹为前提，⽤弧坐标来建⽴点的运动⽅程，以确定动点每⼀瞬时在轨迹上的位置。

⽤直⾓坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取⼀次和⼆次导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的⼤⼩和⽅向。

⽤⾃然法求速度，则将坐标对时间取⼀次导数，就得到速度的⼤⼩和⽅向。

⾃然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度⼤⼩和速度⽅向改变的快慢程度。

需注意的是不能将dtdv误认为是动点的全加速度。

只有当0=n a 时，才有dtdva =。

学员可⾃⾏分析，这时点作什么运动。

下⾯对⽮量法、直⾓坐标法与⾃然法作⼀总结和⽐较：解题指导点的运动学问题类型⼤致有四类：1、⽤坐标法（直⾓坐标法、⾃然法等）建⽴点的运动⽅程。

对于点的运动轨迹未知，⼀般选⽤直⾓坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选⽤⾃然法，当然亦可以直⾓坐标法。

第6章 点的运动学

运动学的研究对象是真实物体的两种理想化的力 学模型，即点和刚体。所谓点，是指大小、质量不计， 但在空间占有确定位置的几何点。所谓刚体是由无数 个点组成的不变形的系统。
第6章 点的运动学
本章分别采用矢径法、直 角坐标法、自然法三种不同 的方法，研究点在空间运动 时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明： （1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面； （2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不 同而不同。 过M点并垂直于切线MT的平 面称为曲线在M点的法面。 所有通过M点并在该法面内的 直线都是曲线在M点的法线。 在密切面内的法线MN称为主 法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化 的，变化的周期均是T，加速度的大小 与动点到振动中心的距离成正比，方向 恒指向振动中心，这是简谐振动的一个 基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与 地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。 解 设M点与地面接触时的位置为起 始位置，并以此点为坐标原点建立 坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬 时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内， 矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位 移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的 曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲 率半径就是圆半径，圆心就是曲 率中心。 以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副 法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。

006理论力学-点的运动学


x = (BC+ CM) cosϕ = (l + a) cosωt y = AMsinϕ = (l − a) sinωt
9
这就是动点M的运动方程。从运动方程中消去时间t，即得轨 迹方程
x2 y2 + =1 2 2 (l + a) (l − a) 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y 轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合，短轴 将与x轴重合。 x M点的速度在坐标轴上的投影为
1
引
言
运动学的一些基本概念 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ① 运动学 (包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。 ② 运动学研究的对象 ③ 运动学学习目的 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④ 运动是相对的 ( relativity ) ：参考体(物)；参考系； 静系；动系。 瞬时、 ⑤ 瞬时、时间间隔 (⋅)t (⋅− − − ⋅)∆t = t 2 − t1 ⑥ 运动分类 1)点的运动； 2)刚体的运动
dx = −ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l − a ) cos ωt dt
10
速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l − a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 − 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
12
§6-3 平面极坐标法
• 平面极坐标系 • 位置坐标（r , • 轨道方程 •
ϑ）
r = r (t ),
r j
r

第6章 点的运动学

第二篇
运 动 学
机械电子工程学院
1/43
引言 运动学是研究物体机械运动的几何性 质。也就是从几何的观点研究物体的机械 运动，而不涉及运动的原因。 运动，而不涉及运动的原因。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、 速度和加速度。 速度和加速度。 学习运动学的意义： 学习运动学的意义：首先是为学习动 力学打下必要的基础； 力学打下必要的基础；其次运动学的理论 可以独立地应用到工程实际中。 可以独立地应用到工程实际中。 机械电子工程学院 2/43
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
这就是直角坐标形式的点的运动方程。 这就是直角坐标形式的点的运动方程。 直角坐标形式的点的运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系 r r r r r = x( t) i + y(t) j + z(t)k
机械电子工程学院 11/43
速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v = = i + j + k = vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
主法线
r τ r n
法面
r n
密切面
r r r b =τ ×n
副法线
r b
M
τ
r
切线
rr r 构成的坐标系称为自然轴 由三个方向的单位矢量 τ,n,b 构成的坐标系称为自然轴 r 它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向； 正向确定如下 τ 系。它们的正向确定如下： 的正向指向弧坐标的正向；
r r r的方向将随动点在曲线上的位置变化 决定。 决定。自然轴系 τ,n,b 而变化，不是固定坐标系。 而变化，不是固定坐标系。

第六章 点的运动学37页PPT

第六章 点的运动学
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是 从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包 括：运动方程、轨迹、速度和加速度。
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要 的基础。其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物 体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标 系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。
速度矢端曲线
v
O
第六章 点的运动学
M1 M2
v1 v2
a
M3
6.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r
可表示为：
z
M
rxiyjzk x f1(t) y f2(t)
kr z
O i
j
x

xy
z f3(t)
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
第六章 点的运动学
6.2 直角坐标法
w w w 1 2 s in 2t 1 12 s in 2t 14 s in 4t
xl(12)r(cos2 wtcos2w8 t)
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
vdxrw(sinwtsin2wt)
dt
2
advrw2(coswtcos2w)
dt
第六章 点的运动学
例6-3
例6-3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地 面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
解：取滑块B的直线轨迹为x轴， 曲柄的转动中心O为坐标原点。 在经过 t 秒后，此时B点的坐 标为：
O
x OBOCCB
rcosjl cos
wA l
j
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y
x r r sin rt r sint y r r cos r r cost
r r cost vx x r sint vy y
x
O1 M (M) O
O1 r
v
2 2 x y 2r sin t 2
▲ ：i , j , k , n, b
动的正交坐标系.
为常向量 为变向量
二、速度——大小等于动点弧坐标对时间一阶导的绝对值 S S(t) o
M M ，经过△t ，矢量增量△ r

M

M´
当△t→0时 ， r MM s
v
dr r s ds lim lim dt t 0 t t 0 t dt ds s (+) dt

度

v'
故法向加速度an 反映点的速度方向改变的快慢程度，大小 2 除以曲
率半径，方向沿主法线，指向曲率中心
▲：▲式的证明：
曲线运动中，曲率为
1
，曲率半径为
，
均表示曲线的弯曲程度。
M
a
S M´
其中曲率为曲线的转角对弧长的一阶倒数的绝对

v
值： 1
n
an
'
(+)
d lim s 0 s ds

当△S→0时，△ →0，△ 与 垂直，且有 1
n 1 lim lim n n s s
（▲）
v' '


2 sin 2
d ds
t 2
S ds v dt 2r sin dt 4r 1 cos t c c 0 2 2
y O1 r C O
(0 t
2 )
M
x M
2 y 2 2r sin t v x 2
O
进一步的讨论:
ax x a ay y az z
x
(i )
请注意 : 直角坐标轴的单位矢量 i , j , k 是常矢量.
2 2 2 x y z
当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动轨迹。
§ 6 – 3 点的运动的自然坐标描述
当点的运动轨迹为已知曲线时，易用自然法描述其运动，物理 意义更明确直观。
M
a
n
an
v
点的加速度在自然轴上可分解为 切向分量与法向分量.
a
切向分量是速度大小对时间的变 化率; 法向分量为速度方向对时 间的变化率.
d d d d a ( ) dt dt dt dt at an at an n
密切面
b M1
M
n 指向曲线内凹一侧， b 指向与 , n构成右手系， 且 b n 。
n
轨道曲线上任意一点处的切线, 主法线和副法线构成的正交坐 标系称为曲线在此点的自然轴 系, 这三个轴称为自然轴.
1 1
自然轴系是沿曲线而变动的游
， s
an ——法向加速度，反映速度方向变化的加速度 2、
M
a
S M´

v
n
an
'
(+)
d ——反映速度方向 的变化 an dt d ds （代入▲式,证明见后页） ds dt 1 2 n ——沿主法线方向——法向加速
2


由此可得，点的速度、加速度在自然坐标轴上的投影：
2 s , at , an s s , ab 0
全加速度为：


a a a , tg
2 t 2 n
at
an
( : a与法线间的夹角）
由以上我们得到点的速度和加速度在自然坐标轴上的投影:
两边平方得 :
2 a2 v 2 at2 x
2 v 2 (a 2 an ) (v 2 C 2 ) a 2
2 v 2 a 2 v 2 an v2 a2 C 2 a2
v a C a
2 2 n 2
2
v4 v 2 C 2 a2
vs
a s
2 s an
a a a
2
2 n
a tg an
( 见书上)
为 a 与 n 所 夹 的 角 度 .
下面讲解例题。
例一 :习 5 – 7 ( p 154) 图示摇杆滑道机构中, 滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中运 动. 弧BC的半径为R, 摇杆的O轴在弧BC的圆周上. 摇杆绕O轴以等角速度 转动. 设运动开始时,摇杆OA在水平位置. 分别用直角坐标法和自然坐标法给出M点的运动方程, 并求其速度和加速度. 解法一：以O为原点建立直角坐标系 o – xy
v d r dx dy dz i j k dt dt dt dt vy y vz z
速度:
(t )
O
y
z
i y j z k x vx x
y ( j) 2 2 2 v x y z x
加速度:
dv d 2r d 2x d2y d 2z a i j 2 k 2 2 2 dt dt dt dt zt i j k x y z
2k 当t ( k 1,2,3, ) v 0 . M点 此 时 与 地 面 接 触 . 我们称此时的 M点 为 轮 子 的 速 度 瞬 心 .
习5–5 B s
解: 由图示可得
x2 s2 l 2
2s s 2x x
aA vA
x
两边对时间 t 求导:
v0
A l
v0 其中, s s s x x vA l 2 x2 v0 x
vy vx cos v , i sin2t cos v , j cos 2t v v ax x ay y 4 2 R cos 2t 4 2 R si n2t
a x y 2 2 4 2 R y cos a , j si n2t a x cos a , i cos 2t a
2
6 v 即 a2 C 2 2
v3 a C
例三. 书上例5 – 6 ( p 147 )
半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设轮子转角
t（为常值） 如图，求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运
动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。 解法一: 建立坐标系如图. 设t=0时M点在原点. M点在任意时刻有:
C
r 2 sin t ax x
r 2 cos t ay y
2 2 r 2 (常数) a x y
又在自然坐标下有:
at
dv r 2 cos t dt 2
t
a n a 2 a t2 r 2 sin
点的运动是研究一般物体运动的基础. 下面介绍点的运动表示 方法。
§6 – 1 矢量法
1、位置矢量( 矢径 ): 取运动参考系上的某一点O为原点, 则运 动的 点M 在空间上对参考点O的位置, 可用一位置矢量来表示.
M
r r (t )
矢量 是时间 t 的单值 连续函数( 大小方向随时 间变化).
第
二 篇
运 动学
第六章: 点的运动学
第六章: 点的运动学
• 本章重难点：
• 描述点的运动的基本方法及应用范围 • 直角坐标法和自然法
一、运动学的研究任务 （1）研究物体的机械运动及运动的几何性质； （2）研究机构传动规律； 二、研究方法 不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。 三、研究对象 ●几何点，也称为动点，有时简称为点； ●刚体组成的机构。 四、研究任务 点的几何性质——点对于某坐标系的运动方程、运动轨迹、速 度和加速度。
的速度矢为
r
O1
r ' r
又因为 是切线轴的单位矢量，所以点
ds s dt
点的速度永远沿运动轨迹的切向
三、加速度 M
a
S M´

v
d d d d a ( ) dt dt dt dt
一、弧坐标和自然轴系: 在点M的运动轨迹(道)上任选一点O, 并规定在O的某一侧为正向, 则点的位置可由弧长 S 来确定. S 的正负及大小便称作点M的弧坐 标. 当M点运动时, 它是时间的单值连续函数. 即 S = S ( t ) .
O (-)
M
(+)
S = S(t)
轨道曲线上任意一点处的切线, 主法线和副法线构成的正交坐 标系称为曲线在此点的自然轴系, 这三个轴称为自然轴. 自然轴系是沿曲线而变动的游动的正交坐标系.
y
B
M
解法二：以O2 为原点建立弧坐标S = O2 B M点运动方程: S = R· 2t = 2Rt
R 2t O2
2R vs
x
0 at s 2 s an 42 R R
2 n 2 4 R 2
例二. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量 C.
求证: 任意时刻点的加速度大小 为: v3 a 其中 , 为 点 所 在曲 线 处 的 曲 半 率 径. C
证明: 不妨设铅垂轴为 y轴
2 C2 v2 x 0 2v at 2 x x