下载文档原格式
24.1.2垂直于弦的直径导学案广水市实验中学张运才【学习目标】1.理解圆的轴对称性．2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．【学习过程】【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：（一）情景导入：观看赵州桥视频。
聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。
探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？我发现：（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆．（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴．探究二：请同学们按下面的步骤做一做：第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足；第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？（2）你能用一句话概括上述结论吗？（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？【交流学】先独立完成，后小组交流。
1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论：（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？思考：你能用一句话概括上述结论吗？推论：如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？发现：2.解决问题：同学们，现在能求出赵州桥所在圆的半径了吗？如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．你能求出半径R吗？3．典型例题：如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12.（1）求线段OD的长；（2）当EO=2BE时，求ED的长.【学后思】（一）课堂小结：同学们，通过本节课的学习,你有哪些收获?（二）巩固练习1．判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×”）①垂直于弦的直线平分这条弦（）②平分弦的直线，平分弦所对的这条弧（）③垂直于弦的直径平分这条弦（）④平分弦的直径垂直于这条弦（）2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．【师生评】（一）课后作业：1.教材89页习题24.1第9、12题2.拓展练习：(1) 教材89页习题24.1第10题(2)直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC与BD相等吗？说说你的理由．（二）课后反思COE DAB课题：24.1.2垂直于弦的直径第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD如图．教师提出以下问题：（1）在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？（2）你能用一句话概括上述结论吗？（板书定理内容）（3）你能用符号语言表达这个结论吗？（板书）引导学生对定理的文字叙述、符号语言进行条件和结论的划分（两个条件推出三个结论）练习：如下图，能否得到AE=BE的结论？为什么？【合作交流】教师引导学生分析垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论: ③AE=BE④弧AC= 弧BC⑤弧AD=弧BD.如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？从学生组合的新结论中挑选出：条件：①直径CD过圆心O③AE=BE结论：②CD⊥AB④AC= BC⑤AD=BD.进行探讨、交流，看结论是否成立.探究：如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？如果弦AB是直径，结论还成立吗？它的对称轴或经过圆心的直线是圆的对称轴．【探究2】学生通过动手操作，观察操作结果，在老师的引导下，小组合作，分析、归纳归纳垂直于弦的直径的性质．练习旨在熟练垂径定理的基本模型．【合作交流】学生在教师的引导下，小组合作探讨，分析、归纳垂直于弦的直径的性质推论.学生动手操作，观察操作结果，教师通过层层递进的提问，引导学生探究出垂直于弦的直径的性质，并让学生在合作探究中对垂径定理的文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转化进行探究，形成整体，进而熟练掌握.这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 三、学以致用：回到情境引入中求赵州桥主桥拱所在圆的半径问题： 1．解决问题:如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高．半径R 即为所求． （幻灯片展示解题过程）2典型例题：如图，D 是⊙O 的弦BC 的中点，A 是⊙O 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知AO=8，BC=12.（1）求线段OD 的长；（2）当EO=2BE 时，求ED 的长.四、课堂小结：学生归纳本节课的收获；五、巩固练习：1：判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×” ）①圆的每一条直径都是它的对称轴（ ） ②垂直于弦的直线平分这条弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ）老师引导学生画出图形，用垂径定理的基本模型解决问题.学生在教师的引导下理解拱高老师引导学生结合图形，分析利用垂径定理的基本模型解决问题的方法.学生思考、归纳总结本节课的收获．巩固练习由小组所有成员共同完成，完成后小组交流展分化了难点．【合作交流】 垂径定理的推论较多且为考察的重点，本节主要探究垂径定理及其推论的内容和应用．通过以上三个探究活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越． 通过解决这一数学实际问题，COE D A B④平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（）2：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．六、课后作业：1.教材89页习题24.1第9、12题2.拓展练习：（1）教材89页习题24.1第10题（2）如图，直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC 与BD相等吗？说说你的理由．七、板书设计：24.1.2垂直于弦的直径一、圆的对称性：二、垂径定理：定理内容：图形：符号语言：推论：三、例题：四、小结：示．巩固练习1旨在让学生熟练掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．巩固练习2旨在让学生熟练垂径定理的运用．课后作业第1题为课后作业，学生课后完成．第2题为拓展练习，供学有余力的同学钻研，其中（1）题应用垂径定理求出弦心距，从而求出两平行线间的距离.注意考虑弦在圆心同侧和异侧两种情况，渗透分类讨论的思使学生感受数学的灵活与精巧，体会垂径定理中蕴含的历史和文化．培养学生的观察能力、分析能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生合作交流的精神.让学生通过归纳总结，使知识。
课题02：24.1.2垂直于弦的直径（1）编制：彭泉松审定：彭泉松课标要求：学生灵活运用垂径定理解决问题。
德育目标：结合教学内容，向学生进行爱国主义教育和美育渗透，培养独立思考与小组交流。
学习目标：1、理解圆的轴对称性及垂径定理的推证；能应用垂径定理进行计算和证明。
2、通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．学习重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．学习难点：垂径定理的证明与运用．学习过程：一、知识复习：学生口答圆的有关概念二、自学课本P81 结合实验活动，提出问题：1、探究：让学生用自己的方法探究圆的对称性，引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．分析证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：垂径定理：组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，= ，= .为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.（二）知识迁移中发现新问题1、剖析：2、新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导），，……（包括原定理，一共有10种）(三)探究新问题，归纳新结论：推论（学生理解）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.三、例题讲解：例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，例2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？归纳：解决有关弦的问题，经常做过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件四、当堂训练（A 组） 1、按图填空：在⊙O 中，（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则________，________，________；（2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_______，________，________；（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则________，________，________；（4）若 = ，MN 为直径，则________，________，________2、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）． A ．CE=DE B ．»»BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD 3、如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3， 则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8（B 组）4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ， 则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．5、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点． 求证AC=BD ．6、如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，O D ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 是正方形（C 组） 7、如图，⊙O 的直径为4，动弦C D ⊥直径AB 于E ，C F ⊥当弦CD 运动时，OE 2+EF 2的值是否发生变化，若不 变，求出其值，若变化，请说出理由。
