高中数学合情推理与演绎推理

13.2 合情推理与演绎推理一、填空题1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理解析 归纳推理是由个别到一般的推理，故②错． 答案 ①③⑤2．已知数列{a n }满足a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做幸运数，则k ∈[1,2 011]内所有的幸运数的和为________． 解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·k ＋k ＋＝k ＋lg 2＝log 2(k ＋2)为整数，所以k ＝2t －2(t ∈N *)，又k ∈[1,2 011]，所以k ＝2,22,23，…，210，和为2(210－1)＝2 046. 答案 2 0463．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. 答案 1∶85.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则484S S S ,-,1281612S S S S -,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列.解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{n b }的公比为q,首项为1b , 则46812782841811T b q T b q b q +++=,==, 12121112661211T b qb q +++==,∴4224388121148T T b q b q T T =,=, 即2812448()T TT T T =⋅, 故812448T T T T T ,,成等比数列. 答案84T T 128TT 6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝ (1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________(请写出化简后的结果)； 解析 类比可得－1×(x －1)－2×(y －2)＋(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0. 答案 x ＋2y －z －2＝0 7．已知5×5数字方阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21 a 22 a 23 a 24 a 25a 31 a 32 a 33 a 34 a 35a 41 a 42 a 43 a 44 a 45a 51a 52a 53a 54a 55中，a ij＝⎩⎨⎧1 j 是i 的整数倍，－j 不是i的整数倍则∑j ＝25a 3j ＋∑i ＝24a i4＝________.解析∑j ＝25a3j＋∑i ＝24a i4＝(a 32＋a 33＋a 34＋a 35)＋(a 24＋a 34＋a 44)＝(－1＋1－1－1)＋(1－1＋1)＝－1.答案 －18.已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11,12)＝________.解析 由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有10(1＋19)2＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{a n }的第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝(13)112，故应选D.答案 (13)1129．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测m －n ＋p ＝________. 解析 m ＝29＝512，p ＝5×10＝50. 又m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1， ∴n ＝－400. 答案 96210．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．1 2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … … … …解析 观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216. 答案 216(或65 536)11．已知m ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，可推广为x ＋mxn ≥n ＋1，则m 的值为________．解析 x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x ＋m x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋mx n ，也满足各项乘积为定值1，于是m ＝n n .答案 n n12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O 为四面体ABCD外接球的球心，则AO OM＝________”．解析 如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝33a ，AM ＝63a ，设OA ＝R ，则OB ＝R ，OM ＝63a －R ，于是由R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a ，所以AOOM ＝64a 63a －64a ＝3.答案 313.将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N *)个全等的小正三角形((1)，(2)分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f(2)＝2，f (3)＝ ，…，f (n )＝ .解析 当n ＝3时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ， z 1＋z 2＝c ＋a ，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2,2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2，6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2，即g ＝13而f (3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋13＝103，进一步可求得f (4)＝5.由上知f (1)中有三个数，f (2)中有6个数，f (3)中共有10个数相加，f (4)中有15个数相加…，若f (n －1)中有a n －1(n ＞1)个数相加，可得f (n )中有(a n －1＋n ＋1)个数相加，且由f (1)＝1＝33，f (2)＝63＝3＋33＝f (1)＋33，f (3)＝103＝f (2)＋43，f (4)＝5＝f (3)＋53，…可得f (n )＝f (n －1)＋n ＋13， 所以f (n )＝f (n －1)＋n ＋13＝f (n －2)＋n ＋13＋n3＝…＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋f (1)＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋23＋13＝16(n ＋1)(n ＋2)．答案103 16(n ＋1)·(n ＋2) 二、解答题14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. (1)求第n 行实心圆点个数与第n －1，n －2行实心圆点个数的关系. (2)求第11行的实心圆点的个数.【解题指南】设出第n 行实心圆点的个数a n ，空心圆点的个数b n ，则它与第n －1行的关系由题意不难得出，整理可得解.【解析】(1)设第n 行实心圆点有a n 个，空心圆点有b n 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧b n ＝a n －1a n ＝a n －1＋b n －1，∴a n ＝a n －1＋b n －1＝a n －1＋a n －2，即第n 行实心圆点个数等于第n －1行与第n －2行实心圆点个数之和. (2)由(1)可得数列{a n }为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55. 【方法技巧】解决“生成”数列的方法解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n 项与第n －1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.15．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.16．如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明 (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥FA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎬⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥FA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .17．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n . 解析 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3. (2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋22个2＋3＋3＋…＋32个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52nn 为偶数，52n －12n 为奇数18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．解析 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n . ∴1f ＋1f －1＋1f－1＋…＋1f n－1＝1＋12· ⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。