二维波动方程的高精度交替方向隐式方法马月珍;李小纲;葛永斌【摘要】基于二阶微商的四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想,提出了数值求解二维波动方程的2种精度分别为O(τ~2+h~4)和O(τ~4+h~4)的交替方向隐式(ADI)格式,以及与其相匹配的第一个时间层的同阶离散格式,并且通过Fourier方法分析了格式的稳定性.该方法在沿每个空间方向上只涉及3个网格基架点,因此可以重复采用TDMA算法,从而大大节省计算时间.数值实验验证了所用方法的精确性和可靠性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)002【总页数】5页(P179-183)【关键词】波动方程;高阶紧致格式;交替方向隐式方法;稳定性【作者】马月珍;李小纲;葛永斌【作者单位】宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021【正文语种】中文【中图分类】O241.82有限差分法[1-3]是数值求解偏微分方程的常用方法之一.在航空、气象、海洋、水利等许多流体力学的问题中,常常遇到双曲型偏微分方程,针对传统的差分离散格式,普遍有着精度低且受到很强的稳定性条件限制的缺陷,因此发展其高精度且稳定性好的差分离散方法具有十分重要的意义[4-7].交替方向隐式(AD I)方法是数值求解该类问题的一种非常有效的方法,它将高维问题转化为若干一维问题进行求解,而一维问题又可采用高效的 TDMA算法,从而可以大大提高计算效率,节省存储空间.传统的AD I方法如 Peaceman-Rachford(P-R)格式和Beam-War ming[8]格式都是二阶精度的.另一方面,文献[9]提出了求解二维非定常对流扩散方程的高精度AD I格式,文献[10]提出了求解高维热传导方程的高精度AD I格式.本文依然根据AD I方法的基本思想,提出两种求解二维波动方程的高精度紧致AD I差分格式,为此考虑初边值问题：其中Ω ={(x,y):0≤x,y≤1},Γ为Ω的边界,u(x, y,t)为待求未知量,f(x,y,t)为源项,φ(x,y),ψ(x,y)和 g(x,y,t)均为已知函数且具有充分的光滑性.1 高阶紧致AD I格式用τ表示时间步长,空间取等间距网格,步长用h表示.网格点为(xi,yj,tn),xi=ih,yj=jh,tn = nτ,i,j=0,1,…,N,h=1/N,n≥0.1.1 AD I(2,4)格式考虑(1)式在 n时刻值,对时间导数项采用中心差分,空间导数项采用Kreiss[11]提出的四阶紧致差分公式:则有其中在空间方向以和的算术平均值代替可得对(5)式进行整理且略去高阶项可得为了构造AD I差分格式,采用与文献[9-10]类似的技巧,在(6)式左端加上可得显然,(7)式与(6)式的截断误差同阶,利用可将(7)式写为如下形式引入一个过渡变量则可将 (8)式写为对于过渡变量的边界条件,可以由下式给出(9)式即为求解二维波动方程的高精度紧致 AD I格式,其精度为O(τ2+h4),记为AD I(2,4).1.2 AD I(4,4)格式对时间和空间导数项均采用四阶紧致差分公式,考虑(1)式在 n时刻值,可得对上式进行整理且略去高阶项可得可将(10)式写为如下形式为了构造AD I差分格式,采用与文献[9-10]类似的技巧,在 (11)式左端加上并进行因式分解,可得显然,(11)式与(12)式的截断误差同阶,引入一个过渡变量则 (12)式可写为对于过渡变量的边界条件,可以由下式给出(13)式即为求解二维波动方程的高精度紧致 AD I格式,其精度为O(τ4+h4),记为AD I(4,4).1.3 初始条件的离散因为格式是 3层的.即每一次时间推进都需要知道前两个时间步的值,初始时刻有(2)式精确给出,第一个时间步的值由 (3)式给出,因此,须对 (3)式进行离散,下面推出与(9)和 (13)式相匹配的第一个时间步的离散格式.利用 Taylor展开式将在处展开可得利用(1)～(3)式,且略去高阶项,即可得与(9)式相匹配的第一个时间步的离散格式与(13)式相匹配的第一个时间步的离散格式2 稳定性分析下面,采用 Fourier分析方法对格式进行稳定性分析.引理[12] 实系数二次方程λ2-bλ-c=0的根按模不大于 1的充要条件为|b|≤1-c≤2.2.1 AD I(2,4)格式的稳定性定理 1 格式(9)是无条件稳定的.证明显然,格式(9)可写成用表示采用上述格式进行计算产生的误差,设源项 f无误差存在,则格式的误差项满足格式相应的齐次方程,即记其特征项表示为其中为虚数单位,ηn为第 n个时间层上的波幅,σ1、σ2为波数,令λ=τ/h,则可得误差的传播矩阵为其中矩阵的特征方程为所以有由于Px≥0、Py≥0、Qx≥0、Qy≥0,故|b|≤2,由引理可得格式(9)是无条件稳定的.2.2 AD I(4,4)格式的稳定性定理 2 格式(13)是条件稳定的,其稳定性条件为证明由相同的分析过程可得格式(13)误差的传播矩阵为矩阵的特征方程为由引理得即上式右端显然成立,考察左端可得解之可得|a|λ≤1/3,即格式(13)是条件稳定的,其稳定性条件为|a|λ≤1/3.3 数值验证对于问题(1)～(4),令问题的精确解为计算是用 Fortran77语言进行编程且在 Pentium IV/2.4G PC机上双精度制下进行的.由于2种格式所得线性方程组均为三对角线型,所以对每一步可以采用TDMA 算法.表 1给出了不同网格步长下,问题在 t=0.125时刻,当τ=h时二阶AD I格式[8]、FULL(4,4)格式[7]和τ=h2时AD I(2,4)格式的数值计算结果的最大误差 E和收敛阶 rate=ln(E1/E2)/ln2(E1和E2分别为粗网格及相邻的细网格上的最大误差).结果表明,3种格式均达到了各自的精度,并且AD I(2,4)格式的计算结果要比其它两种格式精确得多.表 2和表 3给出了不同网格步长下,问题在 t =0.25时刻,当τ =h/2时FULL(4,4)格式[7]、AD I(4,4)格式和τ=h2时 HWAL(2,4)[7]格式的数值计算结果的最大误差 E、收敛阶 rate和 CPU时间.结果表明,3种格式均达到了各自的精度,并且AD I(4,4)格式的计算结果要比其它两种格式精确得多,并且计算时间最少.表 4给出了 h=1/64时,问题在 t=3.2时刻,对不同网格比λ(此时τ=λh不同),3种AD I 格式的收敛性的比较.结果表明,当时,AD I(4,4)格式是发散的,即条件稳定的,其它格式仍然是收敛的,即无条件稳定的.这与本文的理论分析结果一致.本文的方法可推广到三维波动方程的数值求解中去,将另文报道.表 1 t=0.125时刻不同空间步长 h的最大误差和收敛阶Table 1 Max imum error and convergencerate att=0.125 for differenthh 二阶ADI格式[8]FULL(4,4)格式[7]ADI(2,4)格式E rate E rate E rate 1/8 2.81e-2 1.29e-34.81e-4 1/16 7.57e-3 1.89 8.20e-5 3.98 3.01e-5 3.97 1/32 1.93e-3 1.975.15e-6 3.99 1.88e-6 4.00 1/64 4.83e-4 1.99 3.22e-7 4.00 1.18e-7 4.001/128 1.22e-4 2.00 1.82e-8 4.14 7.35e-9 4.00表 2 t=0.25时刻不同空间步长 h的最大误差和收敛阶Table 2 Max imum error and convergencerate att=0.25 for differenthh HWAL(2,4)格式[7]FULL(4,4)格式[7]ADI(4,4)格式E rate E rate E rate 1/8 1.54e-2 2.47e-4 2.87e-5 1/162.46e-5 9.29 1.56e-53.98 1.73e-64.05 1/32 1.53e-6 4.00 9.75e-7 4.001.07e-7 4.01 1/64 8.96e-8 4.09 5.99e-8 4.02 6.68e-9 4.00 1/128 5.60e-9 4.002.73e-9 4.45 4.17e-10 4.00表 3 t=0.25时刻不同空间步长 h的 CPU时间Table 3 CPU t ime att=0.25 for differenthλ HWAL(2,4)格式[7]FULL(4,4)格式[7] ADI(4,4)格式1/8 ＜10e-8 ＜10e-8 ＜10e-8 1/16 0.125 0.015 0.015 1/32 1.985 0.125 0.031 1/64 57.50 1.391 0.219 1/128 2830.51 28.39 1.687表 4 当 h=1/64,t=3.2时刻,对不同λ的最大误差Table 4 Max imum erroratt=3.2 andh=1/64 for differentλλ 二阶格式[8] ADI(2,4)格式 ADI(4,4)格式0.4 6.78e-4 4.68e-4 1.93e-8 0.8 2.04e-3 1.84e-3 1.49e+51 1.6 7.03e-3 6.87e-3 3.09e+65 3.2 1.96e-2 1.95e-2 2.80e+39参考文献[1]李胜坤,冯民富,李珊.Benjamin-Bona-Mahony方程的有限差分近似解[J].四川师范大学学报：自然科学版,2003, 26(4)：363-365.[2]吕胜关.一类高阶方程组的差分方法[J].郑州大学学报：理学版,1999,32(1)：12-19.[3]罗明英,舒国皓,王殿志.RLW方程的有限差分逼近[J].四川师范大学学报：自然科学版,2001,24(2)：138-143.[4]Visher J,Wandzura S,White A.Stable,high-order discretization forevolution of the wave equation in 1+1 dimensions[J].J ComputPhys,2004,194：395-408.[5]Wandzura S.Stable,high-order discretization for evolution of the wave equation in 2+1 dimensions[J].J Comput Phys,2004, 199：763-775.[6]葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程加权平均隐格式及其多重网格方法[J].上海理工大学学报,2002,24(3)：205-208.[7]葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程高精度隐式格式及其多重网格方法 [J].厦门大学学报：自然科学版,2003, 42(6)：691-696.[8]孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京：科学出版社,2005.[9]Karaa S,Zhang J.High orderADImethod for solving unsteady convection-diffusion problem[J].J Comput Phys,2004,108：1-9.[10]葛永斌,田振夫,吴文权.高维热传导方程的高精度交替方向隐式方法[J].上海理工大学学报,2007,29(1)：55-58.[11]Hirsh R S.Higher order accurate difference solutions of 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对流方程差分格式稳定性判定李五明【摘要】The paper decided the stability of different difference schemes of the one dimension convection equation using Fourier stability analysis. The fundamental idea of Fourier stability analysis is to extend periodically the error of solution for the linear differential equation and express it using Fourier series, then check the enlargement and decay of every component of the Fourier series. According to Fourier series for each component change over time, we judged the stability of difference schemes by the magnification factor. Using the method, the paper decided the stability of different difference schemes for the given equation.%用傅里叶稳定性分析法判断一维对流方程不同差分格式的稳定性．傅里叶稳定性分析法的基本思想是：对于线性微分方程，将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况；根据傅里叶级数每一个分量随时间的变化情况，由放大因子判断差分格式的稳定性．用该方法对给定方程不同差分格式的稳定性进行了判断．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P369-372)【关键词】对流方程;差分格式;稳定性【作者】李五明【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O175.210 引言用有限差分法数值求解偏微分方程是计算数学中的一个重要课题．在有限差分法中，差商代替了微商，差分方程代替了微分方程．然而，并不是任何情况下，差分方程都可以逼近原微分方程．因为，方程形式的逼近是一回事，方程解的逼近又是一回事．因此，在基本理论上必须解决数值计算中可能出现的诸如稳定性、精度等问题．采用有限差分法求解由偏微分方程所描述的具体问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须解决3个问题：当差分网格的时间与空间步长都趋近于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界．这3个问题在有限差分理论中分别称为相容性、收敛性和稳定性．差分格式的相容、收敛和稳定并不是孤立的，而是互有联系．根据LAX等价定理，若线性微分方程的初值问题适定、差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件．因此，常常通过判定一个差分格式的稳定性来判定其收敛性．因为，直接证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，但对稳定性的证明却容易得多，且现有的方法也比较有效．本文介绍其中最常用的一种分析差分格式稳定性的方法：傅里叶稳定性分析法．傅里叶稳定性分析法的基本思想是将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况．如果每一个分量的强度(或振幅)是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一个分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变的，则格式是稳定的．为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，以得出相邻两时间层该分量的振幅比(通常称为放大因子)．稳定性的条件要求放大因子的绝对值(或模)小于或等于1．当放大因子等于1时，称为中性稳定．在这种情况下，任何时刻引进的误差都不会衰减或放大．本文主要针对一维对流方程，利用傅里叶稳定性分析方法讨论其不同差分格式的稳定性．1 傅里叶稳定性分析法针对一个具体的方程来考察傅里叶稳定性分析法，然后再将该方法推广到其他差分格式．一维对流方程的初值问题如下：，(1)问题的定解域为x-t的上平面(图1)，分别引入平行于x轴和平行于t轴的两族直线，把求解域划分为矩形网格．网格线的交点称为节点，x方向上网格线之间的距离Δx称为空间步长，t方向上网格线之间的距离Δx称为时间步长．这样，两族网格可记为x=xi=iΔx,(i=0,±1,±2,…)，t=tn=nΔt,(n=0,1,2,…).网格划定后，就可针对其中的任一节点，如图1中的节点(xi,tn)．将函数u在该点记为,tn)=u(iΔx,nΔt).(2)方程(1)的FTCS(Forward Time Central Space)格式为α.(3)将式(3)改写为易于递推计算的差分格式，有，式中：λ为网格比．相应于上式的误差传播方程为,(4)式中：ε为各节点上的误差．如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则εn，εn+1可以展开为以下的傅里叶级数[5-6]：.于是，，(5),(6)式中：将式(5)和(6)代入式(4)得.(7)式(7)相当于将零展开成傅里叶级数，式中{ }内相当于傅里叶系数，它对于所有的k都等于零，即，(8)令,(9)则式(8)成为(不失一般性，支掉式中的下标记号k)Cn+1=GCn,(10)表示误差从第n层传播到第n+1层时，以傅里叶级数表示的每一误差分量的振幅放大或衰减了G倍．所以，称G为放大因子．傅里叶稳定性分析法就集中在对G 的分析上，如果|G|>1，则误差的振幅随n的增大而增大，差分格式不稳定；如果|G|≤1，则误差的振幅随n的增大而减小或不变，差分格式稳定．应用欧拉公式e±iz=cos z±isin z，将式(9)改写为G=1-iαλsin kΔx，得|G|2=1+α2λ2sin2kΔx．当sin2kΔx≠0时，选取网格比λ总有|G|>1．因此，差分格式(3)是不稳定的．从上例的分析注意到，以傅里叶稳定性分析法判断差分格式稳定性时，是从误差传播方程出发，将计算节点的误差延拓为傅里叶级数，并通过分析式(7)中傅里叶级数任一系数来确定放大因子G，进而确定差分格式的稳定性．对于齐次线性微分方程，由于误差传播方程与其相应的差分方程形式相同，在傅里叶稳定性分析中，只要令，(11)并将它们代入相应的差分格式中，同样可以得到与上例相同的放大因子G的表达式．为方便起见，在以后的傅里叶稳定性分析讨论中将采用式(11)的方式．2 应用举例例1 试讨论一维对流方程(1)的FTCS隐式差分格式的稳定性．解：方程(1)的FTCS隐式差分格式为α,(12)或写为，λ,将式(11)代入上式，有Cn+1eik(xi-Δx)]=Cneikxi，约去公因子eikxi后，得，即，由此得放大因子为,即≤1，所以，式(12)是无条件稳定的.例2 试讨论一维对流方程(1)的格式的稳定性．解：方程(1)的格式为，(13)或，λ，将式(11)代入上式，有，约掉公因子eikxi，得，由此得放大因子为，有|G|2=1.所以，差分格式(13)是无条件稳定的.3 结论(1)本文利用傅里叶稳定性分析法仅讨论一维对流方程不同差分格式稳定性的判断，实际上，该方法对二维对流方程、一(二)维扩散方程、一维对流-扩散方程也是适用的．(2)本文没有给出一维对流方程迎风格式稳定性的判定，主要是因为需要考虑CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，并且要对α的正负进行讨论．限于篇幅，略去．(3)傅里叶稳定性分析法只适用于线性微分方程，对于非线性方程差分格式稳定性的判定，目前还没有严格的一般性理论处理．通常的做法是，从非线性方程对应的线性化模型得出的稳定性判定准则出发，对非线性方程差分格式的稳定性进行大致估计，然后在实际计算中采用试算方法将其扩展到非线性问题中去．参考文献：[1] 张国强，吴家鸣.流体力学[M].北京：机械工业出版社，2005.[2] 顾丽珍.求解对流扩散方程的一些高阶差分格式[J].清华大学学报：自然科学版，1996，36(2)：9-14.[3] 管秋琴.一类对流扩散方程组的差分格式与稳定性[J].上海电力学院学报，2009，25(2)：192-195.[4] 余德浩，汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2003.[5] 范德辉，陈辉，王秀凤，等.对流扩散方程差分格式稳定性分析[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2006，27(1)：24-29.[6] 阴继翔，李国君，李卫华,等.对流扩散方程不同格式的数值稳定性分析[J].太原理工大学学报：自然科学版，2004，35(2)：121-124，133.[7] 马荣，石建省，张翼龙，等.对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J].水资源与水工程学报，2010，21(1)：132-134.[8] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解解法[M].北京：清华大学出版社，2004.[9] 王静，王艳.RICCATI方程有理展开法及其在非线性反应扩散方程中的应用[J].河南理工大学学报：自然科学版，2010，29(5)：689-694.[10] 王同科，马明书.二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式[J].工程数学学报，2004，21(5)：727-731.。
PDE 数值计算的有限差分法《图像处理的PDE 方法》对给定的PDE 往往很难求其解析解，尤其是在实际问题中，这就需要求助于数值计算以获取该问题的近似解，常用的PDE 数值方法有有限差分法、有限元法和谱法等，其中，有限差分法应用得最为广泛。
因为待处理的图像通常已经是在二维空间中，按等采样而得到的离散化数字图像，这就自然构成了有限差分法所需要的等分网格（Grid ）。
1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距离的两邻点的函数值的差与两点间距离的比值来近似函数对变量的偏导数。
例如，用向前差分来近似对时间的偏导数tu∂∂，即 n i t n i n i ni u D tu u t u)(1++=∆-=∂∂ 对于空间中的一阶偏导数，除上面的向前差分外，还有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：n i x n i n i ni u D tu u x u )(1++=∆-=∂∂ 后向差分：n i x n i n i ni u D xu u x u)(1--=∆-=∂∂ 中心差分：n i x n i n i ni u D xu u x u)0(112=∆-=∂∂-+ 根据泰勒展开式，有() +∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x xux x u x u x x u 因此可得)()()(x O xx u x x u x u ∆+∆-∆+=∂∂ 说明向前差分和向后差分是一阶精度的。
同时，由于() +∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x x ux x u x u x x u () +∆∂∂+∆∂∂-=∆-22221)()(x x u x x u x u x x u可得())(2)()(2x O xx x u x x u x u ∆+∆∆--∆+=∂∂ 说明中心差分是二阶精度的。
当偏微分议程中含有二阶偏导数时，同样采用有限差分进行处理，先求出两个半点处的一阶偏导数中心差分，如下：x u u x u n i n i ni ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++12/1，x u u x u n i n i ni ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--12/1然后再利用这两个一阶差分，作一次中心差分，得：()n i xx n i n i n i ni ni niu D x u u u x x u x u x u )0(2112/12/1222=∆+-=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+-+ 对于二阶偏导数yx u∂∂∂2，同样采用类似的方法来处理，如下：x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--++++-+++421,1,11,1,12/1,12/1,12/1, x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂---+-+---+-42,11,1,11,12/1,12/1,12/1, 其中()1,1,12/1,121++++++=j i j i j i u u u ()1,1,12/1,121+--+-+=j i j i j i u u u ()j i j i j i u u u ,11,12/1,121+-+-++=()j i j i j i u u u ,11,12/1,121-----+=因此，yx u u u u yx u u u u u u u u yx u u u u y x u u u u yx u x u y x u j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i nji ∆∆--+=∆∆----+++=∆∆--+-∆∆--+=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-++---+++-++-----+++---+-++--+++-+44441,11,11,11,1,11,11,1,1,11,11,1,1,11,1,11,11,1,11,1,12/1,2/1,,22、显式、隐式和半隐式方案以一维Burgers 方程xu u t u ∂∂=∂∂来说明几种PDE 的数值计算方案。
有限差分法——傅立叶稳定性分析分析差分格式稳定性的方法很多，大部份应用于线性方程，这里只介绍其中最常用的一种：傅立叶稳定性分析法。
傅立叶稳定分析法由V on Neumann 于20世纪40年代提出，所以又称为V on Neumann 稳定性分析法。
该方法的基本思想是，将解的误差作周期延拓并用傅立叶级数表示出来，然后考察每一个傅立叶级数分量的增大和衰减情况。
如果每一分量的强度（或振幅）是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变，则格式是稳定的。
为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，得出相邻二时间层间该分量的振幅比，通常称为放大因子。
稳定性的条件要求放大因子的绝对值（或模）小于或等于1。
当放大因子等于1时，称为中性稳定，在这种情况下任何时刻引进的误差都不会衰减或放大。
【例11.1E 】讨论逼近以下一维对流方程的FTCS 格式的稳定性：0=∂∂+∂∂xu t u α α> 0 (11.1.51)该方程的FTCS 格式为 02111=∆-+∆--++xu u t u u n i n i n i n i α (11.1.52) 将式(11.1.52)改写成易于递推计算的差分格式，有()n i n i n i n i u u u u 1112-++--=λα式中，)/(x t ∆∆λ=为网格比。
相应于上式的误差传播方程为()n i n i n i n i 1112-++--=εελαεε (11.1.53) 式中，ε是各节点上的离散量。
如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则n ε、1+n ε可以展开为以下的傅立叶级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∞-∞=++∞-∞=k kx n k n k kx n k n e C x e C x I 11I )()(εε 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑∞-∞=+++∞-∞=k kx n k i n n i k kx n k i n n i i i e C x e C x I 111I )()(εεεε (11.1.54) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±==±=∑∑∞-∞=±+++±∞-∞=±±k x x k n k i n n i k x x k n k i n n i i i e C x x e C x x )(I 1111)(I 1)()(∆∆∆εε∆εε (11.1.55) 其中，1I -=。
