1 《方程的根与函数的零点》复习课
知识与技能
1、掌握函数零点的概念，会求解简单的函数零点问题
2、理解函数的零点、图象与相应方程根的关系，掌握求函数零点、方程实根的常用方法
3、掌握函数的存在性定理，能判断函数零点所在区间及个数问题。
过程与方法
通过三种主要题型的探究，进一步使学生领会函数与方程的内在联系，从而了解函数的零点与方程的根的关系，体会函数与方程、数形结合、转化等数学思想；
情感态度与价值观
在函数与方程的解题中体验数形结合思想，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，鼓励学生通过观察、类比，提高审题、运算及分析问题、解决问题的能力．
教学重点：方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理．
教学难点：数与形方法的选择和应用.
教辅手段：PPT、几何画板
教学过程
一、知识点梳理
1、函数的零点的定义是什么？
函数的零点：对于函数)(xfy，把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点。
求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程0xf的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标．即使所求．
2、分别从数和形的角度说明方程与函数、函数图象之间的等价关系
(1)方程0)(xf有实数根(2)函数)(xfy有零点(3)函数)(xfy的图象与x轴有交点
【处理方式】:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程0xf的根即函数xfy的零点，可以把解方程0xf的问题转化为函数xfy图象与x轴的交点问题。
函数与方程思想：若y=()fx有零点0xf(0x)=0
师：若0xf中xf包含两种不同类型的基本初等函数，方程无法直接求解，如何判断方程的解的情况？
2 生：()fx=()gx有解0x若y=f(x)与y=g(x)有交点(0x，0y)
1 第2讲 函数的单调性与最值
一、知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)f（x1）－f（x2）x1－x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)f（x1）－f（x2）x1－x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
2 在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、教材衍化
1．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．
答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))
2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.
2021年新高考数学一轮专题复习
第05讲-函数的单调性与最值
一、考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意
义．
二、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任
意两个值x
1，x
2，改变量Δx＝x
2－x
1>0，则当
Δy＝f(x
2)－f(x
1)>0时，就称
函数y＝f(x)在区间M上是增
函数Δy＝f(x
2)－f(x
1)<0时，就称函数y
＝f(x)在区间M上是减函数
图象
描述自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调
性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x
0∈I，使得f(x
0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x
0∈I，使得f(x
0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[方法技巧]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处
取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1
f（x）的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋a
x(a>0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，
(0，a].
三、经典例题
考点一确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的x
1，x
2∈[a，b](x
1≠x
2)，下列结论不正确的是()
A．
12
12fxfx
xx
>0
B．f(a)
1)
2)
C．(x
1－x
2)[f(x
1)－f(x
2)]>0
D．
21
21xx
fxfx
第二节函数的性质
第1课时 系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为1 ,如果对于定义域1内某个区间D
上的任意两个自变量 x1, x2
定义 当 X1f(X2),那
么就说函数f(x)在区间D上是增 么就说函数f(x)在区间D上是减
函数 函数
图象描述
| r | *1
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y= f(x)在这一区间上具有(严
格的)单调性，区间 D叫做函数y= f(x)的单调区间.
［点拨］(1)函数单调性定义中的 Xi , X2具有以下三个特征：一是任意性，即 任意两数
Xi, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即 XiVX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区
间，三者缺一不可.
⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量 X1, X2的值,
都有fXL二竺 或fXk 4竺<。.
X1 — X2 X1— X2 /
(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整 个定义域上有此性质.
［谨记常用结论］
(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.
(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.
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⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.
⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时， f(x) •(x)是增(减)函数；当两
者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.
(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.
［小题练通］
1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2— 2x的单调递增区间是 ______ .
