人教A版高中数学必修1课件：1.3.1函数的单调性与最大(小)值

教学设计方案

课题名称

3.2.1函数的单调性和最大（小）值

授课教师

工作单位

年级学科

高一数学 教材版本 人教A版（2019）

一、 教学内容分析

本节课是新课标人教A版（2019）必修1中第三章函数的性质之函数的单调性和最大（小）值的第2课时，也是对函数性质的进一步研究。函数的最值问题对于学生来说并不陌生，初中已经学习了求二次函数的最大（小）值的问题，学习起来相对轻松。本节在函数的单调性之后，目的在于引导学生用单调性探究函数的最值问题，同时对解决日常生活中的最值问题起着重要作用。通过本节课的学习，可以让学生理解函数最值的定义和几何意义，进一步加深对函数性质的理解，同时，对于常见题型的研究，也将数学结合和分类讨论思想充分体现，对培养学生直观想象、数学建模等核心素养都具有重要意义。

二、课标分析

教学目标：

1、 掌握函数最大值和最小值的定义，理解几何意义

2、 掌握应用函数的单调性等求最值的办法

教学重点：理解函数最值的定义

教学难点：常见的求函数最值的题型

三、学情分析

现阶段大部分学生学习的主动性较差，且随着高中数学难度的加大，学习信心不足。通过对常见函数的单调性问题的学习，找到初中知识和高中知识的衔接点，从特殊到一般，再通过类比，使学生更容易掌握新知识，并且探究能力，推理能力和应用能力都得到一定的锻炼。因此，学生已经具备了探索、发现、研究函数单调性的基础，故应通过引导，使学生独立思考、大胆尝试和灵活应用，从中体会类比、归纳、转化等数学思想。

四、教学过程

教学环节 教学内容 设计意图

情境引入

课堂探究

通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义

类比定义

类比得出最小值定义

函数最值的几何意义

常见题型

通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课题：1.3.1函数的最大(小)值

一、三维目标：

知识与技能:（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；

（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。

过程与方法：借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解函数最值问题。

情感态度与价值观：在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。

二、学习重、难点：

重点：应用函数单调性求函数最值。

难点：理解函数最值可取性的意义。

三、学法指导：

通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念， 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。

四、知识链接：

1.增函数的定义?减函数的定义?函数单调性的定义?

2. 判断函数单调性的方法步骤：

五、学习过程：

1.画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2 指出图象的最高点或最低点。

（1）32)(xxf （2）32)(xxf，]2,1[x

（3）2)(xxf （4）2)(xxf

2.函数最大（小）值定义

(1)．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。

(2). 最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）_______________________________________________；

高一数学单调性与最大（小）值

（一）

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x2 (x>0)的图象进行讨论变化趋势：

②.一次函数、二次函数和反比例函数，增大或减小的性质？

③增函数定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

function）

④减函数的定义；

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

1、 例题讲解

例1（P29例1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

探究：32yx的图象与3yx的关系？

三、巩固练习：

1.求证f(x)＝x＋x1的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2.判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x2－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性

四、小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1

课题： 单调性与最大（小）值 （二）

1.教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

()23fxx，()23fxx [1,2]x；2()21fxxx，2()21fxxx [2,2]x

② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）

2、 例题讲解：

例1函数21yx在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

例2．求函数1yxx的最大值

用心 爱心 专心 函数的单调性（一）

【教学目标】

1．理解函数单调性的概念，会利用函数图象写出单调区间．

2．能运用定义对函数单调性进行证明，培养学生的推理论证能力．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 函数单调性概念的理解．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

如图为上海市2008年元旦这一天24小时内

的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1 随着时间的推移，气温如何变化？

问题2 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而不断增大？

〖设计意图〗从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的生成，也揭示了单调性最本质的东西．

二、直观抽象，形成概念

当自变量变大时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，我们同学在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义.

1． 借助图象，直观感知

①

观察第一组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

从左至右图象呈__上升__趋势

②

观察第二组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

从左至右图象呈__下降__趋势

③ 观察第三组函数图象，当自变量 x 增大时，函数值 y 的变化趋势如何？

xyxyy=x+1xyOOO111111y=-x+1xyxyxyOOO111111用心 爱心 专心 1x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx1x2x)(1xf)(2xf)(xf图4yx

从左至右图象呈_局部上升或下降_趋势

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，引导学生进行分类描述函数的单调性 (增函数、减函数)．

2． 抽象思维，形成概念

问题3.如何用数学语言来准确地表述当自变量 x 增大时，函数值 y 也增大？

引出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．