高中数学人教版必修一单调性与最大值

【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3.1单一性与最大(小)值第2课时(含答案分析)

第 2 课时 函数的最值

课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．

1．函数的最大值、最小值

最值 最大值 最小值

设函数 y＝ f(x) 的定义域为 I，假如存在实数 M 知足：

(3) 关于随意的 x∈ I ，都有 __________ ．

条件 (1) 关于随意的 x∈ I ，都有 __________ ．

(4) 存在 x0∈ I ，使得 __________ ．

(2) 存在 x0∈ I ，使得 __________.

结论 M 是函数 y＝ f(x) 的最大值 M 是函数 y＝ f(x) 的最小值

2.函数最值与单一性的联系

(1) 若函数 y＝ f(x) 在区间 [a， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为

________．

(2)若函数 y＝ f(x) 在区间 [a，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．

一、选择题

1．若函数 f(x) ＝x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是

()

A． a≤－ 3 B ．a≥－ 3

C． a≤ 5 D ．a≥3

2．函数 y＝ x＋ 2x－ 1()

A．有最小值 1，无最大值

2

1，无最小值

B．有最大值 2

C．有最小值 1，最大值 2

2

D．无最大值，也无最小值 【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3.1单一性与最大(小)值第2课时(含答案分析)

3．已知函数 y＝x 2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 ()

1 高中数学函数的单调性·基础练习

(一)选择题

1y()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x2[ ]

A．增函数

B．既不是增函数又不是减函数

C．减函数

D．既是增函数又是减函数

2(1)y|x|(2)y(3)y(4)yx(0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在－∞，上为增函数的有||||||xxxxxx2[ ]

A．(1)和(2) B．(2)和(3)

C．(3)和(4) D．(1)和(4)

3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有[

]

AkBkCkDk．＞．＜．＞－．＜－12121212

4．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 [ ]

A．a≥－3 B．a≤－3 C．a≤5 D．a≥3

5．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是 [

]

A(]B[)C(]D[)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞34343434

2 6．若y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，则下列结论正确的是 [

]

Ay(ab)．＝在区间，上是减函数1fx()

B．y＝－f(x)在区间(a，b)上是减函数

C．y＝|f(x)|2在区间(a，b)上是增函数

D．y＝|f(x)|在区间(a，b)上是增函数

7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则 [ ]

A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)

(二)填空题

1y2y．函数＝的单调递减区间是．．函数＝的单调递减区间是．1111xxx

3．函数y＝4x2－mx＋5，当x∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．

4y5y．函数＝的增区间是．．函数＝的减区间是．542322xxxx

函数的性质

一、函数的单调性

1.增函数和减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

2.函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间

（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x1，x2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x1

（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（x1）

（4）有的函数不具有单调性，如函数y={1，x为有理数0，x为无理数，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性

（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=1x 在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”

（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 函数的性质

（7）函数在某一点处的单调性无意义

1.3.1单调性与最大(小)值(二)

自主学习

1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义．

2．会利用函数的单调性求函数的最值．

1．函数的最大值、最小值的定义

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．

2．函数f(x)＝x2＋2x＋1 (x∈R)有最小值，无最大值．若x∈[0,1]，则f(x)最大值为4，最小值为1.

3．函数f(x)＝1x在定义域上无最值．(填“有”或“无”)

对点讲练

利用单调性求函数最值

【例1】 已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x (x∈[2，＋∞))，

(1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．

分析 求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值．

解 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，

且x1

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－3x1x2

∵x1

又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－3x1x2>0 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．

∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝112.

(2)∵f(x)最小值为f(2)＝112，

∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<112.

规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)

变式迁移1 求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f(x)

解 任取2≤x1

则f(x1)＝x1x1－1，f(x2)＝x2x2－1，

f(x2)－f(x1)＝x2x2－1－x1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1，