1 第2讲 函数的单调性与最值
一、知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)f（x1）－f（x2）x1－x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)f（x1）－f（x2）x1－x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
2 在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、教材衍化
1．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．
答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))
2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.
.
. 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）
教学设计
一、 教学内容解析：
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章3.1节。
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．
函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．
函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．
教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）．
(2)教学内容的知识类型；
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）
教学设计
一、 教学内容解析：
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．
函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．
函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．
教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）．
(2)教学内容的知识类型；
在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.
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函数的单调性与最值（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设，都是单调函数，有如下四个命题：
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减．
其中正确的是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明
2.若函数与在区间(0，+∞)上都是减函数，
则在区间(0，+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
答案：B
解题思路： 第2页共6页
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的判断与证明
3.已知是定义在(0，+∞)上的单调减函数，若，则x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的性质
4.已知定义在(-1，1)上的函数是减函数，且，则a的取值范围是( )
A.B. 第3页共6页 C.D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的性质
5.函数( )
A.在(-1，+∞)上单调递增 B.在(-1，+∞)上单调递减
C.在(1，+∞)上单调递增 D.在(1，+∞)上单调递减
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间
6.若函数在区间(1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是( ) 第4页共6页
A.(-∞，0] B.[0，+∞)
C.(-∞，-2] D.[1，+∞)
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间
7.函数的单调递减区间是( )
A.，B.，
C.，D.，
答案：A
解题思路：
