向量在平面几何解题中的应用PPT课件

9.4 向量应用
向量的应用 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(2)向量在物理中的应用 ①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求 解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． ②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的 实质是向量的数量积．
解得 λ＝25， 所以 BE∶EC＝25∶35＝2∶3.
方法二 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设B(0,0)，C(2,0)，
则 A12， 23，D52， 23. 设 E(m,0)，则B→D＝52， 2B→D＝0，即52m－12－ 23× 23＝0， 解得 m＝45， 所以 BE∶EC＝45∶65＝2∶3.
例2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线 AC的长.
解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b， 而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
2．在平面直角坐标系中，力 F＝(2，3)作用一物体，使物体从点 A(2，0)移动到点 B(4，0)，则力 F 对物体做的功为________．
【解析】根据题意，力 F 对物体做的功为 W＝F·A→B ＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0 ＝4. 答案：4
3．正方形OABC 的边长为1，点D，E 分别为AB，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________． 【解析】以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
(3)向量在平面解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为 解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热 点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一 是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．

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第9章 平面向量
6
2．若向量 OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋
F2|为( )
A．(0，5)
B．(4，－1)
C．2 2
√D．5
解析：F1＋F2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F1＋F2|＝5.
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第9章 平面向量
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1，2)
√D．(1，2)
解析：由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0， 故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1，2).
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第9章 平面向量
27
3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为 E，则 ED＝________．
第9章 平面向量
25
解析：由题意知|v 水|＝2 m/s，|v 船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小|v|＝ 102＋22＝2 26(m/s).
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第9章 平面向量
26
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于
某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
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第9章 平面向量
12
角度二 平面几何中的平行(或共线)问题 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB
上，且ECDE＝AFFB＝12.求证：点 E，O，F 在同一直线上．
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3．情感、态度与价值观 x1y2－x2y1＝0
(3)揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识，发展运算能力和解决实际问题的能力．
在将平几面 何几等何实中际，问平题通行化过四归边为本形向是量节学问生题的熟，学悉将的物习重理要中，的有使几关何矢同图量形的学，问那题们么转对在化本为用节数的学向学中量习向中量研，的用问究学题生．几非何常熟以悉的及内其容来他讲解学向量科在有几何了中的一应个用．初步的认识，
平面几何中的向量方法及应用课件
三维目标
1．知识与技能 (1)通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”； (2)通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物 理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向 量的概念和向量运算的认识． (3)揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识，发展运算能力和解决实 际问题的能力． 2．过程与方法 (1)明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由 向量的线性运算及数量积表示；
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3．情感、态度与价值观
x向1x量2＋在y几1y何2＝中0的[应导用入二] [基础夯实型]
(2)通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用．
通何过问本 题节中的的学优习越在，性使．日同学常们生对用活向中量研，究你几何是以及否其有他学这科样有了的一经个初验步的：认两识，个提人高学共生提迁移一知识个的旅能力行、包运算，能夹力和角解越决实大际问越题费的能力力；，让在学单生深刻理解向量在处理平面几
算的认识．
(1)明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；

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第六章 平面向量及其应用
2.如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式： (1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B. 解：(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝ → GE. (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E＝E→A ＋A→E＝0.
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第六章 平面向量及其应用
■名师点拨 (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用 于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形 法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． (3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成 可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
解：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算
第六 理解向量加法的概念以及
的几何意义 向量加法的几何意义
掌握向量加法的平行四边 平行四边形法则
形法则和三角形法则， 和三角形法则
会用它们解决实际问题
平面向量加法 掌握向量加法的交换律和
的运算律 结合律，会用它们进行计算

3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B

0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝

_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤

当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.

B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，
与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大
小．故 D 正确．
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第六章 平面向量及其应用
2．下列说法正确的是( )
A．向量A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线
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课件
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B．长度相等的向量叫做相等向量 课件
达 D 地．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A；
(2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
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第六章 平面向量及其应用
解：(1)由题意，作出向量A→B，B→C，C→D，D→A，如图所示．
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
→
(3)BC，使|BC|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上．
【解】 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°方向上，所以在坐标
纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|O→A|
＝4 2，小方格的边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数
与纵向小方格数都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出向量
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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A．也可以用M→N表示 C．起点是 M 答案：D

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向 量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原 问题．
如图所示，在某次抗震救灾中，一 架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的 方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的 路程及两次位移的和．
所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2 ＝ 8002＋8002＝800 2(km)， 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°，从而飞 机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
1．化简O→P＋P→Q＋P→S＋S→P的结果等于( )
4.已知▱ABCD，O 是两条对角线的交点，E 是 CD 的一个三等分点(靠近 D 点)，求作： (1)A→O＋A→C； (2)D→E＋B→A.
解：(1)延长 AC，在延长线上截取 CF＝AO， 则向量A→F为所求．
(2)在 AB 上取点 G，使 AG＝13AB， 则向量B→G为所求．
第六章 平面向量及其应用
解析：选
D.
由
→ AC
＝
→ AB
＋
A→D得
→ AD
＝
→ BC
，
即
AD＝ BC，且
AD∥BC，所以四边形 ABCD 的一组对边平行且相等，故为平
行四边形．
3．已知非零向量 a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______． 解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为 13. 答案：13

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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.

即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题， 只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向 量方法去试着解决．
本例中 a2＋b2，c2＋d2 与向量的模有联系，而 ac＋bd 与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示.
[例 2]
向量在几何中的应用
证明：设O→A＝(a，b)，O→B＝(c，d)．
当O→A、O→B至少有一个为零向量时，所证不等式成立；
当O→A、O→B均不是零向量时，设其夹角为 α，则有 cosα
→→
＝
OA·OB →→
＝
|OA|·|OB|
a2＋acb＋2·bcd2＋d2，
∵|cosα|≤1，∴
a2＋acb＋2·bcd2＋d2≤1，
(文)如图所示，在△AOB 中，若 A，B 两点坐标分别 为(2,0)，(－3,4)，点 C 在 AB 上，且平分∠BOA，求点 C 的坐标．
解析：设点 C 坐标为(x，y)
由于 cos∠AOC＝cos∠BOC，且
→→
→→
cos∠AOC＝
OA·OC →→
，cos∠BOC＝
OB·OC →→
，
|OA|·|OC|
一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则 从模的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向 量的加减运算及实数与向量的积着手．
2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
|OB|·|OC|
→→ →→ ∴OA→·OC＝OB→·OC，