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你理解何为“群”？一、群的定义与特征群，简单来说，是由一群人组成的特定集合。
这里的人可以具有相同的兴趣、目标、职责等共同点。
群可以是临时的也可以是长期的，可以是小规模的也可以是大规模的。
群在人类社会中起着重要的作用，是人们沟通、交流和合作的重要载体。
1. 群的定义群是由一群人组成的集合体，人们通过共同的利益、目标、身份或活动等因素而聚集在一起。
2. 群的特征（1）成员互动：群是由成员之间的相互交流、合作和互动构成的，在群中成员之间会形成互相影响和互相促进的关系。
（2）共同目标：群的成员通常会有共同的目标或利益，群的存在和运作都是为了实现这些目标。
（3）归属感强：在群中，成员会形成一种归属感，感受到群体的温暖与共同体验，这种归属感可以激发成员的参与度和凝聚力。
二、群的类型与功能群的形式与功能多种多样，不同类型的群在各自领域中发挥着不同的作用。
下面列举了几种常见的群类型及其功能。
1. 工作群工作群是指在工作场所中因共同的职责、任务或岗位而聚集的群体。
工作群的主要功能是促进信息流动、提高协作效率和共享资源，通过合作完成共同的工作目标。
2. 兴趣群兴趣群是由具有相同兴趣爱好的人组成的群体。
兴趣群的主要功能是提供成员间的交流和互动平台，共享知识经验、分享兴趣爱好，以及组织相应的活动和聚会。
3. 社交群社交群是指在社交场合或社交网络中形成的群体。
社交群的主要功能是促进人际交往、增加社交圈子、建立社会关系等。
社交群在职场、朋友圈等不同场合中都有所存在。
4. 家庭群家庭群是指家庭成员之间形成的群体。
家庭群的主要功能是促进家庭成员间的沟通和互动，传递家庭价值观念、传统文化等，以及提供相互支持和依赖。
5. 社群社群是指具有相同特征或身份的人所构成的群体，例如同一个行业的从业人员、同一个地区的居民等。
社群的功能包括资源共享、信息传递、集体行动等，在维护成员利益和实现共同目标中发挥着重要作用。
三、群的影响与作用群对个体和社会的影响非常深远，它既可以给人们带来积极的作用，也可能带来一些负面的影响。
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
城市群知识点城市群是指由若干个城市及其周边地区组成的一个相互联系紧密的区域，是现代城市发展的重要形态之一。
下面将为大家介绍一些关于城市群的基本知识点。
一、城市群定义及形成原因城市群是指由相邻的城市及其周边地区组成的一个相互依存、经济联系紧密的区域。
城市群的形成原因主要包括经济发展需求、交通条件改善、人口流动等方面的因素。
二、城市群的特点1. 地理位置接近：城市群的城市通常地理位置接近，相互之间交通便利，形成互通有无的经济联系。
2. 经济联系紧密：城市群内的城市之间有着密切的经济联系，共同构成一个经济体系。
3. 人口流动频繁：城市群的城市之间的人口流动频繁，人口资源在城市群内流动，形成人口的再分配。
4. 功能互补：城市群内的城市具有不同的功能，相互之间存在着互补关系，形成较为完整的产业链。
三、中国现阶段的城市群1. 京津冀城市群：由北京、天津、河北省的其他城市组成，是我国北方地区经济发展的重要支撑区域。
2. 长三角城市群：由上海、江苏省、浙江省及安徽省的若干城市组成，是我国经济最为发达的地区之一。
3. 珠三角城市群：由广州、深圳、香港、澳门等若干城市组成，是我国外向型经济最活跃的地区之一。
4. 成渝城市群：由成都、重庆及周边地区的若干城市组成，是我国西部地区经济发展的重要区域。
四、城市群带来的影响1. 经济发展带动：城市群内各城市之间的经济联系紧密，形成区域经济的快速发展。
2. 人口流动调控：城市群内人口的流动实现了资源的再分配，调控了人口的就业与居住。
3. 城市间合作加强：城市群内的城市之间合作频繁，相互共享经验、资源，促进区域合作与发展。
五、城市群的发展趋势1. 规划引导：政府根据城市群的发展需求，制定相关规划，引导城市群的有序发展。
2. 城市群协同发展：加强城市群内城市之间的合作与协调，促进城市群的协同发展。
3. 城市交通网络改善：加强城市群内的交通网络建设，提高城市间的联系与流动效率。
4. 优化产业结构：在城市群内实施产业升级与优化，实现经济的可持续发展。
抽象代数知识点总结一、群的基本概念与性质1、集合及其基本概念集合是研究对象的所有对象的总体，且每个对象都是它的一个成员。
集合的基本概念有空集、全集等。
2、二元运算及其基本性质设M是一个非空的集合，如果对于M中的每一对元素（a，b），都有一个元素：c与之对应，那么就称c在二元运算下，是a和b的像，记作：c=a*b or c=ab 或c=a×b。
3、群的基本概念设G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，如果满足下列4条性质：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a、b，有a*b＝c，则c也是G中的一个元素。
2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c＝a*(b*c)。
3）存在单位元：存在G中的一个元素e，对于G中的任意一个元素a，都有e*a＝a*e＝a。
4）存在逆元：对于G中的任意一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a*b＝b*a＝e。
则称（G,*）为一个群，*e*为群的单位元，b为a的逆元。
4、群的基本性质群具有唯一性、反号的相等性、等式的一般性质以及二次方向等性质。
5、群的记号与群的表示法群记号一般由两部分组成，它们的含义可以简单分别叫做群名和运算名，前者表示群的所有元素的种类，后者表示群的元素相互之间的运算。
这是群的基本概念与性质的介绍，群是代数结构中的一种基本结构，具有很强的普适性，因此在很多数学分支中都有广泛的应用。
二、群的子群与陪集1、子群的定义设（G，*）是一个群，对于G的一个非空子集H来说，如果在G的运算*下，H构成一个群，则称H是G的一个子群。
2、子群的判定定理判定定理是指定群的一个非空子集是否为子群的方法，使得许多确定子群是否存在的问题可以迅速得到解决。
3、陪集的基本概念给定群G，a是G的一个元素，在G中a的左陪集和右陪集分别定义。
4、陪集的划分与陪集的等价关系陪集的划分是一个重要概念，若H是G的一个子群，a是G的一个元素，G可被H分成无穷个不相交的子集（陪集）：aH={(ah|h∈H)}及Ha={(ha|h∈H)}三、同态与同态定理1、同态的定义设（G，*）和（G’，*’）是两个群，如果G、G’之间的映射f满足一定条件，即对于任意的a.b∈G，有f(a*b)=f(a)*’f(b)，则称映射f为从（G，*）到（G’，*’）的同态映射。
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。
（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。
例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
高等代数知识点总结一、群论群是高等代数中最基本的代数结构之一，它是一个集合和上面的一个二元运算构成的代数系统。
群满足以下四个性质：1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab也属于G。
2. 结合律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意元素a∈G，有a·e = e·a = a。
4. 存在逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a·b = b·a = e。
群的性质有很多重要的结论，比如：每个群都有唯一的单位元，每个元素都有唯一的逆元，乘法运算满足左消去律和右消去律等。
群还有很多重要的概念和定理，比如：子群、陪集、拉格朗日定理、卡曼定理等。
二、环论环是一个比群更一般化的代数结构，它包括一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。
环满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 乘法满足结合律。
3. 分配律成立，即对于环R中的任意三个元素a、b、c，有a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
环还有一些重要的概念和定理，比如：整环、域、多项式环、欧几里德环、唯一因子分解整环等。
三、域论域是一个更加一般化的代数结构，它是一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。
域满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 非零元素对乘法构成一个阿贝尔群。
3. 分配律成立。
域是代数学中一个非常重要的概念，它是线性代数和代数几何的基础。
高等代数还包括一些其他的内容，比如：线性代数、模论、范畴论等。
线性代数是代数学的另一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换等代数结构。
模论是研究环上模结构的代数学分支，它是线性代数的一种推广。
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。
对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。
从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G ==ΛΛ.在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =，必有G h ∈。
（2） 结合律。
对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈，对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素，1-f称为f 的逆元素。
例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1.例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X Λ=映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P ΛΛ 其中n m m m ,,,21Λ是n ,,2,1Λ的任意排列，P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
定义两个置换'P 和P 的乘积P P '，为先实行置换P ，再实行置换'P ，如⎝⎛1221 ⎪⎪⎭⎫33 ⎝⎛2321 ⎪⎪⎭⎫13= ⎝⎛1321 ⎪⎪⎭⎫23。
容易看出在这乘法定义下，全部n 阶置换构成n S 群。
n S 群共有!n 个元素。
例3 平面三角形对称群3D ，又称为6阶二面体群。
考虑重心在原点，底边与x 轴平行的xy 平面上的正三角形ABC ∆，见图1.1（a ）。
保持正三角形不变的空间转动操作有:e 不转，:d 绕z 轴转2π，:f 绕z 轴转4π，:a 绕轴1转π，:b 绕轴2转π，:c 绕轴3转π定义两个转动操作的乘积，如ab 为先实行操作b ，再实行操作a 。
由图1.1()b 可看出，实行操作b 和实行操作ab 后ABC ∆位置的变化，且可看出，实行操作ab 和实行操作d 一样，因此d ab =。
在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成3D 群。
},,,,,{3c b a f d e D =是6阶群，它的乘法表见表1.2.例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，n 和n -互为逆元素。
同理，全体实数在加法下也构成一个群。
但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。
除去0以外的实数构成一个群。
例5 空间平移群()3T 。
设→a 是3R 中的向量，→r 是3R 中任意一向量，定义空间平移a T 为 →→→+=a r r T a定义两个平移a T 和b T 的乘积b a T T ，为先实行平移b T ，再实行平移a T ， →+→→→→→→=++=+=r T a b r b r T r T T b a a b a )(故 a b b a b a T T T T T ==+ ()3T 群的单位元素是平移零向量θT ，即不平移，其中θ是零向量，a T 和a T -是互逆元素。
例6 三维转动群)3(SO 。
保持3R 中点O 不动，设→k 是过O 点的任一轴，绕→k 轴转ψ角的转动为)(ψk C 。
定义两个转动)(ψk C 和)(''ψk C 的乘积)()(''ψψk k C C ，为先实行绕→k 轴转ψ角，再实行绕'k 轴转'ψ角。
则绕所有过O 点轴的一切转动构成)3(SO 群。
)3(SO 群的单位元素是转角0=ψ，即不转。
绕同一轴→k ，转角ψ和ψπ-2的元素)(ψk C ，)(''ψk C 互为逆元素。
由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。
当群G 的元素个数有限时，G 称为有限群。
当G 的元素个数为无限时，G 称为无限群。
空间反演群、n S 群、3D 群是有限群，例4至例6是无限群。
有限群G 的元素的个数n 称为群的阶，有时记为()G n 。
反演群是二阶群，3D 是6阶群，n S 是!n 阶群。
群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。
有限群的乘法规则，可以列为乘法表。
无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。
群的乘法一般不具有可交换性。
即对任意G g f ∈,，一般说来fg 与gf 并不相等。
如果对任意G g f ∈,，有gf fg =，则称G 是可交换群或阿贝尔(Abel)群。
从前面例子还可以看出，群G 的任何元素可以用指标a 标记。
当G 是n 阶有限群时，指标a 取n ,,2,1Λ，群元用),,2,1(n a g a Λ=表示。
当G 是可数的无限群时，如整数加法群，a 可以取所有整数值，Λ,2,1,0±±=a 。
当G 是连续的无限群时，如实数加法群，有时a 取全体实数，有时a 取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a 是三个无界的有序实数),,(z y x a a a ，→→→→++=k a j a i a a z y x又如在转动群中，a 是3个有界的有序实数ψϕθ,,，其中ϕθ,是转轴→k 的方位角，ψ是转动角度，而且，πψπϕπθ≤≤<≤≤≤0,20,0,综上所述，群G 是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a 标记为a g ，给出此范围中任一个数a ，就对应群G 的一个元素。
定理1.1（重排定理） 设G u g G a ∈=},{，当a 取遍所有可能值时，乘积a ug 给出并且仅仅一次给出G 的所有元素。
证明 先证G 中任意元素βg 可以写成a ug 的形式。
因为G u ∈-1，所以G g g u ∈=-αβ1，自然有αβug g =。
再证a ug 当α不同时，给出G 中不同的元素。
用反证法，设'αα≠，而'ααug ug =，两边左乘1-u 得'ααg g =，这与α可以唯一标记G 中元素矛盾。
故'αα≠时，'ααug ug ≠。
于是当α改变时，a ug 给出并仅一次给出G 的所有元素。
定理证毕。
系u g a 在α取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G 的所有元素。
重排定理是关于群的乘法的重要定理。
它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且仅仅一次。
乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。
1.2子群和陪集定义1.2 设H 是群G 的一个子集，若对于与群G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，则称H 为G 的子群。
常记为G H ⊂。
容易证明，群G 的非空子集H 是G 的子群的充要条件为：(1)若H h h a ∈β,，则H h h ∈βα，(2)若H h ∈α，则H h ∈-1α。
任意一个群G ，其单位元素e 和G 本身都是G 的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。
群G 的非显然子群称为固有子群。
若不特别说明，一般说是指固有子群。
例7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。
例8 在x 轴方向的平移}{→i T x a 全体构成平移群)3(T 的一个子群。
例9 绕固定轴→k 的转动)(ψk C ，πψ20<≤是)3(SO 群的一个子群。
定义1.3 n 阶循环群是由元素a 的幂k a 组成，n k ,,2,1Λ=，并且e a n =，记为 },,,{2e a a a z n n ==Λ.循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。
从n 阶有限群G 的任一个元素a 出发，总可以构成G 的一个循环子群,k z称a 的阶为k ，k z 是由a 生成的k 阶循环群。
因为当e e a ,=为G 的一阶循环子群，这是显然子群。
当,,2a a e a ≠≠如e a =2，则由a 生成2阶循环子群。
如,,,,12e a e a e a k ≠≠≠-Λ，用重排定理，知k k a a a a ,,,,12-Λ为G 中不同元素。
通过增加k ，再利用重排定理，总可以在n k ≤中达到e a k =。
因此，从阶有限群的任一元素a 出发，总可以生成一个G 的循环子群。
定义1.4 设H 是群G 的子群，}{αh H =。
由固定G g ∈，H g ∉，可生成子群H 的左陪集{},H h gh gH ∈=αα同样也可生成H 的右陪集{},H h g h Hg ∈=αα有时也将陪集称为旁集。
当H 是有限子群时，陪集元素的个数等于H 的阶。
定理1.2（陪集定理）设群H 是群G 的子群，则H 的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。
证明 设G v u ∈,，H v u ∉,，考虑由v u ,生成的H 的两个左陪集，}{H h uh uH ∈=αα,}{H h vh vH ∈=αα设左陪集uH 和vH 有一个公共元素，βαvh uh =则H h h u v ∈=--11αβ根据重排定理，γuh v 1-当γ取遍所有可能值时，γuh v 1-给出群H 的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集γγuh uh v v =-][1与左陪集γvh 重合。
因此当左陪集uH 和vH 有一个公共元素时，uH 和vH 就完全重合。
定理证毕。
同样的证法，也适用于右陪集。
定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。
证明 设G 是n 阶有限群，H 是G 的m 阶子群。
取G u ∈1，H u ∉1,作左陪集H u 1。
如果包括子群H 的左陪集串H u H 1,不能穷尽整个群G ，则取H u u H u G u 1222,,∉∉∈，作左陪集H u 2。
根据陪集定理，H u 2与H 和H u 1完全不重合。
继续这种做法，由于G 的阶有限，故总存在1-j u ，使包括子群H 的左陪集串H u H u H u H j 121,,,,-Λ穷尽了整个G 。
