第三章连续转动群 2010 2

格式：ppt
大小：1.22 MB
文档页数：43

下载文档原格式

第三章连续转动群 2010 2

4
α O
α
点操作的特点：设不动的点为坐标原点，则点操作不改变任意两矢量，间的相对位置(数学上称保长、保角变换)。
任何点操作在三维空间中对应着一个算符A：内积：满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
5
由要求即变换算符A 是幺正的。三维实空间中，要求A变换不会将实矢量变成复矢量， ∴ A必须是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符，对应的矩阵为正交矩阵：。由正交变换组成的群称为O群（全正交群）。三维实空间： O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group.
12
第二节定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题：
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。与，类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。是群元算符，其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷小量，起生成元作用）。为有限值时，可写为 n为正整数当时，
SO(3)群中转角相同的旋转属于同一个类。
（证明略）
也是一种旋转
α
β
由图
25
在三维实空间对应一个算符：
，
θ α
26
当
时，对应于无穷小转动，由上式有
SO(2)群中无穷小算符，
推广： SO(3)群有三个无穷小算符
27
作用在三维实空间的基矢上可得到矩阵表示：
满足
满足循环对易关系，且为反厄米的。
28
43
确定SO(3)群的不可约表示：
每个群元都可由
表示出来，

群论-三维转动群汇编

物理学中的群论——三维转动群主讲翦知渐群论-三维转动群第四章三维转动群三维转动群的表示4.1 维转动群的表示§拓扑群和李群42§4.2轴转动群SO (2)§4.3 三维转动群SO (3)§4.4二维特殊幺正群SU (2)§4.1拓扑群和李群连续群的基本概念1拓扑群无限群分为分立无限群和连续无限群有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立定义4.1 连续群的维数, a2, …, a n所标明连续群G的元素由一组实参数a1其中至少有一个参数在某一区域上连续变化，且该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的则该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数。

在具体的群中，参数的取法可能不唯一例子如下的线性变换T(a,b)x'= T(a,b)x = ax +b,a,b∈(-∞,+∞), a≠0构成的集合，定义其上的乘法为：T(a1,b1)T(a2,b2)x = T(a1a2, a1b2+b1)x，b b T封闭律是显然的逆元素为T-1(a,b) = T(1/a, -b/a) ，单位元是T(1,0)结合律也容易证明因此{T(a,b)}构成个连续群。

构成一个连续群。

由于群元素的连续性质，需要在群中引入拓扑由于群元素的连续性质需要在群中引入简单说拓扑是个集子集族简单地说，拓扑是一个集合以及它的子集族拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质为简单起见，我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子有对应关系的群有一一对应关系的群集Sl该子集称为参数空间定义4.2 拓扑群群元的乘法法则和取逆法则在群的所有元素处都连续的群，称为拓扑群定义4.3 简单群和混合群拓扑群G的任意两个元素x1和x2在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接（道路连通），则该群的参数空间是连通的，该群称为连通群或简单群。

若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。

前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。

北师大八年级上第三章第五节它们是怎样变过来的拓展---孟庆玲

《八年级上第三章第五节它们是怎样变过来的》教案
第1课时它们是怎样变过来的
1、如图是万花筒中见到的两幅美丽的图案，观察图案，用笔圈出图中的“基本图案”，想一想这两个图案各是怎样的“基本图案”旋转而成的．
答案：每个“基本图案”旋转60°，120°，180°，240°，300得到所见的图案画“基本图案”：略．
2、阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
图①图②图③图④请回答下列问题：
（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．
答案：1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°而得到△AFD 2）BE=DF
3、图3—5—5是由三个正三角形拼成的，它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变换而得到？
图3—5—5
答案：把中间的正三角形看做基本图案，以三个正三角形的公共顶点为旋转中心，分别按顺时针、逆时针方向旋转60°，即可得到该图案；把中间的正三角形看做基本图案，分别以这个三角形与相邻三角形的公共边所在的直线为对称轴作轴对称图形，也可以得到该图案.。

群论-三维转动群

构成一个连续群。

若群的参数空间形成不相连结的若干片，则该群称为混合群。

前者如三维转动群SO(3)，后者如三维实正交群O(3)。

群论第3章转动群

相对于基点 C 的位移可以写成
定义映射
��⃗��(��) = ��⃗��(��) − ��⃗��(��) = ��⃗��(��⃗��) − ��⃗��(��⃗��)
��⃗��(��⃗��) ≝ ��⃗��(��⃗�� + ��⃗��) − ��⃗��(��⃗��) 则

n1n2

n1n3
n1n2 n22 1 n2n3
n1n3

n2n3 。
n32 1
三维矩阵的恒等式
M3 trMM2 1 trM2 tr M2 M det M 1 0 ， 2
trX n

0
，
t
rX
2 n

2 ， det
Xn

0 ，给出
R* exp{T *} R ，
det R exp{trT} 1。又 R 是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，
R Qdiag{1, ei , ei }Q1 ，
其中 Q 是幺正矩阵； R 的本征值模 1，又由于 R 是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，
另一个为 1。现在
2
转动的夏莱（Chasles）定理。夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。
2．角位移参数
三维欧氏空间矢量内积保内积不变的线性变换三维实正交群O(3) ≝ {��|��̃�� = ��3×3, �� ∈ ��} 三维实特殊正交群SO(3) ≝ {�� ∈ O(3)| det �� = 1}，O(3) ≡ SO(3) ⊗ {1, −1} 自由度为 3。

第三章机械创新设计的技术基础

•曲柄滑块机构 •正弦机构 •直动从动件凸轮机构 •齿轮齿条机构 •螺旋机构
•
•曲柄滑块机构
•齿轮齿条机构
•正弦机构
•直动凸轮机构
•
•5、连续转动到平面运动的变换与实现机构 •连杆机构——连杆
•
•行星齿轮机构——行星轮
•
•单行星轮传动机构
•双行星轮传动机构
•连杆机构
•
•6、直线移动到直线移动的运动变换与实现机构 •双滑块机构 •移动凸轮机构
•
1、连续转动到连续转动的运动变换与实现机构 •齿轮传动机构，摩擦轮传动机构 ••连杆机构 •带传动机构、链传动机构、绳索传动机构 •液力传动机构，钢丝软轴传动机构 •万向节传动机构等
•
•直齿轮传动 •斜齿轮传动 •人字齿轮传动 •内齿轮传动
•螺旋齿轮传动
•蜗杆传动
•锥齿轮传动
•
•椭圆齿轮传动
•摩擦棘轮机构
•
•空间槽轮机构
•分度凸轮轮机构 •不完全齿轮机构
•棘轮机构应用
•槽轮机构应用
•
3、连续转动到往复摆动的运动变换与实现机构
•曲柄摇杆机构 •曲柄摇杆机构 •摆动导杆机构 •摆动从动件凸轮机构
•
•曲柄摇杆机构 •曲柄导杆机构 •曲柄摇块机构
•摆动凸轮机构
•
4、连续转动到往复直线移动的运动变换与实现机构
•四、机电一体化机械
•五、智能机械
•
•一、单一基本机构组成的机械
•由一个基本机构组成的简单机械具有多样化、 •用途广泛且实用性好的特点。 •许多基本机构都有应用价值。 •在简单机械中的应用最为普遍。
•手动冲压机构：•☺
•
•二、多个独立的基本机构协调工作组成的机械 •由多个基本机构独立工作，但他们之间的运动 •必须互相协调配合，完成特定的工作任务。

高等数学专插本教材目录

高等数学专插本教材目录
一、导言
1. 引言
2. 目的和适用范围
二、基础数学知识
1. 集合论
2. 函数与映射
3. 数列与极限
三、微积分
1. 导数与微分
2. 微分中值定理
3. 泰勒展开与多项式逼近
4. 不定积分
5. 定积分与反常积分
6. 微分方程
四、线性代数
1. 矩阵与行列式
2. 线性方程组
3. 向量空间与线性变换
4. 特征值与特征向量
5. 正交性与对称性
五、多元函数与多元微积分
1. 多元函数的极限与连续
2. 偏导数与全微分
3. 多元函数的极值与条件极值
4. 多元积分
六、无穷级数与函数级数
1. 数项级数
2. 幂级数与收敛半径
3. 泰勒级数
4. 函数展开与逼近
七、常微分方程
1. 一阶常微分方程与高阶常微分方程
2. 常系数线性微分方程
3. 变系数线性微分方程
4. 常微分方程的存在唯一性
八、向量分析
1. 向量场
2. 曲线积分与曲面积分
3. 散度与旋度
4. 格林公式与斯托克斯定理
九、其他
1. 微分方程的应用
2. 数学建模
3. 高等数学与工科应用案例
以上为《高等数学专插本教材》的目录，希望能对您学习高等数学专插本课程提供清晰的方向和内容概述。

这本教材将有助于您理解并掌握高等数学的基础知识和概念，学习微积分、线性代数、多元函数与多元微积分、无穷级数与函数级数、常微分方程、向量分析等重要内容。

同时，该教材还涉及了高等数学在工程科学领域的应用，为您提供实际问题的解决方法和案例分析。

祝您学习愉快！。

张丹海《简明大学物理》3-2 转动定理

r
M z rF sin
上页
下页
返回
帮助
3-2 转动定理
第三章刚体力学基础
（4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
rj
j
O
M
d
ji
iF ri ij
F ji
M ij M

ji
上页
下页
返回
帮助
3-2 转动定理
二、转动定理
第三章刚体力学基础
2
M i M mi ri
对所有质点求和： M i M i mi ri
' 2
刚体内相互作用力的力矩之和为零
Mi 0
'
上页下页返回帮助
3-2 转动定理
第三章刚体力学基础
2
M i mi ri
令
J mi ri
2
刚体对转轴O的转动惯量
' 2
1 12
(2 a )
2
上页
下页
返回
帮助
3-2 转动定理
第三章刚体力学基础
例3-2 求质量为m、半径为R的均匀薄圆环和薄圆盘对垂直中心轴的转动惯量。解：(1) 在环上任取质元dm。由于各质元至转轴的距离都等于R,故圆环的转动惯量为
J
R
2
d m mR
2
上页
下页
返回
帮助
3-2 转动定理
上页下页返回帮助
a
m g M m 2
物体速度滑轮角速度

上页
下页
返回
帮助
3-2 转动定理

连续转动到往复摆动的运动变换与实现机构

3连续转动到王复摆动的运动变换与实现机构及其的工作机构部分是往复摆动的例子也是比较多的。

实现连续转动到往复摆动的运动变换机构主要有曲柄摇杆机构、曲柄摇块机构、摆动从动件凸轮机构等。

图2-27为简图，对其进行机构设计后，可得到多种执行机构。

特别是图2-28所示鄂式破碎机是一个曲柄摇杆机构，运动由电动机传给带轮5，带动与带轮固联在一起的偏心轴2绕回转中心A旋转，偏心轴2带动鄂3运动。

由于在鄂3与机架1之间装有肘板4，从而使动鄂作复杂的摆动，不断挫挤矿石，完成碎矿工作。

鄂式破碎机是一个由机架1、主动件偏心轴2、从动件鄂3和肘板4组成的曲柄摇杆机构，当曲柄2为主动件时，曲柄2转一周，可使摇杆3往复摇动1次，即将原动机输出的来连续转动变成了工作机的往复摆动。

鄂式破碎机简图如2-29所示。

4连续转动到往复直线移动的运动变换与实现机构有很多机器都是以电动机作动力源的，二电动机输出的运动形式是连续的转动，当执行机构要求作直线运动时，这就需要将转动变成直线运动。

如图2-30所示，实现连续转动到往复直线移动的运动变换机构有曲柄滑块机构、正弦机构、凸轮机构、代或链传动机构、齿轮条传动机构、螺旋传动机构以及一些机构的组合。

（1）螺旋传动机构如图2-30g所示螺旋传动由螺杆和螺母组成，螺杆置于螺母中。

当转动螺杆时，螺杆上的螺旋沿着螺母的螺旋槽运动，从而将旋转运动变换为直线运动，同时传递运动及动力。

螺旋传动按其用途可分为三类：1）传力螺旋。

传力螺旋以传递动力为主，通常的紧固螺钉、螺母属于这一种。

它要求用较小的转矩螺旋（或螺母），从而使螺母（或螺旋）产生轴向运动和较大的轴向力，这个轴向力可以把两个物体牢固地连接在一起，也可以用来做各种施力的工作，如图2-31所示的千斤顶和压力机都是传力螺旋。

2）传导螺旋。

传导螺旋以传递运动为主，要求具有较高的运动精度，如机床刀架或工作台的进给机构。

3）调整螺旋。

调整螺旋用以调整移动构件和固定零部件间的相对位置，如车床尾座螺旋、螺旋测微器等。

安徽省宿州市七年级下学期数学期中考试试卷

安徽省宿州市七年级下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（每小题3分，共30分） (共10题；共27分)1. （3分）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A .B .C .D .2. （3分） (2020七下·大新期末) 下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（）A .B .C .D .3. （3分） (2019九下·十堰月考) 下列计算中，正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017八上·普陀开学考) 如图，不能推断AD∥BC的是（）A . ∠1=∠5B . ∠2=∠4C . ∠3=∠4+∠5D . ∠B+∠1+∠2=180°5. （2分） (2015八上·惠州期末) 下列运算正确的是（）A . （a+b）2=a2+b2B . 2a+3b=5abC . a6÷a3=a2D . a3•a2=a56. （3分）已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么（a+b）2007的值为（）A . ﹣2007B . ﹣1C . 1D . 20077. （3分）(2017·保康模拟) 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1 ，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1 ，则点A1的坐标为（）A . （3，﹣3）B . （1，﹣1）C . （3，0）D . （2，﹣1）8. （2分）(2019·东营) 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分，某队在场比赛中得到分．若设该队胜的场数为，负的场数为，则可列方程组为（）A .B .C .D .9. （3分）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A . x2+1B . x2+2x－1C . x2＋x＋1D . x2＋4x＋410. （3分）把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A . 5x2-4x-4=0B . x2-5=0C . 5x2-2x+1=0D . 5x2-4x+6=0二、填空題（每小题2分，共12分） (共6题；共12分)11. （2分） (2020七下·门头沟期末) 计算： (p - 5)0= （________）．12. （2分）(2017·渝中模拟) 计算：﹣（﹣）﹣2+（π﹣2017）0=________．13. （2分）已知关于x的二次三项式x2+2mx﹣m2+4是一个完全平方式，则m的值为________14. （2分） (2019七下·南县期末) 已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为________．15. （2分）(2018·苏州模拟) 在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=________°16. （2分） (2019七下·揭西期末) 化简：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）＝________．三、解答题（共58分） (共8题；共48分)17. （6分） (2017七下·马山期末) 解方程组．18. （6分） (2017九上·襄城期末) 先化简,再求值： ,其中x=3.19. （2分） (2020七下·南丹期末) 学着说点理：补全证明过程：如图，已知，，垂足分别为D，F，，试证明： .请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由.证明：∵ ， (已知)∴ (_▲__)，∴ (_▲_)，∴_▲_又∵ (已知)，∴ (_▲_)，∴AB∥DG(_▲_)，∴ (_▲_).20. （6分） (2020八下·龙岗期中) 因式分解：（1）（2）（3）21. （8分） (2020七下·揭阳期末) 阅读下列学习材料并解决问题定义：如果一个数i的平方等于一1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3-4i）=5-3i，（2+i）-（3-4i）=-1+5i（2+i）（3-4i）=6-8i+3i-4i2=10-5i.（1）填空：i3=________；i4=________（2）计算：①（2+i）（2-i）：②（2+i）²：（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式（即分母不含i的形式）22. （2分） (2018七上·郑州期中) 郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元.“双十一”期间A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.A网店：买一副球拍送1个羽毛球；B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款.已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个(x＞30)：（1）若在A网店购买，需付款________元(用含x的代数式表示)；若在B网店购买，需付款________元.(用含x的代数式表示)；（2）若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？23. （8分）(2019·仁寿模拟) （本小题满分9分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若，求的值．24. （10.0分） (2016七上·阳新期中) 某工厂第一车间有x人，第二车间比第一车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，那么：（1）两个车间共有多少人？（2）调动后，第一车间的人数比第二车间多多少人？参考答案一、选择题（每小题3分，共30分） (共10题；共27分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空題（每小题2分，共12分） (共6题；共12分) 11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（共58分） (共8题；共48分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

SO(3)群中转角相同的旋转属于同一个类。
（证明略）
也是一种旋转
α
β
由图
25
在三维实空间对应一个算符：
，
θ α
26
当
时，对应于无穷小转动，由上式有
SO(2)群中无穷小算符，
推广： SO(3)群有三个无穷小算符
27
作用在三维实空间的基矢上可得到矩阵表示：
满足
满足循环对易关系，且为反厄米的。
28
9
反演：
，由引理1， ∴ ⋇包含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为–1。正当操作：非正当操作：；。
10
引理2
的正交矩阵A必对应一个定轴转动。
证明：
∴
可视为三元一次线性方程组的久期行列式：
11
由于，该齐次线性方程组必有非零解。设，，构成非零解，定义
可见
是 A旋转操作的定轴。
定义：为厄米算符，有考查其对函数的作用性质： SO(2)群元
。
β
确定SO(3)群元的表达式：
其中
29
（1）将数
作用于任一函为则有
，简单记
可见，
(1)
30
（2）令，
记：前式
31
综合(1)、(2)两式，并考虑到
结论：SO(3)群的三个无穷小算符为角动量算符，且有对易关系。
32
2
• 点操作(point operation)：空间中至少有一点不变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。该操作中至少有一点是不动的。 • 空间操作(space operation)：由平移实现，空间所有点都发生变动。例：1. C3v群是点操作
2. 花瓶
• 有对称中心轴线 • 旋转任何角度不变，有无限多的操作。 • 绕轴旋转任何角度
由并考虑到群阶g → ∞，ρ(α) = g/2π 则有与有限群情况相似。
20
（1）在经典力学中，物体处于二维势场果具有绕 z 轴旋转对称性，
中，如，即
（利用可见 =常数，即是守恒量。
）
21
（2）在量子力学中：算符在作用下不变，所以为本征函数，两边乘以：是矩阵，也是本征值。
41
例：不可约表示空间的基函数
:
可见
也是的本征函数。
对于固定的，有个线性独立的函数，所以有，即个作基矢，形成的封闭子空间，在子空间中，可产生的群表示，就是表示矩阵的矩阵元。
42
特征标：当前面的取整数时，与此处一致，所以找到了为整数时的 SO(3)群的不可约表示的基函数。时涉及自旋问题。
43
确定SO(3)群的不可约表示：
每个群元都可由
表示出来，
若找到三个无穷小算符的不变子空间，就找到了群元的一种矩阵表示。最小不变子空间中的表示就是不可约表示。（“最小”并不是“一个”。因此，问题变
为寻找无穷小算符的最小不变子空间。）
33
设有某个的最小不变子空间（有限维），在该空间中对应一个矩阵，有本征值和本征函数。设是其中的一个本征函数，，定义有关系所以仍是的本征函数，本征值为。用连续作用，则m每次增加1，得到一系列正交的，它们彼此独立，构成的空间是无穷维的。
4
α O
α
点操作的特点：设不动的点为坐标原点，则点操作不改变任意两矢量，间的相对位置(数学上称保长、保角变换)。
任何点操作在三维空间中对应着一个算符A：内积：满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
5
由要求即变换算符A 是幺正的。三维实空间中，要求A变换不会将实矢量变成复矢量， ∴ A必须是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符，对应的矩阵为正交矩阵：。由正交变换组成的群称为O群（全正交群）。三维实空间： O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group.
34
，
但是
是有限维的，所以必有使
，而
另一方面：必有使得从而得到一组正交函数组对于是封闭的。，该函数
35
定义：与SO(3)群元对易（连续群都有这样一个算符，称为 Casimir算符）
两边用
作用：
ห้องสมุดไป่ตู้
得
36
对于空间求证时，与
，对正交。
封闭。
证明：，两式左边相同，所以因此 V 是否是最小空间？假设V不是最小的，则对而言在某j和j-t位置被截断，对亦如此。所以V是最小的封闭线性空间。
16
算符的另一种含义：在一般的函数空间中，基函数为时：，
θ
17
群的不可约表示和特征标系：群是Abel群，不可约表示都是1维的。
两边对
求导：
18
（
）
即而 ∴要求不可约表示：特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同的不可约表示，有无穷多个。前面，这里，但不能认为，算符 ≠ 数。前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。
37
有
不可约表示的维度取决于j，等于2 j +1。
38
所以，取为实数：，构成2 j +1维不可约表示空间。
总之：
由上面三式可确定
的矩阵形式。
39
特征标：
同类
在2j +1维不可约表示空间中，
在元。
空间中是对角矩阵，对角
特征标：
40
以不同 j 的球谐函数为基函数的不可约表示，组成SO(3)群的全部2j+1维的不可约表示。
14
是反厄米算符：（∵ Cz(φ)是幺正算符、正交算符）假设φ → 0，忽略φ2项，有 ∴
定义
，有
，
在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个特定的矩阵。例如：三维实空间中，无穷小角：
φ
15
∴ 由取，∴ ，，做基矢，确定；的矩阵：
该矩阵虽然是奇异的，但对应于群元的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵 I0(3) 。
可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
所以
22
可作为SO(2)群不可约表示的基矢，同时也是和的本征函数。对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项。
23
第三节 SO(3)群
描述SO(3)群中任一群元需要3个参量，旋转的矢量表示法：
24
6
旋转、反射在实空间中对应着正交算符
，
正交矩阵的基本性质。
7
引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵的行列式必等于1。
z
证明：
O
， φ连续变化，相应变换矩阵的元素以及行列式也应连续变化。，
用反证法：假设对于某一 φ 值，则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其这违反之结论，
8
A(φ) 1 0 –1 Cz(φ)
3
∴
构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 (二维旋转内的对称操作构成的二维旋转群) 3. 圆球绕过球心的任意转轴旋转任意角度都是对称操作。这些操作构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作联合构成O(3)群。(全正交群)
第三章
连续转动群
第一节基本概念和定理
对称操作：使物质体系所占空间位置不变的空间变换。对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。对称操作群：对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构成的集合。
1
对称操作的基本类型： ①旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角度 (0 ～ )。 ②镜面反射(也叫反映) (mirror reflection)：镜面记作 , 以为法向量的平面，记作。，分别为垂直和通过主轴的镜面. ③平移(translation)：空间中所有点沿同一方向移动相同距离的操作，用向量表示（其指向表方向，表距离)。 ④反演(inversion)：。反演与镜面反射两者是相互关联的，其中只有一个是基本的。 (反演可由绕含反演中心的轴旋再做垂直于转轴的平面的镜面反射实现)
12
第二节定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题：
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。与，类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。是群元算符，其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷小量，起生成元作用）。为有限值时，可写为 n为正整数当时，

第三章连续转动群 2010 2

合集下载