福建省福州市八县(市)高二下册第二学期期中联考试题数学(文)word版有答案【优选】

2019-2020学年第二学期八县（市）一中期中联考高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353 D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12）B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ）A.最大值eB.最大值1e +C.最小值e -D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

福州市八县（市）协作校2022—2023学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}240A x x =∈-≤Z ，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2--C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】{}{}{}240222,1,0,1,2A x x x x =∈-≤=∈-≤≤=--Z Z ，因为{}1,2B =，所以A B ⋃={}2,1,0,1,2--.故选:B.2.若复数z 满足()1i 2z ⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.-I B.iC.-1D.1【答案】C【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因为()1i 2z ⋅+=，所以(i)(1+i)=()i 2a b a b a b +-++=，故20a b a b -=⎧⎨+=⎩，得到1,1a b ==-，故选为：C.3.已知2co sin s 0αα+=，则tan 2α=（）A.22B.22- C.2D.24【答案】A【分析】首先求tan α，再代入二倍角的正切公式，即可求解.【详解】因为2co sin s 0αα+=，所以tan 2α=-，()222tan 22tan 2221tan 12ααα-===---.故选：A4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．若“三角垛”从第一层到第n 层的各层的球数构成一个数列{}n a ，则（）A.655a a -=B.1045a =C.212n n n a a a +++=D.11n n a a n +-=+【答案】D【分析】由题意，根据等差数列求和公式，写出通项公式，可得答案.【详解】由题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，L ，()11232n n n a n +=++++=L ，对于A ，()()65616515622a a ⨯+⨯+-=-=，故A 错误；对于B ，()1010110552a ⨯+==，故B 错误；对于C ，()()()221233322n n n n n n a a n n +++++=+=++，()()211222322n n n a n n +++=⋅=++，故C 错误；对于D ，()()()1121122n n n n n a n a n ++++=-=+-，故D 错误.故选：D.5.已知p ：6a b +≤，q ：9ab ≤，则p 是q 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】D【分析】分别取4a b ==-与1,9a b =-=即可求解.【详解】取4a b ==-，满足6a b +≤，但9ab ≤不成立，故充分性不成立；取1,9a b =-=，满足9ab ≤，但6a b +≤不成立，故必要性不成立.所以p 是q 的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知四边形ABCD 是平行四边形，2AE EB =，若EC 与BD 交于点O ，且14EO AB ED λ=+ ，则λ=（）A.14B.38C.12D.34【答案】A【分析】结合图形，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.【详解】由题意可知，3AB EB =，所以134EO EB ED λ=+ ，因为,,O B D 三点共线，所以1314λ+=，得14λ=.故选：A7.设点1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 、N 在C 上（M 位于第一象限）且点M 、N 关于原点对称，若12MN F F =，223NF MF =，则C 的离心率为（）A.108B.104C.58D.558【答案】B【分析】分析可知，四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，利用椭圆定义可得出2a 与t 的等量关系，利用勾股定理可得出2c 与t 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O 为12F F 、MN 的中点，则四边形12MF NF 为平行四边形，则1223MF NF MF ==，又因为12MN F F =，则四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，所以，1224a MF MF t =+=，由勾股定理可得222212122910c F F MF MF t t t ==+=+=，所以，该椭圆的离心率为21010244c t e a t ===.故选：B.8.已知1cos 2a =，12sin 2b =，78c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c >>D.a c b>>【答案】C【分析】分别构造函数()21cos 1,012f x x x x =+-<<与()tan ,01h x x x x =-<<，利用导数求单调性即可比较大小.【详解】设()21cos 1,012f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-+.令()()sin ,01g x f x x x x '==-+<<，则()1cos 0g x x '=->,所以函数()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=,即()0f x ¢>,所以()f x 在()0,1上单调递增,所以()()00f x f >=,所以21111cos 102222f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即17cos 28>，即a c >.设()tan ,01h x x x x =-<<,所以()2221sin 10cos cos xh x x x'=-=>,所以()h x 在()0,1上单调递增,所以()()00h x h >=,所以102h ⎛⎫>⎪⎝⎭,即11tan 022->,即112sin cos 22>,即b a >.综上所述，b a c >>.故选:C.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.若1a >，则1a a+的最小值是2【答案】BC【分析】利用不等式的性质，对ABC 三个选项逐一分析判断即可判断出正误；选项D ，利用基本不等式即可判断出正误.【详解】选项A ，当0c =，22ac bc =，故选项A 错误；选项B ，因为a b >，c d <，所以c d ->-，由不等式性质知，a c b d ->-，故选项B 正确；选项C ，14a ≤≤，21b -≤≤，所以12b -≤-≤，由不等式性质知，06a b ≤-≤，故选项C 正确；选项D ，因为1a >，1122a a a a+≥⋅=，当且仅当1a =时取等号，所以等号取不到，选项D 错误.故选：BC.10.已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，点C 是圆M 上的动点，定点P 的坐标为()5,3，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()2,1，半径为1B.直线AB 的方程为240x y --=C.线段AB 的长为455D.PC 的最大值为6【答案】BCD【分析】化圆M 的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A 的正误；联立两圆的方程求得AB 的方程可判断选项B 的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB 的长判断选项C 的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D 的正误.【详解】选项A ，因为圆M 的标准方程为22(2)(1)1x y -++=，所以圆心为圆心为()2,1M -，半径为1，故选项A 错误；选项B ，因为圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，两圆相减得到4280x y --=，即240x y --=，故选B 正确；选项C ，由选项B 知，圆心(0,0)O 到直线AB 的距离为45d =，所以22164522455AB R d =-=-=，故选项C 正确；选项D ，因为()2,1M -,()5,3P ，所以9165PM =+=，又圆M 的半径为1，故PC 的最大值为516PM r +=+=，故选项D 正确.故选项：BCD.11.已知0ω>，函数()π cos 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到cos 2y x =的图像C.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A 正确；利用三角函数的图像变换，可判定B 错误，由()f x 在区间()0,π上只有一个零点，列出不等式组，求得ω的范围，可判定C 正确；根据()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组，求得ω的范围，得到当0k =时，不等式有解，可判定D 错误；【详解】选项A ，由余弦函数图像与性质，可得2π2T ω==，又0ω>，所以得πω=，所以选项A 正确；选项B ，当2ω=时，可得()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得πππcos 2cos 2cos2666y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以选项B 错误；选项C ，若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，由πππ,Z 62x k k ω+=+∈，得到解得ππ3,Z k x k ω+=∈，所以π0π34ππ3ωω⎧<<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得到1433ω<≤，所以C 正确,选项C ，若()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则πππ2π36,Z ππ2π2π26k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得51164,Z 23k k k ω+≤≤+∈，又因为0ω>，所以只有当0k =时，此不等式有解，即51123ω≤≤，所以D 错误；故选：AC ．12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则（）A.异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为255B.过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为2132+C.当三棱锥1B B EF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的体积为62πD.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322【答案】ABD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A 选项；作出截面，求出截面周长，可判断B 选项；将三棱锥1B B EF -补成长方体1BEIF B SQT -，计算出长方体1BEIF B SQT -的外接球半径，结合球体体积公式可判断C 选项；分别取AD 、11A D 、11C D 的中点X 、W 、U ，连接DW 、DU 、UW 、1A X 、XF ，证明出平面//DWU 平面1B EF ，分析可知，当P WU ∈时，//DP 平面1B EF ，计算出DUW △三边边长，求出DP 的最小值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为11//BB DD ，所以，异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F，因为1BB BF ⊥，则222211215B F BB BF =+=+=，111225cos 55BB BB F B F ∠===，故异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为255，A 对；对于B 选项，延长EF 分别交直线DA 、DC 于点M 、N ，连接1D M 交1AA 于点G ，连接1D H 交1CC 于点H ，连接EG 、FH ，故过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1D GEFH ，因为//BC AD ，则1AM AEBF BE==，则1AM BF ==，因为1//AG DD ，则1113MG AM AG MD MD DD ===，则1123GD MD =，11233AG DD ==，因为1DD AD ⊥，3DM AM AD =+=，12DD =，则2222113213MD MD DD =+=+=，故11221333GD MD ==，同理可得12133HD =，因为23AG =，1AE =，AG AE ⊥，则2222213133EG AG AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，同理可得133FH =，又因为22112EF BE BF =+=+=，因此，五边形1D GEFH 的周长为1121313222213233GD HD EG FH EF ++++=⨯+⨯+=+，B 对；对于C 选项，因为1BB ⊥平面BEF ，BE BF ⊥，将三棱锥1B BEF -补成长方体1BEIF B SQT -，如下图所示：其中1BE BF ==，12BB =，则长方体1BEIF B SQT -的外接球直径为222121146R BE BF BB =++=++=，故62R =，因此，三棱锥1B B EF -的外接球O 的体积为33446ππ6π332V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，C 错；对于D 选项，分别取AD 、11A D 、11C D 的中点X 、W 、U ，连接DW 、DU 、UW 、1A X 、XF ，因为//AB CD 且AB CD =，点X 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以，//AX BF 且AX BF =，故四边形ABFX 为平行四边形，则//XF AB 且XF AB =，又因为11//A B AB 且11A B AB =，所以，11//XF A B 且11XF A B =，故四边形11A B FX 为平行四边形，所以，11//A X B F 且11A X B F =，因为11//AD A D 且11AD A D =，X 、W 分别为AD 、11A D 的中点，所以，1//DX AW 且1DX AW =，故四边形1AWDX 为平行四边形，则1//DW A X ，所以，1//DW B F ，又因为DW ⊄平面1B EF ，1B F ⊂平面1B EF ，所以，//DW 平面1B EF ，同理可证//DU 平面1B EF ，因为DW DU D = ，DW 、DU ⊂平面DWU ，所以，平面//DWU 平面1B EF ，因为WU ⊂平面1111D C B A ，且P ∈平面1111D C B A ，则当P WU ∈时，DP ⊂平面DWU ，则有//DP 平面1B EF ，因为222211215DW DD DW =+=+=，同理可得5DU =，2WU =，当DP WU ⊥时，即当点P 为WU 的中点时，DP 的长取最小值，此时，222232522DP DW WP ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______．【答案】35##0.6【分析】基本事件总数25C 10n ==，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326C C m ==，由此能求出两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【详解】从3名男生和2名女生中随机选取两人，基本事件总数25C 10n ==，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326C C m ==，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是63105m p n ===．故答案为:35．14.请写出一个同时满足下列3个条件的函数()()f x x ∈R ：()f x =______．①()()f x f x -=；②()()1f x f x =+；③()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；【答案】sin πx -（答案不唯一）【分析】取()sin πf x x =-，利用正弦型函数的基本性质逐项验证①②③，可得结果.【详解】取()sin πf x x =-，则该函数的定义域为R ，对于①，()()()sin πsin πf x x x f x -=--=-=，①满足；对于②，()()()()1sin π1sin ππsin πf x x x x f x +=-+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，②满足；对于③，当112x ≤≤时，πππ2x ≤≤，则()sin πf x x =-，所以，函数()sin πf x x =-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，③满足.故答案为：sin πx -（答案不唯一）.15.已知向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，则向量2a b + 在向量a 上的投影向量为______．（用a表示）【答案】3a【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，所以11212a b ⋅=⨯⨯= ，向量2a b + 在向量a上的投影向量为()22221231a b a a a a b a a a a a a+⋅+⋅+⋅=⋅=⋅=.故答案为:3a.16.已知函数()e 2ln 2xf x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是______．【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】求出函数的导函数，依题意()0f x '=存在唯一的变号正实根，即()()021e xx ax -=-存在唯一的变号正实根，当0a ≤符合题意，当0a >时参变分离可得e 0xa x -=没有除1之外的正实根，构造函数()e xg x x=，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()22e 1e 12122x x x x a x af x a x x x x---'=+-=-()()21e 2x x ax x --=，依题意可得()=0f x '存在唯一的变号正实根，即()()021e xx ax -=-存在唯一的变号正实根，当0a ≤时，e 20x ax ->，方程只有唯一变号正实根1，符合题意，当0a >，方程e 20xax -=，即e 20xa x-=没有除1之外的正实根，令()e x g x x =，则()()21e xx g x x -'=，所以当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1e g x g ==，所以02e a <≤，解得e02a <≤.此时，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，则函数()f x 存在唯一的极值点，合乎题意.综上可得e ,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.已知数列{}n a 满足12a =，()*121Nn n a a n +=+∈．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 落入区间()2,2024的所有项的和．【答案】（1）证明见解析，1321n n a -=⨯-（2）3057【分析】（1）由已知可得()1121n n a a ++=+，利用等比数列的定义证明结论，从而可求出{}n a 的通项公式，（2）解不等式123212024n -<⨯-<，即得n 的范围，再利用分组求和求解.【小问1详解】由121n n a a +=+，可知，()1121n n a a ++=+，得1121n n a a ++=+，且113a +=，所以数列{}1n a +是首项为3，公比为2的等比数列，所以1132n n a -+=⨯，即1321n n a -=⨯-；【小问2详解】由题意22024n a <<，即123212024n -<⨯-<，解得：112675n -<<，即110n <≤，故{}n a 落入区间()2,2024的项为2345678910,,,,,,,,a a a a a a a a a ，所以其和2345678910S a a a a a a a a a =++++++++123493(22222)19=⨯+++++-⨯ ()92123912⨯-=⨯--3057=.18.为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，平潭某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中x 的值和第80百分位数；（2）为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查，求应选取评分在[)60,70的游客人数；（3）若游客的“认可系数”（100=认可程度平均分认可系数）不低于0.85．餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，井说明理由．【答案】（1）0.01x =，第80百分位数为92；（2）10；（3）“餐饮服务工作”需要进一步整改，理由见解析；【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出x 的值，再根据百分位数的计算规则计算可得；（2）首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得；（3）求出平均数，即可判断.【小问1详解】由图可知：()100.0150.020.030.0251x ⨯++++=，解得0.01x =.因为[)50,90内的频率为0.10.150.20.30.750.8+++=<，所以第80百分位数位于区间[]90,100内，设为m ，所以()0.75900.0250.8m +-⨯=，解得92m =，所以第80百分位数为92.【小问2详解】低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）；【小问3详解】由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.8510085<⨯=，所以“餐饮服务工作”需要进一步整改.19.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且()sin 2sin A B C -=．（1）证明：2222a b c =+；（2）若2π3A =，6a =，2BM MC = ，求AM 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）2【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在ABC 中，由（1）结合余弦定理求出,b c ，再在ABM 中，利用余弦定理即可得解.【小问1详解】由()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+，得sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+，则sin cos 3cos sin 0A B A B +=，由正弦定理和余弦定理得：2222223022a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，化简得2222a b c =+；【小问2详解】如图：在ABC 中，222222cos 36a b c bc A b c bc =+-=++=，又因为2222a b c =+，所以2222236b c b c bc +=++=，所以23b c ==，所以π6B C ==，由2BM MC =，得22433BM BC a ===，在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅π12162234cos46=+-⨯⨯⨯=，所以2AM =.20.如图，三棱台111ABC A B C -中，1124AB BC B C ===，D 是AC 的中点，E 是棱BC 上的动点．（1）若1AB ∥平面1DEC ，确定E 的位置.（2）已知1CC ⊥平面ABC ，且1AB BC ⊥．设直线1BC 与平面1DEC 所成的角为θ，试在（1）的条件下，求sin θ的最大值．【答案】（1）见解析（2）13【分析】（1）根据线线平行可得四边形11ADC A 为平行四边形，进而可得1//AA 平面1DEC ,又得平面11ABB A //平面1DEC ，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解；（2）根据线线垂直可得线面垂直，即可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得222sin 6420a a θ=++，结合不等式即可求解.【小问1详解】连接1,DC DE ,由三棱台111ABC A B C -中，1124,AB BC B C D ===是AC 的中点可得1111//,A C AD A C AD =,所以四边形11ADC A 为平行四边形，故11//AA DC ,1AA ⊄平面1DEC ,1DC ⊂平面1DEC ,故1//AA 平面1DEC ,又1AB //平面1DEC ，且11,AB AA ⊂平面11ABB A ，11AB AA A = ，所以平面11ABB A //平面1DEC ，又平面11ABB A 平面ABC AB =,平面ABC ⋂平面1DEC DE =,故//DE AB ,由于D 是AC 的中点,故E 是BC 的中点，故点E 在边BC 的中点处，1AB //平面1DEC ;【小问2详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1CC AB ⊥,又1,AB BC ⊥11111,CC BC C CC BC ⋂=⊂，平面11BCC B ,故AB ⊥平面11BCC B ,由于BC ⊂平面11BCC B ,所以AB CB ⊥,由（1）知：E 在边BC 的中点，D 是AC 的中点,所以//ED AB ,进而DE BC ⊥，连接1B E ,由1111//,,B C EC B C EC =所以四边形11B C CE 为平行四边形，故11//CC B E ,由于1CC ⊥平面ABC ，因此1B E ⊥平面ABC ，故1,,ED EC EB 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设1B E a =，则()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,,0,0,E B C D C a B a -，故1(0,2,0),(2,0,)ED EC a ==，设平面1DEC 的法向量为(),,m x y z =，则1020ED m y EC m x az ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取x a =，则(),0,2m a =- ，又()14,0,BC a =，故1122212222221sin cos ,3644166420220BC m a BC m BC m a a a a a aθ⋅====≤=++++⨯+ ，当且仅当2264a a =，即22a =时取等号，所以sin θ的最大值为13.21.如图，正六边形ABCDEF 的边长为4．已知双曲线Γ的焦点分别为A ，D ，两条渐近线分别为直线BE ，CF．（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于P ，Q 两点，()1AP AQ λλ=≠- ，若点M 满足PM MQ λ=，证明：点M 在一条定直线上．【答案】（1）221412x y -=（2）见解析【分析】（1）由题意，建立平面直角坐标系，利用双曲线的渐近线方程以及焦距的定义，结合其标准方程，可得答案；（2）由题意，设出直线方程，联立直线与双曲线，写出韦达定理，利用向量数乘的坐标表示，建立方程，解得动点坐标，可得答案.【小问1详解】如图，连接,,AD CF BE 交于点O ，以点O 为坐标原点，OD 方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则4OA OD OE ===，()()4,0,4,0A D ∴-，即4c =，30OEH ∠= ，cos3023EH OE ∴==o ，()2,23E ∴，BE ∴直线方程：3y x =，3ba∴=，则3b a =，222a b c += ，则22316a a +=，解得24a =，212b =，双曲线22:1412x y Γ-=.【小问2详解】由题意，直线l 的斜率存在，则其方程可设为()4y k x =+，联立可得()2241412y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得：()22223816120k x k x k ----=，230k -≠，()()422644161230k k k ∆=++->，化简得210k +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k+=--，()114,AP x y =+uuu r ，()224,AQ x y =+uuu r ，AP AQ λ=uuu r uuu r Q ，1244x x λ+∴=+，12y y λ=，设()00,M x y ，()0101,PM x x y y =--uuur ，()2020,MQ x x y y =--uuu r ，PM MQ λ=uuur uuu r Q ，0120x x x x λ-∴=-，则01122044x x x x x x λ-+==+-，()()()()12020144x x x x x x +-=+-，1201200212014444x x x x x x x x x x x x -+-=-+-，()()1201202480x x x x x x +-+-=，()22002216128248033k k x x k k --⋅+-⋅-=--，()()22200322448830k x k x k --+-⋅--=，222200043430k k x k x x k --+--+=，解得01x =-，由AP AQ λ= ，PM MQ λ= ，则,,,A P Q M 在同一直线上，即()002y k x k =+=，故M 在直线=1x -上.【点睛】圆锥曲线与直线问题解题关键思想为：设而不求，联立直线方程与圆锥曲线方程并化简整理一元二次方程，写出韦达定理，结合题目中的其他等量关系，联立方程即可.22.已知函数()ln b f x ax x x=+-，其中a 、b ∈R ．（1）若0b =，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，证明：()()211211x ax b x ax -<<-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）若0b =，求得()11ax f x a x x -'=-=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导数的符号，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）根据题意得到21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-，要证()()211211x ax b x ax -<<-，转化为11ln 1t t t -<<-，令()()1ln 11p t t t t=-+>，求得()0p t '>，得出函数()p t 的单调性，得出1ln 1t t>-，再设()ln 1q t t t =-+，求得()0q t '<，得到ln 1t t <-，即可求解.【小问1详解】解：若0b =，即()()ln 0f x ax x x =->，可得()11ax f x a x x-'=-=，①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间；②若0a >，令()0f x ¢>得1x a >，令()0f x '<可得10x a<<，此时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间；当0a >时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】证明：由题意知1x 、2x 是()f x 的两个零点，且12x x <，即111ln 0b ax x x +-=，222ln 0b ax x x +-=，所以()12211211ln ln 0a x x b x x x x ⎛⎫-+-+-=⎪⎝⎭，即21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-，要证：()()211211x ax b x ax -<<-，只需证：122121ax x x b ax x x -<<-，即证：21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--，即证：1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211x t x =>，即证：11ln 1t t t -<<-，令()()1ln 11p t t t t =-+>，可得()221110t p t t t t-'=-=>，即()p t 在()1,+∞上单调递增，则()()10p t p >=，即1ln 1t t >-，设()()ln 11q t t t t =-+>，有()110q t t'=-<，所以()q t 在()1,+∞上单调递减，则()()10q t q <=，即ln 1t t <-.综上可得：()()211211x ax b x ax -<<-.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

高二下学期期末联考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则MN =（ ）A 、{1}-B 、{0,1}C 、{1,0}-D 、{1,0,1}- 2、用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算()()00,0.50f f <>，可得其中 一个零点0x ∈ ___，第二次应计算_______．以上横线上应填的内容为（ ）。

A 、()()0,0.5,0.125f B 、()()0,0.5,0.25f C 、()()0.5,1,0.75f D 、 ()()0,1,0.25f3、=')(x e x（ ）A.、x e x -B 、2x e xe x x -C 、2x e xe x x +D 、x e xe xx -4、函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）。

A 、(1,)-+∞B 、[1,)-+∞C 、(1,1)(1,)-+∞D 、[1,1)(1,)-+∞5、“log2a ＞log2b ”是“2a ＞2b ”的（ ）条件。

A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要6、已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1m n p ===，则这三个数的大小关系是（ ）。

A 、<<p m nB 、<<m p nC 、<<m n pD 、<<p n m7、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）。

A 、1y x =B 、x y e -=C 、lg ||y x =D 、21y x =-+ 8、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（ ）A 、3-B 、1C 、-1D 、3 9、下列命题中正确的是A 、若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B 、命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则2320x x -+≠”。

福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷（答案在最后）【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A .()()1112,1E X D X == B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X == D.()()117,2E X D X ==5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A .0.2B.0.3C.0.5D.0.76.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y＞ B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1- B.0C.1D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.211.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =- B.()121213ii i a =-=∑C.12124ii ia==∑ D.12112iii a ==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X，求X的分布列与数学期望．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.150.100.050.0250.0100.001x α2.0722.7063.8415.0246.63510.82819.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥【答案】D 【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x x x ∃∈+R ，＜”的否定是“0x x x ∀∈+R ，≥”.故选：D2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关．【详解】对于A ，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A 错误；对于B ，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B 正确；对于C ，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C 错误；对于D ，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D 错误；故选：B ．3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程求解即可.【详解】由 0.8125.82y x =+，170x =，代入得ˆ0.8117025.82163.52164y=⨯+=≈cm ，故选：B4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A.()()1112,1E X D X ==B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X ==D.()()117,2E X D X ==【答案】D 【解析】【分析】由期望和方差的运算性质求解即可【详解】由期望和方差的运算性质知E(X 1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X 1)=D(2X－5)=22D(X)＝2故选D【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A.0.2 B.0.3C.0.5D.0.7【答案】A 【解析】【分析】由()0P X =≤()2P X ≥结合对称性得出μ，再由对称性得出()34P Y ≤≤.【详解】因为()0P X =≤()2P X ≥，所以0212μ+==，因为()20.3P Y =≤，所以()230.50.30.2P Y =-=≤≤，又()34P Y =≤≤()230.2P Y =≤≤，所以A 正确；故选：A 6.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.【详解】当1x ≥时，()ln 111xy e x x x =--=--=，排除C ；当01x <<时，()ln 111111xy e x x x x x=--=--=+->，排除AB 选项.故选：D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y ＞B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜【答案】C 【解析】【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.【详解】由1ln ln x y x y +=-得：111ln ln ln x x y y y y+=-+=+，构造函数()ln f x x x =+，则()110f x x+'=>，可知()ln f x x x =+在()0,∞+上递增，结合11ln lnx x y y+=+，得1x y =，即1xy =由基本不等式可知：2x y +≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，所以1x y +>.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为1x =且两函数图象只有唯一交点即可知交点横坐标为1得解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =轴对称，由()()22g x f x x x =+-有唯一零点知，2()2f x x x =--有唯一根，即()y f x =与2()2h x x x =--的图象有唯一交点，而2()2h x x x =--图象关于1x =对称，所以(1)(1)1f h ==-.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜【答案】ACD 【解析】【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由于0a b <<，则0,0ab a b >-<，所以110a bb a ab -<-=，故11b a<，A 正确，对于B ，若0c =时，33ac bc =，故B 错误，对于C ，由于0,0a b a b +<-<，所以()()220a b a b a b -=+->，故22a b >，C 正确，对于D,由于0,0ab a b >-<⇒()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ++＜，D 正确，故选：ACD10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】根据定义可得()[],R f x x x x =-∈的表达式，通过图象可得函数的值域，即可求解.【详解】由题意可得2,211,10[],011,12...,x x x x y x x x x x x +-≤<-⎧⎪+-≤<⎪⎪=-=≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，则对应的图象为：由图象可知()[)0,1f x ∈.故选：AB11.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =-B.()1212013iii a=-=∑C.12124i i ia ==∑ D.12112ii i a ==-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令1x =可求出0a ，对于B ，令0x =可求得答案，对于C ，对等式两边求导后，令2x =可求得答案，对于D ，令32x =结合01a =可求得答案.【详解】对于A ，令1x =，则()12023a -=，得01a =，所以A 错误，对于B ，令0x =，则()1201211123a a a a a -=-+--+ ，所以()1212013ii i a =-=∑，所以B 正确，对于C ，由()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，得()()()()111011121112242321111121x a a x a x a x -=+-++-+- ，令2x =，则()11121112244321112a a a a ⨯-=++++ ，所以12124i i ia ==∑，所以C 正确，对于D ，令32x =，则211120121112111102222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211121211120111112222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12112ii i a ==-∑，所以D 正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．【答案】19【解析】【分析】先求14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得22211log log 2244f -⎛⎫===-⎪⎝⎭，所以211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1913.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）【答案】②【解析】【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数3x y =的图象，由对称性得13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象.【详解】由指数函数的单调性可知，函数2x y =和3x y =的图象分别是曲线③④中的一条，当1x =时，1132>，所以曲线③是函数3x y =的图象，函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3x y =的图象关于y 轴对称，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线②.故答案为：②.14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】以丙、丁参加同一项活动和丙、丁不参加同一项活动分类讨论，结合排列组合知识求解即可.【详解】当丙、丁参加同一项活动时，共有33A 3216=⨯⨯=种；当丙、丁不参加同一项活动时，共有211322A C C 24⋅⋅=种；综上，共有30种不同的安排方案．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,5A B ⋃=-，()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð（2）(,2)-∞【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得集合A ,再由集合交并补混合运算可得结果.（2）由B A ⊆可知B 是A 的子集，对B 是否为空集分析讨论，解不等式可得结果.【小问1详解】由23100x x --＜,得()()520x x -+＜，解得25x -＜＜，所以()2,5A =-．当1m =时，[]1,3B =，所以()2,5A B ⋃=-，B R ð()(),13,∞=-∞⋃+，所以()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð．【小问2详解】①若B =∅，则221m m -+＞，即13m ＜．此时满足B A ⊆．②若B ≠∅，则13m ≥，要使B A ⊆，当且仅当1322215m m m ⎧≥⎪⎪--⎨⎪+⎪⎩＞＜，解得123m ≤＜．综上，m 的取值范围为(,2)-∞．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.【答案】（1）400（2）15.24【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，注射药品A 两小时后药品A 的残存量为()20000125g 56.25m a a -=，所以0056.25225a =，解得400a =，即注射了400mg 药品A ，a 的值为400.【小问2详解】设药物B 注射量为m ，则n 小时后残余量为()00110nm -，设药物A 注射量为t ，则n 小时后残余量为()00125n t -，又题可知，药物A 注射量为800mg ，药物B 注射量为500mg ，设n 小时后残余量相同，则()()0000800125500110nn-=-，即0.91.60.75n⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数可得lg1.6lg1.2n=，即86lg lg 55n =，即1010lg8lglg 6lg 22n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()4lg 21lg121n -=-，即()4lg 21lg 3lg 41n -=+-，即()40.30110.47720.3011n ⨯-=+⨯-，解得15.24n ≈，所以注射15.24小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg ；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg ）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）96625（2）方案二（3）分布列见解析，数学期望为65【解析】【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）求解方案二中1kg 糖果的售价为Y ，即可比较求解，（3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望.【小问1详解】设事件A =“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则()2011005P A ==．现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为Z ，则1(4,)5B Z ，所以恰好有2袋是三等品的概率()222414962C 55625P Z ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设方案二中1kg 糖果的售价为Y ，则()40402024221721.8100100100E Y =⨯+⨯+⨯=（元），因为()20E Y >，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二．【小问3详解】用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋．依题意，X 服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．()36310C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===，()1264310C C 32C 10P X ===，()34310C 13C 30P X ===所以X 的分布列为X0123P1612310130所以()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++．α0.150.100.050.0250.0100.001xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析，认为球队的胜负与甲球员是否上场有关（2）（ⅰ）0.8；（ⅱ）0.675【解析】【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论；（2）（ⅰ）根据条件概率和全概率公式求解即可；（ⅱ）利用条件概率公式和乘法公式就算即可.【小问1详解】根据题意，可得22⨯的列联表：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场30535甲球员未上场257合计321042零假设为0H ：球队的胜负与甲球员是否上场无关，根据列联表中的数据，经计算得到()()()()()()2220.01423055210.5 6.6353210357n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯＞，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；【小问2详解】设A =“甲球员上场打前锋”，B =“甲球员上场打中场”，C =“甲球员上场打后卫”，D =“球队获得胜利”．则A B C Ω=⋃⋃，且,,A B C 两两互斥，依题意得，()()()0.6,0.2P A P B P C ===()()()0.9,0.5,0.8P D A P D B P D C ===；（ⅰ）由全概率公式得()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C=++0.60.90.20.50.20.8=⨯+⨯+⨯0.8=；（ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”，就是计算在D 发生的条件下，事件C 发生的概率，则所求概率()()()()()()0.6090.6750.8P A P D A P AD P A D P D P D ⨯====.【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率()P B A 的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A 、()P AB ；（3）代入公式求()()()P AB P B A P A =.19.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）作图见解析（2）193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用定义法来研究函数的各个性质，最后可作出草图；（2）利用复合函数思想由内到外研究函数值域，最后化归到含参二次不等式恒成立，即可求解.【小问1详解】①定义域：()f x 的定义域为R ．②值域：因为()2121x f x =-+，20x>，12+11012+1x x ><<，，所以()11f x -<<，故()f x 的值域为()1,1-．③奇偶性：x ∀∈R ，x -∈R ，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数．④单调性：12x x ∀∈R ，，且12x x <，则1222x x<，所以()()()()()1212121222222021212121x x x x x x f x f x --=-+=<++++，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数．⑤当x →+∞时，2x →+∞，()21121xf x =-→+；当x →-∞时，20x →，()21101f x →-=-+．所以直线1y =±为()f x 图象的渐近线．综合上述讨论，可作出()f x的草图如下：【小问2详解】当13x ≥时，331log log 13x =-≥，由（1）知，()f x 为增函数，所以()()131211log 1213t f x f ---=≥-==-+，由（1）知()f x 的值域为()1,1-，故t 的取值范围为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x f x ++>，等价于220t mt ++>对于1,13t ⎡⎫∀∈-⎪⎢⎣⎭都成立，记()22t t mt ϕ=++，则()2Δ8011,232111203931120m m m m m ϕϕ⎧=-≥⎪⎪-≤--≥⎪⎨⎛⎫⎪-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=++≥⎩，，，或280.m ∆=-<解得1933m m m ≤<-≤≤--<<或，综上，m 的取值范围是193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。

福州市八县(市)协作校2017-2018学年第二学期期末联考高二文科数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题:长乐第七中学陈鸿轩谢星恩一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果A( )A B C D2.A3. 则下列命题中为真命题的是( )A B C D4.下列函数中，满足“任意，，且，）A. B. D.5.( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6. ）A8.）A9.( )(A) (B) (C) (D)10.近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：91，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…，9的所有数字.根据下）A．1 B．2 C.8 D．911.函数的一条性质：若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( )A．甲B．乙C．丙D．丁12.）A (,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.为14.的定义域为15. 如图，________16.给出定义：。

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次(2018= 。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（本小题满分12分）．a {0x （1（2）求18.（本小题满分12分）．（1式；（2）在（1范围.19．（本小题满分12分）．(1,+∞)上是增函数。

若为真命题，的取值范围20．（本小题满分12分）．..21．（本小题满分12分）．（1（2.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]两种坐标系中取相同的长度单位.（1（2.23.[选修4-5：不等式选讲].（1（2福州市八县（市）协作校2017-2018学年第二学期期末联考高二文科数学参考答案一、选择题:二、填空题131415、3 16、2017三、解答题17、（1 2分因为存在实数a {0x分{x x ................................................................. 6分（2{}0x x <，分 所以，(){}1UAB =-ð........................................................................................... 12分18、（1）解：依题意，得242+1=14a b b a -⎧⎨-=⎩4分6分（28分10分分19、分(1,+∞)上是增函数(1,+∞)上恒成立,分分20、解：1分3分………………………5分分注：本小题没有检验扣1分分分分21、解：（i………………2分（ii……………………………………………………3分……………………………………………………4分-(ln(2),a……………………………………………………5分………………6分（Ⅱ）（i…………………………………………………8分（ii……………………………9分（iiiI…………………………………………………12分22、解：（1……………………4分（2d=22122=………………………………………10分23、解：（1……………………4分（2……………………10分。

福州市八县(市)协作校2019-2020学年第二学期期末联考高二文科 数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ()A.｛1,4｝B.｛2，3｝C.{9，16}D.｛1,2} 2．下列函数中，定义域x y ln =与相同．．的函数是（ ） A.x y = B. x y =C. x y 1=D.xy 1= 3．下列命题为真命题的是 （ ）A.命题：“若3x =,则92=x ” 的否命题是：“若3x =，则92≠x ”.B..3,12的逆否命题则且若=+==b a b aC.命题x R ∀∈，02>xD.命题 “x R ∃∈，使得1sin ≥x ”的否定是： “1sin ,≤∈∀x R x 均有”. 4．函数2103-=-x y 必过定点（ ）A.(1,0)B. (0,1)C.(3,-1)D.(4,-2) 5．已知函数()2x fx e =，则（ ）A.()()'f x f x =B.()()'2f x f x =+C.()()'2f x f x =D.()()'3f x f x = 6．已知9.0log ,2,9.029.02===c b a ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B.c a b <<C. c b a <<D. b c a <<7．的零点所在的区间为函数72ln )(-+=x x x f （ ）A. ()1,0B. ()2,1 C. ()3,2 D. ()4,3 8．已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足)()3(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时，22)(x x f =，则=-)2017(f （ ）A ． 8B ．8- C. 2 D ．2- 9．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.,2,32,1)(设⎩⎨⎧≤+->+=x x x x x f )()2(a f a f =+若,=)1(af 则（ ）A. 4B. 3C.2D. 111．设函数)('x f 是偶函数))((R x x f ∈的导函数，0)3(=-f ，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(<x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．()),3(3,+∞⋃-∞-B ．())3,0(3,⋃-∞-C ．())3,0(0,3⋃- D ．()),3(0,3+∞⋃-12．已知()()()12log 0|41|0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，有()()()f a f b f c ==， 且a b c <<，则()a b c c ++的取值范围是( ) A.11[,)162-B. 1[0,)2C. 1[,)16-+∞D. 1(0,)2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13.已知212=a 错误!未找到引用源。

福州市八县（市）协作校2017-2018学年第二学期期中联考高二理科数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i是虚数单位，复平面内，复数7＋i3＋4i对应点位于( * )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是( * )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形3．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( * )A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除4．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( * ) A．②①③ B．③②① C．③①② D．①②③5．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )A．y＝7x＋4 B．y＝x－4 C．y＝7x＋2 D．y＝x－26．曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为( * )A．4 B．8 C．10 D．97．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( * ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( * )A.83B.38C.43D.349．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( * )A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．[－3，3]D．(－∞，－3)∪[3，＋∞)10．观察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，…，y=f(x)，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=( * )A.g(x)B.-g(x)C.f(x)D.-f(x)11．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( * )12．已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则ba b f a ++)()(f 的值为( * )A ．恒正B ．恒等于0C ．恒负D ．不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13若复数z ＝21＋3i，其中i 是虚数单位，则|z －|＝_*_*__*__*__.函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为 * * * * * * * *16．观察下图中各正方形图案，各边上有n (n ≥2)个点，第n 个图中圆点的总数是S n .n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；….按此规律，推出S n 与n 的关系式为_____*___*__*__*__*__*___*___*____*___*_____．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(1)用分析法证明:设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S ＜2a .(2)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．20．(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，使等式错误！未找到引用源。

2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |y ＝ln （x ﹣2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（1，3）C ．（﹣1，2）D ．（2，3）2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ＞0，都有e x ＞x +1”的否定是“∃x ≤0，使得e x ≤x +1”B ．函数f （x ）＝2x +3x 的零点所在的一个区间是（﹣1，0）C ．若不等式x 2﹣x +c ＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则c ＝2D ．“a ＞1”是“1a ＜1”的充要条件3．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有（ ）种分配方式． A ．35B ．50C ．60D ．704．已知函数f （x ）＝|log 3（x ﹣1）|，则（ ） A ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减 B ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 C ．若x 1≠x 2，但f （x 1）＝f （x 2），则x 1•x 2＝1 D ．函数f （x ）有且仅有两个零点5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中不放回地任取3个，那么最多有1个是二等品的概率是（ ） A ．C 161C 42C 203 B ．C 162C 41C 203 C ．1−C 43C 203D ．C 162C 41+C 163C 2036．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为12，13，14，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A ．16B ．613C ．12D ．237．已知随机变量X ∼B(2，p)，P(X =1)=12，则E(X4)=（ ）A ．14B ．12C ．23D ．28．已知α+β=π3(α＞0，β＞0)，则tan α+tan β的最小值为（ ） A ．√33B ．√3C ．2√33D ．√3+1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分） 9．下面结论正确的有（ ） A ．若a ＞0，b ＞0且1a +4b=4，则a +b ≥94B ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝2，则ab 有最小值1C ．若0＜n ＜m ＜1，则n m＜n+1m+1D ．若0＜n ＜m ＜1，则m +1m ＞n +1n10．下列表达式中正确的是（ ）A ．C nm=A n mm!B ．(x +1x )6的二项展开式中x 2项的系数等于15C ．∑C n k a n−k b k=(a +b)n nk=1D ．∑ n k=1C n k =2n11．下列说法正确的有（ ）A ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1B ．独立性检验是在零假设H 0之下，如果出现一个与H 0相矛盾的小概率事件，就推断H 0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率C ．已知一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），根据这组数据的散点图分析y 与x 之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为y =0.8x +1.3，则在样本点（2，2.7）处的残差为﹣0.2D ．以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝lny ，将其变换后得到线性方程z ＝0.3x +5，则c ，k 的值分别是e 5 和0.312．设函数f （x ）的定义域为R ，f(x −π2)为奇函数，f(x +π2)为偶函数，当x ∈[−π2，π2]时，f （x ）＝cos x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f(5π2)=−12 B ．f （x ）在（3π，4π）上为减函数C ．点(3π2，0)是函数f （x ）的一个对称中心 D ．方程f （x ）﹣lgx ＝0仅有3个实数解 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知扇形的面积是4cm 2，半径是2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．14．我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩X ～N （105，σ2），统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的70%，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有 人．15．二项式（1+sin x ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为352，则x在（0，π）内的值为 ． 16．1sin30°⋅sin31°+1sin31°⋅sin32°+⋯+1sin59°⋅sin60°= ．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知函数f(x)=cosx ⋅(√3sinx +cosx)． （1）求f(7π6)的值； （2）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间． 18．（12分）计算下列各式的值． （1）(827)−23+log 1162−√(−5)55+e 3ln2；（2）若0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(π4+α)=13，cos(π4−β2)=√33，求sin(α+β2)的值． 19．（12分）某校高二年级共有学生600名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1： 表1表2（1）根据表1数据，从600名学生中随机选择一人做代表． ①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；②在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率．（2）从600名学生中获取容量为30的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，x 0.05＝3.841） 20．（12分）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如表所示：（1）已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%．若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X ，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列和数学期望．21．（12分）某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润10万元．现在从甲项目中调出x 人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润10(a −3x500)万元（a ＞0），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高0.4x %．（1）若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？（2）在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的25时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．22．（12分）某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下：根据表格中的数据，当0＜x ＜7时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①y =3.9x +10.9；模型②：y =22.1√x −13.8；当x ≥7时，确定y 与x 满足的线性回归方程为y =0.7x +a ．（1）根据如表中的数据，比较当0＜x ＜7时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；（附：刻画回归效果的相关指数R 2=1−∑ n i=1(y i −y i ̂)2∑ ni=1(y i −y)2）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，比较根据市场调研科技升级投入13亿元直接收益与投入20亿元时科技升级实际收益的预测值的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：{b =̂∑ i=1n (x i −x)(y i −y)∑ i=1n (x i −x)2=∑ i=1n x i y i −nx⋅y∑ i=1n x i 2−nx2a =y −b x（3）科技升级后，芯片的效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布N （0.50，0.012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过52%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过52%，每部芯片奖励4元，记Y 为每部芯片获得的奖励额，求E （Y ）（精确到0.01）．（附：若随机变量X ～N （μ，σ2）（σ＞0），P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9545．）2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．（1，3）C．（﹣1，2）D．（2，3）解：由题意可得：B＝{x|y＝ln（x﹣2）}＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，所以A∩B＝（2，3）．故选：D．2．下列说法正确的是（）A．命题“∀x＞0，都有e x＞x+1”的否定是“∃x≤0，使得e x≤x+1”B．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（﹣1，0）C．若不等式x2﹣x+c＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则c＝2D．“a＞1”是“1a＜1”的充要条件解：对于A，命题“∀x＞0，都有e x＞x+1”的否定是“∃x＞0，使得e x≤x+1”，故A错误，对于B，由于y＝2x和y＝3x均为单调递增函数，故f（x）＝2x+3x单调递增，f(−1)=12−3＜0，f(0)= 1＞0，由零点存在性定理可得f（x）在（﹣1，0）上有唯一的零点，故B正确，对于C，若不等式x2﹣x+c＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则﹣1，2是方程x2﹣x+c＝0的两个根，所以﹣1×2＝c⇒c＝﹣2，故C错误，对于D，由1a ＜1可得a−1a＞0，故a＞1或a＜0，故a＞1能得到1a＜1，但是1a＜1不一定得到a＞1，故“a＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．3．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有（）种分配方式．A．35B．50C．60D．70解：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：3：3和4：2，则相应的分配方式分别有C63=20种和C21C62=30种，所以不同的分配方式共有20+30＝50种．故选：B．4．已知函数f （x ）＝|log 3（x ﹣1）|，则（ ） A ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减 B ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称 C ．若x 1≠x 2，但f （x 1）＝f （x 2），则x 1•x 2＝1 D ．函数f （x ）有且仅有两个零点解：f(x)=|log 3(x −1)|={log 3(x −1)，x ≥2−log 3(x −1)，1＜x ＜2，画出f （x ）＝|log 3（x ﹣1）|的图象如下，A 选项，函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减，A 正确；B 选项，函数f （x ）的图象不关于直线x ＝1对称，B 错误；C 选项，若x 1≠x 2，但f （x 1）＝f （x 2），不妨设x 1＜2＜x 2， 则log 3（x 2﹣1）＝﹣log 3（x 1﹣1），即log 3(x 2−1)=log 31x 1−1，由于y ＝log 3x 在（0，+∞）上单调递增， 故x 2−1=1x 1−1，即（x 1﹣1）•（x 2﹣1）＝1，C 错误； D 选项，由图象可知，函数f （x ）有且仅有一个零点，D 错误． 故选：A ．5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中不放回地任取3个，那么最多有1个是二等品的概率是（ ） A ．C 161C 42C 203 B ．C 162C 41C 203C ．1−C 43C 203D ．C 162C 41+C 163C 203解：当有1个是二等品时，概率为C 162C 41C 203，当3个均为一等品时，概率为C 163C 203，故最多有1个是二等品的概率为C 162C 41+C 163C 203．故选：D ．6．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为12，13，14，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A ．16B ．613C ．12D ．23解：记小明迟到为事件B ，小明自驾迟到为事件A ，则P(B)=13×12+13×13+13×14=1336，P(A)=13×12=16，所以P(A|B)=161336=613．故选：B ．7．已知随机变量X ∼B(2，p)，P(X =1)=12，则E(X4)=（ ） A ．14B ．12C ．23D ．2解：依题意，P(X =1)=C 21⋅p ⋅(1−p)=2⋅p ⋅(1−p)=12，解得p =12，所以E(X)=2×12=1，所以E(X 4)=14E(X)=14×1=14． 故选：A ．8．已知α+β=π3(α＞0，β＞0)，则tan α+tan β的最小值为（ ） A ．√33B ．√3C ．2√33D ．√3+1解：∵α+β=π3(α＞0，β＞0)，则α，β∈(0，π3)，∴tanα，tanβ∈(0，√3)，即tan α+tan β＞0，且tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3，即tanαtanβ=1−√33(tanα+tanβ)≤(tanα+tanβ)24，当且仅当tanα=tanβ=√33时，等号成立，整理得(tanα+tanβ)2+4√33(tanα+tanβ)−4≥0， 解得tanα+tanβ≥2√33或tanα+tanβ≤−2√3（舍去）， ∴tan α+tan β的最小值为2√33． 故选：C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分） 9．下面结论正确的有（ ）A ．若a ＞0，b ＞0且1a+4b=4，则a +b ≥94B ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝2，则ab 有最小值1C ．若0＜n ＜m ＜1，则n m＜n+1m+1D ．若0＜n ＜m ＜1，则m +1m ＞n +1n 解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0且1a+4b =4，所以a +b =14(1a +4b )(a +b)=14(5+ba +4ab )≥14(5+2√b a ⋅4ab )=94， 当且仅当ba =4a b，即a =34，b =32时取等号，所以A 正确，对于B ，因为a ＞0，b ＞0且a +b ＝2，所以2=a +b ≥2√ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以ab 有最大值1，所以B 错误， 对于C ，因为0＜n ＜m ＜1，所以m ﹣n ＞0， 所以n+1m+1−n m=m(n+1)−n(m+1)m(m+1)=m−n m(m+1)＞0，所以n m＜n+1m+1，所以C 正确，对于D ，若m =12，n =14，则m +1m ＜n +1n ，所以D 错误， 故选：AC ．10．下列表达式中正确的是（ ）A ．C nm=An mm!B ．(x +1x)6的二项展开式中x 2项的系数等于15C ．∑C n k a n−k b k=(a +b)n nk=1D ．∑ n k=1C n k =2n解：A选项，C nm=A n m A mm =A n mm!，所以A 选项正确． B 选项，二项式展开式的通项公式为C 6r ⋅x 6−r ⋅x −r =C 6r⋅x 6−2r ， 令6﹣2r ＝2，解得r ＝2，所以x 2项的系数为C 62=15，B 选项正确． C 选项，(a +b)n =∑C n k a n−k b k nk=0，所以C 选项错误． D 选项，2n =∑ n k=0C n k ，所以D 选项错误．故选：AB ．11．下列说法正确的有（ ）A ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1B ．独立性检验是在零假设H 0之下，如果出现一个与H 0相矛盾的小概率事件，就推断H 0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率C ．已知一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），根据这组数据的散点图分析y 与x 之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为y =0.8x +1.3，则在样本点（2，2.7）处的残差为﹣0.2D ．以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝lny ，将其变换后得到线性方程z ＝0.3x +5，则c ，k 的值分别是e 5 和0.3解：对于A ，相关关系越强，相关系数r 的绝对值越接近于1，故A 错；对于B ，独立性检验是在零假设H 0之下，如果出现一个与H 0相矛盾的小概率事件， 就推断H 0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，故B 正确； 对于C ，当x ＝2时，y =0.8×2+1.3=2.9，残差：2.7﹣2.9＝﹣0.2，故C 正确； 对于D ，y ＝ce kx ，lny ＝lnce kx ＝kx +lnc ，即z ＝kx +lnc ， ∴k ＝0.3，lnc ＝5，即c ＝e 5，故D 正确． 故选：BCD ．12．设函数f （x ）的定义域为R ，f(x −π2)为奇函数，f(x +π2)为偶函数，当x ∈[−π2，π2]时，f （x ）＝cos x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f(5π2)=−12B ．f （x ）在（3π，4π）上为减函数C ．点(3π2，0)是函数f （x ）的一个对称中心D ．方程f （x ）﹣lgx ＝0仅有3个实数解解：函数f （x ）的定义域为R ，由f(x −π2)为奇函数，得f(−x −π2)=−f(x −π2)，即f （﹣x ﹣π）＝﹣f （x ），由f(x +π2)为偶函数，得f(−x +π2)=f(x +π2)，即f （﹣x +π）＝f （x ），则f （﹣x +π）＝﹣f （﹣x ﹣π）， 即f （x +2π）＝﹣f （x ），于是f （x +4π）＝﹣f （x +2π）＝f （x ），函数f （x ）是周期为4π的周期函数， 当x ∈[−π2，π2]时，f （x ）＝cos x ，对于A ，f(5π2)=f(π2+2π)=−f(π2)=−cos π2=0，A 错误；对于B ，函数f （x ）在[−π2，0]上单调递增，由f （﹣x ﹣π）＝﹣f （x ），知函数f （x ）图象关于点(−π2，0)对称，则函数f （x ）在[−π，−π2]上单调递增，即有函数f （x ）在[﹣π，0]上单调递增，因此f （x ）在（3π，4π）上单调递增，B 错误；对于C，由f（x+2π）＝﹣f（x）及f（﹣x+π）＝f（x），得f（x+2π）＝﹣f（﹣x+π），即f（x+3π）＝﹣f（﹣x），因此函数f（x）图象关于点(3π2，0)对称，C正确；对于D，当x∈[−π2，π2]时，0≤f（x）≤1，由函数f（x）图象关于点(−π2，0)对称，知当x∈[−3π2，−π2]时，﹣1≤f（x）≤0，则当x∈[−3π2，π2]时，﹣1≤f（x）≤1，由f（﹣x+π）＝f（x），知函数f（x）图象关于直线x=π2对称，则当x∈[π2，5π2]时，﹣1≤f（x）≤1，于是当x∈[−3π2，5π2]时，﹣1≤f（x）≤1，而函数f（x）的周期是4π，因此函数f（x）在R上的值域为[﹣1，1]，方程f（x）﹣lgx＝0，即f（x）＝lgx，因此f（x）﹣lgx＝0的根即为函数y＝f（x）与y＝lgx图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝lgx的部分图象，如图，观察图象知，函数y＝f（x）与y＝lgx图象在(0，7π2)上有且只有3个公共点，而当x≥7π2时，f（x）≤1，lgx＞1，即函数y＝f（x）与y＝lgx图象在(7π2，+∞)无公共点，所以方程f（x）﹣lgx＝0仅有3个实数解，D正确．故选：CD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知扇形的面积是4cm2，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是2．解：由扇形的面积公式：S=12αr2，得4=12α×4，α=2．故答案为：2．14．我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩X～N（105，σ2），统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的70%，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有640人．解：由于正态分布曲线的对称轴为105，故P（X≥105）＝0.5，由题意可知P （X ＞80）＝P （105＞X ＞80）+P （X ≥105）＝70%， ∴P （105＞X ＞80）＝0.2，根据对称性可得P （130＞X ＞80）＝2P （105＞X ＞80）＝2×0.2＝0.4， 所以数学成绩在80分到130分之间的学生有1600×0.4＝640． 故答案为：640．15．二项式（1+sin x ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为352，则x在（0，π）内的值为π4或3π4．解：因为（1+sin x ）n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ×1n−r ×(sinx)r =C n rsin r x ，r =0，1，2，⋯，n ，令r ＝n ﹣1，可得T n =C n n−1sin n−1x =n ⋅sin n−1x ； 令r ＝n ，可得T n+1=C n n sin n x =sin n x ；由题意可得：n +1＝9，解得n ＝8， 所以二项式系数最大的为第5项，则T 5=C 84sin 4x =70sin 4x =352，且x ∈（0，π）， 则sin x ＞0，可得sinx =√22，所以x =π4或x =3π4． 故答案为：π4或3π4．16．1sin30°⋅sin31°+1sin31°⋅sin32°+⋯+1sin59°⋅sin60°=2√33sin1° ． 解：因为1sinn°⋅sin(n+1)°=1sin1°⋅sin[(n+1)°−n°]sinn°⋅sin(n+1)°=1sin1°⋅sin(n+1)°cosn°−cos(n+1)°sinn°sinn°⋅sin(n+1)°=1sin1°⋅tan(n+1)°−tann°tann°⋅tan(n+1)°=1sin1°⋅[1tann°−1tan(n+1)°]， 故1sin30°⋅sin31°+1sin31°⋅sin32°+⋯+1sin59°⋅sin60°=1sin1°⋅(1tan30°−1tan60°)=1sin1°⋅(√3−√33)=2√33sin1°． 故答案为：2√33sin1°．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知函数f(x)=cosx ⋅(√3sinx +cosx)． （1）求f(7π6)的值；（2）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间．解：（1）f(x)=cosx ⋅(√3sinx +cosx) =√3sinxcosx +cos 2x =√32sin2x +1+cos2x 2=12+sin(2x +π6)， 即f(x)=12+sin(2x +π6)， 所以f(7π6)=12+sin(7π3+π6)=12+sin π2=12+1=32． （2）因为f(x)=12+sin(2x +π6)， 所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 所以f （x ）的单调递增区间是[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)． 18．（12分）计算下列各式的值．（1）(827)−23+log 1162−√(−5)55+e 3ln2；（2）若0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(π4+α)=13，cos(π4−β2)=√33，求sin(α+β2)的值．解：（1）(827)−23+log 1162−√(−5)55+e 3ln2=[(23)3]−23+(−14log 22)−(−5)+e ln23=(23)−2+(−14)+5+8=94−14+13=15． （2）sin(α+β2)=sin[(π4+α)−(π4−β2)]=sin(π4+α)cos(π4−β2)−cos(π4+α)sin(π4−β2)， 因为0＜α＜π2，−π2＜β＜0， 所以π4+α∈(π4，3π4)，π4−β2∈(π4，π2)，因为cos(π4+α)=13，cos(π4−β2)=√33， 所以sin(π4+α)=2√23，sin(π4−β2)=√63， 则sin(α+β2)=2√23×√33−13×√63=√69．19．（12分）某校高二年级共有学生600名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1： 表1表2（1）根据表1数据，从600名学生中随机选择一人做代表．①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；②在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率．（2）从600名学生中获取容量为30的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（χ2= n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，x0.05＝3.841）解：（1）记事件A＝“选到同学数学成绩优秀”，记事件B＝“选到同学语文成绩优秀”，则A与B相互独立，①P(AB)=123600=41200，②P(B|A)=n(AB)n(A)=123227；（2）表2整理如下：零假设H0：数学成绩与语文成绩无关联，∵χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30(6×12−5×7)211×19×13×17=4107046189≈0.889＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为数学成绩与语文成绩有关联．20．（12分）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如表所示：（1）已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%．若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X ，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）记事件A 1，A 2，A 3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩， 则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3两两互斥，由题意：P （A 1）＝0.4，P （A 2）＝0.4，P （A 3）＝0.2， 记事件B 为“选到绑带式口罩”，则P （B |A 1）＝0.4，P （B |A 2）＝0.5，P （B |A 3）＝0.6， 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为：P （B ）＝P （A 1）P （B |A 1）+P （A 2）P （B |A 2）+P （A 3）P （B |A 3） ＝0.4×0.4+0.4×0.5+0.2×0.6＝0.48．（2）由题意知，X ＝0，1，2，3，X ～B （3，0.4），P(X =0)=C 30⋅0．40×0．63=0.216，P(X =1)=C 31⋅0．41×0．62=0.432， P(X =2)=C 32⋅0.42×0.61=0.288，P(X =3)=C 33⋅0.43×0.60=0.064，故X 的分布列为：E （X ）＝3×0.4＝1.2．21．（12分）某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润10万元．现在从甲项目中调出x 人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润10(a −3x500)万元（a ＞0），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高0.4x %．（1）若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？（2）在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的25时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围． 解：（1）设从甲项目调出x 人参加乙项目工作，由题意得：10（500﹣x ）（1+0.004x ）≥10×500， 即x 2﹣250x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤250， 即最多调出250人参加乙项目工作； （2）由题知0＜x ≤200，乙项目工作的工人创造的年总利润为10(a −3x500)x 万元，甲项目余下工人创造的年总利润为10（500﹣x ）（1+0.004x ）=10(500−x)(1+x250)万元， 则10(a −3x 500)x ≤10(500−x)(1+x250)， 所以ax ≤500+x +x 2500，即a ≤500x +x500+1恒成立，因为0＜x ≤200，函数y =500x +x500+1在（0，200]上单调递减， 所以500x+x 500+1≥500200+200500+1=3910．又a ＞0，所以0＜a ≤3910， 即实数a 的取值范围为{a |0＜a ≤3910}． 22．（12分）某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下：根据表格中的数据，当0＜x ＜7时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①y =3.9x +10.9；模型②：y =22.1√x −13.8；当x ≥7时，确定y 与x 满足的线性回归方程为y =0.7x +a ．（1）根据如表中的数据，比较当0＜x ＜7时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；（附：刻画回归效果的相关指数R 2=1−∑ n i=1(y i −y i ̂)2∑ ni=1(y i −y)2）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，比较根据市场调研科技升级投入13亿元直接收益与投入20亿元时科技升级实际收益的预测值的大小； （附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：{b =̂∑ i=1n (x i −x)(y i −y)∑ i=1n (x i −x)2=∑ i=1n x i y i −nx⋅y∑ i=1n x i 2−nx2a =y −b x（3）科技升级后，芯片的效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布N （0.50，0.012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过52%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过52%，每部芯片奖励4元，记Y 为每部芯片获得的奖励额，求E （Y ）（精确到0.01）．（附：若随机变量X ～N （μ，σ2）（σ＞0），P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9545．）解：（1）由表格中的数据，180.2＞81.9， 所以，180.2∑ n i=1(y i −y)2＞81.9∑ n i=1(y i −y)2，则1−180.2∑ n i=1(y i −y)2＜1−81.9∑ n i=1(y i −y)2， 则模型②的相关指数大于模型①的相关指数，故回归模型②的拟合效果更好． （2）当x ≥7时，由已知可得 x =9+11+13+15+17+196=14 y =50+56+58+62+63+656=59， 因为出﹣0.7x +a ，所以，﹣0.7×14+59，解得 F ＝68.8所以当x ≥7时，y 与x 满足的线性回归方程为，y ＝﹣0.7x +68.8， 当x ＝13时，根据市场调研科技升级投入13亿元直接收益58亿元． 当x ＝20时，科技升级直接收益的预测值为y ＝﹣0.7×20+68.8＝54.8亿元， 所以实际收益的预测值为54.8+5＝59.8＞58亿元， 所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大． （3）∵μ＝0.50，σ＝0.01，∴μ+2σ＝0.52 ∴P(0.50＜X ≤0.52)=P(μ−2σ＜X≤μ+2σ)2=0.95452=0.47725． P(X ＞0.52)=1−P(μ−2σ＜X≤μ+2σ)2=1−0.95452=0.02275．∴E （Y ）＝0+2×0.47725+4×0.02275＝1.0455≈1.05（元）．。

福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二下学期期中联考高中 二 年 数学（理） 科试卷命题学校： 罗源一中 命题教师： 吴善炮 审核教师： 范学基 考试日期： 4 月 19 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题（每小题5分，共60分）1.计算ii+3的值为（ ） A ．i 31+ B ．i 31-- C ．i 31- D ．i 31+－【答案】C 【解析】解：因为3i13i i+=-，选C 2.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中7,3,1321===a a a ，由此归纳出{}n a 的通项公式．3.下列求导运算正确的是（ ） A. 12)2(-⋅='x xx B. 11)(+-+--='x x e eC. 2212)1(xx x x -='- D. 2)(cos sin cos )cos (x x x x x x -='4.给出下列三个类比结论①nn n n n n n b a b a b a b a ab +=++=)()(类比，则有与）（； ②βαβαβαsin sin )sin()sin(log log )(log =+++=类比，则有与y x xy b a a ；③22222222)()(2)(b b a a b a b a b ab a b a +•+=++++=+类比，则有与； 其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】解：①中与二项式定理展开式矛盾错误，选项②显然不符合三角公式，错误。

③可以类比推理，符合向量的运算法则，因此选B5.一个作直线运动的物体，它的运动路程s (米)与时间t （秒）满足)0(414≥=t t s ，如果它在a 秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等，则a 等于（ ） A ．326 B ．34 C ．4 D ． 3246.曲线y P x y 处的切线与在点)12,1(113+=轴交点的纵坐标是（ ） A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15 【答案】C【解析】解：因为32x 1y x 11P(1,12)==+∴∴∴∴在点处的切线y'=3x y'|=3y-12=3(x-1)x=0时，y=97.已知b a ，为不相等的正数，a b b a B b b a a A +=+=,，则A 、B 的大小关系（ ） A ．B A > B ．B A ≥ C ．B A < D ．B A ≤8.如果函数)(x f y =的导函数)(x f y '=图像如右图所示， 则函数)(x f 的图像最有可能是图中的 ( )x-1 y-210.函数x x x f 21)(-=在区间),0[+∞内（ ） A.有最大值，无最小值 B.有最大值，有最小值 C.无最大值，无最小值 D.无最大值，有最小值12.已知函数),0(,0)(+∞∈+∞x x f 任意）上的单调函数，且对是定义在（恒有)(0)()(),0(,1]ln )([000值是的最小成立，则使不等式若存在c c x f x f x x x f f ≤-'++∞∈=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．不存在二、填空题（每小题4分，共16分） 13.=-⎰dx x 211－_______.【答案】25 16.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = __ ；若590=n a ，则n =__ ．三、解答题（17~21每题12分，22题14分，共74分）17.求函数x x x x f ln 223)(2-+=单调区间与极值.18.已知数列,)12)(12(1,,751,531,311+-⨯⨯⨯n n ，计算321,,S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法给出证明.19.已知复数)20(2sin πθθ≤≤+=i z ，且i z i z 221)42(+=+-，求倾斜角为θ并经过点)0,6(-的直线l 与曲线2x y =所围成的图形的面积.【解析】本试题主要是考查了复数的运算以及运用导数的微积分定理求解面积。

2019-2020学年第二学期八县（市）一中期中联考高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353 D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12）B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ）A.最大值eB.最大值1e +C.最小值e -D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。