陕西省高二上学期数学期中考试试卷(I)卷

长安一中2020——2021学年第一学期高二年级期中考试 理科数学试卷一、选择题1. 若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（ ） A. //l α B. l α⊥ C. l α⊂ D. l 与α斜交【答案】B 【解析】 【分析】由l 的方向向量(1,0,2)a = ，平面α的法向量(2,0,4)n =-- 可得2n a =-，从而得解. 【详解】∵(1,0,2)a = ，(2,0,4)n =--， ∴2n a =- ，即//n a .∴l α⊥. 故选：B【点睛】本题考查利用直线l 的方向向量与平面α的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.2. 已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+>；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D.()p q ⌝∨⌝【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，再由复合命题的性质判断命题真假．【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>， 因为()2120x -+>，所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知A ：p q ∨为真命题；B ：()p q ∨⌝为真命题;C ：p q ⌝∨为假命题；D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选:C3. 已知抛物线22y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）A.74B.12764C.94D.12964【答案】A 【解析】 【分析】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后可算出答案.【详解】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以椭圆2212y x m +=的一个焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以124m -=，即74m = 故选：A4. 已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ）A 2 B.C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112AB C B ⋅=-，可得出关于a 的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、(),0,0B a 、()1,0,B a a 、()1,,C a a a ，()1,0,AB a a =，()10,,C B a a =--，则2112AB C B a ⋅=-=-，可得2a =因此，正方体1111ABCD A B C D -2. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.5. 设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）A. [)5,+∞B. [)6,+∞C. )5,⎡+∞⎣ D. )6,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围.【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥44121415a a a a∴++≥⋅=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)5,⎡+∞⎣. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.6. 三棱锥A­BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB CD ⋅等于( )A. －2B. 2C. 23-D. 23【答案】A 【解析】 试题分析：()····022cos602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-考点：平面向量数量积的运算7. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是11A C 的中点，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） A.32B.24C.12D.33【答案】B 【解析】 【分析】O 是11A C 中点，1112OC AC =，因此O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半，求出1A 到平面11ABC D 距离即可．【详解】如图，连续1A D 与1AD 交于点M ，11ADD A 是正方形，则11A D AD ⊥，1111ABCD A B C D -是正方体，AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∴1A D ⊥平面11ADD A ，又11122A M A D ==， ∴1A 到平面11ABC D 的距离为2， 又1112AC OC =，∴O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半即为24． 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P 到平面α的距离方法如下： （1）直接过P 作平面α的垂线，垂足为M ，求出PM 的长即可；（2）（转化法）若Q α∈，O 是直线PQ 上的点，且PQ OQ λ=，求出O 到平面α的距离d ，则P 到α距离为d λ．（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面底面，换底后求出体积，则可求得点面距．（4）建立空间直角坐标系，若Q α∈，求出α的一个法向量，PQ 在n 方向上的投影的绝对值即为P 到平面α的距离．8. 已知点F 为椭圆()2221x y a a+>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ） A. 2 23 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得焦点坐标和a 【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==， 故可得2OF =F 坐标为)2,0.则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选:C.9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若2020x >，则0x >”的逆命题 B. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题 C. 命题“若220x x +-=，则1x =” D. 命题“若21x ≥，则1≥x ”的逆否命题 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个命题的真假即可.【详解】A 项，命题“若2020x >，则0x >”的逆命题为“若0x >，则2020x >”，显然命题为假；B 项，命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆命题为“若0x =或0y =，则0xy =”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C 项，解220x x +-=，得1x =或2x =-，所以命题“若220x x +-=，则1x =”为假；D 项，211x x ≥⇒≤-或1≥x ，所以命题“若21x ≥，则1≥x ”是假命题，则其逆否命题也为假命题. 故选：B.10. 设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则上述命题中所有真命题的个数是（ ）． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点B平面α内， 同理，3l 与2l 的交点A 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题3p 为假命题； 对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题. 故选:B11. 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24C. 36D. 48【答案】C 【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12. 在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.【详解】充分性：在ABC 中，若sin cos B C <，则cos 0C >，可知C 为锐角，且cos sin 2C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若角B 为直角，则sin 1B =，则cos 1C >不成立，故角B 不可能为直角； 若角B 为锐角，则sin cos sin 2B C C π⎛⎫<=-⎪⎝⎭，02C π<<，则022C ππ<-<，由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C π<-，即2B C π+<，即2A ππ-<，2A π∴>，此时，ABC 为钝角三角形；若角B 为钝角，即2B ππ<<，可得02B ππ<-<，02C π<<，则022C ππ<-<，由sin cos B C <可得()sin sin 2B C ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭， 由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C ππ-<-，可得2B C π->，22B C ππ∴>+>，此时，ABC 为钝角三角形；所以，充分性成立；必要性：若ABC 为钝角三角形，且角C 为钝角，则角B 为锐角，那么sin 0cos B C >>， 必要性不成立.综上所述，在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.13. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C.163D.203【答案】C 【解析】 【分析】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，根据点F 是AC 的中点， 2AM HF =，取得2p =， 设BF BN m ==，根据相似求得43BF =，再结合焦点弦的性质，即可求解. 【详解】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，准线与x 轴交于H ，则HF p =， 由于点F 是AC 的中点，且4AF =，根据抛物线的定义，可得224AM HF p ===，所以2p =，设BF BN m ==，则BN BC FH CF =，即424m m -=，解得43m =，所以416433AB AF BF =+=+=， 即AB 的长为163. 故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.14. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】由120MF MF ⋅=可知，M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得c b <. 【详解】因数120MF MF ⋅=所以M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上 所以圆在椭圆内部， 所以c b <所以2222<=-c b a c2212<c a 202e <<故选：C.【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.二、填空题15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>C 的渐近线方程为___________.【答案】y = 【解析】 【分析】根据离心率公式得到ba=，再计算渐近线得到答案. 【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：by x a=±，由题意离心率c e a ===b a =y =，故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.16. 一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____． 【答案】22186x y +【解析】 【分析】设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），∵P （2|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴2243124a b a c⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且a 2=b 2+c 2， 解得，，∴椭圆方程为22186x y +=．故答案为22186x y +=．【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则点1A 与面对角线1BC 所在直线间的距离是______． 【答案】6a 【解析】 【分析】连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ，根据正方体的性质，易得1BC ⊥平面11A B O ，进而得到1BC ⊥1A O ，则1A O 的长度即为所求.【详解】如图所示：连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ， 因为111111111,,BC B C BC A B B C A B B ⊥⊥⋂=， 所以1BC ⊥平面11A B O ， 所以1BC ⊥1A O ， 所以1A O 的长度即为所求.因为1112,A B a B O a ==， 所以2211116AO A B B O a =+= 故答案为：6a 18. 已知抛物线()220y px p =>在第一象限内的部分上一点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，若P 为抛物线准线上任意一点，则PAF △的周长最小值为______． 【答案】434+ 【解析】 【分析】利用抛物线的定义由342p+=求得抛物线方程24y x =，进而得到准线方程1x =-，焦点坐标()1,0F ，()3,23A ，然后作出点A 关于准线的对称点()5,23A '-求解. 【详解】因为抛物线()220y px p =>上的点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，由抛物线的定义得；342p+=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-，焦点坐标为()1,0F ，()3,23A ，如图所示：点A 关于准线的对称点(5,23A '-，则AP +PF 的最小值为()()22512343A F '=--+=所以PAF △的周长最小值为4故答案为：4三、解答题19. 已知m ∈R ，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.【解析】 【分析】（1）考查不等式恒成立，构造函数()[]()220,1f x x x =-∈，求其最小值()2min 3f x m m≥-即可；（2）p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分p 真q 假、p 假q 真两类讨论即可.【详解】（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ． 因此，当命题q 为真时，1m ．因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩得12m <≤；当p 假q 真时，由121m m m ⎧⎨≤⎩或得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出EF 和平面1A DC 的一个法向量为n ，满足0EF n ⋅=即可；（2）利用111cos ,DA CF DA CF DA CF⋅=⋅可求出.【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =， 得()0,0,0D ，()1,0,2E ，70,,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12,0,2A ，()0,4,0C ，∴()12,0,2DA =，()0,4,0DC =，71,,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A DC 的一个法向量为(),,n x y z =．由122040n DA x z n DC y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，取1z =-，得()1,0,1n =-，∵0EF n ⋅=，且EF ⊄平面1A DC ，∴//EF 平面1A DC ．（2）解：由（1）知，()12,0,2DA =，又10,,12CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴11110cos ,55222DA CF DA CF DA CF⋅===⋅⨯．∴直线1A D 与直线CF 10． 【点睛】本题考查线面平行证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解是解决本题的有效办法.21. 已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．【答案】（1）2212y x +=；（2. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A B x x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F=则2211122ABF S k ===≤+△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 22. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C.（1）求证：BC ⊥平面ACD 1；（2）若直线DD 1与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（221 【解析】 【分析】（1）连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，推导出1BC D C ⊥，连接AC ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，推导出BC ⊥AC ，由此能证明BC ⊥平面ACD 1;（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CD 1，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，BC ABCD ⊂平面，1BC D C ∴⊥在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4,2,AB BC CD AB CD ===∥，则223,1,213AG BG CG ===-=22223(3)23AC AG CG ∴=+=+=因此满足22216,AC BC AB BC AC +==∴⊥ 又1D C ，AC ⊂面1AD C ，1D CAC C =BC ∴⊥平面1AD C（2）由（1）知1,,AC BC D C 两两垂直，1D C ⊥平面11,,24ABCD D DC D C CD π∴∠=∴==以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(23,2,0)AB ∴=-，1(23,0,2)AD =-设平面11ABC D 的法向量(,,)n x y z =，由100AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得23202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面11ABC D 的一个法向量(1,3,3)n =， 又1(0,0,2)CD =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 则112321cos 727CD n CD nθ⋅===，因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】【分析】 设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a b y +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-． 【详解】由题设1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++=（Ⅰ）由于F 线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a ---=====-=+-， 所以//AR FQ（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211y x a b x =≠+-． 而2a b y +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。

陕西省宝鸡市长岭中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线20x -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．5π62．如图，在空间四边形PABC 中，PA AB CB +-=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．PC u u u rB ．PA u u u rC ．AB u u u rD ．AC u u u r3．若1:10l x my --=与()2:2310l m x y --+=是两条不同的直线，则“1m =-”是“12l l ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，AD c =u u u r r，M ，P 分别是1AA ，11C D 的中点，则MP =u u u r（ ）A ．313222a b c ++r r rB ．12a c +r rC ．1122a b c ++r r rD ．311222a b c ++r r r5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为12，且过点()2,0的椭圆方程是（ ） A ．22143x y +=B ．2214x y +=或2214y x +=C ．2231416x y +=D ．22143x y +=或2231416x y +=6．在空间四边形OABC 中，OB OC =，AOB AOC ∠=∠，则cos ,OA BC u u u r u u u r 的值为（ ）A ．12B C ．12-D ．07．已知圆22425x x y y -+-=关于直线230ax y b ++-=（a ，b 为大于0的数）对称，则11a b+的最小值为（ ） A ．92B ．12C ．1D ．28．已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A B ．13C D二、多选题9．已知两条平行直线1l ：10x y -+=和2l ：0x y m -+=m 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．－110．过点()2,0P 作直线与圆C ：()()223316x y -++=相交于A ，B 两点，则（ ）A ．弦AB B ．当弦AB 最短时弦所在的直线方程为320x y +-=C ．弦AB 的长度的最小值为D ．当弦AB 最短时弦所在的直线方程为320x y --= 11．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量a b r r ∥，则a r 、b r与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA u u u r 、BM u u u u r 、BN u u ur 不能构成空间的一组基底，则A 、B 、M 、N 共面D ．已知{},,a b c r r r是空间向量的一组基底，则{},,c a b a b +-r r r r r 也是空间向量的一组基底12．已知双曲线C ：()222103x y b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为双曲线C 右支上的动点，过点P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B .若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的渐近线方程为y =B ．双曲线C 的离心率e =C ．当点P 异于双曲线C 的顶点时，12PF F △的内切圆的圆心总在直线xD ．PA PB ⋅为定值32三、填空题13．以抛物线22x y =的焦点为圆心，且与2212y x -=的渐近线相切的圆的标准方程为.14．直线l 与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，若1OA OB ⋅=-u u u r u u u r，则AB =.15．经过点()2,7P 作直线l ，若直线l 与连接()1,1A ，()4,5B 两点的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为．16．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线12,l l 均过点F 分别交抛物线C 于,,,A B D E 四点，若直线12,l l 斜率乘积的绝对值为8，则当直线2l 的斜率为时，AB DE +的值最小，最小值为．四、解答题17．已知方程22124x y k k+=+-表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆；试分别求出k 的取值范围.18．已知抛物线C ：()220y px p =>过点()1,2A ．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长度． 19．已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=．(1)m 为何值时，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB V （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．20．已知点(1,1)A ，(2,0)C -，点A 关于直线10x y --=的对称点为点.B (1)求B 点坐标；(2)在PBC V 中，|||PC PB ，求PBC V 面积的最大值．21．已知双曲线()2220:1y C x bb =>-，过点(20)D ，的直线l 与该双曲线的两支分别交于,M N 两点，设()11,M x y ，()22,N x y ．(1)若b =，点O 为坐标原点，当⊥OM ON 时，求12x x ⋅的值；(2)设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=u u u u r u u u u r ，EN ND μ=u u ur u u u r ，证明：λμ+为定值．22．已知椭圆22:163x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，动直线l 过点2F 与椭圆C 相交于,A B 两点．(1)当l x ⊥轴时，求1ABF V 的外接圆的方程； (2)求1ABF V 内切圆半径的最大值．。

陕西省宝鸡市南山高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}230A x x x =-<，{}1,2,3,4B =，则()R A B =I ð（ ）A ．{}4B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,32．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．116B ．14C ．18D ．13．已知等比数列{}n a 中，142,16a a ==，则公比q =（ ） A ．2-B ．2C ．4D ．4-4．已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为（ ） A ．470x y ++= B ．23110x y --=C ．4350x y ++=D ．43130x y +-=5．若方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，6．函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是A ．B ．C ．D ．7．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，224S =，430S =，则公比q =（ ） A ．13B ．12C ．2D ．38．已知点M ，N 分别为圆1C ：()()22221x y -+-=，2C ：()()22349x y ++-=上的动点，P 为x 轴上一点，则PM PN +的最小值（ ） AB4CD4二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．若直线a ，b 不共面，则a ，b 为异面直线B ．若直线//a 平面α，则a 与α内任何直线都平行C ．若直线//a 平面α，平面//α平面β，则//a βD ．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 10．在等差数列{}n a 中，其前n 的和是n S ，若19a =-，3d =，则（ ）A ．{}n a 是递增数列B ．其通项公式是312n a n =-C ．当n S 取最小值时，n 的值只能是3D ．n S 的最小值是18-11．已知椭圆222212:55,:11612+=+=x y C x y C ，则（ ）A ．12,C C 的焦点都在x 轴上B ．12,C C 的焦距相等 C ．12,C C 没有公共点D ．2C 比1C 更接近圆12．已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：28y x =上异于坐标原点O 的两个动点，且以AB 为直径的圆过点O ，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为2x =-B ．直线AB 的斜率为128y y +C ．1264x x =D ．直线AB 过定点()8,0三、填空题13．3πππ13πsincos cos sin 412412+=． 14．设,a b r r 为单位向量，且||1a b +=r r ，则||a b -=rr .15．某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，则其中女生甲当选为组长的概率为．16．数列{}n a 满足11a =，2211n n a a n ++=+，则数列{}n a 的前21项和为．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为312,15,222n S S S ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C .(1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=o ，求实数a 的值. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，4AC =，13BC CC ==，D ，E 分别为1AC ，AB 的中点．(1)求证：AC DE ⊥；(2)求直线1B C 与平面CDE 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足11a =，1113n n a a n+=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点为12,F F(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)过1F 作斜率为k 的直线l 分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若22AF BF =，求k 的值.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长和焦距相等，长轴长是(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，原点O 到直线l．点M 在椭圆C 上，且满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r，求直线l 的方程．。

陕西省南郑县中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题的四个选项只有一个是符合题目要求的。

（5*10=50）1、正弦定理是指（ ）（A ）A a sin = （B ）B b sin = （C ）C c sin = （D ）Cc B b A a sin sin sin == 2、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=∙=>>，则下列不等式成立的是（ ） (A) R<P<Q (B) P<Q<R (C) Q<P<R (D) P<R<Q 3、不等式0)3)(2)(1(>---x x x 的解集是（ ）。

A.（1，2）B. ,3()2,1(⋃ +∞）C.（1，3）D. （2，3）4、在△ABC 中，若A=30°，B=60°，则=c b a ::（ ）（A ）2:3:1 （B ）4:2:1 （C ）4:3:2 （D ）2:2:15、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．（－2，1 ）C ．[－1，2]D ．[1，2]6、在△ABC 中，2=a ，2=b ，A=45°，则B=（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 42009OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线（O 为该直线外一点），则2012S 等于(A) 2012 ( B) 1006 (C) 20122 (D)100628、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或D ．{}2|<x x 9、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. ),38(+∞ B. )3,38( C. ]3,38( D. )38,(-∞ 10、若实数x,y 满足不等式组则当a x x y 21≤+-恒成立时,实数a 的取值范围是( )A ．),2[+∞B ．),31[+∞-C ．]4,31[-D ．]4,32[-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（本题5小题，把正确答案写在题中的横线上，5*5=25分）11、设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = 。

神木四中2024~2025学年度第一学期高二第一次检测考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：必修第二册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，（ ）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则（ ）A.1或B.或2C.1或D.或3.已知复数，，i 为虚数单位，则“”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机事件A 和B 互斥，A 和C 对立，且，，则（ ）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.55.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A.1B.C.D.6.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：()i 23i -=32i--32i+32i-+32i-()1,a m = (),2b m m =- //a bm =2-1-12-1-12()11i z a =+-R a ∈0a >()0.8P C =()0.3P B =()P A B = π2π+32π4π+高三（一）班：36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），高三（二）班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位：℃）则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）A.36.3，36.7B.36.3，36.8C.36.25，36.7D.36.25，36.87.已知数据1，2，3，5，m （m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）A.B.C.D.8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件10.已知m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则11.在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A.若，则是等腰三角形34253103512AP EF ⋅⎡-+⎣16⎡--⎣16⎡--+⎣16⎡--+⎣αβγ//m α//αβ//m βm n ⊥m α⊥n β⊥αβ⊥//αβ//βγ//αγαβ⊥m αγ= n βγ= m n⊥ABC △cos cos c C b B =ABC △B.若，则C.若，则是钝角三角形D.若不是直角三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足（i 为虚数单位），则______.13.在中，，，若此三角形恰有两解，则BC 边长度的取值范围为______.14.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，若，，球O 的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知向量，，.（1）求；（2）设向量，的夹角为，求的值.16.（本小题满分15分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.（1）求乙通过考核的概率；（2）求甲、乙两人考核的次数之和为3的概率.17.（本小题满分15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值a b >sin sin A B>sin sin sin a A b B c C +<ABC △ABC △tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=()31i i z -=z =ABC △π4A =8AB =AB BC ⊥6AC =100πO ABC -()1,0a = (),1b m =- ()23,2a b -=-a b +a bθcos θ1314[]80,150[)80,90[)90,100[)100,110[)110,120[)120,130[)130,140[]140,150作为代表，中位数精确到0.1）（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.18.（本小题满分17分）如图，已知扇形OAB 的半径为2，，P 是上的动点，M 是线段OA 上的一点，且.（1）若PM 的长；（2）求的面积最大值.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，，，，E 是棱PA 上的一点.（1）若，求证：平面EBD ；（2）若平面EBD ，且，求直线BC 与平面EBD 所成角的正弦值.[)130,140[]140,150[]140,150π3AOB ∠=»AB 2π3OMP ∠=BP =OMP △P ABCD -PBD ⊥//AB CD BC CD ⊥2BC CD AB ===2PE EA =//PC PA ⊥4PA =神木四中2024~2025学年度第一学期高二第一次检测考试·数学参考答案、提示及评分细则1，B .2.A 由，有，解得或.3.B 若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，必有，可得，故选B.4.D 由A 和C 对立，可得，解得，又由随机事件A 和B 互斥可知，由，将，代入计算可得.故选D.5.C 设球的半径为R ，所以球的表面积.圆柱的表面积，所以该圆柱的表面积与球的表面积之比.故选C.6.B 由，高三（一）班这组数据的第25百分位数为36.3；由，可得高三（二）班这组数据的第80百分位数为，故选B.7.A 当时，↓，得（舍），当时，，得，当时，，得（舍），，从1，2，3，5，4中任取2个数结果，，，，，，，，，共10种，符合题意，，，，共4种，所以概率为.故选A.8.B 延长BA ，GH 交于点M，延长AB ，DC 交于点N ，根据正八边形的特征，可知，又，所以，，则的取值范围是.故选B.9.BD “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是()i 23i 32i -=+//a b22m m =-1m =2-10a ->1a >()()1P A P C +=()0.2P A =()0P AB =()()()()P AB P A P B P AB =+- ()0.2P A =()0.3P B =()0.5P A B = 24πS R =2222π2π26πS R R R R =+⋅=22216π324πS R S R ==100.25 2.5⨯=100.88⨯=36.736.936.82+=5m ≥113(1)54m m +=-5911m =15m <<113(51)54m +=⨯-4m =1m ≤()113554m m +=-3119m =4m ∴=()1,2()1,3()1,4()1,5()2,3()2,4()2,5()3,4()3,5()4,5()2,5()3,4()3,5()4,542105=AM BN ==AP EF AP BA ⋅=⋅ ()maxAP BAAM BA ⋅=⋅=()min16AP BAAN BA ⋅=⋅=--AP EF ⋅ 16⎡--⎣互斥事件，故A 错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B 正确；“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C 错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D 正确.故选BD.10.BC 若，，则或，故A 错误；若，，，则，故B 正确；若，，则，故C 正确；在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，但，故D 错误.故选BC.11.BCD 因为，由正弦定理得，即，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A 错误；∵由正弦定理得，，，，，故B 正确；因为，由正弦定理得，所以，所以，所以是钝角三角形，故C 正确；由不是直角三角形且，得，所以，故D 正确.故选BCD.，故.13. 若恰有两解，则，解得，即边BC 长度的取值范围为.14.12 设球O 的半径为R ，则，所以，因为，，//m α//αβ//m βm β⊂mn ⊥m α⊥n β⊥αβ⊥//αβ//βγ//αγ1111ABCD A B C D -ABCD ⊥11ADD A ABCD 11A BCD BC =11ADD A 1111A BCD A D =11//BC A D cos cos c C b B =sin cos sin cos C C B B =sin 2sin 2C B =22C B =22πC B +=C B =π2C B +=ABC △2sin a R A =2sin b R B =a b >2sin 2sin R A R B ∴>sin sin A B ∴>sin sin sin a A b B c C +<222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<π2C >ABC △ABC △()πA B C =-+()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=32i i i(1i)1i 1i 1i 21i z --+-====---z =()ABC △πsin4AB BC AB <<8BC <<()24π100πR =5R =AB BC ⊥6AC =所以的外接圆的半径为，所以点O 到平面ABC，设，，则，所以，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的体积的最大值为.15.解：（1）由，可得，，即，，，，；（2）因，，，则.16.解：（1）∵乙第一次考核通过的概率，乙第二次考核通过的概率，∴乙通过考核的概率；（2）甲考核1次，乙考核2次的概率；甲考核2次，乙考核1次的概率；∴甲乙两人的考核次数和为3的概率.17.解：（1）由题意知，解得，数学成绩的平均数为.由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，所以该校数学成绩的中位数，则，解得；（2）抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，记在内的4人为a ，b ，c ，d ，ABC △132AC =4=AB a =BC b =2236a b +=18ab <a b ==O ABC -141232ab⨯⨯≤()1,0a = (),1b m =- ()()()()21,02,112,23,2a b m m -=--=-=-123m -=-2m =()2,1b =-()()()1,02,13,1a b +=+-=- a b +== ()()1,02,112012a b ⋅=-=⨯-⋅⨯=1a = b = cos a b a b θ⋅===⋅ 114p =211314416p ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭1213741616p p p =+=+= 3111 1344p ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭41111346p ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭341154612p p p '=+=+=()0.0120.0280.0220.0180.0100.002101a +++⨯+++=0.008a =850.12950.221050.281150.181250.101350.081450.02107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[)80,100[)80,110[)100,110m ∈()1000.0280.16m =⨯-105.7m =[)130,1400.08540.080.02⨯=+[]140,150[)130,140在内的1人为A ，从5人中任取3人，有，，，，，，，，，，共10种，选出的3人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共6种，所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.18.解：（1）在中，由余弦定理得.又，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以（2）设，，则在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当[]140,150(),,a b c (),,a b d (),,a b A (),,a c d (),,a c A (),,a d A (),,b c d (),,b c A (),,b d A (),,c d A []140,150(),,a b A (),,a c A (),,a d A (),,b c A (),,b d A (),,c d A []140,15063105P ==OBP △2224435cos 22228OB OP BP BOP OB OP +-+-∠===⋅⨯⨯π03BOP <∠<sin BOP ∠==πππsin sin sin cos cos sin 333POM BOP BOP BOP ⎛⎫∴∠=-∠=∠-∠=⎪⎝⎭OPM △sin sin PM OPPOM OMP=∠∠sin sin OP POMPM OMP∠===∠OM x =PM y =OMP △2222cos OP OM MP OM MP OMP =+-⋅⋅∠22423x y xy xy xy xy =++≥+=43xy ≤x y ==11sin 22OMP S OM MP OMP x y =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=≤△x y ==即.19.（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，如图所示.因为，易得，所以，又，所以，又平面EBD ，平面EBD ，所以平面EBD ；（2）解：取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，连接EN，则，且，所以四边形ABCM 是平行四边形，N 为BD 中点，.因为平面EBD ，所以直线EN 是直线PN 在平面EBD 内的射影，所以是直线AM 与平面EBD 所成的角，即为直线BC 与平面EBD 所成的角.过点A 作，垂足为G ，连接AG ，GP，如图所示，易得，因为平面平面ABCD ，平面平面，平面ABCD ，所以平面PBD ，又平面PBD ，所以，所以在直角中，由平面EBD 、平面EBD ，则，，解得，所以.所以直线BC与平面EBD.OMP △//AB CD OAB OCD △△∽12OA AB OC CD ==2PE EA =//OE PC OE ⊂PC ⊄//PC //AB CM AB CM =12AN BC ==PA ⊥ANE ∠AG BD ⊥1AG =PBD ⊥PBD ABCD BD =AG ⊂AG ⊥PG ⊂AG PG ⊥PG ==AGE △PA ⊥GE ⊂AE EG ⊥AE AG AG AP =14AE =sin AE ANE AN ∠===。

陕西省渭南市瑞泉中学高二上理科数学期中考试试题数学试题(文科)本卷须知:1.答第l 卷前,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上；2每题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.第一卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只要一项为哪一项契合标题要求的〕1.在△ABC 中,，，，︒===4522A b a 那么B=A.30°B.45°C.60°D.l20°2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,，，11351==a a 那么7S 等于A.13B.35C.49D.633.假设变量y x 、满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x 那么目的函数x y z =的最大值是 A.32 B.3 C.21 D.2 4.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边区分为，、、c b a 假定 ，A a B c C b sin cos cos =+那么△ABC 的外形为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定5.在等比数列{}n a 中,，，3184==S S 那么20191817a a a a +++的值是A.14B.16C.18D.206.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的对边长区分为，、、c b a ,且C B A sin sin sin 、、成等比数列,且，a c 2=那么B cos 的值为 A.41 B.42 C.43 D.22 7.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和区分是n S 和，n T ，37+=n n T S n n 那么55b a 等于 A.7 B.32 C.1370 D.421 8.在△ABC 中,AC=7,BC=2,B=60°,那么BC 边上的初等于 A.23 B.263+ C.233 D.4393+ 9.假定()，，，，＞＞⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=•=2lg lg lg 21lg lg 1b a R b a Q b P b a 那么以下不等式成立的是 A.Q P R ＜＜ B.R Q P ＜＜ C.R P Q ＜＜ D.Q R P ＜＜10.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,，＜，，＞877665S S S S S S =以下给出了四个式子: ①公差；＜0d ②；07=a ③；＞49S S ④6S 和7S 均为n S 的最小值。

榆林市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D. 不存在2. 双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 已知抛物线C ：过点，则抛物线C的准线方程为（ ）A. B. C. D. 4.已知椭圆上有一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离为（ ）A. 6B. 3C. 4D. 25. 已知圆关于直线（a ，b 为大于0的数）对称，则的最小值为（ ）+1=0x 34π4π2π22136y x -=()(0,()3,0±(0,3)±2y mx =(58x =58x =-38x =38x =-22194x y +=22425x x y y -+-=230ax y b ++-=11a b+A.B.C. 1D. 26. 如图所示的三棱锥A-BCD 中，令，，，且M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 7. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C，则椭圆C 的方程为（ ）A. B. C. D. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR 为圆O 的切线，R 为切点，QCD 为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点，点P 是圆上的任意一点，过点作直线BT 垂直AP 于点T ，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）9212AB a =AC b =AD c = MG AG +1122-++ a b c 12a b c++12a b c -++ 1122a b c-+- 12π221188x y +=22198y x +=221188y x +=22184y x +=2QR QC QD =⋅()1,0A -22:4O x y +=()1,0B 23PA PT +()()3,1,2,3,3,1a b =--=A B. C.D. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）A. 点的坐标为 B. C.D. 11. 设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 412. 已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（ ）A.B.C. 双曲线的渐近线方程为D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______14. 已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为______15. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.16. 已知点，动点A 在圆M ：上运动，线段AN 的垂直平分线交AM 于P 点，则P 的轨迹方程为______；若动点Q 在圆上运动，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．.()32//a b a+ ()57a a b⊥+ a =b =2:6C y x =F 00(,)M x y C 9,2MF O =F ()0,103x =0y =OM =1F 2F C 22195x y +=P C 12PF PF m ⋅=m ()0y kx k =≠()2222100x y a b a b-=>>，,A B F 2AB AF AF ⋅= ABF △232a y x =34k =±l ()2,1l l y ()1,2,1A --αO ()1,1,3n =-A αC 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F x M N 110NF MF ⋅<C ()2,0N ()22264x y ++=()2211x y ++=PQ17. 已知圆方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于M ，N两点，且，求的值．18. 已知抛物线C ：过点．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）过该抛物线焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长度．19 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．20. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值．21. 如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．（1）求的取值范围；（2）求点的坐标．的的.C 22460x y x y m +-+-=m C :30l x y ++=MN =m ()220y px p =>()1,2A C 22212x y b-=0b >l C P Q ()4,0C C P ()l 83PQ =C P ABCD -ABCD 120DAB ∠=︒2PA AD ==PC PD ==E PC PC BD ⊥PAB BDE 2:2(0)M y px p =>22:(3)4N x y -+=,,,A B C D AC BD E p E22. 已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．()2222:10x y C a b a b+=>>1B 2B 12B B (20)M ，A B ，APB ∠榆林市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BD【12题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】【14题答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1），准线方程为 （2）【19题答案】【答案】（1）（2【20题答案】【答案】（1）证明过程略 （2【21题答案】【答案】（1）3-)1,+∞2211612x y +=613m >-8m =-24y x ==1x -163y =(0,3（2）【22题答案】【答案】（1）（2）存定点；在)22194x y +=9(,0)2P。

西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二（理科）数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某入伍新兵在打靶训练中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A. 至多有一次中靶B. 2次都中靶C. 2次都不中靶D. 只有一次中靶【答案】C【详解】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，连续射击2次有“至少有1次中靶”和“2次都不中靶”，这两个事件不能同时发生，是互斥事件并且是对立事件.故选：C.2.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【分析】根据已知条件可知，1000人抽取100人，那么分成100组，每组10人，那么组距就是10，根据条件可知编号的末尾都是6，即可得到答案.【详解】详细分析：由题意得抽样间隔为100010100，因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，选C.【点睛】本题考查了系统抽样，属于简单题型.3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A. 588B. 480C. 450D. 120【答案】B试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480 考点：频率分布直方图 【此处有视频，请去附件查看】4.3422x x ⎛- ⎝⎭的展开式中的常数项为( ) A. －2 B. 2C. 6D. －6【答案】C 【分析】写出通项1r T +，整理后，令x 的指数为0，得到r 的值，再求出答案.【详解】3422x x ⎛- ⎝⎭展开式的通项()34132rrr r T C x -+⎛= ⎝⎭(12632rrr Cx -=-要求其常数项，则1260r -=，解得2r =， 所以常数项为(223326T C =-=.故选：C.【点睛】本题考查求二项展开式中的指定项，属于简单题.5.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】B 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率。

西安市高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2015高三上·盘山期末) 抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线﹣ =1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．2. （1分） (2018高二上·无锡期末) 如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为________．3. （1分） (2016高一下·盐城期末) 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为________．4. （1分）(2019·长沙模拟) 已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为________.5. （1分） (2018高二上·无锡期末) 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为________．6. （1分） (2017高二上·枣强期末) 若双曲线﹣ =1的离心率为，则其渐近线方程为________．7. （1分） (2019高一下·梅河口月考) 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在的棱的中点，能得出平面的图形的序号是________8. （1分） (2018高一上·湖南月考) 表面积为24的正方体的外接球的体积为________．9. （1分）(2019·鞍山模拟) 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则 ________．10. （1分） (2019高二上·牡丹江月考) 双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为________11. （1分）(2019·龙岩模拟) 已知椭圆C:的左焦点为，存在直线y=t与椭圆C交于A,B两点，使得为顶角是的等腰三角形，则其长轴长为________．12. （1分） (2019高一下·海珠期末) 以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是________．13. （1分） (2019高一下·朝阳期末) 已知是两个不同平面，直线，给出下面三个论断：① ② ③ 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________.14. （1分）(2019·河北模拟) 已知抛物线经过点，直线与抛物线交于相异两点，，若的内切圆圆心为，则直线的斜率为________．二、解答题 (共6题；共70分)15. （10分）(2019·天河模拟) 如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．（1）若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；（2）若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；（3）求六面体ABCEF的体积．（4）求六面体ABCEF的体积．16. （15分） (2018高二上·淮安期中) 在三棱柱中，、、、分别、、、的中点，求证：（1）、、、四点共面；（2）、、、四点共面；（3）平面EFA1∥平面BCHG ．（4）平面EFA1∥平面BCHG ．17. （10分） (2018高二上·海安期中) 某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；（2）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；（3）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、之间的最大距离是多少海里？（4）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、之间的最大距离是多少海里？18. （10分）已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．19. （15分）直线l：y=x+m与椭圆C： + =1．（Ⅰ）当m=1时，求直线l截椭圆所得弦AB的长；（Ⅱ）若l与C交于A，B两点，且• =0，求出实数m的值．20. （10分）(2020·海南模拟) 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为 .（1）求抛物线的方程；（2）若过的直线与圆切于点，与抛物线交于点，证明： .参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共70分)15-1、答案：略15-2、答案：略15-3、答案：略15-4、答案：略16-1、16-2、16-3、16-4、17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略18-1、19-1、20-1、20-2、。

范文陕西省2020年高二数学上学期期中考试卷附答案1/ 8题库(共八套)陕西省 2020 年高二数学上学期期中考试卷（一）（考试时间120 分钟满分 150 分）一．单项选择题（每小题 5 分，共 60 分）1．不等式＜0 的解集为（） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C ． {x|x ＜﹣ 2 或 x ＞ 3} D．{x|x＞3} 2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则 a12=（） A．15 B．30 C．31 D．64 3．已知点 P（x0，y0）和点 A（1，2）在直线 l：3x+2y﹣8=0 的异侧，则（） A．3x0+2y0＞0 B．3x0+2y0＜0 C．3x0+2y0＜8 D．3x0+2y0＞8 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2=﹣2，S4=﹣4，若Sn 取得最小值，则 n 的值为（） A．n=2 B．n=3 C．n=2 或 n=3 D．n=4 5．在△ABC 中，a= ，b= ，A=30°，则角 B 等于（）A．90°B．60°或120° C．120° D．60° 6．设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（） A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 7．在△ABC 中，a=2，b=3，，则其外接圆的半径为（） A． B． C． D．9 8．不等式 ax2+5x+c＞0 的解集为{x| ＜x＜ }，则 a，c 的值为（）A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1C．a=1，c=6 D．a=﹣1，c=﹣6 9．设△ABC，bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 10．数列 1 ，3 ，5 ，7 ，…，（2n﹣1）+ ，…的前 n 项和 Sn 的值为（） A．n2+1﹣ B．2n2﹣n+1﹣ C．n2+1﹣ D．n2﹣n+1﹣ 11．若不等式（a ﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0 对一切x∈R 恒成立，则实数 a 取值的集合（） A．{a|a≤2} B．{a|﹣2＜a＜2} C．{a|﹣2＜a≤2} D．{a|a≤﹣ 2} 12．已知 f（x）=log2（x﹣2），若实数 m，n 满足 f（m）+f（n）=3，则 m+n 的最小值为（） A．5 B．7 C．4+4 D．9 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．在等差数列{an}中，S10=10，S20=30，则 S30= ． 14．在△ABC 中，若∠B=30°，，AC=2，求S△ABC． 15．设 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=3x﹣y 的最大值为． 16．已知二次函数 f（x）=ax2﹣x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 + 的最小值为．3/ 8三．解答题（共 70 分） 17．求下列不等式的解集．（1）（2）x2+（2﹣a）x﹣2a≥0． 18．等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a10=30，a20=50．（1）求通项{an}；（2）令 Sn=242，求 n． 19．如图所示，我艇在 A 处发现一走私船在方位角45°且距离为 12 海里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以 14 海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间． 20 ．已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 内角 A ，B ， C 的对边，且．（1）求 A 的值．（2）若 a=2，△ABC 的面积为，求 b，c 的值． 21．已知等差数列{an}满足 an+1＞an，a1=1，且该数列的前三项分别加上 1，1，3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令 cn=an?bn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn．22．已知函数，数列{an}满足．（1）求证：数列{ }是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求 Sn．5/ 8参考答案一．单项选择题 1． A 2． A．3． D．4． C．5． B 6． B 7． C．8． B．9． B．10． A 11． C．12． C．二.填空题 13．解：若数列{an}为等差数列则 Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m 仍然成等差数列．所以 S10，S20﹣S10，S30﹣S20 仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．故答案为60． 14．解：∵∠B=30°，＞AC=2，∴由正弦定理可得：sinC= = =，∴由 0＜C＜π 及大边对大角可得：∠C= ．∴∠A=π﹣∠B﹣∠C= ，∴S△ABC= AB?AC= =2 ． 15．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：B（2，1），化 z=3x﹣y 为 y=3x﹣z，由图可知，当直线 y=3x﹣z 过 B（2，1）时 z 有最大值为3×2﹣1=5．故答案为：5． 16．解：∵二次函数 f（x）=ax2﹣x+c 的值域为[0，+∞），∴ ，解得 a＞0，c＞0，ac= ．∴ + ≥2 =8，当且仅当 a=c= 时取等号，∴ + 的最小值为 8，故答案为：8 三．解答题 17．解：（1）由得，，化简得，，等价于（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，∴不等式的解集是（﹣1，1）；7/ 8（2）由 x2+（2﹣a）x﹣2a≥0 得，（x+2）（x﹣a）≥0，①当 a=﹣2 时，不等式的解集是 R；②当 a＞﹣2 时，不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪[a，+∞）；③当 a＜﹣2 时，不等式。

宝鸡中学2024级高一第一学期期中考试试题数学本试卷共四大题，19小题；考试时长100分钟，卷面满分120分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，涂写在本试卷上无效.3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知，为实数，则”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.4.已知，则的最小值为（ ）A.4B.5C.6D.75.已知函数为幂函数，则实数的值为（ ）A.4或3B.2或3C.3D.26.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.7.如果记圆周率小数点第位上的数字为，那么以下说法正确的为（ ）A.不是的函数B.是的函数，定义域是C.是的函数，值域是D.是的函数，且该函数单调{}1,3,4,8,9A ={}B A =A B = {}1,3{}1,4{}1,9{}4,9a b >33a b >m N ∃∈N m N ∃∈N m N ∃∉N m N ∀∈N m N ∀∈N3x >43x x +-()()2157m f x m m x +=-+m 20ax bx c -+>{21}x x -<<∣20ax bx c ++>{12}xx -<<∣{11}xx -<<∣{22}xx -<<∣{13}xx -<<∣πn y y n y n {}1,2,3,4, y n {}1,2,3,4,,9 y n8.已知函数定义域为，满足为偶函数，当，且时有不等式恒成立，设，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。