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第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念及其线性运算
学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念
矩阵是一张简化了的表格,一般地
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素
用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()
i j
m n
a ⨯表示。矩阵既然是一张表，就不能象行
列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=10
0010001Λ
ΛΛΛΛΛΛE n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列
向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算
如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
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⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230321A ， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=035234B
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++++-=+20555302)3(35023324
1B A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-26511502)3(35023324
1B A
三．矩阵的数乘
矩阵A 与数k 相乘记为A k 或A k 。A k 表示将k 乘A 中的所有元素得到的矩阵。例如
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=150342A ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯=315091261353033343233A
当1-=k 时，我们简记(1)A A -=-，称为A 的负矩阵。
矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。
例 2.1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=864297510213A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=612379154257B ，已知
B X A =+2，求X 。
解 在等式中移项得 A B X -=2，再除以2得 )(2
1
A B X -=。通过心算立得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=12712111222232
X
例2.2 设A 为三阶矩阵。已知2-=A ，求行列式A 3的值。
解 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=32
1
321
321
c c c b b b a a a A ，则⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=32
1321
321
3333333333c c c b b b a a a A 。 显然行列式A 3中每行都有公因子3，因此
5427333
2
1
321
3
21
3-===A A c c c b b b a a a 。
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§2.2 矩阵的乘法与转置
一．矩阵的乘法
如果矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相同，即A 是s m ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，那么A 、B 可以相乘，记为AB 或B A ⋅，称为矩阵A 、B 的乘积。C AB =表示一个n m ⨯矩阵，矩阵C 的构成规则如下：
B 的第1列元素依次与A 的各行元素相组合，形成
C 的第1列元素；B 的第2列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第2列元素；……以此类推，最后B 的第n 列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第n 列元素。这里
的“组合”表示两两相乘再相加。
若记()
s
m j
i a ⨯=A ，()
n
s j
i b ⨯=B ，()
n
m j
i c ⨯=C ，且AB C =，则乘积矩阵C
的元素可用公式表示为
∑==s
k j k k i j i b a c 1
（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ） （2.1）
例如 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-01232112413013 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯-+⨯=013211)2(22112043114)2(12411033013)2(023100)1(331)1()2(32)1(13⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=
63
4329036971 利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
22221211
1212111 （2.2） 是含有m 个方程、n 个变量的线性方程组，若记
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ21
22221
11211A ，⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=n x x x M 21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b M 21b 则方程组可表示为矩阵方程
b Ax = （2.3）
这个矩阵方程两端都是1⨯m 矩阵，因此相当于m 个等式，恰好是（2.2）
式的m 个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A 称为线性方程组的系数矩阵，x 称为变量列，b 称为常数列。
