第一讲
Ⅰ 授课题目（章节）：
§2.1 矩阵的概念；
§2.2 矩阵的计算
Ⅱ 教学目的与要求：
理解矩阵概念；
掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点：
矩阵的乘法
Ⅳ 讲授内容：
§2.1 矩阵
定义2.1 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表
mn m m n n a a a a a a a a a
21222
21112
11
称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⨯mn m m n n n
m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。
n 行n 列的矩阵n n A ⨯称为n 阶矩阵（或n 阶方阵）
，简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量.
定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即
),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ===
那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.
元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ⨯，简记为O .不同型的零矩阵是
不同的.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=100010001 n
I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.
§2.2 矩阵的运算
1. 矩阵的加法
定义2.3 设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,
规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A .
规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2. 数与矩阵相乘:
定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3. 矩阵与矩阵相乘:
定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩阵,那么规定矩阵
A 与矩阵
B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c
C =,其中
),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a
b a b a b a
c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =
例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120463
831
1,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律。 由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵相乘时必须注意顺序，AB 称为用A 左乘B ,BA 称为用A 右乘B 。
如果两个矩阵B A 与相乘，有BA AB =，则称矩阵B A 与可交换。可交换的矩阵一定是同型方阵。
例2 若⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6342,2142B A ，求BA AB 及 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,1683216
BA AB 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
例3 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ..................
(221)
12222212111212111中， 若令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⨯mn m m n n n
m a a a a a a a a a A 212222111211（称为线性方程组的系数矩阵），
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=n x x x X 21（称为未知数矩阵），⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m b b b b 21（称为常数列矩阵） 则方程组可以表示为矩阵形式b AX =
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB ==
)(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)( 对单位矩阵I ,易知
n m n n m n m n m m A I A A A I ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AI IA ==
4. 方阵的幂
对于方阵A 以及自然数k ，
个
k k A A A A ⋅⋅⋅=...称为方阵A 的k 次幂。 方阵的幂有下列性质：
)(i 2121k k k k A A
A += )(ii 2
121)(k k k k A A = 注：由于矩阵的乘法不满足交换律，一般而言有：
2121)
()()(k k k k AB AB AB +≠， 2
2))((B A B A B A -≠-+等等
5. 矩阵的转置
定义 2.6 把矩阵A 的行列式同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T
A 矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T
T T B A B A +=+)(
