第二矩阵及其运算-

数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第二章 矩阵及其运算
矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
矩阵的基本概念
一. 历史
“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
一、矩阵运算 只有当两个矩阵是同型矩阵时，
1. 矩阵的加法 这两个矩阵才能进行加法运算
定义1 设有两个mn 矩阵A aij 和
B bij ，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作
A B 规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1
bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 50 30 与 a b c 同型
16 20 16 1 2 3
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = [aij]mn与B = [bij]mn相等:
对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立 记为A = B.
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）A 的列
数等于第二个矩阵（右矩阵）B 的行数时，
乘积 A B 才是有意义的；并且A B 的行数等 于第一个矩阵A 的行数，A B 的列数等于第
二个矩阵 B 的列数．
例1
1
A
2
3
求 AB , BA .
解
1
AB
2
4
5
3
B4 5 6
1 4 15
6
2
4
25
3 4 3 5
1 6
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
4 0 1
B
2 1
1 2
1 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB 13
2 0
1321
1 2
英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.
他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.
Arthur Cayley (1821.8.16~1895.1.26)
二. 实例 例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.
产品
单价 (元/箱)
重量 (Kg/箱)
不过，在有些情况下，也可能有 ABBA
例如：
1 1
A
0
1
B
x1 0
x2
x1
不难验证：ABBAx01
x1 x2
x1
一般地，如果矩阵 A ，B 的乘积与次序无关
即 ABBA，称矩阵A ，B 可交换
结合律和分配律：
（1） ABCABC.
（2） A B A B A B ( 为 数 ） .
规定为
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
运算规律(设 A ，B 都是 mn 矩阵， , 是数)
（1） AA. （2）AAA. （3）ABAB.
（4）1 A A .
（5）A 0 当且仅当 0 或 A 0 .
3. 矩阵的乘法
定义3
设
A
aij
， B
1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.
2. 方阵(square matrix)
n阶方阵: nn矩阵
见例2. 3. 向量(vector)
一个11的矩阵 就是一个数
行向量(column vector) [a1, a2, …, an]
a1
列向量(row vector)
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n)
1 2
5 8 9
11
wk.baidu.com
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6
解 A B 1 2 4 2 2 3 4 6 8 16 1 3 6 2
2 42 4 0 0 BA3 61 20 0
显然 AB BA.
总之，一般说来，ABBA
即矩阵的乘法不满足交换律．
（3） ABCABAC,
BCABACA.
例4 设变量 y1, y2, , ym 均可表示成变量
x1,x2, ,xn 的线性函数，即
y1 a11x1 a12x2
ms
bij
sn
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn矩阵
C cij mn
其中
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2j a isb sj
s
aikbkj(i1,2, ,m ;j1,2, ,n) k 1
并把此乘积记作 C AB .
矩阵的第i 行第j 列的元 c i j 就是A 的第 i 行与 B 的第j 列的乘积
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
即
10 01
0 0
0 0
a41 a42 a43 a44
10 1 0
三. 定义
列(column)
a2n
b2n
amn
bmn
运算规律 （设 A ，B ，C 都是 mn矩阵）
（1） ABBA. （2）(A B ) C A (B C ). （3） A(A)0.
其中 A aij ， A 称为矩阵 A 的负矩阵.
由此可规定矩阵的减法为
ABAB.
2. 数与矩阵相乘
定义2 数 与矩阵A 的乘积记作 A 或 A