高中数学-定积分的概念PPT课件

和曲线 y f (x) 所
b
a f (x)dx S
围成的的曲边梯形 的面积
合作探究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积?
yf (x) y
Oa
y gx
b
b
a f(x)dxag(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
y
针
y sin x
对
训
01
x
0 1 3
x
4
练
1
0 2 xd x
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x 2 、 直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。
探
y的几何意义( f (x) 0 )
设阴影部分面积为S
b
a f ( x)dx
表示由直线 x a,
x b (a b), y 0
a a 0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
积分上限
[ a , b ] 叫做积分区间
结
构
分
b
n
f(x)dxlim
baf()
a
n n i1
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
定积分的概念ppt
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i1

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (i )x i1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为 S
n
lim n i1
f (i )x
Oa
xi i xi+1
b
x
x
注意：
• 1．定积分定义中关于区间[a，b]的分法是任 意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间 的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是 为了便于作和．关于ξi的取法也是任意的，实 际在用定积分的定义计算定积分时为了方便， 常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
c
b
f (x)dx S c
bx
b
c
b
f (x)dx S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
yf (x)
定积分的几何意义〔三〕：
y
y f1x
b
S1
f (x)dx
a
y f2x
S2
b a
f2 xdx
Oa
bx
S S1 S2
b a
f1xdx
b a
定积分的几何意义〔二〕：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx
b f (x)dx ．， a
Oa
b
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

问题：如何计算曲边梯 所有小矩形的面积和就是整
所有小矩形的面积和就是整 形的面积呢？
形的面积呢？ 如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么定积分∫ f（x）dx就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
形可以近似的看成小矩形。 零时，小矩形的面积之和的极限， 区间，相应地将曲边梯形分割成 区间，相应地将曲边梯形分割成 所有小矩形的面积和就是整 零时，小矩形的面积之和的极限，
将区间[a，b]无限细分使每 个小曲边梯形的底边长都趋向于 零时，小矩形的面积之和的极限， 就是所求的曲边梯形的面积。
定积分的几何意义
区间，相应地将曲边梯形分割成 形可以近似的看成小矩形。
上积（连 分 x）如续∫ 为f（且果曲xf函（）边数xd的）xf（就曲≥x0表边）时示梯在，以形[那ay面，么=f积b定]。 值梯在形定几面积何积分上的∫都代f（可数x以和）用来dx曲表的边示数。 个形 将所f将零所f个所其形f如区区形【个定f形零f所将f如零 区其f如f所个 区零【【（（（（（（（（小可区有区时有小有中可果间间可高小积的时有区果时间中果有小间时高高xxxxxxxx） ） ） ） ） ） ） ）曲 以间 小 间 ， 小 曲 小 曲 以 函 ， ， 以 中 曲 分 面 ， 小 间 函 ，， 曲 函 小 曲， ， 中 中的是是是是是的是边近 [矩[小矩边矩线近数相相近数边∫积小矩[数小 相线数矩边 相小数数aaaf，，，变区区区区区变区（梯似 形矩形梯形弧似f应应似学梯呢矩形f矩 应弧f形梯 应矩学学（（（bbb化间间间间间化间x形的 的形的形的y的地地的课形？形的形 地y的形 地形课课]]]xxx）==无分分也也[[）[[[））[的看 面的面的面看将将看件的的面的 将面的 将的件件ffaaaaaa（d（限割，，，，割，，不不在在在x底成 积面积底积成曲曲成底面积面 曲积底 曲面】】】xx的细成bbbb成bb大大[[[））边小 和积和边和小边边小边积和积 边和边 边积定定定]]]]]]aaa数上上上上上上，，，分许许。。称称长矩 就之就长就矩梯梯矩长之就之 梯就长 梯之积积积值的的的的的的bbb使多多为为都形是和是都是形形形形都和是和形是都形和分分分]]]在上上上连连连连连连每小小曲曲趋。 整的整趋整。分分。趋的整的 分整趋 分的的的的几连连连续续续续续续边边向极向割割向极极 割向 割极概概概何续续续函函函函函函，，于限于成成于限限 成于 成限念念念上且且且数数数数数数线线，，， ，ppp都fff，，，，，，ppp（（（段段ttt课课课可当当当当当当xxxaa件件件）））bb以xxxxxx称称变变变变变变≥≥≥用为为000化化化化化化时时时曲底底不不不不不不，，，边边边大大大大大大那 那 那梯。。时时时时时时么么么形，，，，，，定定定面积积积积分分分的∫∫∫代fff（（（数xxx和）））来dddxxx表就就就示表表表。示示示以以以yyy===fff（（（xxx）））为为为曲曲曲边边边的的的曲曲曲边边边梯梯梯形形形面面面积积积。。。

b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
例1：利用定积分的定义,计算
1
(3x 2)dx 1
的值.
例2：利用定积分的定义,计算
3
3
9 x2 dx
的值.
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近
的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看
作直线（即在很小范围内以直代曲）。
探究思考
y
y = f(x)
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1。
探究思考
y
y = f(x)
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1
2
n
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
定积分的定义
即
b
f
a
按定积分的定义，有
(x)dx
lim

1
1
解：在区间[0， 1]内，x x x (1 x) 0， 即x x
x dx x dx
2 3 0 0
1
1
2)

4
3
ln xdx 与 （lnx) dx
2 3
2
4
解：在区间[3， 4]内， 1 ln x 0，则 ln x (ln x) ln x(1 ln x) 0 ln x dx (ln x) dx
a x0
xi 1
i xi
xn b
x
(1)、 分割
在 [a，b] 中任意取 n 1 个分点
a x0 x1 xn 1 xn b，把区间 [a，b] 分成 n 个小区间[ xi 1，xi ]，每个小区间的长度 记为x xi xi 1 (i 1， 2， ，n).
0
f ( )x
i 1 i
n
i
6
定义 设函数 y f ( x)在[a，b]上有定义，在 [a，b] 得到 n 个小区间 [ xi 1，xi ]，其长度记为 xi xi xi 1
1i n
中任意取n 1个分点，a x0 x1 x2 xn 1 xn b， (i 1， 2， ，n)，记 maxxi ，任取 i [ xi 1，xi ]，
2 3 3 4 4
16
例题2
1)

π 5 π 2 解：在区间 [ ， ]上，函数 f ( x) 1 sin x 4 4 之最大值和最小值分别 为 π 2 M f( ） 1 1 2， m f ( π) 1 2 5 π π 积分区间 b a π 4 4 π (1 sin x)dx 2 π

y yf (x)
b f ( x ) d x c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a b 时 ， 有 b f ( x ) d x 0 。 a
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x
（
x
b
n
a
），在每个小区间 xi1
,
xi
上取一点
i i 1,2, ,n ，作和式：
Sn
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
定积分的概念1
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四 步曲”:
①分割--------- ②近似代替----------
③求和---------- ④取极限得到解决.
如小 果矩 形 当面 n积 ∞和 时S ，=i n S1的f(无i) 限x接近i n 1某f(个i)常b 数 na ，
y f(x)
a
bx
积分上限
n
b
f ( x)dx I
a
lim
n
i 1
f (i )xi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即

解:将区间[1,2]5等分,则该物体在这段时间内经过的路程的过剩
估计值为S1=20(1.2+1.4+1.6+1.8+2)×0.2=32,不足估计值为 s1=20(1+1.2+1.4+1.6+1.8)×0.2=28.
估计值的误差为S1-s1=32-28=4. 所以无论用S1还是用s1来表示该物体在这段时间内经过的路程, 误差都不会超过4.
13.24(km), 不足估计值为
s1=[3(0+0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82)+20]×0.2=
10.84(km). 估计值的误差为S1-s1=13.24-10.84=2.4(km). 所以无论用S1还是用s1来表示汽车行驶的路程,误差都不会超过
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
1 若把区间[a,b](a<b)n 等分,则第 i 个小区间是( )
A.
������-1 ������
,
������ ������
B.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������-1 ������
题型一 题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练1】 试求由直线y=2x,x=2,x轴围成的三角形的面积的 过剩估计值、不足估计值及估计值的误差.(将区间[0,2]6等分)

b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a