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DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S l 0 i 1 v ( i ) D t i i . m
(i1,
2,, Nhomakorabean). 于是 1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
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二、定积分定义
x ❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1,
这是因为g(x)f(x)0, 从而
所以
a b g ( x ) d a b f ( x ) d x a b [ g ( x ) x f ( x ) d 0 ] , x a b f ( x ) d a b g ( x ) d . x x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . >>> x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . >>> x
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x •推论2 | a b f ( x ) d | a b | f ( x ) | d ( x a < b ) .x
xi]上任取一点xi
(i1,
2,,
n),
作和
n
f ( i ) D x i ;
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i 1 区间[a, b]
的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
x 的定积分, 记为 a b f ( x ) d , 即 x a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . x •性 性质 质4 4 a b 1 d a b d b a . x x
x x l 0 i i n 1 m f(i) D x i l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b x g ( x ) d . x l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b x g ( x ) d . x
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
a b | f ( x ) | d a b f ( x ) d x a b | f ( x ) x | d , x 即 | a b f ( x ) d | a b | f ( x ) | x d . x
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 这是因为
x x a b f ( x ) d l 0 i n 1 i x f ( i ) D m x i l 0 i n 1 i [ f ( m i ) D x i ] a b [ f ( x ) d . ]
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
•性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
m ( b a ) a b f ( x ) d M ( b a ) ( x a < b ) .
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x •性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x •推论2 | a b f ( x ) d | a b | f ( x ) | d ( x a < b ) .x
0 1 ( 1 x ) d 1 2 1 1 1 2 . x
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三、定积分的性质
❖两点规定
( 1 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d 0 ; x ( 2 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d b a f ( x x ) d . x
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x
这是因为
xx a b a b [ [ f f ( ( x x ) ) g g ( ( x x ) ) d d ] ] l l 0 0 x i x i n i n 1 i 1 [ [ f f ( ( m m i i ) ) g g ( ( i i ) ) D D x x i i ] ]
定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x
如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
