(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修22

20 年 月 日 第 课时教学过程：一、自主探究 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二、交流点拨1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x在区间[,]a b上的定积分。

记为：()baS f x dx=⎰其中()f x成为被积函数，x叫做积分变量，[,]a b为积分区间，b积分上限，a积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()baf x dx⎰，而不是n S．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：取点[]1,i i ix xξ-∈；③求和：1()niib afnξ=-∑；④取极限：()1()limnbia nib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx=⎰；变速运动路程21()ttS v t dt=⎰；变力做功()baW F r dr=⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx⎰的几何意义是介于x轴、函数()f x的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x=，若()y f x=在[,]a b上可取负值。

第一章导数及其应用1.5定积分的概念1------------ 学 案一、学习目标1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 二、自主学习1.如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条 的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2.由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为 ，如图①．3.把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 .对每个 “以直代曲”，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 如图②．4.如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1. “以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n 越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．2.用定积分的定义求定积分的技巧(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；(2) 在“近似代替”中，每个小区间上函数f (x )的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替。

事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2·(n ＋1)2.三、合作探究题型一 曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形的面积．思路导析：将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，求它们的和，得到曲边梯形的面积的近似值，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，这个近似值就无限趋近于所求的曲边梯形的面积．解析：(1)把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2]。

§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。

学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：()1i ∑练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[],a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分 (1). 21lim(12)n n n →∞+++ 解：122011111lim (12)lim lim n nn n n i i i n i xdx nnn n→∞→∞→∞==+++===∑∑⎰ (2).201lim ()ni ii f x λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰。

§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。

这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。

【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。

（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】 知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰． 2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰ba dx x f )(表示直线x a =,()xb a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰ba kdx _______（k 为常数）； （２）=⎰ba dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±⎰b a dx x f x f )()(21_______________； （４）=⎰ba dx x f )(__________________（其中bc a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ）A.dx x ⎰10B.dx x ⎰+10)1(C.dx ⎰101D.dx ⎰1021 3．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ） A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x ⎰⎰+-100122.dx dx x C x ⎰⎰+-102012.dx x dx D x 3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰ba dx x f )(表示___________________________. 【合作探究】 典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰203dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-a a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)( C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰b a dx x f D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰b adx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰2110xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-2024dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=2020]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.182.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰20)(dx x fD.2⎰20)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x ⎰101B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p⎰10)(4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-302)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。

1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？31)(10211⎰⎰===dx x dx x f S 35)2()(102102⎰⎰=+-==dt t dt t v S3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f ba==≠==⎰ 4.4.根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-224dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2.0113=⎰-dx x5. 例：利用定积分的定义，计算013=⎰dx x 的值.C1O x y ab A BD )(2x f y =)(x f y =6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(和差的积分 推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±bab ab adx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f bc caba<<+=⎰⎰⎰其中7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案 （无答案）新人教版选修 2导学案 学习目标： 学习重点： 学习难点： 学法指导： 知识链接 1. 用 四 步 曲 ------------------------- 求 得 曲 边 梯 形 得 面 积 S=____________________________ 2.用四步曲求得变速运动得路程 S=_____________________________. 自主学习 例1. 函数 f ( x) 在区间 a, b 上 连续,如同曲边梯形面 积得四步曲求法写出运算过程. 1. 了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分; 2. 了解定积分的几何意义及性质. 定积分的概念, 定积分的几何意义及性质.上述和式无限接近某个常数 , 这个常数叫做函数 f ( x) 在区间 a, b 上得定积分 , 记做baf ( x)dx  lim n  i 1nba f ( i n),定积分的几何意义是:_____________________________________________________________________________________________________ ___-. 例 2. 计 算 下 列 定 积 分 的 值 , 并 从 几 何 上 解 释 这 个 值 表 示 什n 2 (n  1) 2 么?( 1  2    n  ) 43 3 3(1) (3) x dx3 01(2) (4) 01 2x 3 dx x dx3 111x 3 dx例 3.利用定积分的几何意义说明101  x 2 dx 的大小.例 4.利用定积分的定义,证明 1dx  b  a ,其中 a, b 均为常数且 a  b .ab合作探究 1. 设连续函数 f ( x)  0 ,则当 a  b 时,定积分 A. 一定是正的 C.当 0  a  b 时是正的 2. 与定积分 A.baf ( x)dx 的符号___ _____B.一定是负的 D.以上都不对3  2 0sin x dx 相等的是_________B.3  2 0sin xdx33  2 0sin xdx3C.0sin xdx -  2 sin xdxD.2 0sin xdx   2 sin xdx23. 定积分的baf ( x)dx 的大小_ ________A. 与 f ( x) 和积分区间 a, b 有关,与  i 的取法无关.B. 与 f ( x) 有关,与区间 a, b 以及  i 的取法无关 C. 与 f ( x) 以及  i 的取法有关,与区间 a, b 无关 D. 与 f ( x) 以及  i 的取法和区间 a, b 都有关 4. 下列等式成立的是________ A. C. 0  dx  b  aabB. D.bbaxdx 1 2b a11x dx  2 x dx01 ( x  1)dx  a bbxdx5. 已知 6. 已知 7. 已知 8. 计算baf ( x)dx =6,则  6 f ( x)dx  ______a ba 2f ( x)  g ( x)dx  18,2 0bag ( x)dx  10 ,则  f ( x)dx =______________a01f ( x)dx  3, 则   f ( x)  6dx  ___________12 3x0dx9. 计算 6x dx3 01。

人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．说明：（1）定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?baf(x)dx，而不是Sn．b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功at1t2W??F(r)dr．ab2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.?f(x)dx表ab3．定积分的性质：（１）kdx?_______（k为常数）；a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；a?b（３）（４）??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.??101xdx B.?(x?1)dx01C.1dx D.01?02dx1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（）?2(x?0).?1?A.?01?1x2dx B.?2xdx?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分?f(x)dx表示___________________________.ab【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．1?3变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分例2.利用定积分的定义，计算?21(x?1)dx的值．?x013dx的值．变式练习：计算?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.［0，e2］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）． A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且b?f(x)dx?0ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正a3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．01?1?24.试用定积分的几何意义说明?204?x2dx的大小．【课时作业】1.已知?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则?2?2f(x)dx等于（）．A.0B.8C.f(x)dxD.2f(x)dx00?2?23.将和式的极限1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（） n??nP?111pA.?dx B.?xdx00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分?30(2?x)2dx．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa感谢您的阅读，祝您生活愉快。