高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2

定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积【教学目标】（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景。

（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景。

【教学重点难点】“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法。

【学前准备】：多媒体，预习例题kk a b =问题探究一：求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何求与及所围成的平面图形面积S ？活动1：请讨论：如何分割？以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割 （2）横向分割 （3）随意分割分析发现，竖向分割更容易求面积.活动2：请讨论：分割多少份合适？()y f x =,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =2y x =0y =1x =分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n控制分割的份数，把[0,1]分割成n等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？展示部分近似代替的方案：（1）（2）（3）矩形矩形梯形不足过剩代替分割后，转化成n个曲边梯形，利用直边图形代替，合作图1 图2 问题探究二、如何求汽车行驶的路程？，处的速度①）求和= 1⎤⎥12,⎡⎢2t n n∆=-+⎢⎥⎪ ⎪⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n n n +=11112nnn i i i t n n n =⎡⎤--⎛⎫⎛⎫∆=-+⎢⎥⎪ ⎪⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑02n n n n n---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22212n ⎤+++-+⎦)(12n n --本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的即为曲边梯形面积的近似值；④取极限：求S v n n = ⎪⎝⎭图1图1.5.2汽车行驶的路程【教学目标】1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程。

2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。

学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：()1i ∑练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[],a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分 (1). 21lim(12)n n n →∞+++ 解：122011111lim (12)lim lim n nn n n i i i n i xdx nnn n→∞→∞→∞==+++===∑∑⎰ (2).201lim ()ni ii f x λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰。

§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。

这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。

【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。

（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。

【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。

人教版高中选修2-21.5定积分的概念课程设计
一、课程概述
本课程是人教版高中选修2数学课程中的第21.5章，主要介绍定积分的概念及相关性质。

二、教学目标
1.掌握定积分的概念及其物理意义。

2.掌握定积分的基本性质及计算方法。

3.理解定积分与求导函数之间的关系。

4.能够应用定积分解决实际问题。

三、教学内容
1. 定积分的概念
•定积分的引入
•定积分的定义
•定积分的几何意义
•定积分的物理意义
2. 定积分的基本性质
•定积分的线性性质
•定积分的区间可加性
•定积分的估值定理
•定积分的中值定理
3. 定积分的计算方法
•利用定积分计算面积和体积
1。

§1.5定积分的概念学习目标1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义；4．无限细分和无穷累积的思维方法. 预习与反馈（预习教材P 42~ P 47，找出疑惑之处）1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为 、 、 、 .2.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 。

当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作 ，即()ba f x dx ⎰＝ ，其中()f x 称为 ，x 称为 ，()f x dx 称为 ，[,]a b 为 ，a 为 ，b 为 ， “⎰”称为积分号。

3．()ba f x dx ⎰的实质（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b af x dx ⎰表示 ； （2）当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()b af x dx ⎰表示 ； （3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()ba f x dx ⎰表示 ；4．定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质：（1）()b a kf x dx ⎰＝ （k 为常数）； （2）12[()()]b a f x f x dx ±=⎰ ； （3）()ba f x dx ⎰＝ （其中a cb <<）。

［特别提醒］ 1．定积分()b a f x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]ab 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()ba f x dx ⎰中的积分变量，即()b a f x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰。

高二数学选修2-2 定积分的概念 学案【学习目标】1. 了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;2. 了解定积分的几何意义及性质. 【复习回顾】1.用四步曲--------------------------求得曲边梯形得面积S=____________________________2.用四步曲求得变速运动得路程S=_____________________________. 【知识点实例探究】 例1. 函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上得定积分,记做⎰∑=∞→-=bani i n f nab dx x f 1(lim )(ξ),定积分的几何意义是:______________________________-__________________________________________________________________________-.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么?(4)1(2122333+=+++n n n )(1) ⎰13dx x (2)⎰-013dx x(3)⎰-113dx x (4)⎰-213dx x例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-121的大小.例4.利用定积分的定义,证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.【作业】1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰badx x f )(的符号________A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是_________A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小_________A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________ A.a b dx ba-=⨯⎰0 B.21=⎰baxdxC.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+bab a xdx dx x )1(5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba ⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(20=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰10.课本56页B 组.3。

9. 已知函数bx ax x x f ++=2
3
)(在x=1处有极值-2 （1）求常数a 、b ；
（2）求曲线()y f x =与x 轴所包围的面积.
10. 如图所示，直线kx y =分抛物线2
x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值。

11. 物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）
教案解读
本次课的内容较为灵活多变，高考考纲对定积分的要求不高；教学过程中，重点突出微积分基本定理求定积分的值，以及定积分的简单应用的内容；在课后作业的布置，1-7题较基础简单，适合大部分学生；而后面的题难度较高，灵活性较强，适合基础较好的学生，活跃学生的思维能力。

1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法．在学习过程中，了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大作用．在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标应用定积分解决平面图形的面积问题． 过程与方法目标1．能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法； 2．强化数形结合和化归思想的思维意识． 情感、态度与价值观1．激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；2．培养学生严谨的科学思维习惯和方法；培养学生勇于探索和实践的精神； 3．培养将数学知识应用于生活的意识． 重点难点 重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值． 难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程引入新课提出问题1：(1)求曲边梯形的方法；(2)定积分的几何意义；(3)微积分基本定理． 活动设计：以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识． 设计意图这些知识是本节课定积分应用的理论基础．提出问题2：通过学习前面的知识，我们知道了定积分的哪些应用？ 活动设计：让学生观察国家大剧院的图片，使其明确大剧院边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算其面积可以通过计算曲边梯形的面积实现．设计意图通过具体的实例，将定积分与现实生活相联系，激发学生的学习兴趣． 探究新知提出问题1：计算由抛物线y ＝x 2在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 1；计算由抛物线y 2＝x 在[0,1]上与x 轴在第一象限围成图形的面积S 2.活动设计：让学生自己动手画图，找出所围图形，思考解决问题的方法．活动成果：通过画出图象，根据定积分的几何意义，可知面积S 1＝∫10x 2dx ＝x 33|10＝13，面积S 2＝∫10xdx ＝2x 323|10＝23. 设计意图这个问题把课本例1所求面积进行适当的分割，降低难度的同时，突出应用定积分解决平面图形面积问题的重要性，突破如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题．提出问题2：计算由两条抛物线y 2＝x 和y ＝x 2所围成图形的面积S.活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 活动成果：两条抛物线所围成图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到．先由方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 2⇒ x ＝0或x ＝1，得到两曲线的交点为(0,0)、(1,1)，再由定积分的几何意义可知，面积S ＝∫10xdx －∫10x 2dx ，所以S ＝∫10(x －x 2)dx ＝23x 32|10－x 33|10＝13.提出问题3：求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤是什么？活动设计：学生独立思考，自由发言．活动结果：1.作出示意图(找到所求平面图形)； 2．求交点坐标(确定积分上、下限)； 3．确定被积函数； 4．列式求解． 设计意图让学生明确求两曲线围成的平面图形面积的方法和步骤． 理解新知提出问题1：计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.先画出图象，你发现此题与例1有什么不同？活动设计：学生独立思考．活动成果：此题需把所求图形的面积分成两部分来求． 设计意图此题是例1的深入和扩展，让学生独立思考，培养他们解决问题的能力． 提出问题2：你能仿照例1，自己完成这个问题的解答吗？活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动成果：作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4，得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 的交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点坐标为(4,0)．因此，所求图形的面积为S 1＋S 2＝∫402xdx ＋[∫842xdx －∫84(x －4)dx]＝223 32x |40＋223 32x |84－12(x －4)2|84＝403. 设计意图学生运用新知识解决问题，可以获得极大的成就感，既激发了学习兴趣，又加强了学生应用数学知识的意识．提出问题3：还有其他解法吗？活动设计：分小组讨论，让学生交流自己的想法．活动成果：方法一：将所求平面图形面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差．S ＝∫802xdx －12×4×4. 方法二：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y 为积分变量，还需把函数y ＝x －4变形为x ＝y ＋4，函数y ＝2x 变形为x ＝y 22.S＝12×(4＋8)×4－∫40y 22dy. 设计意图考虑到学生思维方式的不同，所以对问题解决的方法可能会有所不同．有可能直接面积相减，也有可能把所求面积分两部分相加．学生通过体会不同方法的区别及联系，加强对重难点的理解．提出问题4：根据对以上问题的分析，你能再详细叙述求曲边梯形的面积的步骤，以及解决此类问题应注意什么吗？活动设计：让学生独立思考，再找几个学生叙述，然后教师补充总结． 活动成果：具体步骤：(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．①由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)>0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a f(x)dx ；②由一条曲线y ＝f(x)(其中f(x)<0)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：S ＝|∫b a f(x)dx|＝－∫ba f(x)dx ；③由两条曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)(f(x)≥g(x))与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成的曲边梯形的面积：S ＝∫b a |f(x)－g(x)|dx.注意的问题：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法． 设计意图让学生进一步理解定积分的几何意义，同时体会如何用定积分解决同类问题． 运用新知例1计算由y ＝x －4与y 2＝2x 所围图形的面积． 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x 得到交点坐标为(2，－2)及(8,4)．∴S ＝12×(2＋8)×6－∫4－2(12y 2)dy ＝18. 例2计算由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．∴S ＝∫10[x －(－13x)]dx ＋∫31[(2－x)－(－13x)]dx ＝∫10(x ＋13x)dx ＋∫31[(2－x)＋13x]dx ＝(23x 23＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋(6－13×9－2＋13)＝136. 巩固练习计算由曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 及x ＝0，x ＝π2所围平面图形的面积．解：法一：S ＝S 1＋S 2，其中S 1＝∫π40(cosx －sinx)dx ＝∫π40cosxdx －∫π40sinxdx ＝sinx|π40＋cosx|π4＝sin π4－sin0＋cosπ4－cos0＝2－1，S 2＝∫π2π4(sinx －cosx)dx ＝∫π2π4sinxdx －∫π2π4cosxdx ＝－cosx|π2π4－sinx|π2π4＝－cos π2＋cosπ4－sin π2＋sin π4＝2－1，所以S ＝S 1＋S 2＝2(2－1)．法二：根据图形的对称性，S ＝2(S 1－S 2)，其中 S 1＝∫π20sinxdx ＝－cosx|π20＝－cos π2＋cos0＝1，S 2＝2∫π40sinxdx ＝－2cosx|π40＝－2cos π4＋2cos0＝2－2，所以S ＝2(S 1－S 2)＝2[1－(2－2)]＝2(2－1)．变练演编有一直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．解：设抛物线y ＝x 2上的两点为A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，不妨设b>a ，直线AB 与抛物线所围成图形的面积为S ，则S ＝∫b a [(a ＋b)x －ab －x 2]dx ＝(a ＋b 2x 2－abx －13x 3)|b a ＝16(b －a)3. 当S ＝43，即16(b －a)3＝43时，有b －a ＝2.(*)设AB 的中点P(x ，y)，则x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2，消去a 得y ＝x 2＋1.这就是所求的P 点的轨迹方程． 达标检测1．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π所围成的图形面积可表示为( )A ．∫π0(sinx －cosx)dx B ．∫π40(cosx －sinx)dx ＋∫ππ4(sinx －cosx)dxC ．∫π0(cosx －sinx)dxD ．∫π20(cosx －sinx)dx ＋∫ππ2(sinx －cosx)dx2．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形面积． 3．求曲线y ＝e x 与直线x ＝0，y ＝e 所围成的图形面积．4．求曲线y ＝sinx(x ∈[0，2π3])与直线x ＝0，x ＝2π3，x 轴所围成的图形面积．答案：1.B 2.323；3.1；4.32.课堂小结1．知识收获：用定积分求曲边梯形面积问题：(1)画图确定图形范围；(2)确定被积函数和积分区间；(3)写出平面图形面积的积分表达式，计算定积分，求出面积．2．方法收获：归纳方法、数形结合方法． 3．思维收获：数形结合的思想． 布置作业课本习题1.7A 组第1题，B 组第1题． 补充练习 基础练习1．曲线y ＝x 2与直线y ＝x ＋2所围成的图形的面积等于__________．2．由y ＝sinx ，y ＝cosx ，x ＝0，x ＝π4所围成的图形面积等于__________．3．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积．拓展练习 4．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求：切点A 的坐标以及切线方程． 5．一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为3，宽为10，求抛物线拱的面积S. 答案：1.922.2－13.9.4．如图，由题意，可设切点坐标为A(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，且切线与x轴的交点坐标为B(x 02，0)．则由题意可知有S ＝∫x 020x 2dx ＋∫x 0x 02(x 2－2x 0x ＋x 20)dx ＝x 3012＝112，则x 0＝1，所以所求切点坐标与切线方程分别为A(1,1)，y ＝2x －1.5．20.设计说明通过具体实例创设问题情境，让学生体验到数学在现实生活中无处不在，从而激发他们的学习热情，引导他们积极主动地参与到学习中来；通过问题探究的形式，形成教师与学生的互动，同时提高学生分析问题、解决问题的能力；教师对学生主要出现的不同解法进行投影分析，并进行比较，学生体会这些方法的区别及联系，突破本节课的重难点．巩固练习，目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维．备课资料 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100 m 的平行线段，沟宽AB 为2 m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5 m ，沟中水深1 m.(1)求水面宽．(2)如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，则沟中的水有多少立方米？解：(1)如图建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为y ＝ax 2(a>0)，则由抛物线过点B(1，32)，可得a ＝32.于是抛物线方程为y ＝32x 2. 当y ＝1时，x ＝±63，由此知水面宽为263m.(2)柱体的底面积 S ＝2∫630(1－32x 2)dx ＝2(∫630dx －32∫630x 2dx) ＝2(x|630－32·13x 3|630)＝469(m 2)． ∴柱体体积为100×469＝40069(m 3)，即沟中的水有40069m 3.(设计者：孙娜)。

1．5.3 定积分的概念教材分析《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念，它是学生学习定积分的基础，为学习定积分的应用作好铺垫．因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一．本节课的重点是：理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义．理解定积分的概念是难点．主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在．课时分配 1课时．教学目标 知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解定积分的概念．过程与方法目标培养学生的逻辑思维能力和创新意识． 情感、态度与价值观激发学生主动探索学习的精神．重点难点重点：定积分的概念、定积分的几何意义． 难点：定积分概念的理解．教学过程引入新课提出问题：回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤． 活动成果：分割→近似代替→求和→取极限活动设计：将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上．物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下： (1)分割：用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将时间区间[a ，b]等分成n 个小区间[t i －1，t i ](i ＝1,2，…，n)，其中第i 个时间区间的长度为Δt ＝t i －t i －1，物体在此时间段内经过的路程为Δs i .(2)近似代替：当Δt 很小时，在[t i －1，t i ]上任取一点ξi ，以v(ξi )来代替[t i －1，t i ]上各时刻的速度，则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .(3)求和：s ＝1nii S=∆∑≈∑i ＝1nv(ξi )Δt. (4)取极限：Δt →0时，上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0，因此s ＝0lim t ∆→∑i ＝1nv(ξi )Δt.探究新知提出问题1：请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．活动设计：先让学生独立思考，再分小组讨论、交流．活动成果：1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题； 2．解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想． 总结：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．提出问题2：你能不能类似地将在区间[a ，b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在教师的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点 a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n)，作和式：∑i ＝1n f(ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f(ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分．记为⎠⎛a bf(x)dx ，即⎠⎛abf(x)dx ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf(ξi )， 其中f(x)称为被积函数，x 叫做积分变量，[a ，b]叫做积分区间，b 叫做积分上限，a 叫做积分下限，f(x)dx 叫做被积式．教师补充以下几点：(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数；(2)定积分⎠⎛ab f(x)dx 是一种特定形式的和式∑i ＝1nb －a n f(ξi )的极限，即⎠⎛a bf(x)dx 表示当n →∞时，和式∑i ＝1n b －a n f(ξi )所趋向的定值；(3)对区间[a ，b]的分割是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了；(4)考虑到定义的一般性，ξi 是第i 个小区间上任意取定的点，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)，以便得出结果．设计意图通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．提出问题3：你能说说定积分的几何意义吗？活动设计：学生独立解决，必要时，教师指导、提示．学情预测：如果学生回答此问题有困难，可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子．活动成果：结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛ab f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．提出问题4：思考课本本节的探究问题． 活动设计：学生独立思考，并给出答案．活动成果：通过对定积分几何意义的理解，学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y ＝f 1(x)，y ＝f 2(x)与直线x ＝a ，x ＝b 围成的平面图形面积．由于图中用虚线给出了辅助线，学生易得到阴影部分的面积为S ＝⎠⎛a b f 1(x)dx －⎠⎛ab f 2(x)dx.教师引导学生根据定积分的定义，可以得出定积分的如下性质： 性质1：⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛ab f(x)dx(k 为常数)；性质2：⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛abf 2(x)dx ；性质3：⎠⎛ab f(x)dx ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx(其中a<c<b)．提出问题5：性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么？ 活动设计：以提问的形式让学生直接作答．提出问题6：你能从定积分的几何意义解释性质3吗？ 活动设计：学生思考、交流、探索解决问题． 学情预测：若学生解决问题有困难，教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立．活动成果：教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性，它对把区间[a ，b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立．给出以上3个性质，便于我们计算定积分．理解新知1．用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1nb －an f(ξi )；④取极限：⎠⎛ab f(x)dx ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f(ξi )．2．一般情况下，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．即∫b a f(x)dx ＝x 轴上方面积－x 轴下方的面积．运用新知例1利用定积分的定义，计算定积分∫10x 3dx 的值． 解：令f(x)＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n (i n )3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·n 2(n ＋1)24＝14(1＋1n)2.(3)取极限∫10x 3dx ＝lim n →∞S n＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值．(1)∫10xdx ；(2)∫R 0R 2－x 2dx.思路分析：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(1)中的定积分的值即为由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形的面积；(2)中的定积分的值为由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形的面积．解：(1)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形为一个直角三角形，两条直角边边长均为1，则面积为12×1×1＝12，所以∫10xdx ＝12. (2)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形面积即为圆x 2＋y 2＝R 2面积的14，则面积为14πR 2，所以∫R 0R 2－x 2dx ＝14πR 2. 变练演编例 计算定积分∫20x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？解：计算定积分∫20x 3dx 的值： (1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i －1)n ，2in ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2n.(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n)，则∫20x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n(2i n )3·2n ＝16n 4∑i ＝1n i 3＝16n 4·n 2(n ＋1)24＝4(1＋1n)2. (3)取极限∫20x 3dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞4(1＋1n )2＝4. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝0，x ＝0，x ＝2和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．活动设计：学生在理解例1和例2的基础上，独立完成此例练习． 设计意图设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义，训练学生思维的灵活性． 达标检测1. lim n →∞ 1n[cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos (n －1)πn ＋cos nπn ]写成定积分的形式，可记为( )A ．∫π0cosxdx B.1π∫π0cosxdxC ．∫10cosxdx D ．∫π0cosx xdx2．用定积分表示由曲线y ＝x 3和直线y ＝x 所围成的图形面积． 3．当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________； 当f(x)≤0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________．4．根据定积分的几何意义，求∫2－24－x 2dx 的值． 答案：1.B 2.∫10(x －x 3)dx.3．由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数4．2π. 课堂小结1．知识收获：(1)定积分的概念；(2)定义法求简单的定积分；(3)定积分的几何意义． 2．方法收获：联想、归纳、总结的思想方法． 3．思维收获：从特殊到一般． 布置作业习题1.5A 组3、4题． 补充练习 基础练习1．将和式的极限lim n →∞ 1α＋2α＋…＋n αn α＋1(α>0)表示成定积分为( ) A ．∫101xdx B ．∫10x αdx C ．∫101x αdx D ．∫10(x n)αdx 2．将和式lim n →∞(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分__________．3．曲线y ＝x 2，y ＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．拓展练习4．用定积分定义求∫10|x 2－4|dx 的值． 答案：1.B 2.∫101x ＋1dx 3.∫1－1(1－x 2)dx 4.233. 设计说明通过两个实例让学生自己总结出定积分的概念，这符合思维认识发展的一般规律，也符合数学发展的一般规律，同时激发学生进一步学习的浓厚兴趣，学生也从中学到了联想、猜测的归纳、总结的思想方法．例题的设置，主要是为了强化本节课的重点，通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法．本节的设计既符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求．备课资料备选例题：利用定义计算定积分∫10(2x －x 2)dx ，并从几何上解释这个值表示什么？思路分析：利用定积分性质1、2，可将∫10(2x －x 2)dx 转化为2∫10xdx －∫10x 2dx ，利用定积分的定义分别求出∫10xdx ，∫10x 2dx ，就能得到定积分∫10(2x －x 2)dx 的值．解：∫10(2x －x 2)dx ＝∫102xdx －∫10x 2dx ＝2∫10xdx －∫10x 2dx ，用定义求∫10xdx 的值．(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间 [i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10xdx ≈S n ＝∑i ＝1n i n ·1n ＝1n 2·n (n ＋1)2＝n ＋12n.(3)取极限∫10xdx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞n ＋12n ＝12. 同理可求得∫10x 2dx ＝13，所以∫10(2x －x 2)dx ＝2×12－13＝23. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝2x ，x ＝1和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积．(设计者：孙娜)。