§1.5.3定积分的概念
教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：
1．
2二．新课讲授 1．定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[
,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间
[]1,i i x x -上任取一点()1,2,
,i i n x =L ，作和式： 11
()()n n
n i i i i b a
S f x f n x x ==-=D =邋
如果x D 无限接近于0（亦即n ?
）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b
a
S f x dx =ò，
其中
-
ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，
[,]a b －积分区间，(
)f x dx －被积式。 说明：（1）定积分()
b
a f x dx ò是一个常数，即n
S 无限趋近的常数S （n ?
时）记
为
()b
a
f x dx
ò，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取
点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1
()n
i i b a
f n x =-å；④取极限：()
1
()l i m n
b
i n a i
b a
f x dx f n
x =-=åò （3）曲边图形面积：()b
a S f x dx =
ò；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =ò
；变力做功
()b
a
W F r dr =
ò
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分
()b
a f x dx ò表示由直线,(),0x a x
b a b y
==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形
(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b
a f x dx ò的几何意义。
说明：一般情况下，定积分
()
b
a f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x
b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x D +
D ++D ++D L L
不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +于是和式即为
()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -D +D ++D --D ++-D L L
()b
a
f x dx \
=ò阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1()b
a
kdx k b a =-ò；
性质2()()()b
b a
a
kf x dx k f x dx k =蝌为常数（定积分的线性性质）
； 性质31212
[()()]
()()b b b
a
a
a f x f x dx f x dx f x dx ?
蝌 （定积分的线性性质）
； 性质4
()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+
<<蝌 其中（定积分对积分区
间的可加性） (1)
()()b
a a
b
f x dx f x dx
=-蝌； (2)
()0a
a f x dx =ò；
说明：①推广：
1
2
12[()()()]()()()b
b b
b m m a
a
a
a
f x f x f x dx
f x dx f x dx
f x 北?北
蝌蝌L L
