高中数学-定积分的概念练习
一、基础达标
1．下列命题不正确的是
( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则
B ．若f (x )是连续的偶函数，则
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f (x )d x >0
D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a
b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
答案 D
2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3
＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为
( )
A.
B ．2⎠⎛0
1(x 3
＋sin x )d x
C ．
D.⎠⎛0
1(x 3
＋sin x )d x
答案 B
3．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛a
b f (x )d x 等于
( )
A ．8
B ．10
C ．18
D ．不确定 答案 A
4．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则⎠⎛-6
6f (x )d x ＝
( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8 答案 A
5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S ＝________.
答案 ⎠⎛a
b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同)
6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________．
答案 由直线x ＝0，x ＝π
2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积
7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1) x d x ；(2) cos x d x .
解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则⎠⎛a
b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b
y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则⎠⎛a
b f (x )d x
表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0.
(2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.
二、能力提升 8．和式
1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( )
A.⎠⎛011x
d x
B.⎠
⎛0
1
1
x ＋1d x
C.
⎠
⎛0
1
1
x －1d x D.⎠
⎛0
1
1
x ＋2d x 答案 B
9.⎠⎛0
1x 2d x ＝13，⎠⎛1
2x 2d x ＝73，则⎠
⎛0
2x 2
d x ＝________.
答案 8
3
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案
f (x )d x －⎠⎛1
3f (x )d x ，
f (x )d x
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )＝2x (取细棒所在直线为x 轴，细棒的一端为原点)，棱长为l ，试用定积分表示细棒的质量m ，并求出m 的值． 解 细棒的质量m ＝⎠⎛01ρ(x )d x ＝⎠⎛012x d x .而⎠⎛0
12x d x 表示由
直线y ＝2x ，x ＝l ，x ＝0及x 轴所围成的图形面积，如图所示．
∴⎠
⎛0
12x d x ＝12×l ×2l ＝l 2
.
即m ＝l 2
. 三、探究与创新 12．求定积分
x 2d x 的值．
解 将区间[－1,2]等分成n 个区间，则每个区间的长度为3
n
. 每个小区间的面积ΔS i ＝(－1＋3i n )23
n
.
面积和S n ＝∑i ＝1
n
(－1＋3i n )23
n
＝ i ＝1
n (1＋9i 2
n 2－6i n )3
n
＝[n ＋
9n
2
n
n ＋1
2n ＋1
6
－6n
×
n n ＋1
2
]3n
＝3＋92(1＋1n )(2＋1n )－9(1＋1n )
当n →∞时，S n →3＋9
2
×2－9＝3.
∴
x 2d x ＝3.
