2016年高考+联考模拟数学(文)试题分项解析 专题06立体几何解析 含解析

1.【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =,2cos 3A =,则b=（ ）（A （B （C ）2 （D ）32.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 3.【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(4.[2016高考新课标Ⅲ文数]在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ）（A ）310（B （C （D5.【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度6.【2016高考上海文科】设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7. [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ=，则cos2θ=（ ）（A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）458.【2016高考山东文数】ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（ ）（A ）3π4（B ） π3 （C ）π4 （D ）π68. 【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=9.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）710.【2016高考四川文科】0750sin = .11. 【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．12.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．13. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 14.【2016高考上海文科】若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 15.【2016高考上海文科】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 16.【2016高考上海文科】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.17.【2016高考上海文科】如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P是曲线y =个动点，则OP BA ×uu u r uu r的取值范围是 .18.【2016高考新课标2文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.19.【2016高考北京文数】在△ABC 中，23A π∠=，a =，则b c =_________.20.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- .（I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 21.【2016高考四川文科】（本题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 22.【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值. 23.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.24.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．平面向量1.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知向量1(,22BA =uu v ,1),22BC =uu u v 则ABC ∠=（ ）(A)300(B) 450(C) 600(D)12002.【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）8113.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是( )(A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+4.【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.5.【2016高考北京文数】已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.6.【2016高考新课标1文数】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = .7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______． 8.【2016高考山东文数】已知向量1,-()()16,-4a b ==，．若()a tab ⊥+，则实数t 的值为________．第二部分 2016优质模拟题1．【2016江西赣中南五校一联】如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ） A ． 8 B ．8π C ． 4π D ．2π2．【2016云南第一次统测】为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位3.【2016湖北省优质高中联考】已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A ．15 C ．．15- 4.【2016江西赣中南五校一联】ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投影为（ ）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 5.【2016河南中原名校一联】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A cos ,cos =，()b c a -=2,，且n m //． （1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 6．【2016河北石家庄质检二】ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos +2bc C c a =． （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，1cos 7A =，BD =ABC ∆的面积．。

第十章 立体几何一．基础题组1.【2007四川，理4】如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )（A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1所成角为60°2.【2007四川，理14】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .BB 13.【2008四川，理9】设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性； 4.【2010四川，理15】如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .【命题意图】本题考查立体几何中的二面角、线面角的求法.关键是利用三垂线定理及其逆定理把要求的角作出来.α∙AB∙βDB 1B5.【2011四川，理3】1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A )12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥(C )233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面6.【2011四川，理15】如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .7.【2012四川，理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 【2012四川，理14】如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，M 、N 分别是棱CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

1.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭Q ，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞【解析】③若2ea <-,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞U 时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >,则由(I)知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 22b a <, 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭,所以()f x 有两个零点. (ii)设a =0,则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0,若2ea ≥-,则由(I)知,()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时,()f x <0,故()f x 不存在两个零点；若2ea <-,则由(I)知,()f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为()0,+∞. 考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 6.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞ 【解析】（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 7.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.【答案】（Ⅰ）当01x <<时，()f x 单调递增；当1x >时，()f x 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数()f x '，然后通过解不等式()0f x '>或()0f x '<可确定函数()f x 的单调性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的x 换为1x即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x=-，令'()0f x =，解得1x =.当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减. ………4分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．8.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数f(x)的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.【解析】可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.10.【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为33(,)33a a -，递增区间为3(,)3a -∞-，3(,)3a-+∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得33a x =或33ax =-. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：x3(,)3a-∞-33a -33(,)33a a -33a3(,)3a-+∞()f x ' +-0 +()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(,)a a -，单调递增区间为3(,)a -∞-，3(,)3a-+∞.1,0,1,0,a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩ 所以1||2M a b =-+≥. ②当334a ≤<时，23332311a a a a ≤-<<<≤考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．11.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 12.【2016高考四川文科】（本小题满分14分） 设函数2()ln f x ax a x =--，1()x eg x x e=-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当x ∈0,)2a （时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)2a∞（，时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，.【解析】当x ∈2a（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)2a∞（，时，'()f x >0，()f x 单调递增.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．第二部分 2016优质模拟题汇编1.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A2. 【2016江西五校联考】已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A .2()()34f f ππ-<- B.2()()34f f ππ< C.(0)2()3f f π> D.(0)2()4f f π>【答案】A3.【2016云南统测一】已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】),0()41,(+∞--∞Y 【解析】当1<x时，12122)1(2|1|--++-=++-=x x be x x a be x x a y ，则122'2)2(3)(-++-=x be x ax f ， 因为函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为0243=-+y x ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==43)(21)0('x f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+43243212e b a e b a ，解得⎩⎨⎧==01b a ，即2|1|+-=x x y ；3)1(2|1|-=+-x k x x ，得当1=x 时，方程成立，4.【2016河北衡水四调】已知函数()32f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ，使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．【解】（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23x =． 函数()f x '，()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：Q 1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴1223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴0b =．。

1.【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）23.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）344.【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是[ ) [A)[0,2) [B) [0,1) [C) [2,0) [D) [1,0)5.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．6.【2016高考北京文数】圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（ ）A.1B.2 7、【2016高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.8.【2016高考北京文数】已知双曲线221a b -= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________.9.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P [x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .10.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.11.【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．12.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.13.【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 14.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 15. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若错误！未找到引用源。

1.【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =,2cos 3A =,则b=（ ）（A （B （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ,解得3=b （31-=b 舍去）,故选D. 考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数. 3.【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(【答案】D【解析】试题分析：1cos sin 1()x )22224x x f x ωωπω-=+-=-，()0sin(x )04f x πω=⇒-=，所以4(,2),(k z)k x ππππω+=∉∈，因此115599115115(,)(,)(,)(,)(,)(0,][,]848484848848ωω∉=+∞⇒∈，选D. 考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．4.[2016高考新课标Ⅲ文数]在ABC△中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A=（ ） （A ）310（B （C （D【答案】D考点：正弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．5.【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin()3y x π=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象．左右平移涉及的是x 的变化，上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位． 6.【2016高考上海文科】设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.7. [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ=，则cos2θ=（ ） （A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．8.【2016高考山东文数】ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（ ）（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6【答案】C考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.8. 【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2s i n (2)y x ϕ=+，因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22(Z )32k k ππϕπ+=+∈， 令0k =得，6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.考点： 三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值． 9.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.10.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．11. 【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．；1． 【解析】试题分析：22cos sin 21cos2sin 2)14x x x x x π+=++=++，所以 1.A b ==考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2c o s x ，再用辅助角公式化简c o s 2s i n 2x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．12.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．13. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43-考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.14.【2016高考上海文科】若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a=ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a . 考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题，基本思路是通过化简 ，得到sin()y A x ωϕ=+，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 15.【2016高考上海文科】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 【答案】566ππ或 【解析】 试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23s i n x 22s i n x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或. 考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 16.【2016高考上海文科】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】3考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.17.【2016高考上海文科】如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =个动点，则OP BA ×uu u r uu r的取值范围是 .【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin )[4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ×uu u r uu r 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.18.【2016高考新课标2文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 考点： 正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19.【2016高考北京文数】在△ABC 中，23A π∠= ，a =，则b c =_________.【答案】1考点：解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．20.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- .（I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏ 【解析】所以，()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =+的图象，即()2sin 1.g x x =所以 2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21.【2016高考四川文科】（本题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】代入cos A a +cos B b =sin Cc 中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin Ck C，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ．考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论． 22.【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A =,再根据三角形内角范围化简得2cos =B ，6=B （Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为π，将所求角化为两已知角的和)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，再根据两角和的正弦公式求解考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.23.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可. 试题解析：（I ）因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos2x x ωω=+24x ω=+⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==． 依题意，ππω=，解得1ω=．考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．24.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）22cos 27C =. 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin sinC 2sin cos B+=A B ，进而由两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A-B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先用同角三角函数的基本关系可得sin B ，再用二倍角公式可得cos2B ，进而可得cos A 和sin A ，最后用两角和的余弦公式可得cosC ．试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2B ，进而可得cos A 和sin A ，再用两角和的余弦公式可得cosC ．平面向量1.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知向量1(2BA =uu v,1),2BC =uu u v 则ABC ∠=（ ）(A)300(B) 450(C) 600(D)1200【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．2.【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．3.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是( )(A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221xy -+=，又1333,,,,,22xy y PMM C M M ⎛⎫⎫-++=∴∴⎪⎪⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM ⎫∴=+=⎪⎭，故选B. 考点：1.向量的数量积运算； 2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(222134x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．4.【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6- 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.5.【2016高考北京文数】已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30考点：平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.6.【2016高考新课标1文数】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 【答案】23- 【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设a ，b 和e 的坐标，再将a e b e ⋅+⋅转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a eb e ⋅+⋅的最大值．8.【2016高考山东文数】已知向量1,-()()16,-4a b ==，．若()a tab ⊥+，则实数t 的值为________． 【答案】5- 【解析】 试题分析：()()()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+⋅=+--⋅-=+=，解得5t =-考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()a tab ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.第二部分 2016优质模拟题1．【2016江西赣中南五校一联】如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ） A ． 8 B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B【解析】由题意可得：2=OP ，PN PM ⊥,所以2==ON OM ；所以函数的周期为16，即8πω=故选B ．2．【2016云南第一次统测】为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位【答案】D3.【2016湖北省优质高中联考】已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A ．15 C ．．15- 【答案】A【解析】()3,3k c a -=-，因为()//a c b -，所以()133-3⨯=⨯k ，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A ． 4.【2016江西赣中南五校一联】ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投影为（ ）A ．21B ．23C ．21-D ．23- 【答案】A 【解析】因为OA OC OA OB AO AC AB AO -+-=⇒+=22所以OC OB -=，所以C B O ,,三点共线即AC AB ⊥；又因为1==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ⋅=⋅-=故向量在向量BC 上的投影为21选A ． 5.【2016河南中原名校一联】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A cos ,cos =，()b c a -=2,，且//．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值．6．【2016河北石家庄质检二】ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos +2bc C c a =．（1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，1cos 7A =，BD =ABC ∆的面积． 【解析】（1）a c C b 2cos 2=+，由正弦定理，得A C CB sin 2sin cos sin 2=+， ∵A BC π++=，∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，∴2sin cos sin 2(sin cos cos sin )B C C B C B C +=+，∴C B C sin cos 2sin =∵π<<C 0，∴以0sin ≠C ，∴21cos =B ．又∵π<<B 0，∴3B π=．。

1.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】此题把导数与三角函数结合在一起实行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值相关的问题,要注意弦函数的有界性.2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PABA B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，应选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】此题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决此题能够是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】此题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，假设0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，假设0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】此题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞【解析】③若2ea <-,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >,则由(I)知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 22b a <, 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭,所以()f x 有两个零点. (ii)设a =0,则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0,若2ea ≥-,则由(I)知,()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时,()f x <0,故()f x 不存有两个零点；若2ea <-,则由(I)知,()f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存有两个零点. 综上,a 的取值范围为()0,+∞. 考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】此题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数实行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,因为这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 6.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞ 【解析】（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 7.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.【答案】（Ⅰ）当01x <<时，()f x 单调递增；当1x >时，()f x 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数()f x '，然后通过解不等式()0f x '>或()0f x '<可确定函数()f x 的单调性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的x 换为1x即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x=-，令'()0f x =，解得1x =.当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减. ………4分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性实行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．8.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数f(x)的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存有()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 所以230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)使用最值．3．方程根的问题：可化为研究相对应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)12a >.【解析】可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】此题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.此题覆盖面广，对考生计算水平要求较高，是一道难题.解答此题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.此题能较好的考查考生的逻辑思维水平、基本计算水平、分类讨论思想等.10.【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存有极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为33(,)33a a -，递增区间为3(,)3a -∞-，3(,)3a-+∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x =3ax =当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：x3(,)3a-∞-33a -33(,)33a a -33a3(,)3a-+∞()f x ' +-0 +()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(,)33a a -，单调递增区间为3(,)3a -∞-，3(,)3a-+∞. 1,0,1,0,a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩ 所以1||2M a b =-+≥. ②当334a ≤<时，23332311a a a a ≤-<<<≤考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否能够取到．11.【2016高考浙江文数】（此题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 12.【2016高考四川文科】（本小题满分14分） 设函数2()ln f x ax a x =--，1()x eg x x e=-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当x ∈10,)2a （时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈1+)2a∞（，时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，.【解析】当x ∈2a（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈1+)2a∞（，时，'()f x >0，()f x 单调递增.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】此题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的水平和计算水平．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．此题中注意因为函数()h x 有极小值没法确定，所以要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．第二部分 2016优质模拟题汇编1.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A2. 【2016江西五校联考】已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则以下不等式成立的是A .2()()34f f ππ-<- B.2()()34f f ππ< C.(0)2()3f f π> D.(0)2()4f f π>【答案】A3.【2016云南统测一】已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】),0()41,(+∞--∞【解析】当1<x 时，12122)1(2|1|--++-=++-=x x be x x a be x x a y ，则122'2)2(3)(-++-=x be x a x f ， 因为函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为0243=-+y x ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==43)(21)0('x f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+43243212e b a e b a ，解得⎩⎨⎧==01b a ，即2|1|+-=x x y ；3)1(2|1|-=+-x k x x ，得当1=x 时，方程成立，4.【2016河北衡水四调】已知函数()32f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()F y x =上是否存有两点P 、Q ，使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．【解】（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23x =． 函数()f x '，()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴1223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴0b =．。

专题25 立体几何中综合问题考纲解读明方向分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为12分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).详解：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线F G方向向量数量积不为零，可得结论. 详解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D （1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3．【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以．（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 4．【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 5．【2018年理新课标I卷】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为，利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果.详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.6．【2018年全国卷Ⅲ理】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明。

考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T7)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉18剩余的部分,如图所示,依题意得78×43πR 3=28π3,解得R=2, 所以该几何体的表面积为4π×22×78+43π×22=17π. 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T7)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π【解题指南】观察三视图,确定圆柱和圆锥的底面半径和高,再利用表面积是各个面的和进行计算.【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l ,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得: l 表=πr 2+ch+21c l =4π+16π+8π=28π.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12π B.323π C.8π D.4π【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π. 4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T10)与(2016·全国卷3·理科·T9)相同如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )B.54+18C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为3的矩形,前后为底边为3,侧棱为3的平行四边形,且底边上的高为6,所以.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB ⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102+-=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2. 6.(2016·山东高考文科·T5)同(2016·山东高考理科·T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ( )A.13+23π B.13πC.13+π D.1+π 【解题指南】充分利用三视图各测度的数值,还原几何体本身各测度的数值,进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=43π·3⎝⎭×12+13×1×1×1=13π. 7.(2016·天津高考文科·T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.8.(2016·北京高考理科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.61 B.31 C.31 D.1【解题指南】三棱锥的体积为31Sh.【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=21×1×1=21,所以体积V=31Sh=61.二、填空题9.(2016·浙江高考理科·T11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:72 3210.(2016·浙江高考理科·T14)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P 和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积,再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值,注意基本不等式的适用条件.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC==设CD=x,则AD=2-x,所以-x,所以V P-BCD =13S △BCD ·h ≤13×12BC ·CDsin30°·PD=16×2x ×12×-x)=16x(2-x)≤216⎝⎭=16×2⎝⎭=12,当且仅当-x,即时取“=”,此时PD=满足题意. 答案:1211.(2016·浙江高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S 表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm 2),V=23+4×4×2=40(cm 3). 答案:80 4012.(2016·四川高考理科·T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状,代入公式即可得出几何体的体积. 【解析】由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为h=1,则体积V=13Sh=13×112⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×1=答案:13.(2016·四川高考文科·T12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】根据俯视图求出底面积,根据侧视图求出高,从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12××1=,高为1,所以该几何体的体积V=13Sh=13×.答案:14.(2016·天津高考理科·T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=2×1×3×1=2.3答案:215.(2016·北京高考文科·T11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.【解题指南】四棱柱的体积为底面积乘以高.【解析】由俯视图可知底面面积为错误！未找到引用源。

1.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭ ，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞【解析】③若2ea <-,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >,则由(I)知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 22b a <, 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭,所以()f x 有两个零点. (ii)设a =0,则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0,若2ea ≥-,则由(I)知,()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时,()f x <0,故()f x 不存在两个零点；若2ea <-,则由(I)知,()f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为()0,+∞. 考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 6.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞ 【解析】（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 7.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数()ln 1f x x x =-+．（I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.【答案】（Ⅰ）当01x <<时，()f x 单调递增；当1x >时，()f x 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数()f x '，然后通过解不等式()0f x '>或()0f x '<可确定函数()f x 的单调性（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的x 换为1x即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x=-，令'()0f x =，解得1x =.当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减. ………4分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．8.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数f(x)的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件． 考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)12a >.【解析】可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 10.【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为(，递增区间为(,-∞，()+∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得x =或x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为(，单调递增区间为(,-∞，()+∞.1,0,1,0,a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩所以1||2M a b =-+≥.②当334a ≤<时，11≤-<<<≤，考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集． (4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．11.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 12.【2016高考四川文科】（本小题满分14分）设函数2()ln f x ax a x =--，1()xeg x x e =-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立. 【答案】（1）当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，. 【解析】当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．第二部分 2016优质模拟题汇编1.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A2. 【2016江西五校联考】已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A ()()34f ππ-<- ()()34f ππ< C.(0)2()3f f π>D.(0)()4f π>【答案】A3.【2016云南统测一】已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】),0()41,(+∞--∞【解析】当1<x 时，12122)1(2|1|--++-=++-=x x be x x a be x x a y ，则122'2)2(3)(-++-=x be x ax f ， 因为函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为0243=-+y x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==43)(21)0('x f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+43243212e b a e b a ，解得⎩⎨⎧==01b a ，即2|1|+-=x x y ； 3)1(2|1|-=+-x k x x ，得当1=x 时，方程成立，4.【2016河北衡水四调】已知函数()32f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设()()(),1F ,1f x x x g x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ，使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．【解】（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23x =． 函数()f x '，()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴1223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴0b =．。

2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中,A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（） A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为(）A ．3 B ．22C ．3D ．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委M 依垣内角,下周八尺，高五尺，问”积及为M 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放M （如图,M 堆为一个圆锥的四分之一)，M 堆底部的弧长为8尺,M 堆的高为5尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？”已知1斛M 的体积约为1．62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的M 有（ ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2015，11】【2014，8】【2013,11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．15【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为（）A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为A. 12π B. 12π C. 8π D. 10π【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A 。