专题20 立体几何大题（解析版）
立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。 立体几何解答题中的易错和易混点
易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法；
易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见；
易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 易错点6： 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90° 直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值；
易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。 题组一 1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8， 点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图： （Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ， 则114,8AM A E EM AA ==== 因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===
于是226MH EH EM =
-=，所以10AH =
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向， 建立如图所以的空间直角坐标系D xyz -，则
(10,0,0),(10,10,0),(10,4,8),(0,4,8),(10,0,0),(0,6,8)A H E F FE HE ==- 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则
0,0,n FE n HE ⎧=⎪⎨
=⎪⎩即100,
680,x y z =⎧⎨-+=⎩
所以可取(0,4,3)n =
又(10,4,8)AF =-， 故||45
|cos ,|15
||||n AF n AF n AF <>=
=
所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为
415
15
所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为
24
． 2.（2016全国III ）如图，四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，=3AB AD AC ==，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN 平面PAB ；
（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）由已知得23
2
==
AD AM ，
取BP 的中点T ，连接TN AT ,．
由N 为PC 中点知BC TN //，22
1
==BC TN ．
又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //．
因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，
且5)2
(22
22=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，
)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5
(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,2
5
(
-=PN ， )2,1,2
5
(
=AN ． 设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则00
PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ，
可取(0,2,1)n =，
于是||85
|cos ,|25
||||n AN n AN n AN ⋅<>=
=
． 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
85
25
题组二
3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
12
2
AA AC CB AB ===
E
D
C
B
A
A 1
B 1
C 1
P
A
B D
C N M
（Ⅰ）证明：1BC //平面1A CD ；
（Ⅱ）求二面角1D A C E --的正弦值．
【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交,D E 分别是1,AB BB 的中点，1A C 于点O ，
连结DO ，则O 为1AC 的中点，
因为D 为AB 的中点，所以OD ∥1BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，
1BC ⊄平面1A CD ，所以1BC //平面1A CD ；
（Ⅱ）由1AA
=AC=CB=
2
AB 可设：AB=2a ，则1AA
， 所以AC ⊥BC ，又因为直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图， 则(0,0,0)C
、1)A 、
D
、E ，
1(2
)CA a =，
2
(2
CD =，(0,CE =， 1(,A E =-，
设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，
可解得y x z =
-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为(1,1,1)n =--，
同理可得平面1A CE 的一个法向量为(2,1,2)m =-，
则cos ,n m <>=
，所以6sin ,3
n m <>= 所以二面角D-1A C -E
4．（2012新课标）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，
11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1． （Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；
（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．
【解析】（Ⅰ）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒
︒
∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （Ⅱ）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H
1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合
A
C
B
1
B 1
A D
1
C 1
