几种常见函数的导数

常见导数基本公式导数作为微积分的基本概念之一，在数学和物理等领域有着重要的应用。

学习导数的基本公式，不仅可以帮助我们求解各种函数的导数，还可以为我们理解函数图像的特征提供指导。

本文将介绍一些常见的导数基本公式，并通过具体的例子来阐述其应用和意义。

首先，我们先来讨论一阶导数的基本公式。

对于任意函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。

当函数f(x)在一点x0处可导时，其导数可以通过以下几种常见的公式来计算。

1. 常数函数导数公式：对于常数c，其导数为0，即d(c)/dx = 0。

这是因为常数函数的斜率恒为0，即不随x的变化而变化。

2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数可以表示为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。

这个公式告诉我们，幂函数的导数是通过将指数降低1，并乘以原来的指数。

例如，当n为2时，f(x) = x^2的导数为d(x^2)/dx = 2x。

3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为d(e^x)/dx = e^x。

指数函数的导数与函数自身相等，这是指数函数在任意点的斜率都等于函数值。

例如，f(x) = e^x的导数为d(e^x)/dx = e^x。

4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。

对数函数的导数可以通过求幂函数导数公式和指数函数导数公式的逆运算得到。

例如，f(x) = ln(x)的导数为d(ln(x))/dx = 1/x。

以上是一阶导数的一些基本公式，可以帮助我们求解一些简单函数的导数。

但是在实际问题中，我们经常遇到复合函数或者多元函数，需要使用更加复杂的导数公式。

下面，我们来介绍一些常见的高阶导数公式和一些导函数的性质。

1. 高阶导数公式：高阶导数是指函数的导数再次求导得到的导数。

对于一阶导数f'(x)，我们可以通过不断求导得到二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)等。

数值求导公式数值求导公式，是数学中用于求解函数导数的一种方法。

导数是描述函数在某一点附近变化率的概念，求导公式能够帮助我们计算函数在某一点的导数值，进而对函数的性质进行分析。

在数学中，有许多常见函数的导数公式。

下面将介绍几种常见的数值求导公式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。

对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，其导数为0。

这是因为常数函数在任意一点的斜率都是0，即函数的变化率为0。

对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f'(x) = n*x^(n-1)。

这是因为幂函数的导数是通过对n次方进行减1，并乘以系数n得到的。

接下来，对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

这是因为指数函数的导数与函数自身的值和底数有关，通过乘以ln(a)来得到。

然后，对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

这是因为对数函数的导数可以通过换底公式和求导法则得到。

对于三角函数，常见的有正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) =cos(x)。

它们的导数分别为f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。

这是因为三角函数的导数可以通过极限和泰勒级数展开得到。

除了上述常见的函数，还有很多其他函数的导数公式，如指数对数函数、双曲函数和反三角函数等。

这些函数的导数公式可以通过基本的求导法则和链式法则进行推导和求解。

数值求导公式的应用十分广泛。

在实际问题中，我们常常需要计算函数在某一点的导数值，以便进行优化、模拟和预测等计算。

通过数值求导公式，我们可以在计算机上使用数值方法对函数进行近似求导，从而得到函数在某一点的导数值。

总结起来，数值求导公式是数学中用于求解函数导数的方法。

§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。

几种常见函数的导数二、讲解新课：1. (C为常数)2. ()3.4.三、讲解范例：例1 求 (1)(x3)′ (2)()′ (3)()′解：(1) (x3)′=3x3－1=3x2；(2) ()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3(3)例2质点运动方程是, 求质点在时的速度．解：∵　， ∴　,∴ ．答：质点在时的速度是．例3求曲线在点A的切线方程．解：∵ ∴　∴ ∴　所求切线的斜率　∴　所求切线的方程为　，即 四、课堂练习：1． (口答)求下列函数的导数：(1)y=x5 (2)y=x6 (3)x=sint (4)u=cos答案： (1)y′=(x5)′=5x4； (2)y′=(x6)′=6x5；(3)x′=(sint)′=cost； (4)u′=(cos)′=－sin2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y=答案：(1) y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4(23.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.解：v=s′=(t3)′=3t3－1=3t2当t=3时，v=3×32=27 m/s，∴质点在t=3时的速度为27 m/s4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=gt2，(s单位m，t单位s，g=9.8m/s2)，求t=3时的速度.解：v=s′(t)=(gt2)′=g·2t2－1=gt.t=3时，v=g·3=9.8·3=29.4m/s，∴t=3时的速度为29.4 m/s.5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.解：y′=(x4)′=4x4－1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0函数的和、差、积、商的导数(1)二、讲解新课：法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 ⑶两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导．三、讲解范例：例1 求y=x3+sinx的导数.解：y′=(x3+sinx)′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx例2 求y=x4－x2－x+3的导数.解：y′=(x4－x2－x+3)′=(x4)′－(x2)′－x′+3′=4x3－2x－1，例3求的导数．解：例4求的导数．解：例5 y=3x2+xcosx，求导数y′.解：y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx例6 y=5x10sinx－2cosx－9，求y′.解：y′=(5x10sinx－2cosx－9)′=(5x10sinx)′－(2cosx)′－9′=5(x10)′sinx+5x10(sinx)′－［2()′·cosx+2(cosx)′］－0=5·10x9sinx+5x10cosx－(·cosx－2sinx)=50x9sinx+5x10cosx－cosx+2sinx=(50x9+2)sinx+(5x10－)cosx四、课堂练习：1.求函数的导数.(1)y=2x3+3x2－5x+4解：(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5(2)y=sinx－x+1解：y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1(3)y=(3x2+1)(2－x)解：y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+ (3x2+1)(2－x)′=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1(4)y=(1+x2)cosx解：y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2) (cosx)′=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx2.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=( )(4x2－3)+(3x2+1)( )解：［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sinx)′=( )x2sinx+x3( )解：(x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx)3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)解：不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)函数的和、差、积、商的导数(2)二、讲解新课：法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即三、讲解范例：例1求y=的导数.解：y′=()′=例2求y=在点x=3处的导数.解：y′=()′∴y′|x=3=例3 求y=·cosx的导数.解法一：y′=(·cosx)′=()′cosx+ (cosx)′例4求y=的导数.解：y′=()′=例5求y=的导数.解：y′=()′例7求y=的导数.解：y′=()′四、课堂练习：1．填空：(1)；(2)解：(1)∵(2)2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y=解：(1)y′=()′(2)y′=()′(3)y′=(tanx)′=()′(4)y′=()′＝3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.注意：两个函数的乘积的导数的符号是加号，两个函数的商的导数分母是原分母的平方，分子上的符号是减号复合函数的导数(1)二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．2.求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得 ， 从而有3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x).4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴； ⑵； ⑶； ⑷．解：⑴函数由函数和复合而成；⑵函数由函数和复合而成；⑶函数由函数和复合而成；⑷函数由函数、和复合而成．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴，； ⑵，． 解：⑴； ⑵．例3求的导数．解：设，，则 ．例4求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu; u=x2∴=(sinu)′u·(x2)x ′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的导数.分析: 设u=sin(2x+)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+∴=y′u(u′v·v′x)∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即y′x=2sin(4x+)例6求的导数.解：令y=，u=ax2+bx+c∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)= 即y′x=例7求y=的导数.解：令∴=()′u·()′x即y′x=－例8 求y=sin2的导数.解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x=2u·cosv·=2sin·cos·=－·sin∴y′x=－sin例9 求函数y=(2x2－3)的导数.分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.解：令y=uv，u=2x2－3，v=, 令v=，ω=1+x2 = (1+x2)′x= ∴y′x=(uv)′x=u′x v+uv′x=(2x2－3)′x·+(2x2－3)·=4x 即y′x=四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x－3∴=(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3(2)令y=u5，u=2+3x∴=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2－x2∴=(u3)′u·(2－x2)′x=3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x∴=(u2)′u·(2x3+x)′x=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n∈N*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx 解：(1)令y=sinu，u=nx =(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx =(cosu)′u·(nx)′x=－sinu·n=－nsinnx。

《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标：1. 了解导数的定义和几何意义；2. 掌握几种常见函数的导数公式；3. 会求解函数在某一点的导数；4. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学重点与难点：重点：1. 导数的定义和几何意义；2. 几种常见函数的导数公式；3. 求解函数在某一点的导数。

难点：1. 导数的几何意义的理解；2. 求解函数在某一点的导数的方法。

三、教学方法与手段：1. 采用讲解、示例、练习相结合的教学方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，展示函数图像和导数几何意义；3. 引导学生通过自主学习、合作交流的方式探索和掌握导数的基本概念和求解方法。

四、教学内容与步骤：1. 导入新课：回顾函数的斜率概念，引出导数的定义；2. 讲解导数的定义和几何意义，示例演示；3. 引导学生总结几种常见函数的导数公式；4. 讲解求解函数在某一点的导数的方法，示例演示；5. 布置练习题，学生自主练习，教师巡回指导。

五、教学评价：1. 课堂讲解：关注学生的听课情况，提问学生掌握程度；2. 练习题：检查学生对几种常见函数导数的掌握程度；3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的运用能力；4. 学生互评：鼓励学生相互学习，共同进步。

教案示例：1. 导入新课：提问：我们在学习函数的时候，曾经学习了斜率的概念，斜率与函数有什么关系呢？引导学生思考，引出导数的定义。

2. 讲解导数的定义和几何意义：解释导数的定义：函数在某一点的导数，就是该点处函数图像的切线斜率。

展示函数图像，引导学生理解导数的几何意义。

3. 引导学生总结几种常见函数的导数公式：提问：我们如何求解函数在某一点的导数呢？引导学生总结几种常见函数的导数公式。

4. 讲解求解函数在某一点的导数的方法：示例演示：求解函数在某一点的导数。

讲解求解方法，引导学生掌握。

5. 布置练习题，学生自主练习，教师巡回指导：布置练习题，要求学生求解几种常见函数在某一点的导数。

教师巡回指导，解答学生疑问。

《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握几种常见函数的导数公式。

3. 会求函数在某一点的导数。

4. 能够运用导数解决实际问题，如运动物体的瞬时速度、加速度等。

二、教学重难点1. 重点：几种常见函数的导数公式。

2. 难点：导数的应用，如求函数在某一点的导数，解决实际问题。

三、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的定义和几何意义。

2. 运用归纳法，让学生掌握几种常见函数的导数公式。

3. 利用例题讲解法，培养学生求函数在某一点的导数的能力。

4. 采用问题驱动法，激发学生运用导数解决实际问题的兴趣。

四、教学准备1. 课件：几种常见函数的导数公式及例题。

2. 练习题：巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义。

2. 新课：讲解几种常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 例题：求函数在某一点的导数，如f(x) = x^2，在x=1时的导数。

4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 拓展：运用导数解决实际问题，如求运动物体的瞬时速度、加速度等。

6. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

8. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业情况，对教学进行总结和调整。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对导数定义和几何意义的理解，以及几种常见函数导数的掌握情况。

2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论。

3. 评价内容：a. 学生能否准确描述导数的定义和几何意义。

b. 学生是否能熟练运用几种常见函数的导数公式。

c. 学生是否能独立求出给定函数在某一点的导数。

d. 学生是否能运用导数解决实际问题。

七、教学反馈1. 课堂问答：通过提问，了解学生对导数概念和公式的理解程度。

2. 练习题：收集学生作业，分析其解答过程和结果，评估掌握情况。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进互动交流，提高解决问题的能力。